O pewnej transformacji zespolonej i jej zastosowaniu do trójfazowych układów elektromaszynowych

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1972

S e r i a s ELEKTRYKA z . 38 S r k o l . 357

MACIEJ SIWCZYŃSKI

I n s t y t u t Fodstawowyoh Problemów E l e k t r o t e c h n i k i i E n e r g o e l e k t r o n i k i

0 PEWNEJ TRANSFORMACJI ZESPOLONEJ I JE J ZASTOSOWANIU DO TRÓJFAZOWYCH UKŁADÓW ELEKTROMASZYNOWYCH

S t r e a z o z e n i e . P ra o a n i n i e j s z a z a j m u j e s i ę dynam ik ą s i e ­ c i "n"-przewodowyoh z a w i e r a j ą o y o h s y m e t r y c z n e u k ł a d y e l e k ­ t r o m e c h a n i c z n e w p o s t a o i maszyn a s y n c h r o n i c z n y c h i a y n o h rc -

n i o z n y o h . Do o p i s u t y o h s i e o l używane s ą w s p ó łr z ę d n e pow ią­

zane t r a n s f o r m a c j a m i u n i t a r n y m i z a le ż n y m i od c z a s u . Równa­

n i a d y n am ik i s i e c i d l a t y o h w s p ó łr z ę d n y c h sform uło wane s ą w s p o só b w s p ó ł z m i e n n i c z y . D z i ę k i temu o s i ą g n i ę t o z n a c z n ą u n i f i k a o j ę równań maszyn a s y n c h r o n i c z n y c h 1 s y n c h r o n i c z ­ nych w d o w o ln y ch , n i e s y m e t r y c z n y c h s t a n a c h p r a c y .

1 . W ł a s n o ś c i t r a n s f n r m a o . l i

Będziemy r o z p a t r y w a ó s i e ó e l e k t r y c z n ą o " n " - f a z o w e j budowie g a ł ę z i . S i e ć t a z a w i e r a e l e m e n t y s t a t y o z n e ( l i n i o w e r e z y s t a n o j e , l n d u k o y J n o ś o i , p o j e m n o ś c i ) i e l e k t r o m e o h a n i o z n e (maszyny a s y n o h r o n i o z n e , maszyny syn­

c h r o n i c z n e ) . W s z e lk ie p o b u d z e n ia w y s t ę p u j ą o e w t y o h s i e c i a c h b ę d ą s i n u s o i ­ d a l n e .

K aż dej g a ł ę z i w spom nianej wyżej s i e o l odpowiada j e d e n p u n k t , a każdemu p u n k to w i odpowiada "n" w s p ó ł r z ę d n y o h . W spółrzędnym i ty m i s ą w a r t o ś c i chwi­

lowe p rąd ó w , n a p i ę ó , l i n i o z w o i , ładunków e l e k t r y o z n y c h . W t e n s p o s ó b o t r z y ­ muje s i ę u k ł a d w s p ó ł r z ę d n y o h . Można p o w i e d z i e ó , że w k a ż d e j c h w i l i k a ż d e ­ mu p u n k to w i s i e o i odpowiada w e k to r x e XQ, g d z i e Xn j e s t pewną c-wymia­

rową p r z e s t r z e n i ą .

Wprowadzimy t e r a z do r o zw aż ań o a ł ą k l a s ę układów w s p ó łr z ę d n y o h powią­

z a n y ch ze s o b ą t r a n s f o r m a c j a m i u n i t a r n y m i s p e ł n i a j ą o y m i n a s t ę p u j ą c y wa­

r u n e k ¡ i j *

g d z i e będziem y d a l e j nazywaó ¡ a a o i s r z ą w ł a s n ą t r a n s f o r m a c j i S j . S s a e e - g ó l n y a p r z y p a d k ie m t a k i e j t r a n s f o r m a c j i może byó p r s y k ł s d dwóou układów w s p ó łr z ę d n y o h p r z e s t r z e n n y c h porusza Jąoyoh. s i ę w z g l ę ' j r s i e b i e .

Í 1 )

338 M a o l e j S l w o z y ń s k i

N leoh x o r a z x ’ o z n a c z a j ą w ektory w dwóoh r ó ż n y c h u k ła d a o h w s p ó ł r z ę d ­ nych pow iązanych ze so b ą t r a n s f o r m a o j ą S ^.

Z a o h o d z i z a te m :

x ’ « S± x . ( 2 )

Ś led ząc za [YJ d e fin iu je m y : k

J a k pokazano w [ i ] o b o w ią z u je zw iązek r e k u r e n o j y j n y :

k k—1 k-1

5 x S x s x

i d , i v . « i

- 1f ‘ a - F T ' ł i a f F 7

■ W

da s i ę p r z e d s t a w i ć p r z y pomooy zwykłych pochodnych = - r , J = 1 , 2 . . . k d ^ o - d t 3

r a z m a c ie rz y w-łasnyoh p r z e k s z t a ł c e n i a .

U )

U k ład w s p ó łr z ę d n y c h d l a k t ó r e g o !

»* x d x

d l a dow o ln eg o , n a t u r a l n e g o k , będziemy n a z y w a l i podstawowym.

Każdemu punktow i s i e o i przyporządkowane s ą b e z p o ś r e d n i o w sp ó łrz ę d n e f a ­ zowe. Wektory i m a o ierze w tym u k ł a d z i e w sp ó łrz ę d n y c h będziemy oznaozaó znakiem ( f ) pisanym u d o ł u sym bolu. Fazowy u k ł a d w s p ó łrz ę d n y c h J e s t u k ł a ­ dem podstawowym.

2 . Współzm lennio zoóó równać o p i s u j ą c y c h s i e ó

W p u n k c i e n i n i e j s z y m pokażemy w j a k i sposób t r a n s f o r m u j ą s i ę r ów na nia r ó ż n ic z k o w e o p i s u j ą o e s i e o i z ł o ż o n e , po t r a n s f o r m a o j i w s p ó łr z ę d n y c h m acie­

r z ą u n i t a r n ą s p e ł n i a j ą o ą warunek £ 1 ) .

O pewnej t r a n s f o r m a c j i z e s p o l o n e j i j e j z a s t o s o w a n i u . . 339

Każda s i e ć e l e k t r y c z n a o " n " -fa z o w e J budowie g a ł ę z i z a w i e r a j ą c a e l e ­ menty s t a t y o z n e 1 e l e m e n ty e l e k t r o m e c h a n i c z n e o n i e n a s y c o n y c h obwodach a a- g n e t y o z n y o h , da s i ę o p i s a ć układem r ć w n a ń :

1 k . dk x

y V / k i1 1 3 - 1 , 2 , . . . 1 ( 5 a 1

H i ( f ' d t ( f )

Gdzie A . . J e s t m a o i e r z ą o e l e m e n ta o h z a l e ż n y c h od o z a s u . (t r 1

J a k pokazano w

W

1 k ^ s \

S Ak i j “ " j * f 5b1

1^1 k=*0 J r

g d z i e !

•'HclJ = s j ( f ^ k l j S 1 1 i 6 i

[Y] u ż y t o t a k ż e z a p i s u :

<ffi + I r ' (7 1

Z a p i s t e n J e s t s ł u s z n y t a k ż e p rz y 6.j_ zale żnym od o z a s u . J e d n a k ż e « t e d y w r e l a o j i (71 n i e można s to s o w a ć wzoru potęgowego New tona.

B ardzo o z ę s t o oelem u ł a t w i e n i a p r a k t y o z n y o h o b l i c z e ń wygodnie J e s w prow adzić w e k to r y s y m b o lio z n e x w fazowym u k ł a d z i e w s p ó łr z ę d n y c h o r a * x w Innym u k ł a d z i e w s p ó łrz ę d n y m i.'

Wektor s y m b o lic z n y x J e s t z d e f i n i o w a n y t a k , a b y : ( f i

x = i ( x + 2 * 1 . ( 8 1

( f i 2 ( f i ( f i

Jak ła tw o p o k a z a ć , w dowolnym u k ł a d z i e w s p ó łr z ę d n y c h z a c h o d z i :

x = l x + T x * J , ( 9 )

Maol ej S i woz yńa kl g d z i e

T = SST .

J a k s t w i e r d z o n o w [ l i , j e ż e l i A . , . s ą m a c ie rz a m i o r z e c z y w i s t y c h elem e n- ( i r 3

t a c h , t o r ó w n a n ia ( 5 a ł t r a n s f o r m u j ą s i ę w ( 5 M t a k ż e 1 d l a wektorów symbo­

l i c z n y c h . Wtedy t a k ż e o b o w ią z u je z a s a d a w s p ó łz m ie n n io z o ć o i z a p i s u równań s i e c i .

3 . W s p ó łz m le n n lo z o ść równań mocy

Ze w zględu na dynamikę układów e l e k t r o m e c h a n i c z n y c h b ę d z i e n a s i n t e r e ­ sować moc c h w ilo w a , k t ó r a w fazowym u k ł a d z i e w s p ó łrz ę d n y o h wyraża s i ę r e ­ l a c j ą :

p = i T u . ( 1 0 a )

( f ) ( f )

Można ła tw o p o k a z a ć , że J e ż e l i m a c ie r z t r a n s f o r m a c y j n a S s p e ł n i a warunek u n i t a r n o ó e i , t o o b o w ią z u je r e l a c j a :

p = i * T u . ( l O b )

P o d o b n i e , z a s a d a w sp ó łz m le n n io z o ś o i równań o b o w ią z u je d l a e n e r g i i zmagazy­

nowanych w i n d u k o y j n o ś c l a c h 1 pojem noóolaoh s l e o l .

J e ż e l i u żyć wektorów s y m b o l i c z n y c h , moc chwilowa w y r a z i s i ę r e l a o j ą :

p = i ( t * T u + f 1 u * + r * T T u * + T T T u ) . (10o )

¡i. O p e r a t o r y

prowadzamy za |Y] o p p r a t o r y P o z n a c z a j ą o e o p e r a o j e r ó ż n i c z k o w a -

D la h 1

Ha mocy ( 7 ) s ł u s z n y J e s t z w ią z e k :

= P + <5t .

Załóżmy d a l e j , że S ( t ) j e s t m a c i e r z ą o n i e z a l e ż n e j od c z a s u m a olerzy w ł a s ­ n e j .

Wprowadzamy o p e r a t o r o a ł k o w a n i a :

t

s ( t ) s ^ m u ( f ) a r ( 1 1 )

O pewnej t r a n s f o r m a o j l z e s p o l o n e j i j e j z a s t o s o w a n i u . . . 34-1

Wtedy [T| o p e r a t o r r ó ż n i c z k o w a n i a d z i a ł a na we kt or u i t l w spos ób n a s t ę p u ­ j ą c y :

i l ^

Si j u ( t H = + u ( o 1 ( 1 2 )

W [i] udowodniono n a s t ę p u j ą c e w ł a s n o ś c i o p e r a t o r a

■i) s r s i ~ ^ ~ s i ~ ^ x _

2 ) J e ż e l i A j e s t m a c i e r z ą o e l e m e n t a c h n i e z a l e ż n y c h od c z a s u , t o : ( X + A) ( # + A)- 1 = ( # + A ) " 1 ( # + A) = I

3 ) N ieo h b ędą o p e r a t o r a m i o d p o w ia d a ją c y m i tr a n s f o r m a c j o m o macie r z a o h w łas n y ch 6 ^ , &2 , wtedy z a o h o d z l :

t

fi62- ( ^ 1 r 1u ( t ) = u ( t ) + (g2- ^ ) s ff1C t ) J S g ^c r > U( f t ó f O

t

4 i i # ® 1 r V ° 2u ( t i - « e t > + S g ^ t i J % i i f K < 3r2 “ 6i ) a i n d f

o

O p e r a t o r # 5 2 ( # 5^ I- "® nazwiemy ułamkiem operatorow ym prosty m .'» pewnych p r s y - p a d k a o h , n a j o z ę ś o i e j w p r a k t y o e s p o ty k a n y o h ułamek t e n j e s t p rz e m ie n n y .Z a ­ g a d n i e n i e p r z e j t i l e n n o ś o l ułamków o p e ra to r o w y c h p r o s t y c h j e s t dyskuto wane d o k ł a d n i e w jV J, t u t a j n i e będziemy s i ę tym zajm ować. W ł a s n o ś c i od 1 do 4 o p e r a t o r a & s ą b a r d z o i s t o t n e , gdyż p o z w a l a j ą na odw ra o an le z ł o ż o n y c h wy­

r a ż e ń opera-frorowyoh w y s t ę p u j ą c y o h w r ó w n a n ia c h s i e c i . Pozwala t o na z a s t o ­ sow anie o p e r a to ró w Si do r o z w ią z y w a n ia układów równać ( 5b') 0 s t a ł y c h ma- c l e r z a o h Do t e g o ty p u równań da d z ą s i ę s p r o w a d z i ć r ó w n a n ia o p i s u j ą ­ ce s i e o i o " n n- f a z o w e j s y m e t r y o z n e j budowie g a ł ę z i z a w i e r a j ą c e maszyny a - s y n o h r o n i o z n e i sztyw ne s y m e t r y c z n e , l u b n i e s y m e t r y c z n e ź r ó d ł a n a p i ę c i a s i n u s o i d a l n e g o .

5 . Maszyna a s y n o h r o n l o z n a ja k o e l e m e n t u ł o ż o n e j s i e o i e l e k t r y c z n e .1 R o z p a t ry w a n i e maszyny a s y n c h r o n i c z n e j ja k o e l e m e n tu " w p ię te g o " do z ł o ż o ­ n e j s i e c i o "n"—fa z o w e j budowle g a ł ę z i n a t r a f i a zwykle na t r u d a o ś o i n a t u ­ r y f o r m a l n e j . T r u d n o ś c i t e można ominąć s t o s u j ą c w s p ó łz m ie n n ic z y z a p i s równań s i e o i . W ogólnym p rzy p a d k u r ó w n a n ia d y n am ik i s i e o i z a w i e r a j ą c y c h maszyny a s y n c h r o n i c z n e s ą n i e l i n i o w e , ze w zględu na r ó w n o c z e s n ą zmianę p r ę d k o ś o i o b r o to w y o b .

_ Ba0j erB j e d n o s tk o w a .

34-2 Ma c i e j S l wo z y ń s k l

P o n i ż e j d l a u p r o s z c z e n i a z a g a d n i e n i a r o z p a tr z y m y dynamikę maszyny a s y n ­ c h r o n i c z n e j j a k o elem e n tu s i e c i przy z a ł o ż e n i u s t a ł e j p r ę d k o ś c i o b r o to w e j.

w [ 1] u ż y t o w s p ó łz m ie n n ic z e g o z a p i s u równań maszyny a s y n c h r o n i c z n e j . M a on p o s t a ó :

S

z*

3

s s t

s" = ^

(L"8

VI VI

M a o ie r z e r e z y s t a n c j i i ln d u k o y J n o ś o i w y s tę p u ją o e w ró w n a n la o h ( 1 3 ) s ą d ia ­ g o n a l n e o s t a ł y c h e l e m e n t a o h . W z a p i s i e operato ro wym ró w n a n ia ( 1 3 ) p r z y j ­ mą p o s t a ó :

a 8 ' Rs s + X 9 L33 j x a Lsw r 3

u" J t w Lws | Rww + ^w Lww^ f "

Równanie ( 1 4 ) w s k a z u je na czwórnikowy o h a r a k t e r u j ę o i a maszyny a s y n c h r o ­ n i c z n e j .

Układ równań ( 1 4 ) pozwala na o p i s dy­

n a m ik i maszyny a s y n o h r o n i o z n e j j a k o e l e ­ mentu z ł o ż o n e j s i e o i . P rz y z a ł o ż e n i u s t a ł e j p r ę d k o ś c i o b r o to w e j m a o ie rz im - p e d a n c y j n a r ó w n a n ia ( 1 4 ) J e s t odwraoal-r n a . Otrzymujemy w t e n sposób b a r d z o pro­

s t ą metodę a n a l i z y stanów n i e u s t a l o n y c h w maszynaoh a s y n c h r o n i c z n y c h p o z w a l a j ą ­ ca n a t y c h m i a s t u z y s k a ó wynik w p o s t a o i równań prze b ieg ó w i n t e r e s u j ą o y o h - nas w i e l k o ś o i . P r z y k ł a d y t a k i e r o z w ią z a n e s ą w [ i ] .

6 . Maszyna s y n c h r o n i c z n a ja k o ele m e n t slec.1

A n a l i z a maszyny s y n c h r o n i c z n e j ja k o e l e m e n tu s i e o i t r ó j f a z o w e j J e s t pod względem matematycznym n ie c o b a r d z i e j skomplikowana n i ż w przypadku maszyny a s y n o h r o n l o z n e j .

u*

R y s . 1 . Mąszyna a s y n c h r o n i c z ­ na Jako e le m e n t s i e o i

O pewnej t r a n s f o r m a c j i z e s p o l o n e j i j e j z a s t o s o w a n i u . . .

343

Równania maszyny s y n c h r o n i c z n e j z a p i s a n e w p o s t a c i w s p ó ł z m i e n n i c z e j p r a ­ wie ni czym s i ę n i e r ó ż n i ą od ( 1 3 ) i maj ą p o s t a ć [1] :

Równania ( 1 5 ) po r o z p i s a n i u prowadzą do równań l l n i o w y o h o okresowo zraien- nyoh w s p ó ł c z y n n i k a c h , k t ó r e w przy p a d k u p r a o y s y m e tr y o z n e j p r z e c h o d z ą w r ó w n a n ia ze w s p ó łc z y n n ik a m i s t a ł y m i . Tym tłu m a c z y s i ę m a te m a ty c z n ie f a k t p o j a w i e n i a s i ę w yższych h a r m o n ic z n y c h w p r z e b i e g a c h u s t a l o n y o h p r z y p rao y n i e s y m e t r y c z n e j . W p r a c y M podane z o s t a ł y p r z y k ł a d y a n a l i z y n ie sym e­

t r y c z n e j p ra o y maszyny s y n c h r o n i c z n e j . Wyniki tam u z y s k a n e p o z w a l a j ą o k re ­ ś l i ć p r z e b i e g i czasowe a m p l i t u d , z e s p o l o n y c h sz eregów F o u r i e r a prądów i n a p i ę ć w s t a n a o h n i e u s t a l o n y c h .

Równania d y n a m ik i maszyny s y n c h r o n i c z n e j J e d n o f a z o w e j poohedzące z p r z e k s z t a ł c e n i a u k ła d u ( 1 5 ) a ą doprowadzone w [ 1] do p o s t a c i n a s t ę p u j ą c e j -

S 3_________ (Ls s f s ) 8 $ swS____

( 1 5 ) , ( l »wr ») * v " 3

- % — t — + w

g d z i e

d T l

a s i " 3T * + b

( 1 6 )

W s p ó ło z y n n l k i w r ó w n a n ia c h ( 1 6 ) s ą z e s p o l o n e i z a l e ż ą od parametrów maszy­

n y “ z* o z n a c z a j ą odpow iednio p rą d y 1 n a p ę o la - o to ja n a i w z b u d z e n i a .

yv±

J a k pokazano w [Y] r o z w i ą z a n i a u k ła d u ( 1 6 ) n a l e ż y posz ukiw ać w p o s t a o i sz e r e g ó w :

I s t n i e j e wtedy m ożliw ość o k r e ś l e n i a f u n k o j l ^ 2 n ^ ^ *

A n a liz a p e łn e j dynam iki maszyny s y n o h r o h i o z n e j p ro w a d zi r ó w n i e ż do równań n ie lin io w y c h , k tórych rozwiązanie J e s t z n a o z n i e t r u d n i e j s z e , mimo t o metody n rze d sta w lo n e powyżej mogą 1 t u t a j mieć d użą w a r t o ś ć u ż y t k o w ą . .

LITERATURA

1. S iw c z y ó s k l M a olej : " S y n te z a s t r u k t u r a l n a sy n o h ro n io z ń y o h układów e l e k ­ trom ech an iczn ych w o p a r o i u o z a s a d ę l n w a r l a n t n o ś o i " . F ra oa d o k t o r s k a .

•G liw loe 1972 r .

GE CJtfil.tf flPB0BPA3O3AHlih HDOPfflriHAT ChMMETlłlHHIK "n"-.I]POflOaHüX U EH Eh C üjIEKT POUEXAHEhEGKIiiMki SJIEMEHT AMI»

V e 3 o w e

3 c i a T i e p accM o îp eH H npoĆ JieuH flHHaMHKH " n " -npoBOxHHX cziieTpHUHHx p e ­ ri en c 3seKTpowexaHH<iecicHiiH acnHxpoHHbiMn h ch hx po h h h u h sjieu e H T aM z. y p a s n e - aw a 3TBX CBCleM C$OpMyJIHpOBaHHbI KOBapHaHTHO C nOMomBD KOOp^HHaT CBSaaHHLiX c co fio it u aT paB uuuw npeo6pa30BaHHH.MH 3 aBhcsiukmm ot BpeMeHH.

óth

npecópasoBaHKfl yjoBJieTBopauT ycjioEHHW KOTopoe npzB ejeH u B CTaTBe.

CERTAIN COMPLEX TRANSFORMATION AND ITS APPLICATION TO THREE-PHASE ELECTROMECHANICAL SYSTEMS

S u m m a r y

The paper d l s c u à s e s dynamio o f th e " n " - l i n e s netw ork i n o l u d i n g symme­

t r i c a l e l e o t r o m e c h a n i o a l ^ e l e m e n t s . The c o o r d i n a t i o n s c o n n e c t e d w i t h tim e c o n d i t i o n e d u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n a r e used f o r d e s c r i p t i o n o f t h e s e n e t ­ w o r k s . E q u a t i o n s o f n e tw o rk s dynam ic, f o r t h e s e c o o r d i n a t e s , a r e f o r m u l a ­ t e d In o o T a r l a t i o n way.

The method a l l o w s t o u n i f i o a t e s y n o h r o n l u s and a s y n c h r o n o u s maohines e q u a t i o n s i n f r e e a s y m e t r i o a l c o n d i t i o n s o f w ork.

r “ c t ) = ^ r | n ( t i e J 2nUt h=0