Ekonometria: Zadania optymalizacyjne
Bartłomiej Wiśnicki
na podstawie książki, „Ekonometria i badania operacyjne” pod redakcją M.
Gruszczyński et al.
1. Firma AGA jest niewielką, ale liczącą się na rynku firmą farmaceutyczną. Specjalizuje się ona w produkcji dwóch szamponów do włosów: TRIO-90 i TRIO-60. Szampony te cieszą się dużym popytem mimo wysokich cen: kolejno 90 zł i 55 zł za jeden litr szamponu. Szampony produkowane są z trzech składników ziołowych, oznaczonych symbolami: Z-1, Z-2 i Z-3. Wyprodukowanie 1 litra szamponu TRIO-90 wymaga zu- życia 20 dag składnika Z1, 40 dag składnika Z2 i 30 dag składnika Z3. Natomiast w przypadku szamponu TRIO-60 zużycie składników Z1, Z2 i Z3 wynoszą odpowiednio 30, 10 i 20 dag. Na najbliższy miesiąc zasoby tych składników wynoszą odpowiednio 600, 300 i 360 kg. Jaka powinna być wielkość produkcji w najbliższym miesiącu, jeśli kierownictwo firmy zainteresowane jest osiągnięciem jak największego przychodu ze sprzedaży?
2. Marta prowadzi hodowlę zwierząt. Minimalne zapotrzebowanie hodowli na mikroele- menty M1, M2 i M3 wynosi 300, 800 i 700 jednostek, przy czym maksymalna dawka dzienna mikroelementu M1 to 1500 jednostek. Na rynku są trzy rodzaje pasz: P1, P2 i P3. Jeden kilogram paszy P1 zawiera 40 jednostek mikroelementu M1, 10 jednostek M2 i 30 jednostek M3. W przypadku pasz P2 i P3 zawartość mikroelementów M1, M2 i M3 w 1 kg wynosi 50, 50 i 20 oraz 70, 30 i 20. Cena jednego kilograma pa- szy P1 wynosi 5 zł, P2 – 9 zł, P3 – 6 zł. Marta pragnie ustalić, które pasze zakupić i w jakich ilościach, aby dostarczyć swojej hodowli wszystkie trzy mikroelementy w odpowiednich ilościach i po jak najmniejszym koszcie.
3. Wytwórnia napojów orzeźwiających specjalizuje się w produkcji czterech napojów o symbolach produkcyjnych F1, F2, F3, F4, w skład których wchodzą w różnych pro- porcjach soki: ananasowy (SA), pomarańczowy (SP) oraz jabłkowy (SJ). Procentowa zawartość soków w napojach oraz ceny sprzedaży napojów podane są w poniższej tabeli.
W najbliższym czasie wytwórnia jest w stanie sprzedać dowolną ilość swoich napojów.
W wyborze planu produkcji kieruje się ona maksymalizacją łącznej wartości sprzedaży w ramach posiadanych zasobów surowcowych (soki). Na najbliższy miesiąc wytwórnia ma zagwarantowane dostawy 12 tys. litrów soku ananasowego, 14 tys. litrów soku
Procentowy udział soku w napoju Symbol
produkcyjny SA SP SJ
Cena
sprzedaży 1l napoju (w zł)
F1 40 - 20 2
F2 20 10 10 1,6
F3 15 20 - 1,8
F4 10 40 20 2,2
pomarańczowego i 8 tys. litrów soku jabłkowego. Podaj optymalny plan produkcji a następnie odpowiedz, czy poniższe zdania są prawdziwe:
(a) Gdyby cena sprzedaży 1 litra napoju F4 wzrosła o 25 groszy, wyznaczony plan produkcji nie byłby planem optymalnym.
(b) Jeśli cena napoju F2 wzrosłaby o 10 gr/l, maksymalna wartość sprzedaży zwięk- szyłaby się o 1200 zł.
(c) Gdyby zamówienie na sok pomarańczowy zostało zrealizowane w 90%, wyzna- czony plan produkcji nie byłby planem optymalnym.
(d) Gdyby dostawy soku jabłkowego wzrosły o 1 tys. litrów, wyznaczony plan nadal byłby planem optymalnym.
(e) Gdyby dostawy soku ananasowego wzrosły o 1 tys. litrów, nadal produkowano by te same soki.
(f) Jeśli dostawy soku pomarańczowego wyniosłyby 10 tys. litrów, wytwórnia w celu osiągnięcia maksymalnej wartości sprzedaży zrezygnowałaby z produkcji napoju F2.
(g) Gdyby dostawy soku jabłkowego wzrosły o 1 tys. litrów, maksymalna wartość sprzedaży wytwórni byłaby większa niż obecnie.
(h) Gdyby dostawy soku ananasowego spadły o 1 tys. litrów, maksymalna wartość sprzedaży wytwórni byłaby mniejsza niż obecnie jedynie o kilkadziesiąt złotych.
(i) Gdyby popyt na napoje wytwórni był ograniczony do 80 tys. litrów w skali mie- siąca, to wyznaczony plan produkcji nie byłby planem optymalnym.
(j) Gdyby zawartość soku jabłkowego w napoju F2 wynosiła 20%, wyznaczony plan produkcji nadal byłby planem optymalnym.
4. Fundusz inwestycyjny przeznacza kapitał wartości 2 mln zł na portfel zrównoważone- go wzrostu. Dział analiz inwestycji i ryzyka wyselekcjonował najlepsze inwestycje w czterech grupach inwestycyjnych: obligacji skarbowych (OS), akcji (A) oraz depozy- tów bankowych (B). Portfel zrównoważonego wzrostu powinien charakteryzować się umiarkowanym ryzykiem. Z tego względu dział analiz zaleca dywersyfikację ryzyka przez nałożenie ograniczeń na udziały poszczególnych rodzajów inwestycji w łącznej wartości portfela inwestycyjnego. Dla inwestycji w grupach OST i A ustalony jest ich maksymalny udział w wartości portfela: wynosi on 30% dla grupy OST i 40% dla grupy A. Natomiast obligacje skarbowe powinny stanowić co najmniej 20% warto- ści portfela. Dane o wyselekcjonowanych inwestycjach w każdej z wymienionych grup inwestycji zawarte są w tabeli poniżej.
Nazwa
inwestycji Grupa Przewidywana
roczna stopa zwrotu Cena jednostki 5-letnia
obligacja skarbowa OS 5,80% 10 000
10-letnia
obligacja W-wy OST 8% 2 000
Akcja spółki
Zebra A 13,20% 1 250
Certyfikat
depozytowy banku EBO B 7,20% 10 000
Jaki portfel inwestycyjny powinien dobrać fundusz, aby zmaksymalizować przewidy- waną stopę zwrotu z inwestycji w najbliższym roku?
5. Firma kurierska zajmuje się organizacją dostaw i dostarczaniem pilnych przesyłek na terenie Warszawy przez 7 dni w tygodniu. Zapotrzebowanie na usługi kurierskie jest zróżnicowane w zależności od dnia tygodnia. Na podstawie dotychczasowych doświad- czeń działu zamówień dla każdego dnia tygodnia określono minimalną liczbę kurierów niezbędną do sprawnej realizacji dostaw (Tabela 2).
Dzień
tygodnia poniedziałek wtorek środa czwartek piątek sobota niedziela Min. Liczba
kurierów 32 28 26 26 30 22 18
Kurier pracuje 8 godzin dziennie i pracodawca ma obowiązek zapewnienia mu 2 dni wolnych po przepracowaniu 5 dni pod rząd. Ile wynosi minimalna liczba kurierów, przy której firma może sprawnie realizować dostawy?
6. Klub sportowy wystawia w zawodach pływackich pięcioosobową reprezentację. Po- niższa tabela pokazuje średnie czasy (w sekundach) uzyskiwane przez zawodników w
różnych stylach pływackich na dystansie 100 metrów. Jak najlepiej ustawić sztafetę 4 x 100 metrów stylem zmiennym?
dowolny klasyczny motylek grzbietowy
Adam 54 66 59 72
Piotr 56 65 61 70
Wojtek 51 69 64 68
Tomek 55 63 62 71
Michał 52 68 60 73
7. Firma IBS (Idealna Benzyna Silnikowa) wytwarza trzy typy benzyny: IBS98, IBS95 i IBS94. Są one produkowane w wyniku mieszania benzyn podstawowych dostępnych na rynku producenta. W bieżącym tygodniu IBS może zakupić cztery rodzaje benzyny:
BP1, BP2, BP3, BP4, w ilościach do 300 tys. litrów każdej z nich. Ceny sprzedaży i ceny zakupu poszczególnych benzyn podane są w tabelach poniżej.
BP1 BP2 BP3 BP4 Cena zakupu 100 litrów (w zł) 300 250 200 175 Liczba
oktanowa 102 94 92 96
Zawartość
siarki (w %) 0 0,04 0 0,1
IBS98 IBS95 IBS94 Cena sprzedaży 100 litrów 400 350 300
Liczba
oktanowa 98 95 94
Maksymalna
zawartość siarki 0 0,05 0,08
Wymienione typy benzyny IBS oraz BP różnią się liczbą oktanową i zawartością siarki.
W procesie mieszania rożnych typów benzyn nie ma strat, a liczba oktanowa mieszanki jest przeciętną (średnią ważoną z odpowiednimi wagami) liczb oktanowych jej składo- wych. Podobnie jest w przypadku zawartości siarki. Na przykład w wyniku zmieszania 3 litrów benzyny BP1 i 2 litrów benzyny BP2 powstaje benzyna o liczbie oktanowej 98,8 (= 0, 6 · 102 + 0, 4 · 94).
Koszt wytwarzania mieszanki benzyny jest stały i wynosi 30 zł na 100 litrów mieszanki.
IBS może wyprodukować co najwyżej jeden milion litrów benzyny tygodniowo.
Umowy ze stałymi odbiorcami produktów IBS opiewają na dostawy 200 tys. litrów mieszanki każdego typu w najbliższym tygodniu. Odbiorcy ci są jednak gotowi zakupić dodatkowo co najwyżej 50 tys. litrów mieszanki każdego typu. Ile benzyny każdego
typu powinna wytworzyć firma IBS w najbliższym tygodniu, aby zmaksymalizować zysk?
