Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej.

Różniczkowalność

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 1 / 12

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcja f (z) ma granicę właściwą g ∈ C w punkcie z0 ∈ C ( lim

z→z0

f (z) = g ) ⇔ dla dowolnego ciągu (z_n) zbieżnego do liczby z₀ ( lim

n→∞z_n= z₀) ciąg wartości funkcji (f (z_n)) jest zbieżny do liczby g , tzn.

n→∞lim f (z_n) = g .

Definicja

Funkcja f (z) ma granicę niewłaściwą ∞ w punkcie z₀∈ C ( lim

z→z0f (z) = ∞) ⇔ dla dowolnego ciągu (zn) zbieżnego do liczby z0

( lim

n→∞zn= z0) ciąg wartości funkcji (f (zn)) jest rozbieżny do ∞, tzn.

n→∞lim f (zn) = ∞.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcja f (z) ma granicę właściwą g ∈ C w punkcie z0 ∈ C ( lim

z→z0

f (z) = g ) ⇔ dla dowolnego ciągu (z_n) zbieżnego do liczby z₀ ( lim

n→∞z_n= z₀) ciąg wartości funkcji (f (z_n)) jest zbieżny do liczby g , tzn.

n→∞lim f (z_n) = g .

Definicja

Funkcja f (z) ma granicę niewłaściwą ∞ w punkcie z₀∈ C ( lim

z→z0

f (z) = ∞) ⇔ dla dowolnego ciągu (zn) zbieżnego do liczby z0

( lim

n→∞zn= z0) ciąg wartości funkcji (f (zn)) jest rozbieżny do ∞, tzn.

n→∞lim f (zn) = ∞.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 2 / 12

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcja f (z) ma granicę właściwą g ∈ C w ∞ ( lim

z→∞f (z) = g ) ⇔ dla dowolnego ciągu (zn) rozbieżnego do ∞ ( lim

n→∞zn= ∞) ciąg wartości funkcji (f (zn)) jest zbieżny do liczby g , tzn. lim

n→∞f (zn) = g .

Definicja

Funkcja f (z) ma granicę niewłaściwą ∞ w ∞ ( lim

z→∞f (z) = ∞) ⇔ dla dowolnego ciągu (z_n) rozbieżnego do ∞ ( lim

n→∞z_n= ∞) ciąg wartości funkcji (f (z_n)) jest rozbieżny do ∞, tzn. lim

n→∞f (z_n) = ∞.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcja f (z) ma granicę właściwą g ∈ C w ∞ ( lim

z→∞f (z) = g ) ⇔ dla dowolnego ciągu (zn) rozbieżnego do ∞ ( lim

n→∞zn= ∞) ciąg wartości funkcji (f (zn)) jest zbieżny do liczby g , tzn. lim

n→∞f (zn) = g . Definicja

Funkcja f (z) ma granicę niewłaściwą ∞ w ∞ ( lim

z→∞f (z) = ∞) ⇔ dla dowolnego ciągu (z_n) rozbieżnego do ∞ ( lim

n→∞z_n= ∞) ciąg wartości funkcji (f (z_n)) jest rozbieżny do ∞, tzn. lim

n→∞f (z_n) = ∞.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 3 / 12

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Twierdzenie

Niech z₀ = x₀+ jy₀, f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ), gdzie u(x , y ), v (x , y ) – odpowiednio część rzeczywista i urojona funkcji f (z). Wówczas

z→zlim0f (z) = g ⇐⇒ _{x →x}lim

y →y00

u(x , y ) = Re g i _{x →x}lim

y →y00

v (x , y ) = Im g

Twierdzenie (o działaniach na granicach funkcji)

Jeżeli istnieją granice właściwe funkcji f₁(z) i f₂(z) w punkcie z₀, to:

1 lim

z→z0

(f₁(z) ± f₂(z)) = lim

z→z0

f₁(z) ± lim

z→z0

f₂(z)

2 lim

z→z0

(a · f1(z)) = a lim

z→z0

f1(z) dla dowolnej liczby a ∈ C

3 lim

z→z0

(f1(z)f2(z)) =



z→zlim0

f1(z)



·



z→zlim0

f2(z)



4 lim

z→z0

f₁(z) f2(z) =

z→zlim0

f₁(z)

z→zlim0

f2(z) o ile lim

z→z0

f₂(z) 6= 0.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Twierdzenie

Niech z₀ = x₀+ jy₀, f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ), gdzie u(x , y ), v (x , y ) – odpowiednio część rzeczywista i urojona funkcji f (z). Wówczas

z→zlim0f (z) = g ⇐⇒ _{x →x}lim

y →y00

u(x , y ) = Re g i _{x →x}lim

y →y00

v (x , y ) = Im g

Twierdzenie (o działaniach na granicach funkcji)

Jeżeli istnieją granice właściwe funkcji f₁(z) i f₂(z) w punkcie z₀, to:

1 lim

z→z0

(f₁(z) ± f₂(z)) = lim

z→z0

f₁(z) ± lim

z→z0

f₂(z)

2 lim

z→z0

(a · f1(z)) = a lim

z→z0

f1(z) dla dowolnej liczby a ∈ C

3 lim

z→z0

(f1(z)f2(z)) =



z→zlim0

f1(z)



·



z→zlim0

f2(z)



4 lim

z→z0

f₁(z) f2(z) =

z→zlim0

f₁(z)

z→zlim0

f2(z) o ile lim

z→z0

f₂(z) 6= 0.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 4 / 12

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Twierdzenie

Niech z₀ = x₀+ jy₀, f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ), gdzie u(x , y ), v (x , y ) – odpowiednio część rzeczywista i urojona funkcji f (z). Wówczas

z→zlim0f (z) = g ⇐⇒ _{x →x}lim

y →y00

u(x , y ) = Re g i _{x →x}lim

y →y00

v (x , y ) = Im g

Twierdzenie (o działaniach na granicach funkcji)

Jeżeli istnieją granice właściwe funkcji f₁(z) i f₂(z) w punkcie z₀, to:

1 lim

z→z0

(f₁(z) ± f₂(z)) = lim

z→z0

f₁(z) ± lim

z→z0

f₂(z)

2 lim

z→z0

(a · f1(z)) = a lim

z→z0

f1(z) dla dowolnej liczby a ∈ C

3 lim

z→z0

(f1(z)f2(z)) =



z→zlim0

f1(z)



·



z→zlim0

f2(z)



4 lim

z→z0

f₁(z) f2(z) =

z→zlim0

f₁(z)

z→zlim0

f2(z) o ile lim

z→z0

f₂(z) 6= 0.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Twierdzenie

Niech z₀ = x₀+ jy₀, f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ), gdzie u(x , y ), v (x , y ) – odpowiednio część rzeczywista i urojona funkcji f (z). Wówczas

z→zlim0f (z) = g ⇐⇒ _{x →x}lim

y →y00

u(x , y ) = Re g i _{x →x}lim

y →y00

v (x , y ) = Im g

Twierdzenie (o działaniach na granicach funkcji)

Jeżeli istnieją granice właściwe funkcji f₁(z) i f₂(z) w punkcie z₀, to:

1 lim

z→z0

(f₁(z) ± f₂(z)) = lim

z→z0

f₁(z) ± lim

z→z0

f₂(z)

2 lim

z→z0

(a · f1(z)) = a lim

z→z0

f1(z) dla dowolnej liczby a ∈ C

3 lim

z→z0

(f1(z)f2(z)) =



z→zlim0

f1(z)



·



z→zlim0

f2(z)



4 lim

z→z0

f₁(z) f2(z) =

z→zlim0

f₁(z)

z→zlim0

f2(z) o ile lim

z→z0

f₂(z) 6= 0.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 4 / 12

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Twierdzenie

Niech z₀ = x₀+ jy₀, f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ), gdzie u(x , y ), v (x , y ) – odpowiednio część rzeczywista i urojona funkcji f (z). Wówczas

z→zlim0f (z) = g ⇐⇒ _{x →x}lim

y →y00

u(x , y ) = Re g i _{x →x}lim

y →y00

v (x , y ) = Im g

Twierdzenie (o działaniach na granicach funkcji)

Jeżeli istnieją granice właściwe funkcji f₁(z) i f₂(z) w punkcie z₀, to:

1 lim

z→z0

(f₁(z) ± f₂(z)) = lim

z→z0

f₁(z) ± lim

z→z0

f₂(z)

2 lim

z→z0

(a · f1(z)) = a lim

z→z0

f1(z) dla dowolnej liczby a ∈ C

3 lim

z→z0

(f₁(z)f₂(z)) =



z→zlim0

f₁(z)



·



z→zlim0

f₂(z)



4 lim

z→z0

f₁(z) f2(z) =

z→zlim0

f₁(z)

z→zlim0

f2(z) o ile lim

z→z0

f₂(z) 6= 0.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Twierdzenie

Niech z₀ = x₀+ jy₀, f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ), gdzie u(x , y ), v (x , y ) – odpowiednio część rzeczywista i urojona funkcji f (z). Wówczas

z→zlim0f (z) = g ⇐⇒ _{x →x}lim

y →y00

u(x , y ) = Re g i _{x →x}lim

y →y00

v (x , y ) = Im g

Twierdzenie (o działaniach na granicach funkcji)

Jeżeli istnieją granice właściwe funkcji f₁(z) i f₂(z) w punkcie z₀, to:

1 lim

z→z0

(f₁(z) ± f₂(z)) = lim

z→z0

f₁(z) ± lim

z→z0

f₂(z)

2 lim

z→z0

(a · f1(z)) = a lim

z→z0

f1(z) dla dowolnej liczby a ∈ C

3 lim

z→z0

(f₁(z)f₂(z)) =



z→zlim0

f₁(z)



·



z→zlim0

f₂(z)



4 lim

z→z0

f₁(z) f2(z) =

z→zlim0

f₁(z)

z→zlim0

f2(z) o ile lim

z→z0

f₂(z) 6= 0.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 4 / 12

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Przykład Obliczyć:

a) lim

z→1+j

z²+ z^ b) lim

z→2−j(5 + j ) sin z c) lim

z→j

z z²− 1

Definicja

Funkcja f (z) jest ciągła w punkcie z₀ ⇔ lim

z→z0

f (z) = f (z₀).

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Przykład Obliczyć:

a) lim

z→1+j

z²+ z^ b) lim

z→2−j(5 + j ) sin z c) lim

z→j

z z²− 1

Definicja

Funkcja f (z) jest ciągła w punkcie z₀ ⇔ lim

z→z0

f (z) = f (z₀).

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 5 / 12

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Niech f (z) będzie funkcją zmiennej zespolonej określoną w pewnym kole o środku w punkcie z0.Pochodną f⁰(z0) funkcji f (z) w punkcie z0

nazywamy granicę właściwą f⁰(z₀) = lim

∆z→0

f (z₀+ ∆z) − f (z₀)

∆z

Mówimy, że funkcja f (z) ma pochodną w zbiorze D ⊂ C⇔ f (z) ma pochodną w każdym punkcie z₀ ∈ D. Określona jest wtedyfunkcja pochodna f⁰(z). Mówimy wtedy, żefunkcja f (z) jest różniczkowalna na zbiorze D.

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Wzory do obliczania pochodnych

1

z^k0 = kz^k−1 dla k ∈ Z\{0}

2 (e^z)⁰= e^z

3 (sin z)⁰ = cos z

4 (cos z)⁰ = − sin z

Twierdzenie (o działaniach na pochodnych)

Jeżeli funkcje f (z₁) i f (z₂) mają pochodne w punkcie z₀, to:

1 (f₁± f₂)⁰(z₀) = f₁⁰(z₀) ± f₂⁰(z₀)

2 (cf1)⁰(z0) = cf₁⁰(z0) dla c ∈ C

3 (f1f2)⁰(z0) = f₁⁰(z0)f2(z0) + f1(z0)f₂⁰(z0)

4

f₁ f2

0

(z₀) = f₁⁰(z₀)f₂(z₀) − f₁(z₀)f₂⁰(z₀)

f₂²(z0) o ile f₂(z₀) 6= 0

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 7 / 12

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Wzory do obliczania pochodnych

1

z^k0 = kz^k−1 dla k ∈ Z\{0}

2 (e^z)⁰= e^z

3 (sin z)⁰ = cos z

4 (cos z)⁰ = − sin z

Twierdzenie (o działaniach na pochodnych)

Jeżeli funkcje f (z₁) i f (z₂) mają pochodne w punkcie z₀, to:

1 (f₁± f₂)⁰(z₀) = f₁⁰(z₀) ± f₂⁰(z₀)

2 (cf1)⁰(z0) = cf₁⁰(z0) dla c ∈ C

3 (f1f2)⁰(z0) = f₁⁰(z0)f2(z0) + f1(z0)f₂⁰(z0)

4

f₁ f2

0

(z₀) = f₁⁰(z₀)f₂(z₀) − f₁(z₀)f₂⁰(z₀)

f₂²(z0) o ile f₂(z₀) 6= 0

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Wzory do obliczania pochodnych

1

z^k0 = kz^k−1 dla k ∈ Z\{0}

2 (e^z)⁰= e^z

3 (sin z)⁰ = cos z

4 (cos z)⁰ = − sin z

Twierdzenie (o działaniach na pochodnych)

Jeżeli funkcje f (z₁) i f (z₂) mają pochodne w punkcie z₀, to:

1 (f₁± f₂)⁰(z₀) = f₁⁰(z₀) ± f₂⁰(z₀)

2 (cf1)⁰(z0) = cf₁⁰(z0) dla c ∈ C

3 (f1f2)⁰(z0) = f₁⁰(z0)f2(z0) + f1(z0)f₂⁰(z0)

4

f₁ f2

0

(z₀) = f₁⁰(z₀)f₂(z₀) − f₁(z₀)f₂⁰(z₀)

f₂²(z0) o ile f₂(z₀) 6= 0

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 7 / 12

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Wzory do obliczania pochodnych

1

z^k0 = kz^k−1 dla k ∈ Z\{0}

2 (e^z)⁰= e^z

3 (sin z)⁰= cos z

4 (cos z)⁰ = − sin z

Twierdzenie (o działaniach na pochodnych)

Jeżeli funkcje f (z₁) i f (z₂) mają pochodne w punkcie z₀, to:

1 (f₁± f₂)⁰(z₀) = f₁⁰(z₀) ± f₂⁰(z₀)

2 (cf1)⁰(z0) = cf₁⁰(z0) dla c ∈ C

3 (f1f2)⁰(z0) = f₁⁰(z0)f2(z0) + f1(z0)f₂⁰(z0)

4

f₁ f2

0

(z₀) = f₁⁰(z₀)f₂(z₀) − f₁(z₀)f₂⁰(z₀)

f₂²(z0) o ile f₂(z₀) 6= 0

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Wzory do obliczania pochodnych

1

z^k0 = kz^k−1 dla k ∈ Z\{0}

2 (e^z)⁰= e^z

3 (sin z)⁰= cos z

4 (cos z)⁰ = − sin z

Twierdzenie (o działaniach na pochodnych)

Jeżeli funkcje f (z₁) i f (z₂) mają pochodne w punkcie z₀, to:

1 (f₁± f₂)⁰(z₀) = f₁⁰(z₀) ± f₂⁰(z₀)

2 (cf1)⁰(z0) = cf₁⁰(z0) dla c ∈ C

3 (f1f2)⁰(z0) = f₁⁰(z0)f2(z0) + f1(z0)f₂⁰(z0)

4

f₁ f2

0

(z₀) = f₁⁰(z₀)f₂(z₀) − f₁(z₀)f₂⁰(z₀)

f₂²(z0) o ile f₂(z₀) 6= 0

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 7 / 12

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Wzory do obliczania pochodnych

1

z^k0 = kz^k−1 dla k ∈ Z\{0}

2 (e^z)⁰= e^z

3 (sin z)⁰= cos z

4 (cos z)⁰ = − sin z

Twierdzenie (o działaniach na pochodnych)

Jeżeli funkcje f (z₁) i f (z₂) mają pochodne w punkcie z₀, to:

1 (f₁± f₂)⁰(z₀) = f₁⁰(z₀) ± f₂⁰(z₀)

2 (cf1)⁰(z0) = cf₁⁰(z0) dla c ∈ C

3 (f1f2)⁰(z0) = f₁⁰(z0)f2(z0) + f1(z0)f₂⁰(z0)

4

f₁ f2

0

(z₀) = f₁⁰(z₀)f₂(z₀) − f₁(z₀)f₂⁰(z₀)

f₂²(z0) o ile f₂(z₀) 6= 0

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Wzory do obliczania pochodnych

1

z^k0 = kz^k−1 dla k ∈ Z\{0}

2 (e^z)⁰= e^z

3 (sin z)⁰= cos z

4 (cos z)⁰ = − sin z

Twierdzenie (o działaniach na pochodnych)

Jeżeli funkcje f (z₁) i f (z₂) mają pochodne w punkcie z₀, to:

1 (f₁± f₂)⁰(z₀) = f₁⁰(z₀) ± f₂⁰(z₀)

2 (cf1)⁰(z0) = cf₁⁰(z0) dla c ∈ C

3 (f1f2)⁰(z0) = f₁⁰(z0)f2(z0) + f1(z0)f₂⁰(z0)

4

f₁ f2

0

(z₀) = f₁⁰(z₀)f₂(z₀) − f₁(z₀)f₂⁰(z₀)

f₂²(z0) o ile f₂(z₀) 6= 0

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 7 / 12

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Wzory do obliczania pochodnych

1

z^k0 = kz^k−1 dla k ∈ Z\{0}

2 (e^z)⁰= e^z

3 (sin z)⁰= cos z

4 (cos z)⁰ = − sin z

Twierdzenie (o działaniach na pochodnych)

Jeżeli funkcje f (z₁) i f (z₂) mają pochodne w punkcie z₀, to:

1 (f₁± f₂)⁰(z₀) = f₁⁰(z₀) ± f₂⁰(z₀)

2 (cf₁)⁰(z₀) = cf₁⁰(z₀) dla c ∈ C

3 (f1f2)⁰(z0) = f₁⁰(z0)f2(z0) + f1(z0)f₂⁰(z0)

4

f₁ f2

0

(z₀) = f₁⁰(z₀)f₂(z₀) − f₁(z₀)f₂⁰(z₀)

f₂²(z0) o ile f₂(z₀) 6= 0

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Wzory do obliczania pochodnych

1

z^k0 = kz^k−1 dla k ∈ Z\{0}

2 (e^z)⁰= e^z

3 (sin z)⁰= cos z

4 (cos z)⁰ = − sin z

Twierdzenie (o działaniach na pochodnych)

Jeżeli funkcje f (z₁) i f (z₂) mają pochodne w punkcie z₀, to:

1 (f₁± f₂)⁰(z₀) = f₁⁰(z₀) ± f₂⁰(z₀)

2 (cf₁)⁰(z₀) = cf₁⁰(z₀) dla c ∈ C

3 (f1f2)⁰(z0) = f₁⁰(z0)f2(z0) + f1(z0)f₂⁰(z0)

4

f₁ f2

0

(z₀) = f₁⁰(z₀)f₂(z₀) − f₁(z₀)f₂⁰(z₀)

f₂²(z0) o ile f₂(z₀) 6= 0

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 7 / 12

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Wzory do obliczania pochodnych

1

z^k0 = kz^k−1 dla k ∈ Z\{0}

2 (e^z)⁰= e^z

3 (sin z)⁰= cos z

4 (cos z)⁰ = − sin z

Twierdzenie (o działaniach na pochodnych)

Jeżeli funkcje f (z₁) i f (z₂) mają pochodne w punkcie z₀, to:

1 (f₁± f₂)⁰(z₀) = f₁⁰(z₀) ± f₂⁰(z₀)

2 (cf₁)⁰(z₀) = cf₁⁰(z₀) dla c ∈ C

3 (f1f2)⁰(z0) = f₁⁰(z0)f2(z0) + f1(z0)f₂⁰(z0)

f₁^0 f₁⁰(z₀)f₂(z₀) − f₁(z₀)f₂⁰(z₀)

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli funkcja f (z) ma pochodną w punkcie z₀, a funkcja g (w ) ma pochodną w punkcie w0 = f (z0), to funkcja (g ◦ f )(z) ma pochodną w punkcie z₀, przy czym

(g ◦ f )⁰(z0) = g⁰(f (z0)) · f⁰(z0)

Twerdzenie (warunki Cauchy–Riemanna — warunki konieczne istnienia pochodnej)

Jeżeli funkcja f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ) ma w punkcie z₀ = x₀+ jy₀ pochodną, to jej część rzeczywista u(x , y ) i część urojona v (x , y ) mają w punkcie (x0, y0) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu spełniające warunki (Cauchy–Riemanna):

∂u

∂x(x₀, y₀) = ∂v

∂y(x₀, y₀) oraz ∂u

∂y(x₀, y₀) = −∂v

∂x(x₀, y₀)

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 8 / 12

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli funkcja f (z) ma pochodną w punkcie z₀, a funkcja g (w ) ma pochodną w punkcie w0 = f (z0), to funkcja (g ◦ f )(z) ma pochodną w punkcie z₀, przy czym

(g ◦ f )⁰(z0) = g⁰(f (z0)) · f⁰(z0)

Twerdzenie (warunki Cauchy–Riemanna — warunki konieczne istnienia pochodnej)

Jeżeli funkcja f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ) ma w punkcie z₀ = x₀+ jy₀ pochodną, to jej część rzeczywista u(x , y ) i część urojona v (x , y ) mają w punkcie (x0, y0) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu spełniające warunki (Cauchy–Riemanna):

∂u ∂v ∂u ∂v

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Przykład

Sprawdzić, w jakich punktach funkcja:

a) f (z) = z², b) f (z) = Re z spełnia warunki Cauchy–Riemanna.

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia pochodnej) Jeżeli część rzeczywista u(x , y ) i część urojona v (x , y ) funkcji

f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ) mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x0, y0), które spełniają warunki Cauchy–Riemanna, to funkcja f (z) ma pochodną w punkcie z₀ = x₀+ jy₀, przy czym

f⁰(z₀) = ∂u

∂x(x₀, y₀) + j∂v

∂x(x₀, y₀) Przykład

Znaleźć punkty, w których istnieje pochodna funkcji f (z) = z(z + 1), a następnie obliczyć pochodną.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 9 / 12

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Przykład

Sprawdzić, w jakich punktach funkcja:

a) f (z) = z², b) f (z) = Re z spełnia warunki Cauchy–Riemanna.

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia pochodnej) Jeżeli część rzeczywista u(x , y ) i część urojona v (x , y ) funkcji

f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ) mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x0, y0), które spełniają warunki Cauchy–Riemanna, to funkcja f (z) ma pochodną w punkcie z₀ = x₀+ jy₀, przy czym

f⁰(z0) = ∂u

∂x(x0, y0) + j∂v

∂x(x0, y0)

Przykład

Znaleźć punkty, w których istnieje pochodna funkcji f (z) = z(z + 1), a następnie obliczyć pochodną.

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Przykład

Sprawdzić, w jakich punktach funkcja:

a) f (z) = z², b) f (z) = Re z spełnia warunki Cauchy–Riemanna.

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia pochodnej) Jeżeli część rzeczywista u(x , y ) i część urojona v (x , y ) funkcji

f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ) mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x0, y0), które spełniają warunki Cauchy–Riemanna, to funkcja f (z) ma pochodną w punkcie z₀ = x₀+ jy₀, przy czym

f⁰(z0) = ∂u

∂x(x0, y0) + j∂v

∂x(x0, y0) Przykład

Znaleźć punkty, w których istnieje pochodna funkcji f (z) = z(z + 1), a następnie obliczyć pochodną.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 9 / 12

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcja f (z) jest holomorficzna (analityczna) w punkcie z₀ ⇔ istnieje jej pochodna f⁰(z) w pewnym kole o środku w punkcie z0.

Definicja

Funkcja f (z) jest holomorficzna (analityczna) w obszarze D ⊂ C ⇔ f (z) jest holomorficzna w każdym punkcie tego obszaru.

Uwaga

Funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze ⇔ f (z) ma pochodną w każdym punkcie tego obszaru.

Przykład

Funkcja f (z) = z(z + 1) ma pochodną w punkcie (0, 0), ale nie jest w tym punkcie holomorficzna.

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcja f (z) jest holomorficzna (analityczna) w punkcie z₀ ⇔ istnieje jej pochodna f⁰(z) w pewnym kole o środku w punkcie z0.

Definicja

Funkcja f (z) jest holomorficzna (analityczna) w obszarze D ⊂ C ⇔ f (z) jest holomorficzna w każdym punkcie tego obszaru.

Uwaga

Funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze ⇔ f (z) ma pochodną w każdym punkcie tego obszaru.

Przykład

Funkcja f (z) = z(z + 1) ma pochodną w punkcie (0, 0), ale nie jest w tym punkcie holomorficzna.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 10 / 12

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcja f (z) jest holomorficzna (analityczna) w punkcie z₀ ⇔ istnieje jej pochodna f⁰(z) w pewnym kole o środku w punkcie z0.

Definicja

Funkcja f (z) jest holomorficzna (analityczna) w obszarze D ⊂ C ⇔ f (z) jest holomorficzna w każdym punkcie tego obszaru.

Uwaga

Funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze ⇔ f (z) ma pochodną w każdym punkcie tego obszaru.

Przykład

Funkcja f (z) = z(z + 1) ma pochodną w punkcie (0, 0), ale nie jest w tym punkcie holomorficzna.

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcja f (z) jest holomorficzna (analityczna) w punkcie z₀ ⇔ istnieje jej pochodna f⁰(z) w pewnym kole o środku w punkcie z0.

Definicja

Funkcja f (z) jest holomorficzna (analityczna) w obszarze D ⊂ C ⇔ f (z) jest holomorficzna w każdym punkcie tego obszaru.

Uwaga

Funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze ⇔ f (z) ma pochodną w każdym punkcie tego obszaru.

Przykład

Funkcja f (z) = z(z + 1) ma pochodną w punkcie (0, 0), ale nie jest w tym punkcie holomorficzna.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 10 / 12

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcję rzeczywistą dwóch zmiennych u(x , y ) nazywamy funkcją

harmoniczną w obszarze D ⊂ C ⇔ funkcja ta ma w tym obszarze ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu i spełnia w nim równanie Laplace’a:

∂²u

∂x² +∂²u

∂y² = 0

Twierdzenie

Część rzeczywista u(x , y ) i urojona v (x , y ) funkcji

f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ) holomorficznej w pewnym obszarze są funkcjami harmonicznymi w tym obszarze.

Twierdzenie

Każda funkcja harmoniczna w pewnym obszarze jest częścią rzeczywistą albo urojoną pewnej funkcji holomorficznej w tym obszarze.

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcję rzeczywistą dwóch zmiennych u(x , y ) nazywamy funkcją

harmoniczną w obszarze D ⊂ C ⇔ funkcja ta ma w tym obszarze ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu i spełnia w nim równanie Laplace’a:

∂²u

∂x² +∂²u

∂y² = 0 Twierdzenie

Część rzeczywista u(x , y ) i urojona v (x , y ) funkcji

f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ) holomorficznej w pewnym obszarze są funkcjami harmonicznymi w tym obszarze.

Twierdzenie

Każda funkcja harmoniczna w pewnym obszarze jest częścią rzeczywistą albo urojoną pewnej funkcji holomorficznej w tym obszarze.

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 11 / 12

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcję rzeczywistą dwóch zmiennych u(x , y ) nazywamy funkcją

harmoniczną w obszarze D ⊂ C ⇔ funkcja ta ma w tym obszarze ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu i spełnia w nim równanie Laplace’a:

∂²u

∂x² +∂²u

∂y² = 0 Twierdzenie

Część rzeczywista u(x , y ) i urojona v (x , y ) funkcji

f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ) holomorficznej w pewnym obszarze są funkcjami harmonicznymi w tym obszarze.

Twierdzenie

Każda funkcja harmoniczna w pewnym obszarze jest częścią rzeczywistą

Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Przykład

Sprawdzić, czy część rzeczywista i urojona funkcji f (z) = e^z jest funkcją harmoniczną na całej płaszczyźnie R².

Granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Różniczkowalność 12 / 12