ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ¡SASKIEJ S e r i a ł GÓRNICTWO z . 81
KONFERENCJA: MODELOWANIE GÓRNICZYCH MASZYN WYCIĄGOWYCH 9 - 1 0 . I I I . 1977
JERZY RŻYSKO, WITOLD LINKE, JAN OLSZEWSKI POLITECHNIKA 'WARSZAWSKA
INSTYTUT MECHANIKI TECHNICZNEJ WARSZAWA '
KRYTERIA DOBORU FUNKCJI PRZYBLIŻONYCH SŁUŻĄCYCH DO BUDOWY MODELU DYSKRETNEGO
DRGAlf PODŁUŻNYCB LINY 7 « CIĄGOWEJ
W pracy przedstawiono sposób budowy modelu dyskretnego dla układu wydobywczego. Sformułowano kryteria pozwalające ocenić "dobroć"
funkcji przybliżonych służących do budowy modelu. Przedyskutowano kilka postaci funkcji i uzasadniono celowość użycia funkcji liniowej i sinusoidalnej.
1 , Wstęp
M o d elo w an ie p ro c e s ó w d y n a m ic z n y c h u k ła d u w ydobyw czego p o d le g a p r a w id ło w o ś c io m p o s t ę p o w a n i a w m o d e lo w a n iu d o w o ln e j m a s z y n y .D la te g o w z a l e ż n o ś c i od c e l u w ja k im m o d e lu je m y u k ł a d , w a r t o i n a l e ż y r o z w a ż y ć ,j a k d a l e c e n a l e ż y u p r a s z c z a ć r z e c z y w i s t o ś ć . D l a c e l u ja k im j e s t b a d a n ie
z j a w i s k m e c h a n ic z n y c h p o d c z a s r u c h u u k ła d u w y d o b y w c z e g o ,k ie d y d łu g o ś ć l i n y w y c ią g o w e j z m ie n ia s i ę w c z a s i e , k o n i e c z n e j e s t u z y s k a n i e m o d elu d y s k r e tn e g o ,w k tó r y m w a r t o ś c i m a s ,s z ty w n o ś c i i t p , z m i e n i a j ą s i ę w c z a s i e .D l a t e g o n i e c e l o w ą j e s t i d e n t y f i k a c j a p a ra m e tr ó w m i d e lu d y s k r e t n e g o n a p o d s t a w i e t y l k o po m iaró w u k ł a d u r z e c z y w i s t e g o ,g d y ż w t a k u z y s kanym m o d e lu n i e m ożna o d d z i e l i ć od s i e b i e t e j c z ę ś c i w a r t o ś c i p a r a m e t r u , k t ó r a z m i e n ia s i ę w c z a s i e od c z ę ś c i s t a ł e j w c z a s i e .
N a le ż y t u z a s to s o w a ć k l a s y c z n y s p o s ó b p r z e j ś c i a od u k ła d u r z e c z y w i s t e g o d o u k ł a d u c i ą g ł e g o , a d o p i e r o n a s t ę p n i e do m o d elu d y s k r e t n e g o . E ta p p i e r w s z y t e g o m o d e lo w a n ia j e s t r o b i o n y i n t u i c y j n i e , a j e g o w y n ik , c z y l i u k ł a d c i ą g ł y , z a l e ż y od w ie d z y i d o ś w ia d c z e n i a m o d a lu ją c e g o .N a to - m i a s t s p o s ó b u z y s k a n i a m o d e lu d y s k r e t n e g o z m o d e lu c i ą g ł e g o można s f o r m a l i z o w a ć , z r o b i ć t o m eto d am i ś c i s ł y m i , J e d n a k ż e n a w e t n a tym e t a p i e n i e k t ó r e w ł a s n o ś c i m o d e lu j a k n p . i l o ś ć s t o p n i swobody t a k ż e o k r e ś l a s i ę a r b i t r a l n i e w z a l e ż n o ś c i od z j a w i s k a , k t ó r e z a m ie r z a s i ę b a d a ć . N i n i e j s z a p r a c a d y s k u t u j e z a g a d n i e n ie o tr z y m a n i a m o d e lu d y s k r e t n e g o u k ła d u w y ciąg o w eg o k o p a l n i a n e g o z m o d e lu c i ą g ł e g o , k t ó r y j e s t z n a n y
________ 1977 N r k o l . 548
80 J. Rżysko, W. Linke, J. Olszewski
R y e .1 . M odel c i ą g ł y z l i n ą .wyrów
naw czą o p a r a m e tr a c h z m ien n y c h w c z a s i e
h y s . 2 , M odel c i ą g ł y o p a r a m e tr a c h s t a ł y c h w c z a s i e
a a p o d s ta w ie w i e l o l e t n i c h b a d a ń i w ie d z y b a d a c z y z a jm u ją c y c h s i ę tym p ro b le m e m .R y s u n e k 1 p r z e d s t a w ia m o d e l c i ą g ł y , l i n i o w y , o p a r a m e t r a c h z m ie n n y c h w c z a s i e , t y p o wego u k ł a d u w ydobyw czego t y p u K o e p e ,s to s o w a n e g o w p o ls k im p r z e s y c i e w ęg lo w y m .Jeg o r u c h o p i s u j e ró w n a n ie ró ż n ic z k o w e c z ą s tk o w e , p r z y czym p r z e s t r z e ń , w k t ó r e j n a l e ż y a n a liz o w a ć r ó w n a n i e ,z m i e n i a s i ę w c z a s i e . N i e z n a m y ,ja k d o t y c h c z a s , m etod d o k ła d n y c h a n a l i z y t e g o t y p u ró w n ań r ó ż n ic z k o w y c h c z ą s tk o w y c h .M o d e l d y s k r e t n y t e g o u k ła d u t e ż b ę d z i e p o s i a d a ł p a r a m e t r y zm ien n e w c z a s i e , a je g o
o p i s m a te m a ty c z ry d o k o n a n y b ę d z i e ró w n a n ia m i ró ż n ic z k o w y m i z w y c z a j
nym i , l i n i c wymi , p a r a n e t r y c znym i . R ów nania t e m ożna a n a liz o w a ć n p . p r z y u ż y c i u m a sz y n a n a lo g o w y c h . J a k w y n ik a z pom iarów p ro w a d z o n y c h n a r z e c z y w is ty m u k ł a d z i e wy
ciągow ym , u k ł a d t e n r e a l i z u j e d r g a n i a z p i e r w s z ą n a j n i ż s z ą c z ę s t o t l i w o ś c i ą d l a d a n e j / l e w e j l u b p r a w e j / l i n y w ra z z n a c z y n ie m w y d o h y w czy m .D zieje s i ę t a k p r z y p u s z c z a l n i e z powodu s i l n y c h w ł a s n o ś c i t ł u m i ą c y c h l i n y . D l a t e g o p o s z u k iw a n o m o d e lu d y s k r e t n e g o o 1 -n y n s t o p n i u sw obody d l a j e d n e j l i n y z zamocowanym w j e j k o ń c u n a c z y n ie m wydobywczym / r y s . 2 / . W t e j p r a c y wpływ l i n y w yrów naw czej u w z g lę d n io n o p r z e z z w ię k s z e n i e c i ę ż a r u n a c z y n i a wy
d o b y w czeg o , a b y n i e kom plikow ać o b l i c z e ń m a te m a ty c z n y c h .O c z y w i
ś c i e d l a u z y s k a n i a m o d e lu z b l i ż o n e g o do r z e c z y w i s t o ś c i , możne, p r z e p r o w a d z ić a n a l i z y p o d o b n e do p o n iż s z y c h z u w z g lę d n ie n ie m s z t y w n o ś c i l i n y w y ró w n a w c z e j.
Kryteria doboru fujkeji przybliżonych.. 81
R y s .3 . M odel d y s k r e t n y o 3 - c h s t o p n i a c h sw obody
M a ją c m o d e l d y s k r e t n y d l a j e d n e j l i r y w y d o b y w c z e j, możemy a n a liz o w wać r u c h c a ł e g o u k ła d u wydobyw
c z e g o n a m o d e lu o t r z e c h s t o p n i a c h sw obody / i y s . 3 / , J e ż e l i n i e d o p u s z c z a n y p o s u n i ę ć l i n y p o k o l e w yciągow ym .
j O - moment b e z w ła d n o ś c i k o ł a ŁI (t')— moment s i ł od s i l n i k a k j ( t ) , ^ ( t ) - s z t y w n o ś c i z r e d u
kow ane l i n m, ( t ) , nu, Ifc) - m asy zred u k o w an e
l i n i n a c z y ń Z m iana p a ra m e tr ó w m o d e lu w c z a s i e j e s t z a l e ż n a od r o d z a j u r u c h u j a k i w y k o n u je k o ł o napędow e n a p ę d z a n e s i l n i k i e m .
2 . R o z w i a n i e d r g a ń -p o d łu ż n y c h u k ł a d u l i n a - n a c z y n i e w ydobyw cze p r z y s fc a łe .i d ł u g o ś c i l i n y
D r g a n ia w z d łu ż n e u k ł a d u l i n a - n a c z y n i e w y d o b y w c z e ,p o r u s z a ją c e g o s i ę w z d łu ż s z y b u , o p i s a n e s ą ró w n a n ie m ró ż n ic z k o w y m o p o c h o d n y c h c z ą s tk o w y c h , w yprow adzonym z w arunków ró w n o w ag i e le m e n tu l i n y
f f ) W
z n a s t ę p u j ą c y m i w a ru n k a m i b rzeg o w y m i
u l i , - O - O 1*1
( i i g d z i e : q - c i ę ż a r j e d n o s t k i d ł u g o ś c i l i n y w [daH m- 2 ]
Q - c i ę ż a r n a c z y n i a w ydobyw czego w [daH]
7 , - p r z y ś p i e s z e n i e s t y c z n e p u n k tu n a o b w o d zie k o ła lin o w e g o w [m s - 2]
£ - m o d u ł s p r ę ż y s t o ś c i l i n y w [daN m -1 A - p r z e k r ó j p o p r z e c z n y l i n y w [m2]
i - o d l e g ł o ś ć r o z w a ż a n e g o p r z e k r o j u l i n y o d p o c z ą t k u u k ła d u ru c h o m e g o / r y s , 2 / w p o ł o ż e n i u ró w n o w ag i s t a t y c z n e j u ( x , t ) - o d c h y l e n i e ro z w a ż a n e g o p r z e k r o j u od p o ł o ż e n i a ró w n o
w a g i s t a t y c z n e j / r y s . 2 /
R o z w ią z u ją c d r g a n i a u k ł a d a p r z y s t a ł e j d łu g o ś c i,w s ta w ia m y d o ( 1 ) i ( 5 )
* o . C z ę s to ś ć d r g a ń w ła s n y c h u k ła d u p r z y s t a ł e j d ł u g o ś c i i z a ł o ż e n i u i d e a l n e j s z t y w n o ś c i k o ł a lin o w e g o i j e g o z a n o c o w a n ia w yznaczym y r o z w i ą z u j ą c ró w n a c ie je d n o r o d n a
= o W
* v t *
z je d n o ro d n y m i w aru n k am i brzegow ym i
U ( 0 , t ) = 0 ,(5)
l6)
W tym p rz y p a d k u d l a w ygody p r z y j ę t o p o c z ą t e k u k ł a d u w m i e j s c u s t y k u l i n y z k o łem lin o w y m .
R o z w ią z a n ia r ó w n a n ia ( 4 ) d l a warunków b rz e g o w y c h ( 5 ) » (6 ) p o sz u k u je m y ja k o sumy c a ł e k s z c z e g ó l n y c h w p o s t a c i f u n k c j i o r o z d z i e l o n y c h z m ien n y c h
U ( x , t ) = Z X*(x) (7)
n3'!
S t o s u j ą c m eto d ę F o u r i e r a [ a ] u zyskam y " n - t ą " f u n k c j ę w ła s n ą w p o s t a c i
X - W = s'wv,(z'R ^ ) (8)
a " n - t ą " p o s t a ć w ła s n ą w p o s t a c i
82___________________ j. Rżysko, W. Linke, J. Olszewski
W a r t o ś c i w s p ó łc z y n n ik a z ^ u z y s k u j e s i ę z ró w n a n ia
= (
10)
Po w p ro w a d z e n iu o z n a c z e ń
B = ^ (11)
w yzn aczo n o c z ę s t o ś c i d r g a ń w ła s n y c h d l a r ó ż n y c h w a r t o ś c i w s p ó łc z y n n ik a c i ę ż a r u j i . W y n ik i z e s ta w io n o w t a b e l i 1 .
R o z w ią z a n ia ( 9 ) i (8 ) r ó w n a n ia je d n o r o d n e g o ( 4 ) , c z y l i j e g o w a r t o ś c i w ł a s n e , ! o d p o w ia d a ją c e im f u n k c j e w ła s n e o k r e ś l a j ą w ł a s n o ś c i d y n a m ic z n e u k ła d u m e c h a n ic z n e g o l i n a - n a c z y n i e w y d o b y w c z e ,d la o k r e ś l o n y c h w a r t o ś c i w s p ó łc z y n n ik a p c z y l i w z a l e ż n o ś c i od d ł u g o ś c i lin y .W y z n a c z o n e d o k ła d n e w a r t o ś c i c z ę s t o ś c i d r g a ń i f u n k c j e w ła s n e p o s ł u ż ą do s p r a w d z e n ia do
k ł a d n o ś c i t y c h w i e l k o ś c i u z y s k a n y c h z p r z y b l i ż o n y c h m o d e li m a te m a ty c z - n y e h .P o n ie w a ż d r g a n i a p o p r z e c z n e i s k r ę t n e z a l e ż ą od s i ł y w z d łu ż n e j
* l i n i e H, wyznaczmy d o k ła d n ą w a r to ś ć t e j s i ł y u w z g lę d n ia ją c dw ie p ie r w s z e p o s t a c i e w ła s n e
N = E F | J = E F ( ^ V m T^ (12)
Z (12) w y n ik a ,ż e k o n ie c z n e j e s t t a k i e d o b r a n i e f u n k c j i p r z y b l i ż o n y c h
Kryteria doboru funkcji przybliżonych,.. 83
T a b e la 1
fi
1
~ F ■
0 P O
? - |tT
1 1 0 ,8 6 0 3 3 3 ,4 2 5 6 2
2 0 , 5 0 ,6 5 3 2 7 3 ,2 9 2 3
3 0 ,3 3 3 0 , 5 ł ? 1 0 3 ,2 4 3 9 8
4 0 ,2 5 0 ,4 8 0 1 0 3 ,2 1 9 1
5 0 ,2 0 0 ,4 3 2 8 4 3 ,2 0 3 9 3
1 0 0 ,1 0 ,3 1 1 0 5 3 ,1 7 3 0 9 9
2 0 0 ,0 5 0 ,2 2 1 7 3 ,1 5 7 4 3
3 0 0 ,0 3 3 3 0 ,1 8 1 5 3 ,1 5 2 1 6
40 0 ,0 2 5 0 ,1 5 7 4 3 ,1 4 9 5 3
5 0 0 ,0 2 0 0 ,1 4 0 9 5 3 ,1 4 7 9 1
60 0 ,0 1 6 6 0 ,1 2 8 7 3 ,1 4 6 8 8
0*0 0 0 TT
9 i ^ 3 ’J2
a b y f u n k c j e c z a s u T ^ i t ) i T g U ) o r a z p o c h o d n e i ■“ b y ł y j a k n a j b a r d z i e j z b l i ż o n e d o n i e z n a n y c h ro z w ią z a ń , d o k ła d n y c h .S t a r a m y s i ę zapew n i ć bo p r z e z d o b r e o d w z o ro w a n ie c z ę s t o ś c i CO^ i £02 » f u n k c j i w ła s n y c h
'B Z . , 2)Z2
( x ) i Ł jC k ) o r a z k s z t a ł t u f u n k c j i i ® t a b e l i 2 i 3 p o -
3 X ,( x ^ “5X 2 (x)
d a n o w a r t o ś c i f u n k c j i — p— —• o r a z — — d l a d o k ła d n e g o r o z w ią z a n i a x*ównania ( 4 ) .
3 . M o d ele d y s k r e t n e d r f a ń p o d łu ż n y c h u k ła d u l i n a - n a c z y n i e wydobywcze p r z y s t a ł e j d ł u g o ś c i l i n y
U o d e le d y s k r e t n e budow ać b ę d z ie m y w o p a r c i u o z m o d y fik o w a n ą m eto d ę G a le r k ln a .W t e j m e t o d z ie f u n k c j e k s z t a ł t u d o b i e r a n y " a p r i o r i " k i e r u j ą c s i ę o b s e r w a c j ą o b ie k tó w r z e c z y w i s t y c h ,p o m i a r a m i n a o b i e k t a c h z b l i ż o n y c h . W ty m p r z y p a d k u p r z y w y b o rz e f u n k c j i k ie r o w a n o s i ę r o z w ią z a n ie m d o k ła d nym .
P r z y p a d e k a . Z ak ład am y r o z w i ą z a n i e r ó w n a n ia (V) w p o s t a c i
u U „ - 0 = ^ W T , l t ) = - f - T . (1 3 )
To z n a c z y o d k s z t a ł c e n i e l i n y j e s t p r o p o r c j o n a l n e d o o d l e g ł o ś c i od p u n k tu m ocow ania l i r y i p r z y n a c z y n i u wydobywczym w y n o s it
u ę i , Ł ) « T w .
O dpow iada t o p rz y p a d k o w i n i e w a ż k i e j n i c i o b c i ą ż o n e j n a k o ń c u c ię ż a r e m Q.
W y z n a c z a ją c o d p o w ie d n ie p o c h o d n e i p o d s t a w i a j ą c do r ó w n a n ia ( 4 ) i w aru n ków b rz e g o w y c h ( 5 ) i ( 6 ) u z y s k a n o
84 J. Rżysko, W. Linke, J, Olszewski
f
t t "-J- T + E A - f T * O'
$ 1
T ab ela 2
3 X , ( x ) z . x
W a r t o ś c i sc, ( x ) «=1 — x ~ *= z,, c o s - j -
f i *1 X « 1 x = 0 , 8 1 x = 0 ,5 1 x = o ,3 l x = 0
0 3 ,1 4 1 5
a , (x ) 0 0 ,4 8 5 4 1 .1 1 0 7 1 .3 9 9 6 1 .5 7 0 8
0 0 .3 0 9 0 0 .7 0 7 1 0. 8910 1 . ooco
1 0 ,8 6 0 3 5
P-, (X) 0 .5 1 0 9 0 .6 4 4 8 .0 ,7 8 1 9 0 ,8 3 1 8 1 .0 0 0 0 b ,,( x ) o , y m 0 ,7 4 9 4 0, <5, §¿>69 1 , ó ć c o 2 0 ,6 5 3 2 7
SC, IX) 0 ,5 1 8 8 0 .5 6 6 0 0 .6 1 8 7 0 .6 4 0 8 0 ,6 5 3 3
^ (x ) 0 .7 9 4 1 0, 8565 0 .9 4 7 1 0 .9 8 0 9 1 .0 0 0 0 5 0,5 4 7 1
sc,(x )
0 ,4 6 7 2 0 .5 2 6 6 . ^ .3 3 5 5 0,5471
b., (x ) 0 ,8 5 4 0 0 .9 0 5 8 0 . 9623 0 .9 8 6 6 1 .0 0 0 0
4 0,4801
a , (.O
0 .4 2 5 8 0 .4 4 5 1 0 .4 6 6 3 0 .4 7 5 1 0 .4 8 0 1
^ W 0 .8 8 6 9 0 .9 2 7 1 0 .9 7 1 3 C, 9396 1 .0 0 0 0
5 0 ,4 3 2 8
a., (x )
0 .3 9 2 9 0 .4 0 7 1 0 .4 2 2 7 C .4312 . 0 ,4 3 2 8 b1 Cx> 0 .8 8 5 9 0 .9 2 7 1 0 .9 7 1 3 0 .9 8 9 6 1 .0 0 0 0 1 0 0 ,3 1 1 0 5
sc, (x ) 0 .2 9 6 1 0 .3 0 1 5 0 .3 0 7 3 0 .3 0 9 7 0 ,3 1 1 1 U ,( x ) 0 .9 5 2 0 . 0 ,9 6 9 2 0 .9 8 7 9 0 .9 9 5 6 1 .0 0 0 0 2 0 0 ,2 2 1 7
a 1 ( x )
. 0 ,2 1 6 3 ' 0 .2 1 8 2 0 .2 2 0 3 0 .2 2 1 2 0 .2 2 1 7 (x ) 0 ,9 ? "5. 0 ,9 8 4 3 0 .9 9 3 3 0 .9 9 7 7 1 .0 0 0 0 5 0 0 ,1 8 1 5 ^ (.O .0 ,1 7 8 5 0 .1 7 9 6 0 .1 8 0 7 0 ,1 3 1 2 0 .1 8 1 5 b/, ( x ) 0 .9 8 3 6 0 .9 8 9 5 0.Q 958 0 .9 9 8 5 1 .0 0 0 0 4 0 0 ,1 5 7 4 sc, (x ) 0 ,1 5 5 4 0 .1 5 6 2 0 .1 5 6 9 0 ,1 5 7 2 0 .1 5 7 4 b,, (x ) 0, 9876 0 . 9921 0 .9 5 5 9 0 .9 9 8 9 1 .0 0 0 0 5 0 0 ,1 4 0 9 5 o , ( x )
O j i l S z _ 0.1 4 0 1 0 .1 4 0 6 0 .1 4 0 8 0 .1 4 0 9
b1 (x ) 0.9 9 0 1 .0,9936 0 .9 9 7 5 0.9 9 9 1 1 .0 0 0 0
6 0 0 ,1 2 8 7
SC, (.X)
0 .1 2 7 6 0 .1 2 8 0 0 ,1 2 8 4 0 .1 2 3 5 0 .1 2 8 7
\ ( x )
0 ,9 9 1 7 0 .9 9 4 7 0 .9 9 7 9 0 .9 9 9 2 1 .0 0 0 0
0 a^(X> 0 0 0 0 0
b,, (.X) 1 1 1 1 1
Kfnożąc z g o d n ie z a lg o ry tm e m m e to d y ró w n a n ie (14) p r z e z u , = j i c a ł k u j ą c w g r a n i c a c h O, 1 , z a ś r ó w n a n ie (15 ) p r z e z w a rto ś ć f u n k c j i tc, w p u n k c ie 1 c z y l i p r z e z o , / * 1 o r a z ż ą d a j ą c a b y sum a r e s z t b y ł a ró w n a z e r o , o t r z y -
/ X“ 1
mamy
¿ A
(1 5 )
3 Ł , ( x ) o r a z b , CO*5 T Ź f f t j
T ( f i ł f ) * T - i E » 0 (1 6 )
T a b e l a 3 7)X p (x )
3 X* x f "x.\ ~ t t
W a r t o ś c i 82( 2-) = 1 -3 5 ■■ = z2 008 l e2 i ) o r a s V x > E 3 ^ 8?
" 9 5
Kryteria dobortt ftmlccjl przybliżonych..,_____________ 85
i- z2 x = 1 2 =0,8 1 2= 0,5 1 2 = 0 ,3 1 2 = 0
0 4 ,7 1 2 5 8 8 a2 (x ) 0 - 3 , 8 4 2 4 0 - 3 ,3 3 2 1 6 0 ,7 3 7 1 3 4 ,7 1 2 3 9
t>2 (x ) 0 -0,80902 - 0 ,7 0 7 1 1 0 ,1 5 6 4 3 1
3 ,4 2 5 6 2
82(2 ) - 3 ,2 8 8 3 7 - 3 ,1 5 3 7 4 - 0 , 4 8 4 8 5 1 ,7 7 0 3 6 3 ,4 2 5 6 2 b2 (x ) - 0 ,9 5 9 9 3 - 0 ,9 2 0 6 3 - 0 , 1 4 1 5 4 0,51680 1
3 ,3 2 9 3
83(2 ) - 3 ,2 5 4 9 9 - 2 ,8 7 6 9 4 - 0 , 2 4 7 8 5 1 ,8 1 2 8 0 3 ,3 2 9 3 t>2 (x ) - 0 ,9 8 8 6 6 -0,8 7 3 8 3 - 0 , 0 7 5 2 8 0 ,5 5 0 6 1 1
3 3 ,2 4 3 9 8 a2 (x) - 3 ,2 2 6 9 1 - 2 ,7 7 1 6 4 - 0 , 1 6 5 9 9 1,82526 3 ,2 4 3 9 8 b2 (.2 ) - 0 ,9 9 4 7 6 - 0 , 8 5 4 3 9 - 0 ,0 5 1 1 7 0,56266 1
¿L 3 ,2 1 9 1
83(2 ) - 3 , 2 0 9 4 - 2 ,7 1 6 5 5 - 0 ,1 2 4 7 2 1 ,8 3 1 0 ? 3 ,2 1 9 1 b2 (x ) - 0 , 9 9 6 9 9 - 0 , 8 4 3 8 8 - 0 ,0 5 8 7 4 0,56882 1
5 3 ,2 0 3 9 3
a2 (x") - 3 , 1 9 7 7 0 - 2 .6 C 2 6 8 - 0 ,0 9 9 8 4 1 ,8 3 4 4 2 3 ,2 0 3 9 3
*2 « - 0 , 9 9 8 0 5 - 0 ,8 3 7 3 1 -0,03116 0 ,5 7 2 5 5 1 10 3 ,1 7 3 0 9 9
a2( x ) - 3 ,1 7 1 5 2 - 2 , 6 1 3 2 8 - 0 , 0 4 9 9 8 1 ,3 4 0 7 5 3 ,1 7 0 9 b2 (x ) - 0 , 9 9 9 5 0 - 0 ,8 2 3 5 7 - 0 , 0 1 5 7 5 0 ,5 8 0 1 1 1 20 3 ,1 5 7 4 3 a g i * ) - 3 , 1 5 1 7 0 - 2 ,5 7 7 7 2 -0,02500 1 ,8 4 3 7 3 3 ,1 5 7 4 3
b2( 2 ) - 0 ,9 9 9 8 7 - 0 , 8 1 6 3 9 - 0 ,0 0 7 9 1 0 ,5 8 3 9 3 1 a g (2 ) - 3 , 1 5 1 9 8 - 2 ,5 6 5 7 2 - 0 ,0 1 6 6 5 1 ,8 4 4 6 9 3 ,1 5 2 1 6 p v >>f >>¿10
t>2 ( x ) - 0 ,9 9 9 9 3 - 0 ,8 1 3 9 6 - 0 ,0 0 5 2 8 0 ,5 8 5 2 1 1
4 0 3 ,1 4 9 5 3 a 2 C ^ - 3 ,1 4 9 4 3 - 2 ,5 5 9 7 2 - 0 , 0 1 2 4 9 1 ,8 4 5 1 7 3 ,1 4 9 5 3 b2 (x ) - 0 ,9 9 9 9 7 - 0 ,8 1 2 7 3 - 0 ,0 0 3 9 7 0 ,5 8 5 8 5 1 50 *2 GO - 3 ,1 4 7 8 5 - 2 ,5 5 6 0 5 - 0 ,0 0 9 9 4 1 ,8 4 5 4 6 3 ,1 4 7 9 1
• V x ^ - 0 , 9 9 9 9 8 - 0 ,8 1 1 9 7 r - 0,00516 0 ,5 8 6 2 5 1 6 0 3 ,1 4 6 8 8
83(2) - 3 ,1 4 6 8 3 - 2 , 5 5 5 6 8 - 0 , 00831 1 ,8 4 5 6 5 3 ,1 4 6 8 8
* 2 W - 0 , 9 9 9 9 9 - 0 ,8 1 1 4 9 6 - 0 ,0 0 2 6 4 0 ,5 8 6 5 0 1
3T a ,, W -OT - 2 , 5 4 1 6 0 0 1 ,8 4 6 5 8 3T
b 2 ( x ) - 1 - 0 ,8 0 9 0 2 0 0 ,5 8 7 7 8 1
86 J. Rżysko, W. Linke, J. Olszewaki R ów nanie t o z a p is z e m y w p o s t a c i
M O
T + co T = 0
g d z i e
u) =
E K (.17)1 (0 ,+ - ^ - )
W y ra ż e n ie t o z n a n e j e s t w l i t e r a t u r z e [ 2 ] ja k o w z ó r R e y le ig h 'a .W y k o r z y s t u j ąo o z n a c z e n ia (11) , z a p is z e m y
“ =
bY
t?
f“ B
zW a r t o ś c i w s p ó łc z y n n ik a c z ę s t o ś c i z^ w f u n k c j i ją, z e s t a w i o n o w t a b e l i 4 . T abela 4
JS *1 ■.
0 1 ,7 3 2 0 5
• 1
.
0,8660252 0,654653
3 0,547722
4 0,48C984
5 0,433013
1 0 0,311085
20 0,221766
30 0 ,181568
4 0 0 ,157459
50 0,140952
60 0,128742
Oo 0
B a to m ia s t 'Z U.4
= o o n s t , c o o z n a c z a s t a ł ą w a r to ś ć s i ł y w z d łu ż l i n y . P rz y p a d e k b . Z akładam y r o z w ią z a n i e ró w n a n ia (4) w p o s t a c i
u ( Xłt ) = u„(x) 'T2(i) = sWc ( J x ) - T (18)
U g ó r y p r z y k o l e lin o w y m f u n k c j a Ug (0 ) = 0 a p r z y n a c z y n i u wydobywczym Ul *
1,
a w ię c u ( l , t ) = T ( t ) . P o s t ę p u j ą c j a k u p r z e d n i o u z y s k a n y ró w n a n ie^ (4 + f ¥ T = 0 ' (.19)
c z y l i
a> = i / J t * » . . ' l / ^ V 4 ( 2 ^ + l )
(
20)
(21)
Kryteria doboru iunkcji przybijżonych. . . 87
Ti ń
W a r t o ś c i z . = —j — - — r c s r r - d l a r ó ż n y c h 6 z e s t a w i o n o w t a b e l i 5 .
y a s + r f
T a b e la 5
fi
C10
i
1 0 ,9 0 6 8 9 9
2 0,702431
3 0,593705
4 0 ,5 2 3 5 9 9
5 0,473613
1 0 0,342776
20 0,245317
3 0 0 ,2 0 1 1 2 0
4 0 0,174533
50 0 ,1 5 6 3 0 0 60 0 ,1 4 2 7 9 9
o c 0
B ń . 3T I T \
P o c h o d n a 0 08 \ 5 T x / d a ^e ro 2 M :a d s i ł 7 z g o d n y z d o k ła d n y m r o z w ią z a n ie m t y l k o d l a p r z y p a d k u |> = 0 , k i e d y f u n k c j a p r z y b l i ż o n a z g a d z a s i ę z p i e r w s z ą p o s t a c i ą w ł a s n ą m o d e lu c i ą g ł e g o . Z p o ró w n a n ia p r z y b l i ż o n y c h w a r t o ś c i w ła s n y c h / t a b . 4 / z d o k ła d n y m i w a rto ś c ia m i, p i e r w s z e j p o s t a c i /b a 'D .1 / w y n ik a d o b r a i c h z g o d n o ść d l a j?>& - ^ 1 + 8 ) .M ożna u z y s k a ć d o b r ą z g c d n o ś ć p r z y b l i ż o n e j f u n k c j i Oj ( x ) z f u n k c j ą w ła s n ą z z a l e ż n o ś c i
(8) a w ię c i i c h p o c h o d n y c h p o w s p ó ł r z ę d n e j x w s t a w i a j ą c d o z a l e ż n o ś c i (1 8 ) w m i e j s c e p r z y b l i ż o n ą w a r to ś ć z^ z t a b . 4
( U ( x . t ) = T, [£)
T ak w y z n a c z o n a f u n k c j a u ( x , t ) z a p e w n ia d o b r ą z g o d n o ść r o z k ł a d u s i ł y n o r m a ln e j Ii w z d łu ż l i n y p o ró w n a j z a le ż n o ś ć (1 2 ) .
P r z y p a d e k c , B o z w ią z a n ie ró w n a n ia (4) z a ło ż o n o w p o s t a c i s u s y
M - (x ,t) = A iilT ł + u 2T z = - ^ - T (l+ s v » ( ^ i t ) T z (22) P i e r w s z a f u n k c j a k s z t a ł t u Oj = j odw zo ro w u j} c i ę ż a r z a w ie s z o n y n a n i e w a ż k i e j n i c i , n a t o m i a s t d r u g ą f u n k c j ę k s z t a ł t u p r z y j ę t o w p o s t a c i u 2 * s i n ^ x d l a t e g o , ż e s p o d z ie w a n o s i ę w y s t ą p i e n i a w ę z ła w d r u g i e j p o s t a c i w ł a s n e j .
W y z n a c z a ją c o d p o w ie d n ie p o c h o d n e i p o s t ę p u j ą c z g o d n ie z a lg o ry tm e m m e to d y G a le r k i n a ,o t r z y m a n o u k ł a d ró w n ań s p r z ę ż o n y c h
88 J. Rżysko,
W.
Linke, J. Olszewski- o
(2 3 ) t ' i — +■ 4 3 ł ^ + T ' ( Ol + ^ E A _l rn 9 IL JLA - A
^ + T2 l 2 ^ ) U l + I 2 8 l - °
Z a k ł a d a j ą c ,S e n ie z n a n e f u n k c j e c z a s u s ą o k re so w e s i n ( o t i 3U “
* ¿2 s i n 03 t o trz y m u je s i ę , p o w y z n a c z e n iu o d pow iednich, p o ch o d n y ch i pod
s t a w i e n i u d o ( 2 3 ) , u k ł a d je d n o r o d n y c h l i n i o w y c h ró w n ań a l g e b r a i c z n y c h o s t a ł y c h w s p ó ł c z y n n i k a c h ,k t ó r y ma t y l k o w te d y n i e zero w e r o z w i ą z a n i e , g d y w y z n a c z n ik c h a r a k t e r y s t y c z n y ró w n a s i ę z e r o .O tr z y m a n o ró w n a n ie dwu- kw adratow e
w 4
K - u ZB K-+ B2 K = 0
e * 21® K - f 5 . _ 8 \ R + i - - ¡ A
(24)
,
Z
^ 9 JT
R o zw iązan iem r ó w n a n ia (2 4 ) j e s t
y t m • ■ 2 k\ — (25)
W t a b e l i 7 z e s ta w io n o w a r t o ś c i b ezw y m iaro w y ch w sp ó łc z y n n ik ó w c z ę s t o ś c i z^ i z2 w y zn aczo n e z z a l e ż n o ś c i
_ \ / K 2? y x ; - 4 k , ^ r
V
T a b e la 7
1 2 3 4 5
J* *1 Z2
0 1 ,6 6 2 3 5 8 4 ,7 1 2 3 8 9 0 , 090063 00
1 0 ,8 6 3 9 2 3 3 ,8 6 1 3 2 0, 022039 1 ,2 9 4 7 9 9 2 0 ,6 5 4 1 3 4 3 ,7 8 1 4 7 5 0 ,0 1 2 6 9 6 1 ,1 4 5 9 6 8 4 0 ,4 8 0 2 7 7 3 ,7 3 6 2 2 0 0 ,0 0 6 6 5 2 1 ,0 7 2 5 5 8 1 0 0 ,3 1 1 0 7 3 3 ,7 0 7 1 3 2 0 ,0 0 2 7 6 6 1 , 02891 0 6 0 0 ,1 2 8 /4 2 3 ,6 9 0 3 0 0 0 ,0 0 7 6 4 9 1 ,0 0 4 8 0 7
Bezwym iarowy w s p ó łc z y n n ik a m p l i t u d p o s t a c i d r u g i e j do p i e r w s z e j d r g a ń w ła s n y c h u k ła d u z a le ż n y j e s t od w s p ó łc z y n n ik a e> i o d p o w ia d a ją c y c h mu c z ę s t o ś c i d r g a ń
Kryteria doboru funkcji przybliżonych,..
O trzy m an e w a r t o ś c i w s p ó łc z y n n ik a ^ u ( c o ^ i ¡u ( l ú 2') n a n i e s i o n o w t a b e l i 7 r u b r y k a 4 i 5 » A n a liz u ją c , p r z e b i e g w a r t o ś c i s t w i e r d z a m y ,ż e (, u ł (gC|2') —► 1 a Cw2) ~ ° * Z n a c z y t o , ż e p i e r w s z a f u n k c j a w ła s n a
ł 4 (>0 = / * < ( * ) “ 2 W (2 7 )
d l a p 2 może b y ć z d o b r ą d o k ł a d n o ś c i ą p r z y b l i ż o n a f u n k c j ą /U t ( x) z pow oda m a ły c h w a r t o ś c i w s p ó łc z y n n ik a ^ ( w ^ )
Ł ( ^ = Ud W (28)
D ru g a f u n k c j a w ła s n a
4>a ( * y = u i ( « ) + u-2 ( * ) (2 9 )
może b y ć z d o b r ą d o k ł a d n o ś c i ą p r z y b l i ż o n a f u n k c j ą
4>2(x) = U 1 (x) + u 2 ( x ) (3 0 )
W a rto ś ć s i ł y w l i n i e w y ra ż o n a b ę d z i e sum ą
N = E F ¿ [ ^ W T ( " ¿ + T K ) j (51) Aby porównać otrzymane w a r t o ś c i s i ł z s i ł a m i u z y s k a n y m i z d o k ła d n e g o rozwiązania w t a b e l a c h 8 i 9 z e s t a w io n o w a r t o ś c i p o c h o d n y c h w zględem argumentu x f u n k c j i i>^ ( x ) i ^ ^ ( x )
'’'a b e l a 8
a i = x i i i = 2 g L c o s x + 1 5 h , (x ) -
£ X = 1 x = 0 , 8 1 x = C ,5 1 x = 0 ,3 1 x <= 0
4 0 , 006652 a , U ) 1 0 ,9 7 4 6 4 0 ,9 7 7 8 5 1 ,0 0 4 9 0 1 ,0 3 1 3 5
V * ) 0 ,9 6 9 6 1 0 ,9 4 5 0 1 0 ,9 4 3 1 1 0 ,9 7 4 3 6 1
1 0 0 ,0 0 2 7 6 6 a-, W 1 0 ,9 8 9 4 5 0 ,9 9 0 7 8 1 ,0 0 2 0 1 1 ,0 1 3 0 9
b., (x ) 0 ,9 8 7 1 3 0 ,9 7 6 7 2 0 ,9 7 8 0 5 0 ,9 8 9 1 5 1 6 0 0 ,0 0 0 7 6 5 a 1 ( x ) 1 0 ,9 9 7 08 0 ,9 9 7 4 5 1 ,0 0 0 5 6 1 ,0 0 3 6 0
1*1 (X) 0 ,9 9 6 4 1 0 ,9 9 3 5 0 0 ,9 9 3 8 7 0 ,9 9 6 9 7 1
<-*o 0
a 1 ( x j 1 1 1 1 1
^ l x ) 1 1 1 1 1
90 J. Rżyskof W. Linke. J. Olszewski
T a b e la 9
«2l * > B 1 r g r * + ^ O O B F Ł * ' . * b2( 3 ° =
f i
A
A - C ^ O X = 1 x = 0, 8' 1 x = 0,5 1 x =0,3 1 x = 0
4 0 ,935 505 0 ,9 3 3 5 0 5 -2,880052 - 2 ,3 9 9 8 1 1 1 ,6 6 9 5 3 0 5 ,6 4 4 7 3 9 b 2 (x ) 0 ,165171 - 0 ,5 1 0 2 1 8 8 - 0 ,4 2 5 1 4 1 0 ,2 9 5 7 6 7 1 10 0,971902 *2 W 0,9 7 1 902 - 2 ,8 4 0 5 0 0 - 2 ,3 6 0 2 6 0 1 ,7 0 9 0 8 2 5 ,6 8 4 2 9 1
t>2 w 0 ,1 7 0 9 8 0 -0,499710 - 0 ,4 1 5 2 2 5 0 ,3 0 0 6 6 7 1 6 0 0,9 9 5 2 1 5 a 2 fcr) 0 ,9 9 5 2 1 5 - 2 ,8 1 7 1 8 7 - 2 , 5 3 6 946 1 ,7 3 2 3 9 5 5 ,7 0 7 6 0 4
0 ,1 7 4 5 6 7 - 0 ,4 9 3 5 8 5 - 0 ,4 0 9 4 4 4 0 ,3 0 3 5 2 4 1
CO 1 a 2 (x) 1 - 2 ,8 1 ^ 4 0 2 -2,331622 1 ,7 3 7 1 8 0 5 ,7 1 2 3 8 8
*2
to
0 ,1 7 5 0 5 8 - 0 ,4 9 2 3 3 3 - 0 ,4 0 8 2 6 4 0 ,3 0 4 1 0 7 14» W n io sk i końcowe
P r z e d s ta w io n e a n a l i z y p o k a z u j ą , ż e d l a u z y s k a n i a d o b re g o m o d elu d y s k r e t n e g o l i n y u k ła d u w ydobyw czego k o n ie c z n e j e s t , a b y f u n k c j a p r z y b l i ż o n a u ^ C z ), o d tw a r z a ją c a p i e r w s z ą p o s t a ć w ła s n ą u k ł a d u ,z a p e w n i a ł a d o b r ą zgod
n o ś ć w a r t o ś c i w ł a s n e j z ^ , o r a z p o c h o d n e j z a n a lo g i c z n y m i w i e l k o ś c ia m i d o k ła d n y m i,
D la p r a k t y c z n i e s p o ty k a n y c h w k o p s iln ia c h w a r t o ś c i w s p ó łc z y n n ik a p - d o o b l i c z e n i a w a r t o ś c i z^ o r a z w y z n a c z e n ia r u c h u n a c z y n i a w ydobyw czego^
p o d c z a s ja z d y w y s ta r c z y z a k ła d a ć f u n k c j ę p r z y b l i ż o n ą u ^ ( z ) w p o3t a c i U| = j .N a to m i a s t d l a u z y s k a n i a d o b r e j z g o d n o ś c i r o z k ł a d u s i ł y n o r m a ln e j w l i n i e n a l e ż y z a k r a d a ć f u n k c j ę p r z y b l i ż o n ą Uj ( z ) w p o s t a c i u 1= s i n ( z 1 j j p r z y czym w a r to ś ć z^ t r z e b a b r a ć ze w z o ru R a y l e i g h ’a (1 7 ) •
Z a ło ż e n ie r o z w ią z a n i a w p o s t a c i sumy dw óch f u n k c j i / p r z y p a d e k c / u ( x , t ) - f 1 , . T2 . s i n ( | 2 L x ) p o z w a la n a u z y s k a n i e m o d e lu o dwu s t o p n i a c h sw obody o d tw a r z a ją c e g o d w ie p i e r w s z e p o s t a c i e w ła s n e .T a k u z y s k a n e m odele w y k a z u ją d o b r ą zg o d n o ść z r z e c z y w is ty m u k ła d e m wydobywczym d l a r u c h u t e g o u k ła d u p r z y zahamowanym k o le napędow ym .W ydaje s i ę w ię c c e lo w e i c h u ż y c i e do a n a l i z y r u c h u u k ła d u w ydobyw czego.
Kryteria doboru funkcji przybliżonych...
L i t e r a t u r a
Z . D ż y g a d ł o , S . K a l i s k i , L . S o l a r z , E . W ł o d a r c z y k : D r g a n i a i f a l a w c i a ł a c h s t a ł y c h . P r a c a z b io r o w a p o d o g ó ln ą r e d a k c j ą n au k o w ą S . K a l i s k i e g o . FWN W arszaw a 1 9 6 6 .
G .N .S a w in , O .A .G o ro s z k c - D in a m ik a n i t i p i e r e m i e n n o j d l i n y . I z d a t i e l - s tw o A k a d e m ii N auk U k r a i ń s k o j SSR. K ije w 1 9 6 2 .
CRITERIA TO DETERMINE THE APPROXIMATED FUNCTIONS NECESSARY WHEN CON | - STRUCTING A DISCRETE MODEL OF THE LONGITUDINAL VIBRATIONS IN THE
HOIST ROPES
The w o rk p r e s e n t s t l j e c o m p a r is o n b e tw e e n t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n o b t a i n e d b y t h e G a l e r k i n s m o d i f i e d m e th o d a n d t h e p r e c i s e s o l u t i o n o f l o n g - t i t u d i n a l n o n -d a m p e d v i b r a t i o n s o f a h e a r y r o p e l o a d e d w i t h c o n c e n t r a t e d w e ig h t o n 'v ie s i d e a n d f i x e d c n t h e o t h e r . T h e a n a l y s i s h a s b e e n c o n d u c t e d f o r v a r i o u s v a l u e s /3 = ^ o f t h e w e ig h t s u s p e n d e d f r o m t h e r o p e Q t o t h e d e a d w e i g h t q l . F o r d i f f e r e n t v a l u e s o f P t h e t a b l e s g i v e t h e e x a c t s o l u t i o n f o r t h e f i r s t a n d s e c o n d n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d t h e c o r r e s p o n d in g s e l f f u n c t i o n s a s w e l l a s t h e l o n g t i t u d i n a l f o r c e i n t h e r o p e o c c u r i n g d u r i n g t h e v i b r a t i o n s w i t h t h e s e f r e q u e n c i e s .
T hen t h e m e th o d o f a p p r o x im a t e s o l u t i o n f o r t h e a s s u m e d a p p r o x i m a te s e l f f u n c t i o n u x h a s b e e n g i v e n , w h e re x - c o o r d i n a t e o f t h e e le m e n t o f t h e r o p e ,m e a s u r e d f r o m t h e a t t a c h e d e n d .T h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n h a s b e e n made f o r t h e f o l l o w i n g a p p r o x im a t e f u n c t i o n s s
a/ l i n e a r Uj c y
b / s i n u s tn, = s i n j - y x7T
c / kom binow ana u , * y $ * s i n | y ^ x
T he a p p r o x i m a t e s o l u t i o n h a s b e e n c o m p a re d w i t h t h e p r e c i s e s o l u t i o n a n d t h e c o n c l u s i o n s h a v e b e e n g i v e n .
KPMTEPMH HQttBOPA AIHIPOKCMHPyEiWIX 4>yHKHHH CJiyaAlHX JU H n0CTP03i£H TKCKPETH03 MOflEAH nPQqoJNHUX KOAEBAHHl! nOAifiiiHOrO KAHATA
B
p a d o ie npoB eaeao cpaBHeane npHdJiraeHHoro peiueHMH, nojiyaeHHoro Moaniinmi- poBaHHHM MeTosoM rajiepitHHa, c tohhhm peaeHMeu npoaojiBHNX H e3aiyxa»niix ko- jie6aHiiii THjcejioro K aH aia, HarpyaceHHoro c oshoA ctopohm cocpeaoToveHnofl Ha- rpy3Ko0 h yK peiuieH H oro c apyroM cto po h h. AHaan3 npoBeaeH abh pa3HKX 3H a- qeHHti£ , = - £ r p y s a , noABeineHHoro Ha ¿aH aTe jB i k e r o codcTBeHHowy Becy S jih p a 3 H H x 3HaHeH Hii y8 n p e a c T a B a e n o b l a d a n u e T o v H o e p eiu eH H e a ^ H nepBOiiH B T O p o a COdCTBeHHOil H aC TO TU , a TaKiCe COOTBeTCTByiOHHX HM COOCTBeHHMX gjynK m ia, Kpoiae T o r o a a h n p o a o jiB H O ii c h j i h b K a H a T e , B H c iy n a io a e a bo B p e u a KOJiedaHHa c 3 t;im h qacTOTaM H.
AaJiee n p eacT asjieK mctoa nojiyqeHMH npudJiiiaceHHoro pemeHHH a n a s a a a r a o i i , npHfiBHMeHHoa codCTseHHoa oiyHKHHii u ( x ) , r a e x - KoopAMHaia aaeaeH T a K a - H aT a, n3MepaeMaH ot yKpeiuieHHoro ic o n p a . npadjiHKeHHoe pemeHHe uooBeaeHO a n a caeayiouiHX npHdjmseHHHX $yHKiwa:
a / KaHaTHaa u t =
6 / CHHye u , = " z i ’ *
•X • 3 7 i~ *
B / KOMdHF'ipOBaHHaH U , = ' U Z * S l n 7 T
npHdaraeHHoe pemeHHe dmio cpaBHeHO c tchhhm peiueaaeu h dtuin n p eaciaB Jiem BHBOflH.
