Seria: T R A N SPO R T z.43 N r kol. 1529
Piotr FO LĘG A , Andrzej W ILK
METODA DOBORU CECH KONSTRUKCYJNYCH TULEI PODATNEJ PRZEKŁADNI FALOWEJ
Streszczenie. C elem pracy było opracowanie metody doboru cech konstrukcyjnych tulei podatnej przekładni falowej. Zakres pracy obejm uje jednostopniow e przekładnie falowe z tulejami podatnym i w spółpracującym i z m echanicznym generatorem . W analizie stanu naprę
żeń tulei podatnej zastosow ano metodę elem entów skończonych [MES] oraz m etodę elem en
tów brzegow ych [MEB], W yniki tej analizy um ożliwiły opracow anie zaleceń dla konstrukto
rów.
THE M ETH OD OF SELECTION CONSTRUCTION FEATURE OF HARM ONIC GEAR DRIVE FLEXSPLINE
Sum m ary. The purpose o f this study was develop the m ethod o f selection construction feature o f harm onic gear drive flexspline. The scope o f this study com prised the single-stage harm onic drive w ith flexspline the co-operate o f m echanical generator. A pplication o f the Finite Elem ents M ethod (FEM ) and o f the Boundary Elem ents M ethod (BEM ) has been pre
sented in the paper. The results o f analysis o f the flexspline can help the flexspline construc
tion.
1. W PR O W A D Z EN IE
Z ębata przekładnia falow a (rys. 1) w klasycznym w ykonaniu stanowi m echanizm zębaty, na który składa się: koło zębate w ewnętrznie uzębione, tuleja podatna oraz odkształcający j ą generator fali.
W ażnym problem em w procesie projektow ania przekładni falowej je st racjonalny dobór cech geom etrycznych tulei podatnej. D obór cech konstrukcyjnych pow inien zapewnić m ini
m alizację naprężeń w przekrojach niebezpiecznych oraz ich równom ierny rozkład w tulei.
Proces projektow y w ym aga w ięc od konstruktora starannej analizy przyjętych założeń, a w szczególności w eryfikacji ustalonych w stępnie w ym iarów geom etrycznych tulei podatnej, które decydują o w ytrzym ałości całej konstrukcji.
Stosow ane obecnie analityczne metody obliczeń w ytrzym ałościow ych tulei podatnej dają konstruktorow i podstaw ow e inform acje potrzebne do jej poprawnego zaprojektowania. Licz
ne w spółczynniki, które należy przyjąć lub w yznaczyć doświadczalnie, m ają istotny w pływ na w yniki obliczeń. D latego w artości naprężeń wyznaczone m etodam i analitycznym i należy traktować ja k o orientacyjne. W zrost obciążeń przenoszonych przez przekładnie falowe w pły
wa rów nież na zw iększenie wartości sił działających na zęby jej w ieńca zębatego. W ażnym
108 P. Folęga, A. Wilk
elem entem obliczeń w ytrzym ałościow ych przekładni falowych je st także ocena wartości na
prężeń w dnach w rębów m iędzyzębnych wieńca. Częstym zjawiskiem poprzedzającym znisz
czenie tulei je st jej pękanie w m iejscach lokalnego w zrostu naprężeń w w ieńcu zębatym . W ym agania staw iane obecnie przekładniom falowym zm uszają konstruktorów do poszu
kiw ania coraz bardziej doskonałych modeli oraz m etod obliczeniowych. N a podstaw ie w stęp
nych badań w łasnych stw ierdzono [1, 2, 3], że konieczne staje się zastosow anie innych metod obliczeń niż obecnie stosowane metody analityczne, które w dużym stopniu oparte są na w y
nikach badań dośw iadczalnych danych typów (konstrukcji) przekładni, przy jednoczesnym założeniu licznych uproszczeń. Celow e je st stosowanie kom puterowych metod num erycz
nych, takich ja k m etoda elem entów skończonych (M ES) i m etoda elem entów brzegowych (M EB). Pierw sza m oże posłużyć do racjonalnego doboru cech konstrukcyjnych tulei podat
nej, druga do analizy stanu naprężeń w dnach w rębów m iędzyzębnych wieńca.
Celem pracy było opracowanie metody racjonalnego doboru cech konstrukcyjnych tulei podatnej przekładni falowej [4]. Przeprowadzone obliczenia doprowadziły do uściślenia sto
sow anych obecnie m etod analitycznych oraz do opracowania w ytycznych dla konstruktorów, poprzez zaproponow anie dokładniejszych i doskonalszych modeli tulei podatnej. Poddano rów nież analizie w pływ cech konstrukcyjnych tulei na stan naprężenia w wrębach m iędzy
zębnych jej w ieńca. Zakres badań podjętych w pracy obejm ow ał jednostopniow e przekładnie dwufalowe ogólnego stosowania z tulejami podatnym i w spółpracującym i z m echanicznym generatorem krzyw kow ym o dow olnym zarysie.
Rys. 1. Elem enty przekładni falowej: 1 - tuleja podatna, 2 - koło sztyw ne, 3 - generator fali Fig. 1. The harmonie gear drive elements: 1 - the flexspline, 2 - the internal gear, 3 - the w ave gene
rator
2. A N A L IZA STA NU N A PR Ę ŻEŃ TULEI PO DATNEJ Z W Y K O R ZY STA N IEM M E TO D A N A L IT Y C Z N Y C H I NUM ERYCZNYCH
P odstaw ą obecnie stosow anych metod projektow ania tulei podatnej przekładni falowej są zależności analityczne przedstaw ione w literaturze [5], Obliczenia w ytrzym ałościow e dotyczą tulei podatnej z w ieńcem zębatym o ew olw entow ym zarysie zębów, odkształcanej generato
rem dw ufalow ym i obciążonej znanym m omentem obrotowym . W artości w spółczynników w ystępujących w poszczególnych wzorach należy w pierw szym przybliżeniu przyjąć na pod
stawie danych literaturow ych, korzystając przy tym z w yników badań przekładni o identycz
nych schem atach konstrukcyjnych oraz zbliżonych wym iarach geom etrycznych. Gdy zacho
dzi potrzeba w yznaczenia dokładnych wartości naprężeń w tulei, należy przeprow adzić bada
nia dośw iadczalne, które pozw olą w yznaczyć rzeczywiste wartości w spółczynników oblicze
niow ych dla projektowanej przekładni falowej. W szczególności na podstaw ie badań należy w yznaczyć wartość: w spółczynnika bezw ym iarow ego we wzorze na naprężenia głów ne w dnie w rębu tulei odkształconej generatorem fali, w spółczynnika nierów nom iernego rozkładu obciążenia w zdłuż linii styku, w spółczynnika uw zględniającego liczbę zębów jednocześnie przenoszących obciążenie oraz w spółczynnika kształtu zębów. N atom iast na podstaw ie lite
ratury należy przyjąć wartości w spółczynników karbu, stanu powierzchni oraz w ielkości czę
ści. Przyjęcie do obliczeń wartości w spółczynników określonych dośw iadczalnie dla prze
kładni o danych cechach konstrukcyjnych i w ym iarach geom etrycznych pow oduje, że kon
struktor staje przed problem em ich praw idłowego doboru.
W pracy zaproponowano oryginalną metodę doboru cech konstrukcyjnych tulei podatnej przy w ykorzystaniu m etod num erycznych MES i MEB [4] (rys. 2).
Model 2D MES tulei i generatora --- " i ... :...
A naliza MES z w ykorzystaniem elem entów kontaktow ych
M odel 3D MES tulei podatnej
M odel MEB w ieńca zębatego
Analiza MES stanu naprężenia
tulei podatnej
Analiza MEB stanu naprężenia w ieńca zębatego
Rys. 2. Num eryczna metoda doboru cech konstrukcyjnych tulei podatnej
Fig. 2. The numerical method o f selection construction feature o f harmonic gear drive flexspline
Po przyjęciu danych w ejściow ych projektowanej przekładni falowej i w ykonaniu obli
czeń w stępnych w ym iarów geom etrycznych tulei podatnej dobiera się zarys zębów wieńca zębatego oraz zarys generatora fali. Określając stan odkształcenia tulei za pom ocą opracow a
nego płaskiego m odelu MES tulei i generatora fali z w ykorzystaniem elem entów kontakto
w ych, m ożliw e je st w yznaczenie przem ieszczeń stycznych oraz norm alnych powierzchni we
wnętrznej tulei spow odow anych oddziaływ aniem generatora i sił m iędzyzębnych. Przem iesz
czenia te m ożna z kolei przenieść do przestrzennego m odelu 3D MES tulei podatnej oraz w y
korzystać w m odelu M EB, służącym do w yznaczenia stanu naprężeń w w ieńcu zębatym tulei.
Zastosow anie tych m odeli num erycznych w obliczeniach pozw ala na przeprow adzenie anali
zy w pływ u cech konstrukcyjnych tulei podatnej na naprężenia. W yniki obliczeń num erycz
nych m ożna w ykorzystać do racjonalnego doboru cech konstrukcyjnych tulei podatnej.
3. A N A L IZ A T U L E I P O D A T N E J Z W Y K O R Z Y S T A N IE M E L E M E N T Ó W K O N T A K T O W Y C H M E S
Tworząc model param etryczny, opisujący geom etrię tulei podatnej, należy określić w a
runki brzegowe. W iąże się to z problem em określenia rozkładu obciążeń w zazębieniu i strefie kontaktu z generatorem , w zależności od wartości przenoszonego m om entu przez przekładnię.
Zagadnienie to m im o licznych prac teoretycznych i dośw iadczalnych nie zostało do chwili obecnej w pełni rozw iązane. O pracow any płaski model tulei podatnej i generatora fali z wy
110 P. Folęga, A. Wilk
korzystaniem elem entów kontaktow ych MES przedstawiono w [6]. Pozw ala on na w yznacze
nie rozkładu obciążeń w zazębieniu i strefie kontaktu z generatorem . Przyjętą m etodykę obli
czeń uw zględniającą m odelow anie zagadnień kontaktow ych oraz przyjęte założenia podano w [4].
Schem at obliczeń z w ykorzystaniem opracowanego m odelu tulei podatnej z w ykorzysta
niem elem entów kontaktow ych pokazano na rys. 3.
Rys. 3. Schem at obliczeń w analizie 2D tulei podatnej
Fig. 3. The schem e o f calculation in the 2D analysis o f flexspline
W yznaczone w m odelu płaskim przem ieszczenia, których wartości zależą od rozpatryw a
nych cech konstrukcyjnych, w ykorzystano do pełnej analizy stanu naprężenia tulei podatnej przy zastosow aniu m odelu przestrzennego MES oraz w analizie stanu naprężeń w wrębach m iędzyzębnych w ieńca z w ykorzystaniem MEB. Przykładow e w yniki obliczeń przemieszczeń norm alnych i stycznych powierzchni wewnętrznej tulei podatnej przedstawiono na rysunku 4 D otyczą one w pływ u na przem ieszczenia względnej deformacji prom ieniowej wc/m przy ob
ciążeniu nom inalnym [4]. W iększe wartości deformacji prom ieniow ej pow odują odpowiednie zwiększenie wartości przem ieszczeń stycznych i normalnych.
0.5 0.4 0.3 ? 0.2 b 0.1 c Q) 0 NO N -0.1 t/t0) -0.2 b
O
-0.3 F
-0.4 -0.5
CL
— w dla wo/m =0.9 ■““"•V dla wo/m=0.9 — w dla wo/m=1 v dla wo/m=1 — w dla wo/m=1.1 — v dla w o /m =1.1
Rys. 4. Przem ieszczenia normalne (w ) i styczne (v) w funkcji kąta (cp) odm ierzanego od dużej osi generatora
Fig. 4. The diagram o f radial (w ) and tangential (v) displacem ents Kąt <p [ ° ]
4. A N A L IZA K O N STR U K C JI I CECH G EO M E TR Y CZ N YC H TULEI PO D ATNEJ Z W Y K O R Z Y ST A N IE M PR ZESTR ZE N NE G O M O DELU MES
O bliczenia w ytrzym ałościow e tulei podatnej przekładni falowej z w ykorzystaniem MES pozw alają na całościow ą analizę stanu naprężenia członu podatnego oraz dobór jego cech konstrukcyjnych [7]. W ykonanie pełnej analizy stanu naprężenia i odkształcenia w ym aga sto
sow ania złożonego trójw ym iarow ego m odelu tulei podatnej. W iąże się to z dużym i kosztam i przygotow ania danych oraz obliczeń. Opracowany model obliczeniowy tulei podatnej oraz przy
jęte w analizie numerycznej założenia przedstawiono w [7]. W modelu przestrzennym obciążenie członu podatnego zostało zadane w postaci przemieszczeń wyznaczonych uprzednio w modelu pła
skim z wykorzystaniem elementów kontaktowych MES. W celu uspraw nienia procesu przygoto
w ania danych potrzebnych do analizy stanu naprężenia geom etria m odelu została zapisana w postaci m akropoleceń preprocesora system u CO SM O S/M , dzięki czem u zm ieniając param e
try m odelu m ożna w ygenerow ać autom atycznie siatki elem entów skończonych dla tulei po
datnych o różnych cechach geom etrycznych i konstrukcyjnych. Schem at analizy konstrukcji i cech geom etrycznych tulei podatnej z w ykorzystaniem przestrzennego m odelu MES podano na rysunku 5. Przed przystąpieniem do właściwej analizy stanu naprężenia tulei podatnej należy w ybrać jej konstrukcję, biorąc pod uw agę przyjęte założenia dotyczące pracy prze
kładni falowej.
Przykładow e w yniki obliczeń tulei podatnej z w ykorzystaniem m odelu 3D przedstaw iono na rysunku 6. D otyczą one w pływ u na naprężenia względnej grubości pow łoki g/df [4], B a
dając zm iany naprężeń redukow anych w zależności od względnej grubości pow łoki (rys. 6), stwierdzono, że grubość ścianki tulei podatnej pod uzębieniem należy przyjm ow ać w zakre
sie: 0.0105 < g/df < 0.0135. W tym przedziale naprężenia redukow ane osiągają wartości m i
nimalne.
W kształcie uzębionego pierścienia
Z dwoma wieńcami zębatymi
Z dnem Z kołnierzem zewnętrznym
Z kołnierzem wewnętrznym
1 1 1 1 1
Analiza cech konstrukcyjnych projektowanej tulei podatnej
1 1 1 1 1
Deformacja promieniowa
Grubość p o t o k i
Szerokość wieńca
Długość tulei
Grubość denka
Rys. 5. Schemat obliczeń w analizie 3D tulei podatnej
Fig. 5. The scheme of calculation in the 3D analysis o f flexspline
112 P. Folęga, A. Wilk
Koło p o d a tn e z d nem
g/df
Rys. 6. M aksym alne naprężenia redukowane w funkcji względnej grubości pow łoki g/d f Fig. 6. The diagram o f m aximum stress o re(j=f(g/df)
5. A N A L IZ A STA N U N A PR Ę ŻEŃ W DNACH W R ĘB Ó W M IĘD ZY ZĘBN Y CH W IE Ń C A T U L E I P O D A T N E J Z W Y K O R ZY STA N IEM M EB
W pracy w ykorzystano M EB do wyznaczania naprężeń w dnach w rębów m iędzyzębnych w ieńca zębatego tulei podatnej. O pracow any model num eryczny w ieńca oraz przyjęte założe
nia przedstaw iono w [8]. Celem przeprow adzonych obliczeń num erycznych była analiza w pływ u cech konstrukcyjnych tulei podatnej na wartości naprężeń w dnach w rębów między
zębnych w ieńca przy ustalonych param etrach zarysu odniesienia. N a rysunku 7 przedstawiono dno w rębu m iędzyzębnego z zaznaczoną num eracją w ęzłów siatki M EB oraz przykładowe w yniki obliczeń. D otyczą one w pływ u na naprężenia względnej deformacji promieniowej w0/m . A nalizując w yniki obliczeń stwierdzono, że wzrost względnej deformacji promieniowej (rys. 7) pow oduje zw iększenie wartości naprężeń w dnach w rębów m iędzyzębnych wieńca.
M iejscem narażonym na znaczny wzrost wartości naprężeń, a co za tym idzie - o obniżonej w ytrzym ałości s ą d n a w rębów m iędzyzębnych w ieńców zębatych (węzeł 390 siatki MEB, rys.
7). W artości naprężeń w stopie zęba (węzeł 415 siatki M EB, rys. 7) są odpow iednio mniejsze od naprężeń w ystępujących w pobliżu dna wrębu.
N u m e r y w ę z ł ó w s i a t k i M E B
Rys. 7. R ozkłady naprężeń w dnie wrębu m iędzyzębnego Fig. 7. The diagram o f stress o f base a tooth
6. PO D SU M O W A N IE I W N IO SK I KO ŃC O W E
A nalityczna m etoda obliczeń w ytrzym ałościow ych tulei podatnej pozw ala jedynie okre
ślić m iejsca niebezpieczne w ystępujące w tulei. Liczne w spółczynniki, które należy przyjąć lub w yznaczyć dośw iadczalnie, m ają istotny w pływ na wartości otrzym anych naprężeń. W y
niki obliczeń w ytrzym ałościow ych w yznaczone m etodą analityczną należy traktować jedynie jako orientacyjne. R ów nież podane w literaturze analityczne zależności służące do w yznacze
nia rozkładu obciążenia działającego na tuleję podatną zostały opracowane na podstaw ie ba
dań dośw iadczalnych oraz po przyjęciu upraszczających założeń. U w zględniając powyższe, celow e je st zastosow anie m etod num erycznych, takich jak MES i M EB, które um ożliw iają przeprow adzenie dokładnej analizy stanu naprężeń tulei podatnej oraz racjonalny dobór jej cech konstrukcyjnych.
N a podstaw ie przeprow adzonych w pracy analiz i eksperym entów num erycznych sfor
m ułow ano następujące wnioski:
1. Zaproponow ana w pracy m etoda doboru cech konstrukcyjnych tulei podatnej zapewnia w iększą dokładność obliczeń w stosunku do metod analitycznych poprzez uwzględnienie dow olnych rozw iązań konstrukcyjnych oraz rzeczyw istej geom etrii tulei podatnej i generatora fali. Przeprowadzona analiza w ytrzym ałościow a z w ykorzystaniem opracow anych m odeli num erycznych MES i MEB potw ierdziła przydatność tych modeli do określenia w pływ u zm ian cech konstrukcyjnych tulei podatnej na maksym alne naprężenia redukowane. Zgodność uzyskanych rezultatów obliczeń num erycznych z w ynikam i badań dośw iadczalnych potw ierdza przydatność opracowanej m etodyki obliczeń oraz popraw ność zastosow anych modeli num erycznych w racjonalnym doborze cech konstrukcyjnych tulei podatnej przekładni falowej.
2. Z e w zględów w ytrzym ałościow ych param etry konstrukcyjne tulei podatnej zaleca się przyjm ow ać w granicach:
- grubości ścianki tulei podatnej pod uzębieniem: 0.009 < g/df < 0.015, - szerokości w ieńca zębatego: 0 . 1 < b^ydf < 0.2,
- długości tulei: 0.875 < L /df < 1.125, - grubości denka: bJA f < 3 g.
Literatura
1. Folęga P., W ilk A.: The Analysis o f Stress State o f the Flexspline o f H arm onie Gear.
Proceed. o f 3rd International Conference on Engineering Sciences and Application ICESA 98, V SB -TU O strava 1998, p. 19-22.
2. Folęga P., W ilk A.: A naliza w ytrzym ałości tulei podatnej przekładni falowej.
ZN Pol. Śl., s. Transport, z. 30, Gliwice 1998, s. 129-136.
3. Folęga P., W ilk A.: O ptym alizacja grubości ścianki tulei podatnej przekładni falow ej. M ateriały III O gólnopolskiego Seminarium nt. Przekładnie m echaniczne - specjalne, m odelow anie, rozwój konstrukcji i perspektyw y zastosowań.
Zbiór referatów , W arszawa 08-09.10.1998, s. 26-33.
4. Folęga P.: M etoda doboru cech konstrukcyjnych tulei podatnej przekładni falowej. Praca doktorska, P olitechnika Śląska, K atow ice 2001.
5. N alepa A.: Stan naprężeń w tulejach podatnych zębatych przekładni falowych, Przegląd M echaniczny, Nr. 11, 1976, s. 376-378.
114 P. Folęga, A. Wilk
6. Folęga P., W ilk A.: A naliza num eryczna tulei podatnej z wykorzystaniem elem entów kontaktow ych M ES, ZN Pol. Śl., s. Transport, Z. 41, Gliwice 2000.
7. Folęga P., W ilk A.: A naliza wytrzym ałości tulei podatnej przekładni falowej z w y
korzystaniem M ES. M ateriały Sym pozjonu PKM , Polanica Zdrój 2001.
8. Folęga P., W ilk A.: A naliza stanu naprężeń w ieńca zębatego tulei podatnej przekładni falowej z w ykorzystaniem M EB. M ateriały X III Konferencji M etody i Środki Projektow ania W spom aganego Kom puterow o, Politechnika W arszawska, 2001.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. Zbigniew Dąbrowski
Abstract
A pplication o f the Finite Elem ents M ethod (FEM ) and o f the Boundary Elem ents M ethod (BEM ) in the num erical analysis o f the harm onic gear drive flexspline has been presented in the paper. The presented a m ethod o f selection construction feature o f the flexspline can help the designer to determ ine accurately the m axim um stress on the flexspline, w hich can then be used for optim isation o f the flexspline construction. The scope o f this study com prised the single-stage harm onic drive with flexspline the co-operate o f m echanical generator.
