Tadeusz Boncler
On the divisors of the power
binomial xn + yn
Studia Philosophiae Christianae 23/2, 215-217
1987
N a s t ę p n i e g ł o s z a b r a ł k s . d o c . d r h a b . J a n u s z T a r n o w s k i , k t ó r y p o r u s z y ł m . i n . s p r a w ę d w o j a k i e j k r y t y k i d a n e g o s t a n o w i s k a , c z e g o n i e d a s i ę n a g r u n c i e p r z e d s t a w i o n y c h w r e f e r a c i e u s t a l e ń o d t w o r z y ć , g d y ż n i e m o ż e b y ć d w ó c h z d a ń w s p o s ó b i s t o t n y r ó ż n i ą c y c h s i ę , a s p r z e c z n y c h z t a k i m s a m y m t r z e c i m z d a n i e m . P o t e m p r z e m ó w i ł k s . d o c . d r h a b . F r a n c i s z e k R o s i ń s k i , k t ó r y z w r ó c i ł u w a g ę n a t o , ż e k r y t y c e p o d l e g a j ą p r z e c i e ż n i e t y l k o z d a n i a o z n a j - m u j ą c e , a l e r ó w n i e ż p y t a n i a . T y m c z a s e m f a k t t e n n i e z o s t a ł w r e f e r a c i e u w z g l ę d n i o n y . R e f e r e n t u z n a ł z a s a d n o ś ć p o r u s z o n e j k w e s t i i i — c o z a t y m i d z i e — k o n i e c z n o ś ć r o z s z e r z e n i a z a k r e s u p r z e d m i o t ó w k r y t y k i o p y t a n i a w ł a ś n i e . S p o w o d u j e t o j e d n a k p r o b l e m y j e ś l i c h o d z i o p o s t a ć n a r z ę d z i a k r y t y k i a d e k w a t n e g o d l a k r y t y k o w a n e g o p y t a n i a ; t a s p r a w a n i e z o s t a ł a j e d n a k p o r u s z o n a . P o k s . F . R o s i ń s k i m g ł o s w d y s k u s j i z a b r a ł m g r T o m a s z O l s z e w s k i . S k o r o p r z e d m i o t e m k r y t y k i m o ż e b y ć n i e t y l k o c z y j e ś s t w i e r d z e n i e c z e g o ś ( z d a n i e w s e n s i e l o g i c z n y m ) , a l e i j a k a ś n o r m a , r e g u ł a , a w r e s z c i e p y t a n i e , t o c z y p r z e d m i o t e m k r y t y k i m o ż e b y ć r ó w n i e ż c z y j ś s ą d , c z y j e ś p r z y p u s z c z e n i e l u b p r z e k o n a n i e ? A j e ś l i t a k , t o c z y m b y ł o b y n a r z ę d z i e k r y t y k i ? J e ś l i m a b y ć s p r z e c z n e z e z d a n i e m , w k t ó r y m ó w s ą d z o s t a ł w y r a ż o n y , t o o k a ż e s i ę , ż e k r y t y k u j e s i ę n i e c z y j e ś m n i e m a n i e , a l e j e d y n i e t r e ś ć t e g o s ą d u . T . O l s z e w s k i p r o s i ł t a k ż e o w y j a ś n i e n i e z w i ą z k u p y t a n i a o n p . k o n s e k w e n c j e m o r a l n e k r y t y k i z s a m ą k r y t y k ą ( p y t a n i e t a k i e p o j a w i a s i ę w o s t a t n i m p u n k c i e s c h e m a t u ) . W p i e r w s z e j s p r a w i e R e f e r e n t p r z y t a k n ą ł s u g e r o w a n e j p r z e z t ł u m a c z ą c e g o p y t a n i e n a n i e m i e c k i k s . M . B o m b i k a o d p o w i e d z i , ż e r z e c z c a ł a z o s t a ł a u w z g l ę d n i o n a w p u n k c i e d r u g i m s c h e m a t u : p r z e d m i o t e m k r y t y k i b y ł o b y z d a n i e z n a c z ą c e t r e ś ć d a n e g o m n i e m a n i a , a s a m o t o m n i e m a n i e b y ł o b y u w z g l ę d n i a n e p r z y i n t e r p r e t a c j i t e g o z d a n i a . T A D E U S Z B O NC L E R O N T H E D I V I S O R S O F T H E P O W E R B I N O M I A L Χ π ι Y n * L e t b e g i v e n t h e p o w e r b i n o m i a l o f t h e f o r m ( 1 ) x n + y n w h i c h t a k e s f o r n = 2 s t h e f o r m
(2)
,
x2s + y2>.
I n o u r c o n s i d e r a t i o n s t h e p o w e r e x p o n e n t i s n = 2 s ( s = l , 2 , 3 , . . . ) a n dX,
y a r e a r b i t r a r y n a t u r a l n u m b e r s n o t e q u a l t o z e r o , o n e o f t h e m b e i n g e v e n , t h e o t h e r o d d . S i n c e t h e n u m b e r x i s e v e n , w e ma y w r i t e x = 2 h , w h i l e t h e o d d n u m b e r y i s o f t h e f o r m y = 2 t + l a n d w e g e t * A r t y k u ł t e n s t a n o w i f o r m a l n e u z u p e ł n i e n i e r o z u m o w a n i a p r z e d s t a w i o n e g o w p r a c y : T . B o n d e r ,U w a g a w s p r a w i e w i e l k ie g o t w i e r d z e
nia F e rm a ta ,
S t . P h i l . C h r i s . 2 0 ( 1 9 8 4 ) 2 . Z t e g o w z g l ę d u z o s t a j e t u t a j z a m i e s z c z o n y .(3)
X" + y" = (2h)" + (2t + 1)", for
η
= 2s
W e shall now prove that the expressions appearing in (3) have the following
properties:
(4) x" = (2h)n is of the form 2np when n2s,
(5) y" = (2 t+ !)" is o f the form 2nq + 1 when n = 2s.
It should be noted, moreover, that if n = 2s, then the New ton coefficients have the
following properties:
(a) if n = 2s all the New ton coefficients (except (") = (J)) are even,
(b) (i') = 0 mod
2s ~r, (s > r) and, if r = s — 1, we have
(2') = 0 m od 2,
(c) if (2s, k ) = l ,
then (Γ) s 0 m od 2s and, if k = 2, -e,
then ( j ! J s O m od 2s_r.
W e shall now evaluate in (4) the first term, that is x" = (2h)" = 2" h" = 2s+I·
•(2"-2s+1)-h" = 2-2s-2"~s~1 h" = 2 -n -2 "'s' 1-h" = 2-n-p if we assume that p = 2"~‘ ~1·
•h". T h u s we finally obtain
(6)
χ" = 2·η·ρ,
which property holds for all s = 1,2, 3,... If s = 2, then p = 2-h" which is even, if s = 3,
then p = 24-h" which is even. F o r the rem aining values o f s the term p will
throughout be even, hence we m ay write
(6a)
χ" = 4·2“·ρ 1, s = 2, 3, 4,...
Let us now evaluate in (5) the term y" = (2t +1)" and we obtain
(7)
y" = (2t + 1)" = (2t)n + (") ( 2 t r * + 6 ) ( 2 t r 2 + ... + („-"2) (2t)2 + ( A ) (2t) + l
In (7) the expression (2t)" can be evaluated as in (6) (2h)"; then we may write that
(2t)’ = 2-n q 0, where q 0 = 2"~s~1-t”. F in a ły we get
(8) (2t)" = 2 n q 0 where beginning with s = 2,3,4,... q 0 is even, as in condition (6). F o r
s > 2 we have (2t)n = 4-n-q0.
T h e remainning terms in (7) (according to properties (a), (b), (c)) are divisible by
2 n, so that finally
(9) y" = (2t + 1)" = 2nqo + 2nq) + ... + 2nq„_2 + 2 n q „_ , + 1 =
2n(q0 + q i + ... + q „ -1) + 1.
Setting q = q„ + q ,+ .. . + q „ _ 1, we gest
(10)
y" = 2 - n - q + l .
Recollecting the results expressed by formulas (6) — (10) we get
(11) x" + y” = 2np + 2nq + 1 = 2n(p + q) + 1.
Setting к = p + q we finally obtain that
(12)
x" + y" = 2nk + 1.
It is easy to check that for s > 2 q is even, so the form ula (12) takes for all s = 2, 3,
4,.. the form
W e p r o v e t h a t i f t h e p o w e r e x p o n e n t n— 2 s a n d s = 2 , 3 , 4 , . . . , t h e n t h e e x p r e s s i o n s o f t h e t y p e x n + y n h a v e a s o n l y d i v i s o r s n u m b e r s o f t h e f o r m 4 n k + l .
In a similar way it can be proved th at expressions of the type x" - y" = x2' -
y 2’ ,
where s = 2, 3,4,... have at least one divisor prim e or composite, of the form 2nk + 1.
W OL F G A N G W A L D S T E I N
B Y T I P O W IN N O Ś Ć
( W y k ł a d p r o f . U n i w e r s y t e t u S a l z b u r s k i e g o w y g ł o s z o n y w K a t e d r z e L o g i k i W y d z i a ł u F i l o z o f i i C h r z e ś c i j a ń s k i e j A T K d n i a 1 8 . 1 0 . 1 9 8 5 ; p r z e k ł a d u d o k o n a ł M i e c z y s ł a w B o m b i k ) J u ż H u m e t w i e r d z i ł , ż e „ z s ą d u o b y c i e n i e m o ż n a w y p r o w a d z i ć ż a d n e g o s ą d u p o w i n n o ś c i o w e g o ” h G e o r g e E d w a r d M o o r e w s w o i c hP rin ci
pia E thica
( 1 9 0 3 ) o k r e ś l i ł 2 p r ó b ę „ s p r o w a d z a n i a w ł a s n o ś c i e t y c z n y c h . . . d o p o z a e t y c z n y c h ” j a k o „ f a ł s z y w e w n i o s k o w a n i e n a t u r a l i s t y c z n e ” . W f i l o z o f i i p r a w a t e z y t e s t a ł y s i ę s z c z e g ó l n i e w a ż k i e d z i ę k i H a n s a K e l s e n a c z y s t e j n a u c e p r a w a . K i e d y z a ś n i e d a w n o m ó j k o l e g a z S a l z b u r g a T h e o M a y e r - M a l y b a d a j ą c p o j ę c i e n a t u r y r z e c z y o d n o ś n i e d o p r a w a r z y m s k i e g o , d o s z e d ł d o w n i o s k u , ż e c h o d z i t a m o t o , a b y „ w y t r o p i ć s t r u k t u r y w z a j e m n e g o o d d z i a ł y w a n i a b y t o w y c h i p o w i n n o ś c i o w y c h c z y n n i k ó w w n a t u r z e r z e c z y ” 3, i n n y k o l e g a , z n a w c a p r a w a r z y m s k i e g o , F r a n z H o r a k t w i e r d z i k a t e g o r y c z n i e : „ u w a ż a m z a s p r z e c z n o ś ć s a m ą w s o b i e u t r z y m y w a n i e , ż e w n a t u r z e l u b i s t o c i e c z e g o ś , c o i s t n i e j e , m o g ł a b y s i ę j u ż p o ś r e d n i o z n a j d o w a ć j a k a ś p o w i n n o ś ć ” 4 . P o n i e w a ż p r o b l e m t e n m a d u ż e z n a c z e n i e n i e t y l k o d l a t e r a ź n i e j s z o ś c i , l e c z r ó w n i e ż i d l a z r o z u m i e n i a t e g o , c z e g o d o k o n a ł a r z y m s k a n a u k a p r a w a , k t ó r e j z a w d z i ę c z a m y e u r o p e j s k ą k u l t u r ę p r a w n i c z ą , j e s t o n w a r t b l i ż s z e g o z b a d a n i a . Z n a c z e n i e n a u k i K e l s e n a o r e l a c j i m i ę d z y b y t e m a p o w i n n o ś c i ą w y j a ś n i a l o g i k p r a w a U l r i c h K l u g w n a s t ę p u j ą c y c h s ł o w a c h : „ D o p o d s t a w o w y c h t e z c z y s t e j n a u k i p r a w a H a n s a K e l s e n a z a l i c z a s i ę z n a n e t w i e r d z e n i e , d o t y c z ą c e z a s a d n i c z e g o r o z r ó ż n i e n i a m i ę d z y w y p o w i e d z i a m i o b y c i e a w y p o w i e d z i a m i p o w i n n o ś c i o w y m i , w r a z z k o n s e k w e n c j ą , « ż e s t ą d , i ż c o ś i s t n i e j e , n i e m o ż e w y n i k a ć , ż e c o ć i s t n i e ć p o w i n n o , j a k r ó w n i e ż s t ą d , ż e c o ś b y ć p o w i n n o , n i e m o ż e w y n i k a ć , i ż c o ś j e s t » . C h o c i a ż s t w i e r d z e n i e t o p o w i n n o , j a k b y s i ę m o g ł o j u ż n a p i e r w s z y r z u t o k a w y d a w a ć , l o g i c z n i e z n i e w a l a ć , t o j e d n a k ó w d u a l i z m b y t u i p o w i n n o ś c i , n a k t ó r y m o p i e r a s i ę k e l s e n o w s k a a n a l i z a o r a z t e o r i a p o z y t y w n e g o p r a w a , s t a j e s i ę w c i ą ż n a n o w o c e l e m g w a ł t o w n y c h a t a k ó w . M o t y w o w y c h s p r z e c i w ó w j e s t z r o z u m i a ł y , g d y ż j u ż w t y m m i e j s c u , a w i ę c u p o d s t a w c z y s t e j n a u k i p r a w a , z o s t a j e p o d w a ż o n e p r o p o n o w a n e r o z w i ą z a n i e p r o 1 A . H i i g l i ,
H istorisches W örterbuch der P hilosophie
( w y d . J . R i t t e r + K . G r ü n d e r ) 6 ( 1 9 8 4 ) 5 2 1 .2 T a m ż e 5 1 9 i n .
