Sformułowanie problemu projektowania wirników maszyn przepływowych

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄ SKIEJ Seria: ENERGETYKA z. 123

1995 N r kol. 1277

G erard KOSMAN, Andrzej RUSIN

SFORMUŁOWANIE PROBLEMU PROJEKTOWANIA WIRNIKÓW MASZYN PRZEPŁYWOWYCH

S tr e sz c z e n ie . W pracy przedstaw iono zakres projektow ania w irni

ków osiowych i osiowo-promieniowych m aszyn przepływowych. Podano opis zadania projektowego oraz k ry te ria wytrzym ałościowe stosowane w projektow aniu wirników. Zagadnienie zilustrow ano przykładam i do

boru wymiarów w irnika osiowo-promieniowego pracującego w w a ru n kach pełzania oraz przykładem optym alizacji p iasty w irnika osiowego.

THE FORMULATION OF A D E SIG N PRO BLEM OF THE ROTORS OF FLOW TURBINES

Sum m ary. The design scope of an axial and rad ial - axial rotors of th e flow tu rbin es is discused. The description of th e design ta s k is given alongside w ith th e strength c riteria used in th e design process. The discussion h as been illu strated w ith th e exam ples of th e selection of dim ensions of a rotor operating u n d e r creep and of th e optim isation of a hub of an axial - radialrotor.

FORM ULIERUNG D E S PROBLEM S D E R PLANN UN G VON STRÖM UNGSM ASCHINENLÄUFERN

Z u sam m en fassu n g. In d er A rbeit w urde ein Bereich der Planungs von Läufer von axial und a x ia l-ra d ia l Ström ungsm aschinen darges

tellt. Die Beschreibung ein er P rojektierungsaufgabe und Festig- k eitsk riteria, die bei derP lanung von L äufern anw endbar sind, w urde angegeben. Das Problem w urde d urch ausreichenede Beispielen der Bem essung von im Bereich des K riechvorgangs a x ia l-ra d ia l arb eiten

den Läufer sowie ein Beispiel der O ptim ierung der L aufernabe ergänzt.

1. ZAKRES PROJEKTOWANIA

Główne postacie konstrukcyjne w irników tu rb in cieplnych przedstaw iono w tablicy 1. Podział ten zaczerpnięto z [1]. Przedm iotem projektow ania (kształ-

(2)

Tablica 1

(3)

Sformułowanie problemu projektowania wirników. 143

tow ania wytrzymałościowego) będą elementy zespołu wirującego o postaci konstrukcyjnej tarcz. Elem enty te łatwo jest wyróżnić n a schem atach poda

nych w tablicy 1. Chodzi przede wszystkim o pozycje 1, 2 i 3.

a. W przypadku tu rb in akcyjnych z wirnikami tarczow ym i zadanie projekto

we m ożna podzielić n a kilka zadań cząstkowych dotyczących pojedynczych tarcz wirnikowych. Schem at pojedynczej tarczy w raz z podaniem cech geometrycznych przedstaw iono n a rys. 1. Najczęściej prom ienie w ew nętrz

ny r w i zew nętrzny r z są wielkościami znanymi (param etram i), a w procesie projektowym należy określić grubość tarczy, tzn.zm ienną decyzyjną jest h(r).

Zakładam y, że grubość tarczy h na dowolnym prom ieniu r je s t opisana w ielom ianem stopnia m (rys. 1)

h = X a Ir 1 ( 1 )

i = 0

Jako zm ienne decyzyjne przyjmujemy współczynniki a (i = 0, 1, 2,..., m).

h = 2 Oj r1

\ = o

X = [a, , i = 0 , 1 n ]

Rys. 1. Cechy geometryczne tarczy Fig. 1. The geometrie parameters of the disc

(4)

W pracy [2] rozpatryw ano tarczę opisaną w ielom ianem 2 stopnia

h = a0 + a jr + a2r 2 (2)

W przypadku tarczy o dowolnie zmieniającej się grubości h = h(r) stosuje

my dyskretny opis konstrukcji. W tym celu przestrzeń ciągłych zmiennych niezależnych r e (rw, r z) odwzorujemy w przestrzeń zm iennych dyskret

nych r ; (i = 1, 2^{, . . . ,} n), a w miejsce funkcji h = h(r) szukam y jej wartości

h i (i = 1, 2, n) (3)

w p u n k tach r, (rys. 2).

X = [ hj ,i =1,2 n]

Rys. 2. Dyskretny wektor zmiennych optymalizowanych w wirniku osiowym Fig. 2. A discrete vector of the variables optimized in an axial rotor

(5)

Sformułowanie problemu projektowania wirników..._______________________ 145

Rys. 3. Optymalizacja w irnika turbiny reakcyjnej Fig. 3. The optimization of a reaction turbine rotor

(6)

W ektor

X = (h1, h 2,...,h n) (4)

je s t w ektorem zm iennych decyzyjnych,

b. Ujęcie w podobny sposób (tzn. podział n a pojedyncze tarcze) zagadnienia projektow ania wirników bębnowych tu rb in reakcyjnych w ym aga przyjęcia założenia upraszczającego, że sąsiednie tarcze nie wpływają w istotny sposób n a sta n wytrzymałościowy tarczy projektowanej. Zadanie projekto

we m ożna opisać w tedy ta k ja k pokazano to n a rys. 3.

Z zagadnieniem proje- c.

ktow ania pojedynczej tarczy spotykam y się również w czasie doboru cech konstrukcyjnych wirników stopni osiowo- promieniowych. Rozpa

trzm y dla przykładu w ir

n ik osiowo-promieniowy z tarc zą nośną o grubości zmiennej (rys. 4). W irnik pracuje ze znan ą prędko

ścią kątow ą w. Z akłada

my, że w pierwszym e ta pie projektow ania dobra

no cechy konstrukcyjne u k ład u przepływowego.

W szczególności znam y prom ienie r 0, r 1; r 2, rp, R, szerokości n a wylocie b2, k ą t y i szerokości piasty h p. Przykładowe cechy geom etryczne w irnika ustalone zgodnie z k ry te riam i term odynam iczno- przepływowymi pokaza

no n a rys. 5. Przedm io

tem optym alizacji pozo

staje tarc za nośna. Zada

nie sprow adza się do wy

znaczenia h = h(r), a w

Rys. 4. Wirnik osiowo-promieniowy Fig. 4. An axial - radial rotor

opisie dyskretnym do określenia grubości h, w p u n k tach r t (rys. 6).

d. Odrębnym zagadnieniem je s t w spółpraca poszczególnych pojedynczych tarcz wirnikowych z wałem. W szerszym ujęciu chodzi o współpracę ele-

(7)

mentów nasadzanych na wał. Oprócz tarcz wirni

kowych mogą to być tule

je, pierścienie, tłoki od

ciążające (rys. 7).

W przypadku połącze

n ia skurczowego podsta

wowym zadaniem jest określenie wzajemnego nacisku p między powie

rzchniam i styku wału i elem entu nasadzanego.

Dla tarcz wartość tego nacisku dla prawidłowo działającego połączenia m usi być większą od pewnej granicznej warto

ści pg zależnej od warto

ści m om entu obrotowego przekazywanego przez to połączenie i m usi być za

pewniona odpowiednia różnica prom ieni wału i tarczy A.

Zmiennymi decyzyj

nym i w procesie proje

ktow o-konstrukcyjnym są: A, Rw oraz wymiary piasty h ;, a w szczególno

ści jej szerokość b, tzn.:

Rys. 5. Cechy geometryczne wirnika ustalone w oparciu o kryteria termodynamiczno-przepływowe Fig. 5. The geometrie param eters of a rotor derived

basing on the thermodynamic and flow criteria

X - [A, Rw, b ;] (5)

Jeżeli połączenie to pracuje w wysokiej tem p eratu rze, to w obliczeniach należy uwzględnić pełzanie m ate ria łu [6, 7],

2. OPIS ZADANIA PROJEKTOWEGO

Rozpatrujem y tarczę wirnikow ą stopnia osiowego tu rb in y parowej, syme

tryczną względem płaszczyzny śrokowej, w irującą z d a n ą prędkością kątow ą w n ag rzan ą nierównom iernie wzdłuż prom ienia T =* T(r). N a powierzchni

(8)

zew nętrznej tarczy znajdu

je się z łopatek o m asie m f każda. Zakładam y, że zna

my w ym iary wieńca (gru

bość h z oraz prom ienie r i r - rys. 2). Analogiczne dane dla w irnika osiowo-promieniowego opisano w punkcie lc.

W procesie doboru cech konstrukcyjnych tarczy n a leży określić postać kon

strukcyjną i w ym iary lub tylko w ym iary przy założo

nej postaci. Odpowiednie zadanie projektowe sform u

łowano w pracy [12].

Zgodnie z podanym i tam uw agam i należy określić:

- zm ienne decyzyjne, - ograniczenia, - funkcję celu.

a. Z m ien n e d ecy zy jn e R ozpatrujem y dwa w a

ria n ty zm iennych decy

zyjnych (zob. p k t 1):

- zm ianę grubości t a r czy wzdłuż prom ienia

Rys. 6. Dyskretny wektor zmiennych optymalizowanych w wirniku osiowo—promieniowym

Fig. 6. A discrete vector of variables optimized in an axial - radial rotor

opisujemy wielom ianem (1)

h = X ai pi

i = 0

i w tedy jako zm ienne decyzyjne przyjm ujem y współczynniki a;, tzn.

X = [a0, am]

W praktyce m = 0, 1 lub co najwyżej 2.

w miejsce funkcji ciągłej h = h(r) szukam y dyskretnych wartości h w p u n ktach r (rys. 2), tzn.

X - [h0, h i, h 2, ..., h n]

(9)

Rys. 7. Wirnik z tarczami nasadzanymi Fig. 7. A rotor with the thermocompression mounted disc

Sformułowanieproblemuprojektowania wirników... 149

(10)

W pierwszym przypadku określamy tylko wym iary przy założonej postaci, w drugim dobieramy postać i wym iary.

b. O g ra n ic z en ia w y tr z y m a ło ścio w e

O graniczenia te ustalone są zgodnie z k ry teriam i omówionymi w [12].

Najważniejszym i k ryteriam i są:

- kryteriu m wym aganej trw ałości

ł ł m i n

- kry teriu m dopuszczalnych odkształceń

^ — ^dop

lub

£p(t) — £p,dop

lub

£ p — £p,dop

- kryterium naprężeń dopuszczalnych

Ored = Vo? + O? - O, Gt < Odop

- kryterium równej wytrzymałości

Vo? + Oj — O; Ot = Odop lub

o r ~ o ^ — O dop

- k ry teriu m założonego rozkładu naprężeń

<tred(r ) = f(r)

lub

or(r) = f(r) = odop(r) c. O g ra n ic z en ia k o n s tr u k c y jn o -te c h n o lo g ic z n e

- w aru n ek konstrukcyjny

h — h max - w arun ek technologiczny

(11)

d. P a ra m etry

- prom ienie r w, r z i r 2 (rys. 2), - grubość h z,

- prędkość kątow a co.

- liczba i m asa łopatek z, m t, - rozkład tem p eratu ry T = T(r),

- dane m ateriałow e (E, v, (3, współczynniki rów nań pełzaniowych itd.), - współczynniki ograniczeń (tmin, edop, ¿Pidop, odop, h min, h max, itd.).

e. F u n k cja c e lu

Rozpatrujem y kilka wariantów funkcji celu - m aksym alny czas pracy

V = t

- m inim alna m asa

V = m V —> V_v 7 v min

- m inim alna prędkość odkształcenia pełzania

V = ćp

V —> ¿p m in - rów na wytrzymałość tarczy.

f. M odel w y trzy m a ło ścio w y ta rc z y

Podany w p unktach a - e opis z ad an ia projektowego tarczy należy uzupeł

nić odpowiednim modelem wytrzym ałościowym tego elem entu w celu po

w iązania zm iennych decyzyjnych z ograniczeniam i. W m odelu należy uwz

ględnić zjaw iska pełzania i zm ęczenia cieplnego. Uogólniony model w ytrzy

małościowy tarczy odpowiadający wym ienionym założeniom podano w [7, 8, 9]. W spomniane uogólnienie polegało n a opracow aniu jednego, kom

pleksowego modelu słusznego zarówno dla tarcz stopni osiowych, ja k rów

nież dla w irnika osiowo-promieniowego.

P ełzanie m a te ria łu tarc zy opisano izochronicznym i krzyw ym i p ełza

n ia [10]

(12)

°i = £P ---,---A (6) (a + kt)

gdzie:

Oi - intensyw ność naprężeń, e, - intensyw ność odkształceń,

t - czas,

a, k, m - stałe m ateriałow e.

M atem atyczny model tarczy wirnikowej zbudowano opierając się n a n a stę pujących założeniach [11]:

- w tarczy przyjęto płaski s ta n n aprężenia, - tarc za może mieć dowolny ksz ta łt i pochylenie,

- przy odkształceniu w irnika przyjm uje się hipotezę płaskich przekrojów, - zaniedbuje się zmienność naprężeń wzdłuż obwodu,

- przyjm uje się liniowy rozkład naprężeń n a grubości tarczy wirnikowej oraz liniowe usytuow ane łopatek bocznych,

- uw zględnia się zmienność te m p e ra tu ry wzdłuż prom ienia i n a grubości tarczy,

- uw zględnia się n aprężen ia styczne x wywołane tylko różnicą ciśnień dzia

łającą n a w irnik.

3. PRZYKŁAD DOBORU WYMIARÓW WIRNIKA

OSIOW O-PROMIENIOW EGO PRACUJĄCEGO W WARUNKACH

PEŁZANIA

Zadanie projektowe sformułowano następująco:

- dobrać k sz ta łt w irnika osiowo-promieniowego w tak i sposób, aby:

- prędkość odkształcenia w w arunkach pełzania w irnika była m inim alna (przykład a) lub

— m asa w irnika była m inim alna (przykład b).

A zatem jako funkcje celu przyjęto:

a. V = ec -» m in b. V = m -> m in O graniczenia:

^min ^ hj < h max b f c < £cU . C \ C-m a x

Jak o p a ram etry w obu przykładach przyjęto:

R0 = 0,025 m, R1 = 0,0040 m, R2 = 0,097 m, Rz = 0,200 m, r ki - 0>09 m, r k2 = 0,07 m, h 0 = 0,060 m, h z = 0,005 m, hi = 0,024 m, p = 7800 kg/m, co = 932 l/s

(13)

Sformułowanie problemu projektowania wirników. 153

Przestrzeń optym alizacji pokazano n a rys. 8. W yniki optymalizacji dla obu przykładów podano w tablicy 2.

Tablica 2 Wyniki optym alizacji dla przykładów a i b

r [m] a b

h [m] h [m]

0,04 0,0600 0,0600

0,05 0,0390 0,0280

0,06 0,0240 0,0150

0,07 0,0160 0,0110

0,08 0,0110 0,0096

0,09 0,0105 0,0090

0,10 0,0100 0,0086

0,11 0,0095 0,0083

0,12 0,0090 0,0079

0,13 0,0085 0,0075

0,14 0,0080 0,0072

0,15 0,0075 0,0068

0,16 0,0070 0,0064

0,17 0,0065 0,0061

0,18 0,0060 0,0057

0,19 0,0055 0,0053

0,20 0,0050 0,0050

4. OPTYMALIZACJA PIASTY WIRNIKA OSIOWEGO ZE WZGLĘDU NA KRYTERIUM MAKSYMALNEGO CZASU PRACY W WARUNKACH PEŁZANIA

Zadanie optymalizacyjne sform ułowano następująco: dobrać postać kon

strukcyjną piasty w irnik a osiowego pracującego w w arunkach pełzania, aby czas pracy połączenia wciskowego tarc za w irnikow a - w ał był możliwie n aj

dłuższy. Przyjęto, że połączenie tarc za - w ał pracuje popraw nie w w arunkach, gdy pomiędzy wałem i tarc zą istnieje w artość wcisku p w iększa od pg. Zatem funkcja celu m a postać:

V = t

Ograniczenia:

hi < h max 0,06 m

(14)

Rys. 8. Przestrzeń optymalizacji wirnika osiowo-promieniowego Fig. 8. The optimization space of an axial radial rotor

h i > h min = 0,01 m p > pg = 25 M Pa

(15)

Rys. 9. Przestrzeń optymalizacji piasty w irnika osiowego Fig. 9. The optimization space of a hub of a paddle wheel rotor

W ymiary w irnika przyjęte jak o p a ra m etry oraz przestrzeń optymalizacji pokazano n a rys. 9. Ponadto jak o p a ra m e try przyjęto: co = 628 l/s, v = 0,5, p = 7800 kg/m.

W ynik optymalizacji przedstaw iono n a rys. 10. R ysunek te n przedstaw ia również porównanie czasów pracy dla dwóch innych piast. Zoptymalizowana p iasta pracuje 3,5 razy dłużej niż p ia sta o stałej grubości oraz około 1,2 razy dłużej niż p iasta dobrana wstępnie.

(16)

Rys. 10. Wynik optymalizacji piasty Fig. 10. Hub optimization results

LITERATURA

[1] P oradnik inżyniera m echanika. I, II, Z agadnienia konstrukcyjne, WNT, W arszaw a 1969.

[2] Kosm an G., Rusin A.: Kom pensacja momentów gnących w jednostrum ie- niowych w irnikach m aszyn promieniowych. Zbiór prac VI Konferencji Naukow o-Technicznej „Technologia przepływowych m aszyn wirniko

wych”. Rzeszów 1988, s. 70-77.

(17)

[3] C hm ielniak T., Kosman G.: O ptim al s tru c tu ra l desing of centrifugal and mixed flow impellers. Proceedings of th e VI Conference on Fluid M achi

nery. Budapest 1983, s. 140-149.

[4] Kosman G., Rusin A.: Wpływ cech konstrukcyjnych i tem p e ra tu ry prze

pływającego czynnika n a żywotność w irn ik a w entylatora. Zeszyty N a

ukowe Pol. Śl., E nergetyka z. 91, Gliwice 1985, s. 348-375.

[5] Kosman G., Rusin A.: Przykłady doboru cech konstrukcyjnych wirników osiowo-promieniowych. Zeszyty N aukow e Pol. Śl., E nergetyka z. 83,

1983, s. 291-306.

[6] Kosman G., Rusin A.: Term ow ytrzym alość m aszyn przepływowych. Za

gadnienia plastyczności i pełzania. S k ry p t Pol. Śl., Gliwice 1990.

[7] Chm ielniak T., Kosman G., Rusin A.: Pełzanie elem entów tu rb in ciepl

nych. WNT, W arszawa 1981.

[8] Kosman G., Rusin A.: A naliza n ap rężeń w w aru n k ach pełzania w w irni

ku osiowo-promieniowym n a podstaw ie izochronicznych krzywych peł

zania. Prace IMP, z. 94, G dańsk 1992.

[9] Rusin A.: Wpływ ciśnienia n a rozkład n ap rężeń w w irnikach m aszyn przepływowych w w aru n k ach pełzania. Zeszyty Naukowe Pol. Śl., E n er

getyka z. 112, Gliwice 1991.

[10] M alinin N.N., Rżysko I.: M echanika m ateriałów . PWN, W arszaw a 1981.

[11] Traupel W.: Thermische T urbom aschinen. S pringer-V erlag, Berlin 1968.

[12] Rusin A.: Dobór cech konstrukcyjnych w irników stopni osiowo-prom ie

niowych z uwzględnieniem pełzania m ateriału . P raca doktorska, Gliwice 1987.

[13] Kosman G., Rusin A.: M ethoden zu r optim alen G estaltung von Ström ungsm aschinen - L aufrädern. M aschinenbautechnik, 39, 1990.

[14] Findeisen W., Szym ański J., W ierzbicki A.: T eoria i m etody obliczeniowe optymalizacji. PWN, W arszaw a 1980.

A b stract

The design scopes of th e different types of rotors of flow turbin es are discussed in th e paper. The disc rotors of th e im pulse turb ines, th e drum rotors of th e reaction tu rbines, th e ro tors of th e rad ia l flow tu rbines and the therm ocom pression - m ounted rotors w ere analysed. A decomposition m ethod h as been given for each of th e above cases and th e detailed design problems have been form ulated.

The decision variables have been defined as th e qu an tities describing the rotor shapes. Two v a ria n ts of shape description w ere considered. In the discrete model th e decision variables (the thickness of th e disc) were assum ed

(18)

to be discrete values h ;. In th e second v a ria n t, i th e shape of the rotor is described using polynomials. In th e la tte r case, th e optim ized p aram eters are the coefficients of th e polynomials. The c riteria used to define th e objective function and th e con straints have been given. The c riteria of the allowable stresses, allowable strain s, equal stre n g th and th e required durability have been discussed. Since th e rotors operate a t high tem p eratu res, a stren g th models of an axial and rad ial - axial rotor u n d er creep have been developed.

The exam ples of th e selection of th e dim ensions of a rotor un d er creep have been given, tak in g into account th e criteria of th e m inim um m ass and the m inim um creep strain s. Second exam ple concerns th e optim ization of a hub of an axial - rad ial rotor tak in g into account th e criterion of th e m aximum operating tim e un d er creep.