Praca statyczna powłokowych chłodni kominowych z uwzględnieniem stanu zgięciowego

JERZY N IE W IA D O M S K I

PRACA STATYCZNA

POWŁOKOWYCH CHŁODNI KOM INOW YCH Z UWZGLĘDNIENIEM STANU ZG IĘCIOW EGO

P O L I T E C H N I K A Ś L Ą S K A

ZESZYT NAUKOW Y Nr 127 - GLIWICE 1965

SPIS TREŚCI

Str.

1. W s tę p . . . . . . . . s . t 5

1.1. P rz e d m io t p ra cy i z a ł o ż e n i a ... 5

1.2. Sposób r o z w ią z a n ia z a g a d n i e n i a ... 6

1.3. Z a k re s zastosow ań r o z w i ą z a n i a ... 7

1.4. P r z e g lą d t r e ś c i ...8

2. Z a s a d n iczy stan n a p rę żen ia i o d k ształcen ia w p o w ło k a ch o b ro ­ to w y c h ... 9

2.1. U w a g i w s t ę p n e ... 9

2.2. R ó w n a n ia b ło n o w e j te o r ii p o w ło k o b ro to w y c h . . 10

2.3. B ło n o w y stan n a p ręże n ia . 13 2. 4. B ło n o w y stan n a p rężen ia w p o w ło ce h ip e r b o lo id a ln e j . 15 2. 5. W p ły w t e m p e r a t u r y ... 20

2. 6. Z a s a d n ic zy stan z g ię c io w y ; p o w ło k a w a lc o w a i s to żk o w a 22 2. 7. Z a sa d n iczy stan z g ię c io w y w p o w ło ce h ip e r b o lo id a ln e j . 28 2. 8. O g ó ln e r o zw ią za n ie za sa d n iczeg o stanu n a p rężeń . . 33

2. 9. W p ły w za b u rze n ia b r z e g o w e g o ... 35

3. P ie rś c ie ń k o ło w y na p od łożu s p r ę ż y s t y m ... 37

3. 1. R ó w n a n ia g e o m e t r y c z n e ... 38

3.2. R ó w n a n ia f i z y c z n e ... 41

3.3. R ó w n a n ia r ó w n o w a g i ... 46

3. 4. W p ły w k r z y w iz n y i ro zp e łza n ia gru n tu . . . . 52

4. R o z w ią z a n ie układu p o w ło k o w e j ch łodn i k o m in o w e j . . . 54

4. 1. U w a g i o g ó l n e ...54

4.2. R ó w n a n ia r ó w n o w a g i p ie rśc ien ia g ó rn e g o . . . . 56

4.3. R ó w n a n ia n i e r o z d z i e l n o ś c i ... 61

4. 4. R ó w n a n ia r ó w n o w a g i p ie rś c ie n ia fu n d a m e n to w e g o . . 66

4. 5. R ó w n a n ia k an o n iczn e ro z w ią z a n ia chłodn i . . . . 71

5. P r z y k ł a d y ... 74

5. 1. W y z n a c z e n ie za sa d n iczeg o stanu n a p ręże n ia w p o w ło ce h ip e r b o lo id a ln e j... 74

5. 2. R o z w ią z a n ie ch łod n i h ip e rb o lo id a ln ej p od d an ej w p ły w o m p ełza n ia i k r z y w iz n y t e r e n u ...86

P O L I T E C H N I K A Ś L Ą S K A

JERZY NIEW IADOM SKI

l

PRAGA STATYCZNA

POWŁOKOWYCH CHŁODNI KOMINOWYCH Z UWZGLĘDNIENIEM STANO ZGIĘCIOWEGO

•

P R A C A H A B I L I T A C Y J N A Nr 42

Data otwarcia przewodu habilitacyjnego 24. XI. 1964 r.

G L I W I C E 1 9 6 5

R E D A K T O R N A C Z E L N Y Z E S Z Y T Ó W N A U K O W Y C H p o l i t e c h n i k i Ś l ą s k i e j

Fryderyk Staub

R E D A K T O R D Z IA Ł U

Józef Głomb

S E K R E T A R Z R E D A K C J I

Tadeusz Matula

D z ia ł N a u k i — S e k c ja W y d a w n ic t w N a u k o w y c h — P o lite c h n ik i Ś lą sk iej

N a k ł. 100+175 e g z . A r k . w y d . 8 A r k d ru k . 7 P a p ie r o f f s e t o w y kl. V , 70x100 70 g O d d a n o d o d ru k u 30. 12.1964 P o d p is , d o d ru k u 18.2.1965 D ru k u k o ń c z , w lu ty m 1965

G liw ic e , ul. K o n a rs k ie g o 23

Z am . 39 8. 1. 1965 F -1 8 C e n a z ł 10,—

S k ła d — d ru k i o p r a w ę w y k o n a n o

w Z a k ła d z ie G r a fic z n y m P o lite c h n ik i Ś lą s k ie j w G liw ic a c h

ZESTAWIENIE WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ

oc, (3 ; z , (3 - w s p ó łr z ę d n e k r z y w o l i n i o w e o d n i e s i o n e do l i ­ n i i k r z y w i z n głównych,

z - oś p o w ło k i o b r o t o w e j ,

r , r ' , r " - promień d ow olnego poziom ego p r z e k r o j u powło k i i Jego pochodne względem z ,

R j - p r o m ie n ie głównych k r z y w i z n ( i *

1

,

2

) ,

2

^h - g ru bo ść p o w ł o k i ,

r lu b r , r - promień o s i g e o m e t r y c z n e j i o s i s p r ę ż y s t o ś ­ c i p i e r ś c i e n i a k o ło w e g o ,

i ,

2

- główne o s i e b e z w ła d n o ś c i p o p r z e c z n e g o p r z e ­ k r o j u p i e r ś c i e n i a ,

X - k ą t m iędzy o s i ą i a normalną do p ł a s z y z n y p i e r ś c i e n i a ,

i} - k ą t m iędzy o s i ą z a normalną do p o w ło k i

lu b podbudowy,

ip - k ą t n a c h y l e n i a s t o p y fundam entowej,

u, v , w - składowe p r z e m i e s z c z e n i a p o w ło k i i p i e r ś - ś c l e n i a ,

uł , v * , w* - składowe p r z e m i e s z c z e n i a p i e r ś c i e n i a ( I V , V r o z d z . ) ,

j j ( ° ) , v ( ° ) f w^0 ^ - składowe p r z e m i e s z c z e n i a p o d ł o ż a ,

u, v , w - składowe p r z e m i e s z c z e n i a podstawy p i e r ś c i e ­ n i a fundamentowego,

(ę-L - k ą t y o b r o t u elem entu p o w ł o k i ,

f lu b q * - k ą t y obPotu i k ą t s k r ę c e n i a p r z e k r o j u p i e r ś c i e n i ą ,

k^fl - p r z e m i e s z c z e n i a o s i p i e r ś c i e n i a od wpływu Jednostkowych p r z e m ie s z c z e ń na l i n i a c h po­

ł ą c z e n i a ( <x, (b = u, v , w, <p ) ,

ka n - p r z e m i e s z c z e n i a l i n i i środkow ej podstawy p i e r ś c i e n i a fundamentowego od wpływu Jed­

nostkowych p r z e m i e s z c z e ń na l i n i i p o ł ą c z e n - n l a ,

y - składowe o d k s z t a ł c e n i a błonowego p o w ło k i ,

3

2 t-, T “ składowe o d k s z t a ł c e n i a z g i ę c i o w e g o p o w ło k i

1 i p i e r ś c i e n i a ,

£ *3 C *,T ¥ - składowe o d k s z t a ł c e n i a p i e r ś c i e n i a ( I V , V r o z d z . ) ,

§ - f u n k c j a n a p rę że ń ,

S - - s i ł y błonowe w p o w ło c e ,

Q^, M

12

- s i ł y p o p rz e c z n e i momenty w p o w ło c e ,

X, Y, Z - składowe p o w ie r z c h n io w e g o o b c i ą ż e n i a pow ło­

k i ,

N, M. , - s i ł a o sio w a i momenty w p i e r ś c i e n i u (1 = 1 , 2 ,

1

3 ) ( r o z d z . I I I ) ,

N * , M* - s i ł a o sio w a i momenty w p i e r ś c i e n i u ( r o z d z .

1

I V , V ) ,

ra ,j - s i ł y o d d z i a ły w a n i a p i e r ś c i e n i a od wpływu ' je d n o stk o w ych p r z e m ie s z c z e ń n a l i n i a c h po­

ł ą c z e n i a ( oc,j3 = u, v , w, ) ,

r a „ - s i ł y o d d z i a ły w a n ia p o d ł o ż a od wpływu J e d - ' nostkowych p r z e m ie s z c z e ń na l i n i i p o ł ą c z e ­

n i a ,

P„ , M « - składowe o d d z ia ły w a n i a p o d ł o ż a ( CC = x , y ,

“ a

2

) ,

f . , F . , G. - pom ocnicze f u n k c j e d l a stanu błonowego w po w łó c e h i p e r b o l o i d a l n e j ( l =

1

^,

2

^{) ,}

g - pom ocnicze f u n k c j e d l a stanu z g i ę c i o w e g o "w

1

p ow ło ce h i p e r b o l o i d a l n e j ( 1 = 1 , 2 . . . 5 ) , I , C lub

■" - momenty b e z w ła d n o ś c i p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o I A , CQ p i e r ś c i e n i a ( i =* 1, 2 ) ,

E, G, - moduły Yóunga i K i r c h o f f a , w s p ó łc z y n n ik P o l s s o n a ,

C, T - c e c h y s p r ę ż y s t e p o d ł o ż a ,

£ , R - in te n sy w n o ś ć r o z p e ł z a n i a i promień k r z y w i z ­ ny t e r e n u .

m - numer wyrazu s z e r e g u .

4

1. WSTęP

i . i . P rz e d m io t p r a c y i z a ł o ż e n i a

W p r a c y p r z e d s t a w i o n o r o z w i ą z a n i e układu pow łokowej c h ł o d n i k om inow ej, p oddanej różnorodnym wpływom Jak o b c i ą ż e n i a po­

w i e r z c h n i o w e , wpływy t e r m i c z n e i wpływy ruchów p o d ł o ż a g r u n to ­ w ego.

P r z y j ę t o p ł a s z c z komina wywiewnego w p o s t a c i p o w ło k i o b r o ­ t o w e j , wzm ocnionej w z d łu ż g ó r n e j k ra w ę d z i poziomym p i e r ś c i e ­ niem o s ta ły m p r z e k r o j u poprzecznym i p o ł ą c z o n e j z p i e r ś c i e ­ niem fundamentowym p r z y pomocy układu skośnych słupów p r z e g u ­ bowych p . r y s . 1 , P i e r ś c i e ń fundamentowy r ó w n i e ż o s ta ły m p r z e ­ k r o j u poprzecznym , spoczywa b e z p o ś r e d ­ n i o na p o d ł o ż u gruntowym, k t ó r e p o t r a k towano j a k « dwuparametrowe p o d ł o ż e w in k l e r o w s k i e , o w sp ółczynnlicach C i T.

W r o z w i ą z a n i u u w zg lę d n io n o s p r ę ż y s ­ t ą współprac*^ w s z y s t k ic h elementów c h ł o d n i i p o d ł o ż a gru n to w e go , wprowa­

d z a j ą c e p r z y tyra u p r a s z c z a j ą c e z a ł o ż e ­ n i a o d n o ś n ie stanu n a p r ę ż e n i a i od­

k s z t a ł c e n i a w p ow ło c e i s t a t y c z n e g o od d z l a ł y w a n i a słupów podbudowy.

P r z y j ę t o , że d l a spotykanych w prak t y c e o b c i ą ż e ń s ta n n a p r ę ż e n i a i od­

k s z t a ł c e n i a w p ow ło c e komina r o z d z i e ­ l a ć s i ę b ę d z i e zawsze na dwa s t a n y : na s ta n p o w o l i z m i e n i a j ą c y s i ę tz w . zasad n i c z y s ta n n a p r ę ż e n i a i o d k s z t a ł c e n i a , i s t a n o dużym wskaźniku zm ienności zw ią z a n y z t z w . zabu rzen iem brzegowym.

W r o z w i ą z a n i u zwrócono uwagę p r z e d e w s z y s tk im na z a s a d n ic z y s ta n n a p r ę ż e ­ n i a i o d k s z t a ł c e n i a u w z g l ę d n i a j ą c wpływ z a b u r z e n ia b rze g o w e g o t y l k o na k ra w ę d zi g ó r n e j , wzmocnionej p i e r ś c i e n i e m . W przypadku bowiem p i e r ś c i e n i a o d k s z t a ł c a l n e g o z a b u r z e n i e b r z e g o w e , mimo s w o je g o l o k a l n e g o c h a r a k t e r u , może p o ś r e d n i o wpływać na s ta n n a p r ę ż e n i a w c a ł e j p o w ło c e .

O d d z ia ły w a n ie słupów podbudowy p r z y j ę t o ja k o r o z ł o ż o n e w sposób c i ą g ł y w z d łu ż k r a w ę d z i d o l n e j . Z uwagi na d z i a ł a n i e s ł u pów z b l i ż o n e b a r d z i e j d o o b c i ą ż e n i a punktowego, p r z y j ę c i e t a ­ k i e o c z y w i ś c i e n i e p o z w o l i na u j ę c i e r z e c z y w i s t e g o śtanu na­

p r ę ż e n i a 1 o d k s z t a ł c e n i a w s t r e f i e p r z y k r a w ę d z i o w e j . B io rą c pod uwagę, ż e s z e r o k o ś ć t e j s t r e f y m n iej w i ę c e j równa s i ę od l e g ł o ś c i m iędzy g ło w ic a m i słupów, p o m i n i ę c i e punktowego d z i a ł a n i a

R v s „ 1

5

słupów n i e b ę d z i e mieć dużego wpływu na w i e l k o ś c i p r z e m i e s z ­ c ze ń k ra w ę d z i d o l n e j i tym samym na s i ł y w p o w ło c e , za w y j ą t ­ kiem wspomnianej s t r e f y .

i . 2. Sposób r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a

R o z w ią z a n ie układu c h ł o d n i przeprow ad zon o w dwóch e ta p a c h . W pierw szym e t a p i e wyznacza s i ę s i ł y w p ow ło ce komina od ob­

c i ą ż e n i a p o w ie r z c h n io w e g o i wpływów t e r m ic z n y c h wg t e o r i i b ł ó - n o w e j, t r a k t u j ą c pow łokę j a k o u t w ie r d z o n ą na obu k raw ędziach .W s zc ze g ó ln y m przypadku p o w ło k i w a lc o w e j i p ł a s k i e g o , w i o t k i e g o p i e r ś c i e n i a górn ego, s i ł y błonowe można w y zn aczyć j a k w p ow ło ­ c e u t w i e r d z o f i e j t y l k o w z d łu ż k ra w ę d z i d o l n e j , a g ó r ą o p a r t e j na p r z e p o n i e . R o z w ią z a n ie błonowe p o z w a la o c z y w i ś c i e s p e ł n i ć t y l k o dwa s pośród c z t e r e c h warunków ge o m etry c zn y c h , k t ó r e moż­

na u s ta w ić na u t w i e r d z o n e j k r a w ę d z i . D w a~pozostałe warunki do­

t y c z ą c e u g i ę c i a normalnego i k ą t a o b r o t u , wymagają o b c i ą ż e n i a k ra w ę d z i momentem z g in a ją c y m i s i ł ą p o p r z e c z n ą , k t ó r e o b l i c z a s i ę wg t e o r i i z a b u r z e n i a b r z e g o w e g o . We wspomnianym s z c z e g ó l ­ nym przypadku wg t e j t e o r i i wyznacza s i ę na g ó r n e j k ra w ęd zi t y l k o s i ł ę p o p r z e c z n ą .

P i e r w s z y e t a p tr a k to w a ć można ja k o r o z w i ą z a n i e c a ł e g o u k ła ­ du c h ł o d n i o b c ią ż o n e g o zadanym o b c ią ż e n ie m powierzchniowym oraz pewnymi dodatkowymi s i ł a m i p r z y ło ż o n y m i na l i n i a c h p o ł ą c z e n i a p o w ło k i z p i e r ś c i e n i e m górnym i słupami podbudowy. W przypadku ruchów p o d ł o ż a gruntowego n a l e ż y w p ierw szym e t a p i e o b l i c z y ć J e s z c z e dodatkowe s i ł y na p o w ie r z c h n i k on tak tu p o d ł o ż a g r u n to ­ wego z p i e r ś c i e n i e m fundamentowym, z a k ł a d a j ą c , że J e s t on n i e ­ s k o ń c z e n ie s zty w n y .

W c e l u u z y s k a n ia r o z w i ą z a n i a od zadanych o b c ią ż e ń p o w ło k i i p r z e m ie s z c z e ń p o d ł o ż a , w drugim e t a p i e r o z w ią z a n o c a ł y układ o b c i ą ż o n y na l i n i a c h p o ł ą c z e n i a ( r o z u m i e j ą c pod ta k ą l i n i ą rów n i e ż środkową l i n i ę p o w i e r z c h n i k on tak tu p o d ł o ż a z fundamen­

tem) s i ł a m i równymi co do w i e l k o ś c i a p r z e c i w n i e skierowanymi w stosunku do s i ł p i e r w s z e g o e ta p u . Zastosowano tu do p o w ło k i komina p r z y b l i ż o n y sposób w y z n a c z a n ia z a s a d n ic z e g o stanu naprę ż e n i ą , k t ó r y stosunkowo p r o s t o u m o ż liw ia u w z g l ę d n i e n i e s t a t y c z nego wpływu momentów stanu c z y s t o - z g i ę c i o w e g o na s i ł y b ło n o ­ we - p . a r t y k u ł a u t o r a [ 7 ] . P r z y o b l i c z a n i u momentu z g i n a j ą c e ­ go i s i ł y p o p r z e c z n e j na b r z e g u górnym o p a r to s i ę na t e o r i i t z w . p r o s t e g o z a b u r z e n i a b rze go w e go wg [ 3 ] .

Równania r o z w i ą z a n i a d r u g i e g o etapu otrzymano z a p i s u j ą c rów n a n ia równowagi d l a gó rn e go p i e r ś c i e n i a i p i e r ś c i e n i a fundamen tow ego o r a z rów n ania n i e r o z d z i e l n o ś c i na l i n i i p o ł ą c z e n i a po­

w ł o k i z podbudową. P r z y u s t a w ia n iu t y c h równań k o r z y s t a n o z ró w n a n ia p rac p rzyg oto w an ych d l a w i r t u a l n e g o stanu p r z e n u e s z - c z e ń i w i r t u a l n e g o stanu n a p r ę ż e ń , co p o z w o l i ł o nadać r o z w i ą ­ za n iu z w a r t ą i j e d n o l i t ą f o r m ę . O p arcie r o z w i ą z a n i a na z a s a ­ d z i e p rac p rzyg oto w an yc h o k a z a ło s i ę ponadto nader e fe k t y w n e , z w ła s z c z a p r z y u s ta w ia n iu równań równowagi d l a p i e r ś c i e n i .

6

i . 3 . Zakres zastosow ań r o z w i ą z a n i a

Osiowa s y m e t r i a u s t r o j u c h ł o d n i u m o ż l i w i ł a p r z e d s t a w i e n i e w s z y s t k i c h w i e l k o ś c i s t a t y c z n y c h i g e o m etryc zn yc h układu w po­

s t a c i p o je d y n c z y c h s z e r e g ó w tr y g o n o m e t r y c z n y c h zm ien n ej f i , g d z i e /3 - k ą t środkowy.

Z a s a d n ic z e s ta n y n a p r ę ż e n i a w pow łoce c h ł o d n i o d p o w ia d a jąc e zerowemu 1 pierwszem u w yrazow i s z e r e g ó w (m = O i m = i ) mogą być wyznaczane w o p a r c i u o t e o r i ę b ł o n o w ą , j e ś l i abstrahow ać od odcin kow ego d z i a ł a n i a słupów podbudowy, c o p o z o s t a j e w z w ią z ­ ków z fa k te m , że d l a t y c h w a r t o ś c i m p r z e m i e s z c z e n i a c z y s t e z g i ę c i o w e g o stanu w~powłoce o k a z u ją s i ę p r z e m i e s z c z e n i a m i ja k d l a c i a ł a s zty w n e g o . W t y c h przypadkach s zty w n o ś ć elementów u - k ła du j a k i c e c h y p o d ł o ż a gruntowego n i e mają wpływu na za sa d ­ n i c z y s ta n n a p r ę ż e n i a w p ow ło c e i s i ł y w s łu p a c h podbudowy.

Z a s a d n ic z e s t a n y n a p r ę ż e n i a d l a m > 2 z a l e ż n o ś ć j u ż będą zarówno od c ec h s p r ę ż y s t y c h g ó rn e g o p i e r ś c i e n i a , podbudowy i p o w ło k i j a k i w sp ó łc zy n n ik ó w p o d ł o ż a C i T.

Mając pow yższe na uwadze, r o z w i ą z a n i e układu c h ł o d n i p r z e ­ prowadzono w sposób n a j w ł a ś c i w s z y d l a stanów o d p o w ia d a jąc ych m > 2 , a m ia n o w ic ie w dwóch e ta p a c h , z u w z g lę d n ie n ie m w drugim e t a p i e s t a t y c z n e g o wpływu stan u c z y s t o z g i ę c i o w e g o . Wprawdzie p r z e d s t a w i o n e w p r a c y r o z w i ą z a n i e p o z w a la w y zn a c zyć s i ł y b ł o ­ nowe w p o w ło c e o r a z s i ł y w podbudowie i d l a przypadków m - O, m = i , t o je d n a k z uwagi na wspomniany brak wpływu s z t y w n o ś c i elem entów układu i p o d ł o ż a na s ta n n a p r ę ż e n i a , “ r o z ł o ż e n i e r o z ­ w i ą z a n i a na dwa e t a p y s t a j e s i ę wówczas zb ę d n e . D la t y c h war­

t o ś c i m s i ł y błonowe w p ow ło c e o r a z s i ł y w s łu p a ch podbudowy można w y zn aczyć b e z p o ś r e d n i o i n i e z a l e ż n i e od s i e b i e z samych równań rów n ow a gi.

R o z w ią z a n ie układu c h ł o d n i kominowej o p a r t e na równaniach z a s a d n ic z e g o stan u n a p r ę ż e n i a , k t ó r e s ta n o w ią o g ó l n i e j s z e rów­

n a n ia od równań t e o r i i b ło n o w e j i w przypadku p o w ło k i w a lc o w e j o d p o w ia d a ją równaniom p ó ł z g i ę c i o w e j t e o r i i Własowa p . [ 7 ] , u - m o ż l i w i a w y z n a c z e n ie s i ł wewnętrznych w t y c h w s z y s t k i c h p r z y ­ padkach k i e d y k r a w ę d z ie p o w ło k i komina d o z n a j ą znacznych p r z e ­ m ie s z c z e ń . Do t a k i c h przypadków z a l i c z y ć n a l e ż y n i e t y l k o p r z y padek c h ł o d n i poddanej wpływom ruchów p o d ł o ż a gru n to w e go , k t ó ­ r y w n i n i e j s z e j p r a c y r o z p a t r z o n y z o s t a ł na konkretnym p r z y ­ k ł a d z i e c h ł o d n i h i p e r b o l o i d a l n e j , a l e r ó w n i e ż p r z y p a d k i o b c i ą ­ ż e n i a p a rc ie m w i a t r u c h ł o d n i posadowionych na s ła b s z y c h grun­

t a c h , p . [

6

] .

R o z w ią z a n ia o p a r t e na rów n aniach t e o r i i b ło n o w e j z g ó r y za ­ k ł a d a j ą , że p r z e m i e s z c z e n i a k ra w ę d zi p o w ło k i i w y n i k a j ą c e z n i c h o d k s z t a ł c e n i a z g i ę c i o w e będą d o s t a t e c z n i e m ałe. W znanych a u to r o w i p rac ac h z r e g u ł y p r z y j m u j e s i ę pow łokę Jako u t w i e r ­ dzoną w z d łu ż d o l n e j k r a w ę d z i - p . [ 9 ] , co s ta n o w i j e s z c z e w i ę ­ k s z e o g r a n i c z e n i e , gd yż równoznaczne j e s t z z a ło ż e n i e m , że p r z e m i e s z c z e n i a podbudowy n i e w p ły w a ją nawet na zmianę stanu b ło n o w ego .

7

i . 4. P r z e g l ą d t r e ś c i

Jak w y ja ś n io n o w u s t ę p i e 1 . 2 . r o z w i ą z a n i e układu c h ł o d n i kominowej p oddanej różnorodnym wpływom s p r o w a d z ić można do r o z w i ą z a n i a układu o b c ią ż o n e g o t y l k o na l i n i a c h p o ł ą c z e n i a , o k r e ­

ś l o n e g o ja k o d r u g i e t a p . Wyprowadzenie równań r o z w i ą z a n i a dru­

g i e g o etapu wymagało w stępnego r o z p r a c o w a n i a t e o r i i z a s a d n ic z e

?

o stanu n a p r ę ż e n i a i u o g ó l n i e n i a znanych r o z w ią z a ń d l a p i e r - c i e n i a k o ło w e g o .

W zw iązku z powyższym w drugim r o z d z i a l e n i n i e j s z e j p r a c y podane z o s t a ł y statycan« i ge o m etryc zn e rów nania t e o r i i b ło n o w e j d o w o ln e j p o w ło k i o b r o t o w e j w o p a r c i u o m o n o g r a fie [

2

] , [

8

] ,[iOj.

Z uwagi na d o s t a t e c z n e opracowanie b łon ow ej t e o r i i powłok walcowych i stożkow ych w l i t e r a t u r z e [ i ] , [ 2 j , [ 3 ] , [ 4 ] , [10]

b l i ż e j omówiono t y l k o w y zn a c za n ie błoncwegS stanu n a p r ę ż e n i a i p r z e m i e s z c z e ń d l a p o w ło k i h i p e r b o l o i d a l n e j .

S t a t y c z n e i geom etryczn e rów n ania d l a t e j pow łok i po odpo­

w i e d n i e j za m ia n ie zm iennej n i e z a l e ż n e j p r z e c h o d z ą w rów n a nia r ó ż n i c z k o w e o s t a ł y c h w s p ó łc z y n n ik a c h . Równania t e po s c a ł k o - waniu p o z w a l a j ą u zyskać za m knięte w z o ry zarówno na s i ł y b ło n o ­ we w przypadku o b c ią ż e ń b rze go w yc h , j a k i na p r z e m i e s z c z e n i a d l a c z y s t o z g i ę c i o w e g o s tan u . D la przypadku n ie je d n o r o d n y c h równań p r z e d s ta w io n o r o z w i ą z a n i e s ze re g o w e o p a r t e na m e to d zie o r t o g o n a l l z a c j i .

Równania z a s a d n i c z e g o stan u z g i ę c i o w e g o w przypadku p o w ło k i w a lc o w e j

1

s t o ż k o w e j prowadzą do zam kniętych wzorów na w s z y s t ­ k i e s i ł y w e w n ę trzn e. D la p o w ło k i h i p e r b o l o i d a l n e j uzyskano wzo r y zam knięte t y l k o na momenty; w y z n a c z e n ie S i ł błonowych d l a t e g o stanu wymaga j u ż r o z w i ą z a ń s ze re g o w y c h , k t ó r e otrzymać można w podobny“ sposób j a k r o z w i ą z a n i a n ie je d n o r o d n y c h równań stanu b ło n o w e go .

Dodając r o z w i ą z a n i e stan u b łonowego do r o z w i ą z a n i a z a s a d n i­

c z e g o stanu z g i ę c l o w e g o otrzymano o g ó ln e r o z w i ą z a n i e z a s a d n i - c z e g o stan u n a p r ę ż e n i a i o d k s z t a ł c e n i a w d o w o ln e j p ow łoce obro t o w e j . Utrzym ując n wyrazów w s z e r e g a c h try g o n o m etry c zn y c h na f u n k c j ę n a p rę że ń i f u n k c j ę p r z e m i e s z c z e ń , u z y s k u je s i ę r o z w i ą ­ z a n i e z a w i e r a j ą c e 4 n dowolnych s t a ł y c h c a łk o w a n ia o k r e ś l a j ą ­ cych a m p lit u d y s i ł i p r z e m i e s z c z e ń na d o l n e j k r a w ę d z i.

Ponadto w r o z d z i a l e tym p r z e d s t a w io n o sposób w y zn aćza nia z a s a d n i c z e g o stanu n a p r ę ż e n i a w d o w o ln e j p ow ło ce o b r o to w e j pod d a n ej wpływom term icznym , o p a r t y na równaniach t e o r i i błonowej.

W t r z e c i m r o z d z i a l e wyprowadzono rów n ania geom etryczn e i f i z y c z n e d l a K ołowego p i e r ś c i e n i a o dowolnym, s ta ły m p r z e k r o j u p oprzecznym , z a k ł a d a j ą c , że oś s k r ę c a n i a p r z e k r o j u n i e pokrywa s i ę z o s i ą g e o m e try c zn ą . Zwrócono p r z y tym uwagę na m o ż liw o ś c i u p r o s z c z e n i a ty c h równań w przypadku c i e n k i c h p i e r ś c i e n i . Po­

n ad to w r o z d z i a l e tym wyprowadzono w y r a ż e n i a na p ra c ę s i ł we­

w n ę trz n ych

1

ze w n ę trzn ych d l a p i e r ś c i e n i a k oło w ego d o w o ln ie o b c ią ż o n e g o w z d łu ż l i n i i r ó w n o l e g ł e j do j e g o o s i i s p o c zy w a ją ­ c e g o na s p rę ży s ty m p o d ł o ż u . P r z y j ę t o p r z y tym, że p o d ł o ż e do­

z n a ł o pewnych p r z e m i e s z c z e ń , w s z c z e g ó l n o ś c i p r z e m ie s z c z e ń po­

chodzących od k r z y w i z n y i r o z p e ł z a n i a t e r e n u . Wspomniane w y ra -

8

ż e n i ą p o d s ta w io n e do ró w n a n ia p ra c przygotowanych! p o z w a l a j ą ła tw o uzyska ć ró w n a n ia równowagi d l a t a k i e g o d o ś ć o g ó ln e g o p rzypadku. P o d o b n ie j a k w p o w ło c e w s z y s t k i e w y s t ę p u j ą c e t u s t a t y c z n i e i g e o m e t ry c z n e w i e l k o ś c i p r z e d s ta w io n o w p o s t a c i s z e ­ re gó w t r y g o n o m e t r y c z n y c h zm ien n ej 0 .

W yniki uzyskane w drugim i t r z e c i a r o z d z i a l e p o z w o l i ł y ^ na w yprow ad zenie równań r o z w i ą z a n i a d r u g i e g o e ta p u , którym p oś w ię eony j e s t c z w a r t y r o z d z i a ł p r a c y .

W r o z w i ą z a n i u d r u g i e g o e ta p u z a główne niewiadome p r z y j ę t o osiem a m p litu d p r z e m i e s z c z e ń na g ó r n e j k ra w ę d z i p o w ło k i i

1 1

“ n i i p o ł ą c z e n i a słupów podbudowy z p i e r ś c i e n i e m fundamentowym o r a z dwie a m p lit u d y s i ł błonowych na l i n i i p o ł ą c z e n i a słupów z p ow ło k ą. D z i ę k i p r z y j ę c i u p r z e m i e s z c z e ń na l i n i a c h p o ł ą c z e ­ n i a za główne niew iadom e otrzymano stosunkowo p r o s t y układ dzie s l ę c i u równań a l g e b r a i c z n y c h t któremu nadano p o s t a ć układu rów nań k a n o n ic zn y ch metody m i e s z a n e j . P o s t a ć t ę uzyskano w y r a ż a - j ą c w rów naniach p rac p rzyg oto w a n yc h d l a w i r t u a l n e g o stanu p r z e m i e s z c z e ń , zarówno s i ł y w ewnętrzne w p i e r ś c i e n i a c h , j a k i w a r i a c j e p r z e m ie s z c z a ń p r z e z w a r i a c j e p r z e m ie s z c z e ń p r z y j ę t y c h za główne n iew iad o m e. T a k ie p o s tę p o w a n ie p o z w o l i ł o z a s t ą p i ć żmudne r o z w a ż a n i a s t a t y c z n e form aln ym i p rź e k s z t a ł c e n i a m l o p a r­

ty m i na p r o s t y c h zw ią z k a ch g e o m e try c z n y c h .

R o z d z i a ł p i ą t y z a w i e r a dwa p r z y k ł a d y l i c z b o w e . W pierw szym p r z y k ł a d z i e wyznaczono z a s a d n i c z y s t a n n a p r ę ż e n i a w p ow ło c e h i p e r b o l o i d a l n e j o stosunku p ó ł o s i ^ « troi*

W drugim p r z y k ł a d n i e r o z w ią z a n o układ c h ł o d n i h i p e r b o l o i d a l n e j p oddanej wpływom k r z y w i z n y i r o z p e ł z a n l a t e r e n u .

M a t e r i a ł y o c h a r a k t e r z e pomocniczym podano w dwóch z a ł ą c z ­ n ik a c h na końcu p r a c y .

W z a ł ą c z n i k u Nr 1 z e s t a w i o n e z o s t a ł y p r z y z a s t o s o w a n iu j e ­ d n o l i t y c h o z n a c z e ń , ró w n a n ia o g ó l n e j t e o r i i “ p ow łok o r a z równa­

n i a t e o r i i b ło n o w e j i z a b u r z e f l l a b r z e g o w e g o , z k t ó r y c h k o r z y s ­ ta n o w drugim r o z d z i a l e p r a c y .

W z a ł ą c z n i k u N r 2 podano w s o r y na w i e l k o ś c i pom ocnicze do w y z n a c z e n ia z a s a d n i c z e g o stan u z g i ę ć i o w e g o w p ow ło c e h i p e r b o - l o l d a l n e j .

2. ZASADNICZY STAN NAPR?ŻENIĄ I ODKSZTAŁCENIA W POWŁOKACH OBROTOWYCH

2 . 1 . Uwagi wstępne

Równania t e o r i i powłok u m o ż l i w i a j ą j a k wiadomo, n i e t y l k o w y z n a c z e n ie b łonowego stanu n a p r ę ż e n i a w p o w ło c e , a l e r ó w n i e ż p o z w a l a j ą o k r e ś l i ć p r z e m i e s z c z e n i a j e j śro d k o w e j p o w i e r z c h n i 2. tz-w. ge o m etryc zn yc h równań t e o r i i , k t ó r e o g ó l n i e s ta n o w ią n i e j e d n o r o d n y układ c zą s tk o w y c h równań r ó ż n ic z k o w y c h d r u g i e g o

9

r z ę d u . Równania t e , w przypadku n ie w y s tę p o w a n ia o d k s z t a łc e ń błonowych, p r z e c h o d z ą w je d n o ro d n y układ równań o k r e ś l a j ą c y tz w . c z y s t o z g i ę c i o w y s ta n , któremu t o w a r z y s z y w y ł ą c z n i e z g i ­ n a n ie środkow ej p o w i e r z c h n i . P o j ę c i e c z y s t o z g i ę c i o w e g o stanu j e s t je d n ak p o j ę c i e m umownym, gd yż momentom t e g o stanu odpo­

w iadać będą zawsze j a k i e ś s i ł y s t y c z n e i normalne t z w . s i ł y b ł o nowe, c o w ynika b e z p o ś r e d n i o z równań równowagi w e w n ę trzn ej o - g ó l n e j t e o r i i p ow ło k . W w i ę k s z o ś c i je d n ak przypadków d z i ę k i d o s t a t e c z n i e sztywnemu p o d p a rc iu brzegów p o w ło k i o d k s z t a ł c e n i a z g i ę c i o w e n i e o s i ą g a j ą znacznych w a r t o ś c i i o d p o w ia d a jąc e im momenty p r a k t y c z n i e p o z o s t a j ą bez wpływu na s i ł y błonowe. N ie m niej mogą z a i s t n i e ć p r z y p a d k i , k i e d y e lem e n ty brzegowe p o w ło ­ k i n i e będą d o s t a t e c z n i e s z ty w n e , lub d o z n a j ą ta k z n a c z ­ nych wymuszonych p r z e m i e s z c z e ń , że momenty c z y s t o z g i ę c i o w e g o stanu o s i ą g n ą j u ż znaczne w a r t o ś c i i n i e b ę d z i e można pominąć i c h wpływu s t a t y c z n e g o . Trudno wówczas mówić o c z y s t o z g i ę c i o - wym s t a n i e i d l a t e g o d l a t a k i c h przypadków wprowadzono w n i ­ n i e j s z e j p r a c y o k r e ś l e n i e - z a s a d n i c z y s ta n z g i ę c i o w y .

W a r t y k u l e a u t o r a [ 7 ] podany z o s t a ł p r o s t y sposób p r z y b l i ­ żonego w y z n a c z a n ia z a s a d n i c z e g o stan u z g i ę c i o w e g o , o p a r t y na równaniach t e o r i i b ł o n o w e j . Uzyskane tam w y n ik i d l a powłok wal cow ej i s t o ż k o w e j p r z e d s ta w io n e z o s t a n ą w u s t ę p i e

2

.

6

; w tym samym u s t ę p i e podane z o s t a n ą r ó w n i e ż rów nania i w z o ry p o t r z e b "

ne do o k r e ś l e n i a z a s a d n i c z e g o stanu z g i ę c i o w e g o w pow łoce h i -

p e r b o l o i d a l n e j „ j

S t a t y c z n e rów n ania t e o r i i b ło n o w e j wraz z równaniami za sa d ­ n i c z e g o stan u z g i ę c i o w e g o , p o z w a l a j ą wyznaczyć s ta n y n a p r ę ż e ­ n i a c h a r a k t e r y z u j ą c e s i ę małym wskaźnikiem z m ie n n o ś c i, c z y l i tz w . z a s a d n i c z e s ta n y n a p r ę ż e n i a . Tak rozumiany z a s a d n ic z y stan n a p r ę ż e n i e p o s ia d a t y l k o n i e c o w ę ż s z y sens od z a s a d n ic z e g o s t a nu n a p r ę ż e n i a wg k l a s y f i k a c j i , podanej w [ 3 ] .

2 . 2 . Równania b ło n o w e j t e o r i i powłok obrotowych

S t a t y c z n e i ge o m etryc zn e rów nania b ło n o w e j t e o r i i powłok obrotowych za p is ze m y j a k d l a p o w ło k i o b r o t o w e j o o s i p i o n o w e j , o d n i e s i o n e j do układu w s p ó łrz ęd n y ch z , /3 - r y s .

2

.

Równania r ó ż n i c z k o w e równowagi w e w n ę trzn ej p rzyjm iem y wg[iOj s t r . 25 ( p . z a ł ą c z n i k Nr i rów n ania ( V I I ) j . W yra żają c s i ł ę N.

p r z e z pom ocniczą f u n k c j ę §

o ra z w y r a ż a j ą c N

2

p r z e z N. z t r z e c i e g o ró w n a n ia rów n ow agi, otrzymamy z dwóch p ie r w s z y c h równań

dl

1 as

a¥ + - a f = - r U + r ’ z ) ,

r 9 z + r ” -| f" + 2 r ’ S = ( i + r ’ 2 ) 1//2r£>(ł

i

R y s . 2

U « ’ 2 ) 1* # - ! ] .

(

2

.

0 2

)

O zn a c z e n ia składowych si*. wewnętrznych i p o w ie r z c h n io w y c h pokazano na r y s . 3 . '

R ó ż n ic z k u j ą c p i e r w s z e r ó w n a n i e (2.02) względem z , a d r u g i e względem (b i e l i m i n u j ą c azóji dooh od z i my do d^S je d n e g o ró w n a n ia d r u g i e g o r z ę d u ze w z g lę d u na$

r r ,

2

« Q f d(b2

2 , , 2 Ni/ 2 r / ^ »2vi/2 9 Z . 9 Y - r ( l + r ) ” ( l + r )

^ 2

^{+ S]T}

( 2 . 0 3 )

W u z u p e ł n ie n i u ( 2 . 0 i ) z a p i s a ć może­

my n a s t ę p u j ą c e w y r a ż e n i a na p o z o s t a ł e s i ł y

N

2

= r ” ( i + r ;

2

) "

1

/

2

4 > - r ( i + r ’

2

)

1

/

2

Z, ~ = - ~ - r ( X + r ’ Z ) . ( 2 *04.

Równania g e o m etry c zn e uzyskamy z o g ó ln y c h równań n p . [

8

] s t r . 25, u w z g l ę d n i a j ą c w y r a ż e n i a na w s p ó ł c z y n n i k i p i e r w s z e j form y k w ad ratow ej A, B i p r o m ie n ie k r z y w i z n y Rf*Ro Jak p ow ło ­ k i o b r o t o w e j o d n i e s i o n e j do układu z,jb - [ 1 0 ] . s t r . 2 5 .

( i ł r

’ 2 ) - 1 /2

- | f + r ” ( i « , 2 ) - 3/2„ > j H r №

1

- ' ”V >

? * ? ( ! + ■ ■ '

2

r

1

/

2

u - i ( i +^ ) - 1/2w - z k C N a - ” » , ) .

1ł * r s ( i « - • >r 1/2 A © lł-1

ap. ^Eh r s ,

( 2 .0 5 )

( p . z a ł ą c z n i k Nr i rów n a nia ( V I I I ) ) .

W ys tę p u ją c e w t y c h równaniach o z n a c z e n i a d l a p r z e m i e s z c z e ń wy­

j a ś n i a r y s .

2

.

R ys, 3 na s t r . 24

11

E li m i n u j ą c z dwóch p i e r w s z y c h równań w o r a z w y r a ż a j ą c N„

p r z e z Nj^, otrzymamy po z r ó ż n ic z k o w a n iu w z g l . j i

1

£ j L * i _ f 1+r. M

/2

^{92u . r ’( ,}

2

^{. -}

1 /2

^{i u}

7 a&2

+ r r ” • ) dzdfŁ + r v l + r ' dp.

. NJ

1 8

^av

1

ⁱ

r

0&2

^{+ r r » '}

1

^{( ,}

1

+ r

’2

■“* 2 Eh

1

' r r ”

( 2 . 0 6 )

P o d s t a w i a j ą c do p ow yższego rów n a nia za gp; w y r a ż e n ie bu j a k i e u- z y s k u j e s i ę z t r z e c i e g o ró w n a n ia ( 2 . 0 5 ) a n a s t ę p n ie r ó ż n i c z k u ­ j ą c t r z e c i e rów n anie ( 2 . 0 5 ) względem % i e l i m i n u j ą c ,dŁu

3zdp>

otrzymamy je d n o ró w n a n ie d r u g i e g o r z ę d u ze w z g lę d u na v / r

, , V i a T 2 A .-»-.I t*t* » f . l i r ’ ^ — ••

r r

-fc jS h fe p £<?>] - § £ №

. ( l ł r ,

2

)

1 /2

j" r _ J L ( J ł r ,

2

,j _ | Z _

1

+r . ( 2 . OT)

2

( i + v )

‘ T t ^ ¥ 7 2 r . s+h i i g ± 4 ^ ( £ S ) |r r ” 9 z

p r z e m i e s z c z e n i a u l w w y r a ż a j ą s i ę p r z y tym p r z e z v/r

£ = - r 2 (1„ . 2) - ^ - f c c f , + . t o . r B .

+ v ) N

1

- r ( i + r ’

2

)

1

/

2

z|,

n a s t ę p u ją c o

( 2 . 0 8 )

Równania ( 2 . 0 3 ) 1 ( 2 . 0 7 ) p » « w a l a j ą na o k r e ś l e n i e błonowego stanu n a p r ę ż e n i a

1

p r z e m i e s z c z e ń z d o k ł a d n o ś c ią do c z t e r e c h f u n k c j i , z k t ó r y c h dwie w y ra ż a ć będą zmianę s i ł , a dwie ziaia™

nę p r z e m ie s z c z e ń na o k r e ś lo n y c h l i n i a c h środkowej p o w ie r z c h n i p o w ł o k i . Po p r z e d s t a w i e n i u zasadnych i poszukiw anych f u n k c j i w p o s t a c i s z re g ó w try g o n o m e t ry c z n y c h zm iennej fb, co z o s t a n i e przeprow ad zo n e w następnym u s t ę p i e , s t a n y n a p r ę ż e n ia i p r z e ­ m i e s z c z e n i a będą d l a każdego wyrazu r o z ł o ż e n i a o k r e ś l o n e z do­

k ł a d n o ś c i ą do e z t e r e c h s t a ł y c h , S t a ł e t e wyznaczymy w t a k i spo só b , aby u zyskać r o z w i ą z a n i e , w którym s i ł y błonowe z a l e ż n e bę dą od dwóch a m p litu d s i ł na k ra w ę d zi d o l n e j , a p r z e m i e s z c z e n i a s t y c z n e na t e j k r a w ę d z i przyjm ować będą w a r t o ś c i ze ro w e . Wpływ p r z e m ie s z c z e ń s t y c z n y c h k ra w ę d zi d o l n e j u w zg lę d n io n y z o s t a n i e bowiem p r z y w y zn a c za n iu z a s a d n i c z e g o stanu z g i ę c i o w e g o .

12

2 . 3 . Błonowy s ta n n a p r ę ż e n i a

P r z e d s t a w i a j ą c składowe o b c i ą ż e n i a j a k i s i ł y wewnętrzne w f o r m i e p o je d y n c z y c h s z e r e g ó w t r y g o n o m e t r y c z n y c h zm ien n ej j3

osm |L , y = SYmsinm p> , Z « Z Z^cosm (b j

Ni *

2

Nlmc ° 8“ ^ * N2 “ SNgjjjCOsmp», S » 2 S^siam i fb ;

$ ■ IB „cosm (b ,f

( 2 . 0 9 )

otrzymamy d l a dow olnego m po p o d s t a w i e n i u do ( 2 . 0 3 ) , ( 2 . 0 i ) i ( 2 . 0 4 )

d dz

+ r

( r 2 T i 2 ) ♦ « 2r r ”4.B - f c [ r 3( X „ « - Z j ]

2 ( l * r ’ 2 ) 1 / 2 » [ Y m+ m ( l « > 2 ) 1 / 2 z j |

(

2

.

1 0

)

N,2m r”( l +r

’ 2 )“1 /2

# m- r ( l +r

’ 2) 1 /2

Zm,

1 rd * rn

3

m asS L - d r + r ( Xm + r , Z m)

(

2

. i i )

P r z y j m u j ą c , że r o z w i ą z a n i e rów n ania ( 2 . 1 0 ) powinno c z y n i ć za d o ś ć n astęp u jącym warunkom brzegowym na d o l n e j k ra w ęd zi

d l a z = z.

s - ^m

- si d>

^m

⁽

²

^.

¹²

⁾

g d z i e N^d ^ i a m p lit u d y zadanych s i ł s t y c z n y c h , będziem y m o g li nadać temu r o z w i ą z a n i u n a s t ę p u j ą c ą p o s t a ć

» 1 « ■ * N l « N - N im > ł N l « S Si ' 1 ) . " a , -

2

m * "

2

m +N

2

mN*

N^d ^+N S - S ( o ) + SmłI. N { d ) + S

las

2

as b * m m mN im ms m

( 2 . 1 3 )

13

W y stępu jące w p ow y żs zy ch w y ra ż e n ia c h f u n k c j e , N2m^

i p r z e d s t a w i a j ą wpływ o b c i ą ż e n i a p o w ie r z c h n io w e g o na s i ł y b łon ow e.

P r z e m i e s z c z e n i a o d p o w ia d a ją c e s tan ow i błonowemu określonemu wzorami ( 2 . 1 3 ) z n a jd z ie m y w o p a r c i u o równanie ( 2 . 0 7 ) .

P rz y jm u ją c

u ■ £ u mcoam [b , v = Z v msinm (b ,w = Z wmcosm |b , ( 2 . 1 4 ) i p o d s t a w i a j ą c p ow yżs ze w y r a ż e n i a s ze re g o w e do ( 2 . 0 7 ) i ( 2 . 0 8 ) otrzymamy d l a dow olnego m

d f

2

d /Vm J

._ 2

_ E l i f „,/*+*”

2

. r r ” 2 v \»j _ dz L d z ' r 'J ' r '

2

Eh \ ' r r ” +

„^..,2 1

+r '^ im

► ( 2 . 1 5 ) - f s - d + r ' 2 ) 1 / 2 [ r r ” - V ( I t r ’ 2 ) ] zm +

" n “ m [ ( 1 + p ^ ) ~ 1/2r 2 r s J , . B . m d « ' 2 ) 1' 2

♦ r ’ % - 2 k ( l ł r ’

2

)

1

/

2

[ ( ^ r 5 *

1')“lm-r (1« ,2)1/2z»]

D la s z c z e g ó l n e g o przypadku p o w ło k i o s t a ł e j g r u b o ś c i h *

* c o n s t , o s t a t n i wyraz po p ra w ej s t r o n i e rów n ania ( 2 . 1 5 ) można z a p i s a ć p r o ś c i e j , a m ia n o w ic ie

y mm . ( 2 . 1 6 )

^ t z [ u « ' V '

2

^{r s „ ] .} ( 2 . 1 5 a )

B io rą c pod uwagę, że z a s a d n i c z y s ta n z g i ę c i o w y ujmować bę­

d z i e wpływ s t y c z n y c h p r z e m i e s z c z e ń k ra w ęd zi d o l n e j , poszukiwać będziem y t a k i e g o r o z w i ą z a n i a rów n ania ( 2 . 1 5 ) , k t ó r e by s p e ł ­ n i a ł o n a s t ę p u ją c e warunki

d l a z = z , u = v = 0 ( 2 . 1 7 )

d m m '

R o z w ią za n iu temu będziem y m o g li r ó w n ie ż nadać p o s t a ć r o z ­ w i ą z a n i a ( 2 . 1 3 )

. ( o )

M)

“ m

3

ui r ' +umNNi m ' +UmsSi T ' » v m = v ^ o ) + v mNNlm) + v ms:>m: (d)

ra m

* ( 2 . 1 8 )

14

p r z y czym w y s t ę p u j ą c e tu f u n k c j e u^0 ^ i p r z e d s t a w i a j ą wpływ o b c i ą ż e n i a p o w ie r z c h n io w e g o .

W yra żen ia ^ 2 .1 3 ) i ( 2 . 1 8 ) p o z w o lą na o k r e ś l e n i e błonowego stanu n a p rę że n i p r z e m i e s z c z e ń d l a d o w o l n e g o . o b c i ą ż e n i a po­

w ie r z c h n io w e g o z d o k ł a d n o ś c ią do am p litu d N j ” -' i S

^1

' s i ł s ty c z n y c h na d o l n e j k r a w ę d z i .

R o z w ią z a n ie równań ró ż n ic z k o w y c h ( 2 . 1 0 ) i ( 2 . 1 5 ) d l a p ow ło ­ k i w a lc o w e j i s t o ż k o w e j sprow adza s i ę j a k wiadomo do kwadratu­

r y i d l a o b c i ą ż e ń brzegow ych i p r o s t s z y c h o b c ią ż e ń w i e r z c h n i o - wych p ro w a d z i do za m k niętych wzorów na s i ł y i p r z e m i e s z c z e n i a P* [ i ] i [ 3 ] , [

8

] . T ru d n o śc i mogą powstać d o p i e r o p r z y b a r d z i e j z ł o ż o n y c h o b c i ą ż e n i a c h p o w ie r z c h n io w y c h lub in n ych typa ch po­

włok o b ro to w y c h . W t y c h przypadkach k o r z y s t n ą okazać s i ę może p r z y c a łk o w a n iu równań r ó ż n ic z k o w y c h t e o r i i b ł o n o w e j , metoda o r t o g o n a l i z a c j i , k t ó r ^ p rze d s ta w im y w następnym u s t ę p i e w z a ­ sto so w a n iu do n ie j e d n o r o d n y c h równań p o w ło k i h l p e r b o l o i d a l n e j .

2 . 4 . Błonowy s ta n n a p r ę ż e n i a w p ow ło ce h i p e r b o l o l d a l n e . i Równania ( 2 . 1 0 ) i ( 2 . 1 5 ) d l a p o w ło k i h i p e r b o l o i d a l n e j s p r o ­ w a d z ić można, s t o s u j ą c sposób zamiany zmiennych, do równań r ó ż niczko w ych o s t a ł y c h w s p ó łc z y n n ik a c h , d z i ę k i czemu p r o s t o uzys k u je s i ę w z o r y za m k nięte na s i ł y błonowe d l a o b c i ą ż e n i a b r z e ­ gowego i na p r z e m i e s z c z e n i a d l a c z y s t o z g i ę o i o w e g o stanu.

Z rów n a nia p o łu d n ik a je d n o p o w ło k o w ęj h i p e r b o l o i d y o b r o t o w e j otrzymamy n a s t ę p u j ą c e w zo ry na promień r i j e g o pochodne względem zm ien n ej z

r “ f ( b2+* 2 ) 1/2« r ’ * f * r ” " ^ 2 T T * ( 2 . 1 9 )

b b r

g d z i e a , b , - p ó ł o s i e h i p e r b o l i .

U w z g lę d n ia ją c pow yższe w y r a ż e n i a i wprowadzając nową zmien­

ną n i e z a l e ż n ą oC

cf » a r c t g ^ (

2

.

20

)

c z y n i ą c ą za d o ś ć równaniu różniczkowem u

( 2 ‘ 21)

15

- р . [Ю] s t r . 178, otrzymamy z rów n ania r ó ż n i c z k o w e g o ( 2 , 1 0 ) na s t ę p u j ą c e rów n anie o s t a ł y c h w s p ó łc zyn n ik a ch

g d z i e

d

2

^Ф

5

— + m Ф _{m .}

_2

^„ z - ---^h b d^. doc

(

2

.

2 2

)

rrs F„_+m

—7

F

" “ 5 dd *im 4 2ms

^im “ r

3

< V r ’ Zm) » F

2

m = U + r ’ V /

2

r

4

[ m ( l +r ’ V /

2

Zm+Ym] . ( 2 . 2 3 ) Wzory na a m p lit u d y s i ł p rzyjm ą tu n a s t ę p u ją c ą p o s ta ć

Ni. - <łłr?>1/2 i n2. • г-(1«?)'1/2 ♦. -

Г

2

^“i

- (l+ r ’ 2) 1/2r V Sm « - i [ f - i j ^ + r (r ’ Zm+Xni)J . (2.24)

Wprowadzając nową zmienną oC , do rów n a nia geo m etryc zn e go ( 2 . 1 5 ) otrzymamy r ó w n i e ż rów n anie o s t a ł y c h w s p ó łc zyn n ik a ch

+ ( l + r ? ) -

1

r ” r - 2 v j Nl B + 2 (l+ v )j^ h

^5

( l +r

? ) l / 2

f ^ ( f sm) +

+ ( i + r ’

2

) ”

1

/

2

r ’ Sm] - J r ( l + r >

2

)

1

/

2

[ r ” r - v ( i + r ’

2

) j z mj .

( 2 . 2 5 )

Po w y zn a c ze n iu ~ z p ow yższego ró w n a n ia , a m p litu d y p o z o s t a ł y c h p r z e m i| s z c z e ń z n a jd z ie m y ze wzorów ( 2 . 1 5 ) u w z g l ę d n i a j ą c , że A “ ~ 2 * dS” “ p * (

2

»

2

i ) .

D r

W przypadku h = c o n s t . d r u g i wyraz po p ra w ej s t r o n i e rów­

n a n ia ( 2 . 2 5 ) można z a p i s a ć p r o ś c i e j 1 równaniu temu nadać na­

s t ę p u j ą c ą p o s t a ć podobną do form y równania (

2

.

22

)

!) + n»2^ ) - 2l h [2( i + v ) % ^ Gln + mG2B] , ( 2 . 2 5 a )

16

g d z i e 0i n - ( l « ' V /2r S „ .

2

m

i + r72

- ~ ( i + r ’

2

)

1

/,

2

[ r r ” - v ( i + r ’

2

) J z m.

( 2 . 2 6 )

D la przypadku b rze go w e go o b c i ą ż e n i a p o w ło k i ró w n a n ie ( 2 . 2 2 ) p r z e c h o d z i w je d n o ro d n e rów n a nie r ó ż n i c z k o w e .

d

2

$ m

2

Ł - —

5

= + m $

doc m

0

, ( 2 . 2 7 )

k t ó r e g o c a ł k ę o g ó l n ą za piszem y w p o s t a c i

4> * A. sinmcC + A , ooamcC

m im

2

m ( 2 . 2 8 )

W yzn aczając s t a ł e c a łk o w a n ia A z warunków ( 2 . 1 2 ) o trzym a ­ my ze wzorów ( 2 . 2 4 ) n a s t ę p u j ą c e w y r a ż e n i a na f u n k c j e występ u­

j ą c e w ( 2 . 1 4 )

NimN= ( i + r ’ 2 ) 1/2. f (<*>B

j Ą ik*r 2)1/2

f (<*).'

r l m ł lms £ j- I o«. ^

A

2

m

g d z i e

( 2 . 2 9 )

2N-1/2,. 1 f (cC) 2 1 f (cC)

SmN = ” b ' 1 + rd d HS r 2m » ms d* “ 2 r lm »

f ^ ^ =* cosm(ccd-o c), f =« s i n m(tfj-cC). ( 2 . 3 0 )

W o p a r c i u o je d n o s tk o w e s ta n y n a p rę że ń możemy u tw o rz y ć s y ­ m etry czn e i a n t y s y m e t ry c z n e s ta n y n a p rę ż e ń , k t ó r e wykorzystamy p r z y ca łk o w a n iu równań g e o m e try c zn y c h . Łatwo s t w i e r d z i ć , że do owego stan u N>„/ = i r a z s ta n d l a _{• - * XIH} S _m = k , _{o "} a d a j ą c do jedn ostkow egc

, ( * ) _ m

d r u g i r a z s t a n d l a S v ' = k , g d z i em a

k s “ f e “ ( l + r d

2

) "

1

/

2

tgmofd» ka “ ^ “ (

1

+ r d

2

) “

1

/

2

ctgmoCd ' { 2 ‘ 31)

a u

17

otrzymamy w pierw szym przypadku s ym e try c zn y s ta n n a p r ę ż e n i a , a w drugim s ta n a n t y s y m e t r y c z n y . W a r t o ś c i s i ł o k r e ś l a ją , p r z y tym w z o ry d l a - y m e t r i i

N(s)

lm

( i

(

1

+ r ’ 2 ) 1-/2 cosm ci g ( s ) _ r cosm ot . * m

a 2_ d i slnwoC

b ( i + r * 2 ) 1 ^ 2 cosmoed

(2 .32.;')

d l a a n t y s y m e t r i i T,f «.■> r d

. 2

d «

cosmcC

sinm cC sinmoCj *

b ( i +r

’/ ) l / 2

7 slnmofd

m

(2.3:>b)

W przypadku p o w ie r z; hniowego o b c i ą ż e n i a p o w ło k i r o z w i ą z a n i e ró w n a n ia (

2

.

22

) s p ro w a d z ić można do k w ad ra tu ry s t o s u j ą c znany sposób u z m ie n n ie n ia s t a ł y c h . Z uwagi jednak na z ł o ż o n ą p o s t a ć f u n k c j i F. i F „ t a k i e r o z w i ą z a n i e wymagać b ę d z i e r o z ł o ż e ­ n i a f u n k c j i w s z e r e g . Można r ó w n i e ż b e z p o ś r e d n i o poszukiw ać r o z w i ą z a n i a t e g o rów n a nia w f o r m i e s z e r e g o w e j , np. w p o s t a c i s z e r e g ó w tr y g o n o m e t ry c z n y c h w o p a r c i u o metodę o r t o g o n a l i z a c j i .

W tym przypadku w p ierw poszu kiw ać będziem y c a ł k i s z c z e g ó l ­ n e j rów n ania (

2

.

2 2

) w p o s t a c i s z e r e g u

$m Z a m i * * m i 1 , 2 . 3 , ( 2 . 3 3 )

a b s t r a h u j ą c od s p e ł n i e n i a a p r i o r i warun ów brzegowych (

2

^.

1 2

^),

którym u c z y n i ć b ę d z i e można zadość p ó ź n i j p r z e z d od a n ie do r o z w i ą z a n i a s z e r e g o w e g o r o z w i ą z a n i a zada i a je d n o r o d n e g o , wzo­

r y ( 2 . 2 9 ) .

S t o s u j ą c metodę o r t o g o n a l i z a c j i do r ó n a n ia ( 2 . 2 2 ) możemy z a p i s a ć

J

d <f>²

ShPi n T m “ 4F2m

a — a

k = 1 , 2 , 3 . . . n

^ d < * =

0

^, ( 2 . 3 4 )

co p ro w a d zi do układu n równań a l g e b r a i c z n y c h ze w z g l . d u na p ara m etry ami

W s p ó łc z y n n ik i p r z y niewiadomych i w y razy w olne t e g o z n a jd z ie m y z n a s t ę p u ją c y c h wzorów

układu

k i drt

mk ( 2 . 3 6 b ) W r o z w i ą z a n i u szeregowym ( 2 . 3 3 ) z r e g u ł y k o r z y s t n e b ę d z i e r o z ł o ż e n i e o b c i ą ż e n i a p o w ie r z c h n io w e g o na sym e tryc zn e i a n t y - s ym e tryc zn e ze w z g lę d u na zmienną oc i w y z n a c z e n ie osobno f u n k c j i n a p rę że ń d l a s y m e t r i i i osobno d l a a n t y s y r a e t r i i .

Równanie r ó ż n i c z k o w e c z y s t o z g i ę c i o w e g o stanu n a p r ę ż e n i a o - trzymamy z ró w n a n ia ( 2 . 2 5 ) p r z y jm u ją c z e r o po j e g o p raw ej s t r o n i e

a 2 . v ™. ^ v

— " j ( 7 “ ) + ® k r ) » o »

doc r r ( 2 . 3 7 )

W yzn aczając s t a ł e c a łk o w a n ie Bm vw ystępujące w o g ó l n e j c a ł ­ ce ró w n a n ia ( 2 . 3 7 )

“ - Blinsiiui!cC+ B2mcosmoC z warunków

( 2 . 3 8 )

d l a oc cC. U =

aa m m ( d ) ( 2 . 3 9 )

m

możemy r o z w i ą z a n i u nadać n a s t ę p u j ą c ą o g ó ln ą p o s ta ć

u m * u muu l d ) + u m v - v md ) * % y u^d ^ +v v ^ d ^ ,

mu m mv m

( d ) ( d ) V = wmuUm +wnrvVm *

( 2 . 4 0 )

g d z i e

S ^ ( i ♦ r i a )

1

/

2

U « ' a ) -

1

/

2

ł £ l u „ - f w .

mu — ^ p f l + r ’ 2 ^ / ‘ V H£^1+3rd ) r r 2m . v = r f (oC) »lm j

—''* - ’a' S

_doC

b

w = “ * ( i + r * )

E®V r , '

a

( , „ ’ 2 ) - 1 / 2 * £ > ] .

( 2 . 4 1 )

19

P oszu kiw ać będziem y r o z w i ą z a n i a p e ł n e g o rów n a nia ( 2 . 2 5 ) c z y n l ą c e g o za d o ś ć warunkom ( 2 . 1 T ) , Jako sumy s z c z e g ó l n e g o r o z w i ą -

n a n i a r i A ł n A i y n r ó w n a n i a xc n n s l f l A i

Ie „ v v /U2\ ( 2 . 4 2 )

z a n i a p e ł n e g o rów n ania w p o s t a c i

i o g ó l n e g o r o z w i ą z a n i a rów n ania u p ro s zc zo n e g o wg ( 2 . 3 9 ) i ( 2 .4 0 ).

S t o s u ją c metodę o r t o g o n a l i z a c j i do rów n ania ( 2 . 2 5 ) sprowa­

dzimy r o z w i ą z a n i e s z c z e g ó l n e , p odobnie j a k w przypadku za d a n ia s t a t y c z n e g o , do układu n równań a l g e b r a i c z n y c h ze w z g lę d u na p a ra m etry b w s p ó ł c z y n n i k i p r z y niewiadomych i w y ra z y w o l ­ ne układu d l a h = c o n s t . o b l i c z y m y t e r a z z n a s tę p u ją c y c h wzo­

rów

6 k i “g f dcC * ( 2 . 4 3 a )

4 k = 2 i e | 2 ( 1 + v) p t / 0 !- i h ó o C +

V _ (Xg fd ~ \ ( ? d y

Gi ® ( ~ ) k L J + m

4

G

2

ni( ? S ) kd a l *

( 2 . 43b)

Podobne w zo ry o tr z y m u je s i ę d l a p o w ło k i o zm ien n ej g r u b o ś c i h . W r o z w i ą z a n i u s z c z e g ó ln y m p e ł n e g o rów n a nia g e o m etryc zn e go k o r z y s t n e b ę d z i e r ó w n i e ż r o z ł o ż e n i e z a d a n ia na sym etryczn e i a n t y s y m e t r y c z n e . P r z y w yzn acza n iu p r z e m ie s z c z e ń od o b c ią ż e ń b rzego w ych n a l e ż y , p r z y takim r o z ł o ż e n i u , k o r z y s t a ć ze wzorów

( 2 . 3 2 ) na s i ł y wewnętrzne i w m i e j s c e je d n e g o s z e r e g u ( 2 . 4 2 ) poszukiw ać dwóch s z e r e g ó w , z k t ó r y c h je d e n o k r e ś l a ć b ę d z i e s y ­ m e tr y c z n y , a d r u g i - a n t y s y m e t r y c z n y s ta n p r z e m i e s z c z e ń . Doda­

j ą c do s i e b i e s ta n y s ym e try c zn y i a n ty s y m e try c z n y pomnożone p r z e z o d p o w ie d n ie w s p ó ł c z y n n i k i , otrzymamy w wyniku s z c z e g ó l n y s ta n p r z e m i e s z c z e ń o d p o w ia d a ją c y pewnym o b c ią ż e n io m brzegowym, w s z c z e g ó l n o ś c i jednostkowym o b c ią ż e n io m na k ra w ę d z i d o l n e j . S z c z e g ó ł y zw ią z a n e z takim o b l i c z e n i e m p r z e d s ta w io n e z o s ta n ą w pierw szym p r z y k ł a d z i e liczb ow ym w u s t ę p i e 5 . i .

2 . 5 . Wpływ te m p e r a tu ry

Równania ( 2 . 1 0 ) i ( 2 . 1 5 ) stanu błonowego p o z w o lą w w ię k s z o ś c i przypadków, w y zn aczyć s ta n n a p r ę ż e n i a w powłokach o b r o t o ­ wych poddanych wpływowi te m p e r a tu r y . R o z w ią z a n ie d o w o ln e j po­

w ł o k i na d z i a ł a n i e te m p e r a tu r y , zarówno p r z y równomiernym j a k i l i n i o w o zmiennym r o z k ł a d z i e te m p e r a tu ry na g r u b o ś c i p o w ło k i , s p r o w a d z ić można r o z w i ą z a n i a p o w ło k i o b c i ą ż o n e j pewnym z a s t ę p -

20

czym oboiąften iem p ow ierzchniowym o składowych X \t Y f Z i pewnymi s i ł a m i i momentami p r z y ł o ż o n y m i na b r z e g a c h .

J e ś l i o b c i ą ż e n i e p o w ie r z c h n io w e o r a z brzegow e s i ł y s t y c z n e n i e będą w y ra ż a ć s i ę p r z y pomocy z b y t szyb ko z m i e n i a ją c y c h s i ę f u n k c j i , wówczas mo&sa do w y z n a c z e n ia z a s a d n i c z e g o stanu naprę ż e n i ą z a s to s o w a ć t e o r i ę b łon ow ą, a wpływ o b c i ą ż e n i a b rz e g ó w s i ł ą t n ą c ą i momentem u g in a jąc ym o k r e ś l i ć * e pomocą t e o r i i z a ­ b u r z e n i a b rz e g o w e g o «

O zn a c z a ją c p r z e z T “ V 2h % t e m p e r a tu rę w dowolnym w łók n i e p o w ło k i o d le g ły m o z od p o w i e r z c h n i śro d k o w e j a p r z e z oc{

w s p ó ł c z y n n ik r o z s z e r z a l n o ś c i l i n i o w e j , możemy z a p i s a ć n a s tę p u ­ j ą c e w y r a ż e n i a na składowe o d k s z t a ł c e n i a t e r m ic z n e g o

Ą t ) - « t t

0

,

7

( t ) -

0

, x j t ) « х £ г ) - ctt °* <2 *4 5)

P o d s t a w i a j ą c ( 2 . 4 5 ) z p rze ciw n ym i znakami do n a j p r o s t s z e g o w a r ia n t u równań f i z y c z n y c h t e o r i i powłok [

8

] s t r . 50 ( p . z a ł ą ­ c z n i k Nr i ró w n a n ia ( V I ) ) otrzymamy w y r a ż e n i a na s i ł y s t y c z n e i momenty z g i n a j ą c e , k t ó r e n a l e ż y p r z y ł o ż y ć do elementów powło k i aby z l i k w i d o w a ć o d k s z t a ł c e n i a t e r m ic z n e

r o z k ł a d a j ą c f u n k c j e t i At w s z e r e g i tr y g o n o m e t r y c z n e zm ien n ej |?>

* o " s t omc08m(b » A t = S 4 t mcosm p», (

2

.

47

)

otrzymamy na a m p litu d y ^ i

“i*’ - - лйтт V . » - u* } - - *t <2-*8>

Składowe y ( ^ ) ^ o b c i ą ż e n i a z a s t ę p c z e g o uzyskamy z równań równowagi o g ó l n e j t e o r i i [

8

] s t r . 36 i 37 ( p . z a ł ą c z n i k Nr i rów n a nia ( i ) ) p o d s t a w i a j ą c za s i ł y i momenty w y r a ż e n ia

21

( 2 . 4 6 ) w z i ę t e ze znakiem przeciw nym . B io r ą c pod uwagę ( 2 . 0 9 ) i ( 2 . 5 8 ) otrzymamy w t e n sposób n a s t ę p u j ą c e w y r a ż e n i a na am pli tudy t y c h składowych

Wprowadzając p ow yższe składowe do ró w n a n ia s t a t y c z n e g o ( 2 . 1 0 ) i c a ł k u j ą c j e d l a warunków brzegowych

k s z t a ł c e ń s p r ę ż y s t y c h p o w ł o k i , k t ó r e p od s taw io n e do rów nania ( 2 . i 5 ) p o z w o lą na o b l i c z e n i e p r z e m ie s z c z e ń p o w ło k i poddanej wpływom te m p e r a tu r y . W przypadku p o w ło k i s t ę ż o n e j za pomocą w i o t k i c h elementów b rzegow ych w r o z w i ą z a n i u n a l e ż y u w z g lę d n ić wpływ momentów z a s a d n i c z e g o stanu z g i ę c i o w e g o .

R z e c z y w i s t e s i ł v w p ow ło c e od wpływu te m p e r a tu ry z n a jd z ie m y d o d a ją c s i ł y ( 2 . 4 8 ) do s i ł o d p o w ia d a jąc ych o b c i ą ż e n i u p o w i e r z ­ chniowemu ( 2 . 4 9 ) i s i ł o m brzegowym ( 2 . 5 0 ) .

2 . 6 . Z a s a d n ic z y s t a n z g i ą c i o w y t powłoka walcowa i stożkowa W yzn a czen ie z a s a d n i c z e g o stanu z g i ę c i o w e g o p o l e g a ć b ę d z i e na o b l i c z e n i u f i k c y j n e g o o b c i ą ż e n i a p o w ie r z c h n io w e g o odpowia­

d a j ą c e g o momentom stan u c z y s t o z g i ę c i o w e g o z równań równowagi w e w n ę trz n e j o g ó l n e j t e o r i i i e l i m i n a c j i wpływu t e g o o b c i ą ż e n i a w o p a r c i a o rów n a nie równowagi t e o r i i b ł o n o w e j . W wyniku o t r z y mamy r o z w i ą z a n i e p o w ło k i o b c i ą ż o n e j na b r z e g a c h samozrównowa- żonymi układami s i ł .

R óżniczkowe rów n anie ge o m etryc zn e stanu c z y s t o z g i ę c i o w e g o z e w z g lę d u na a m p litu d ę v otrzymamy z ró w n a n ia ( 2 . 1 5 ) p r z y j mując z e r o po j e g o p raw ej s t r o n i e

( 2 . 4 9 )

g d z i e 1 M^t ) wg ( 2 . 4 8 )

d l a S_ => _m

0

( 2 . 5 0 )

otrzymamy w y r a ż e n i a na s i ł y wewnętrzne będące wynikiem od-

<2.51)

22

a m p litu d y p o z o s t a ł y c h p r z e m i e s z c z e ń z n a jd z ie m y ze wzorów

ub “ i [ r 2 ( 1+r'

2 >‘ 1 /2

k & ] > wm " B<1 + r'

2 ) V 2

Vn+ r ' um* ( 2 ' 52) C a łk u ją c rów n anie ( 2 . 5 1 ) d l a warunków brzegow ych

d l a z = z.

M)

m ^m v . v < d >.

m m 9 ( 2 . 5 3 )

otrzymamy w y r a ż e n i a na p r z e m i e s z c z e n i a stan u c z y s t o z g i ę c i o w e ­ g o , którym będziem y m o g li nadać n a s t ę p u j ą c ą p o s t a ć

U _a m U _ U ^ d ) + U _{mum mv m}

vW,

_* ^V _m ^{«* V} _{mu m} ^{U ^ ^ + V}_{mv m •}

r • w u ^ d ) + w v ^ d )

a mu m mv m

( 2 . 5 4 )

W yra że n ia na składowe o d k s z t a ł c e n i a stan u z g i ę c i o w e g o p r z y j mujemy wg [

8

] s t r . 2 5 - b i o r ą c pod uwagę p r z y j ę t y w u s t ę p i e 2.2 zw ro t p r z e m i e s z c z e n i a w - p . r y s . 2 ( z a ł ą c z n i k Nr 1 rów nania ( I I ) ) . P r z e d s t a w i a j ą c składowe o d k s z t a ł c e n i a w f o r m i e s z e re g ó w tr y g o n o m e t ry c z n y c h

X 1 - Y j e ^ c o a m , # 2 • 'Ej£2 t coam/3 , T » z ] ^ s i n m / j , ( 2 . 5 5 )

o r a z u w z g l ę d n i a j ą c ( 2 . 1 4 ) i ( 2 . 5 4 ) będziem y m i e l i X - - X , m . *

2

ltu» < a ) * t f . !llv v<d >.

,(■ »>

g d z i e

%

T mu m + T mv m v ' ,'

( 2 . 5 6 )

lmu

* ² «, - f ’ [ U « ’ 2)"‘ T f - <*«' 2)‘ 2u J *

+ m ( l + r

2 )“1 /2

^ v bu - m

2

^ wfflu,

r r

T. u - - f u ♦ r ' 2) ' l / 2 ( ^ f - *

♦

1

(

1

« 2 ) - 1 ( ^ Ę i - £ ’ » . „ ) ♦ . f ( i ł r ' 2 ) - 3/2umu

( 2 . 5 7 )

23

A m p litu d y momentów z g i n a j ą c y c h i s k r ę c a j ą c y c h , p . r y s , 3

Mi a S Mi m C08ra^ * M2 " S u 2mc o s m <tf » Mi 2 “ S ( 2 . 3 8 )

z n a jd z ie m y wychodząc z n a j p r o s t s z e g o w a r ia n t u równań f i z y c z ­ nych t e o r i i p ow ło k , p r z y czym będziem y m o g li r ó w n ie ż z a p i s a ć j e w f o r m i e

M = M U m M U ^ ^ + M

im lmu m imv m f

2

m

2

mu m

2

mv m

12m

g d z i e np.

u + M .

12

^{mu m}

12

^{mv m *}

M 2 E H "

lmu

2

Eh’~

( 2 . 5 9 )

3 ( i - v 2 ) 2mu

2

^mu"

3

( i _ v 2 ) 2mu imu

2 E h "

( 2 . 6 0 ) Ml

2

mu “ 3 ( l + v l mu*

Składowe X, Y, Z f i k c y j n e g o o b c i ą ż e n i a p o w ie r zc h n io w e g o o d p o w ia d a ją c e g o momentom ( 2 . 5 8 ) z n a jd z ie m y z równań r ó ż n i c z k o ­ wych równowagi w e w n ę trz n e j o g ó l n e j t e o r i i , np. [

8

] s t r . 37 i

24