Algorytmy Grafowe Rozdział 5.1. Generowanie wszystkich drzew rozpiętych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

(1)

Liczba drzew rozpiętych grafu Algorytm generujący wszystkie drzewa rozpięte

Algorytmy Grafowe

Rozdział 5.1. Generowanie wszystkich drzew rozpiętych.

Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

(2)

Liczba drzew rozpiętych grafu

Ile graf ma drzew rozpiętych?

τ (G ) – liczba drzew rozpiętych (multi)grafu G Przypomnienie z MADów

Twierdzenie

Jeśli e ∈ E nie jest pętlą w (multi)grafie G , to τ (G ) = τ (G − e) + τ (G · e)

G − e powstaje z G przez usunięcie krawędzi e;

G · e powstaje z G przez ściągnięcie krawędzi e.

Twierdzenie (Cayleya)

τ (K_n) = nⁿ⁻¹.

(3)

Ile graf ma drzew rozpiętych?

A to będzie na Teoretycznych Podstawach Informatyki Twierdzenie (Twierdzenie Kirchhoffa)

Niech λ1, . . . , λn−1 będą niezerowymi wartościami własnymi Laplasjanu spójnego, oznaczonego grafu prostego G , wtedy liczba drzew rozpiętych grafu G jest równa:

τ (G ) = 1

|V (G )|λ₁. . . λ_{|V |−1}

(4)

Twierdzenie Kirchhoffa - przykład

Graf Macierz stopni i macierz przyległości

D(G ) =







2 0 0 0 0 0

0 3 0 0 0 0

0 0 2 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 0 1





 ^{A(G ) =}







0 1 1 0 0 0

1 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 1 0







Laplasjan Wartości własne Laplasjanu

Q(G ) = D(G ) − A(G ) =







2 −1 −1 0 0 0

−1 3 −1 0 −1 0

−1 −1 2 0 0 0

0 0 0 1 −1 0

0 −1 0 −1 3 −1

0 0 0 0 −1 1







λ₁= 1 2 5 +√

17

λ₂= 3 λ₃= 3 λ₄= 1

λ₅= 1 2 5 −√

17

λ6= 0

Liczba drzew rozpiętych

τ (G ) = 1

|V (G )|λ₁. . . λ_{|V |−1}= 1 6

·1 2 5 +

√ 17

· 3 · 3 · 1 ·1 2 5 −

√ 17

= 3

(5)

Algorytm generujący wszystkie drzewa rozpięte

idea algorytmu

Jak zapisać efektywnie drzewo?

Np. podobnie jak w alg. Prima za pomocą poprzedników p(·).

Przykład: v 1 2 3 4 5

p(v ) 3 4 - 3 4

1

2 3

4

5

Jak zapisać efektywnie las?

Np. każdemu drzewu przypisać korzeń i zapamiętać w etykiecie korzenia r (·) (jak w alg. Kruskala).

Przykład:

v 1 2 3 4 5 6

p(v ) - 1 6 5 1 - r (v ) 1 1 6 1 1 6

1

2 3

4 5

6

(6)

idea algorytmu

Jak zapisać efektywnie drzewo?

Np. podobnie jak w alg. Prima za pomocą poprzedników p(·).

Jak zapisać efektywnie las?

Np. każdemu drzewu przypisać korzeń i zapamiętać w etykiecie korzenia r (·) (jak w alg. Kruskala).

Przykład:

v 1 2 3 4 5 6

p(v ) - 1 6 5 1 - r (v ) 1 1 6 1 1 6

1

2 3

4 5

6

(7)

idea algorytmu

Jak wygenerować dowolne drzewo rozpięte?

Np. Zastosować algorytm Kruskala dla dowolnie posortowanej listy krawędzi.

Powtarzaj aż |T | = |V | − 1 lub nie ma już kolejnej krawędzi na liście:

1 pobierz e – kolejną krawędź z listy;

2 jeśli krawędzie z T ∪ {e} nie indukują cyklu, to dodaj e do T . (Możemy tu zastosować etykietowanie związane

z korzeniami r (·) drzew lasu).

Jak zapamiętać poprzedniki p(·) po połączeniu drzew? ....

(8)

idea algorytmu

Jak wygenerować dowolne drzewo rozpięte?

Np. Zastosować algorytm Kruskala dla dowolnie posortowanej listy krawędzi.

Powtarzaj aż |T | = |V | − 1 lub nie ma już kolejnej krawędzi na liście:

1 pobierz e – kolejną krawędź z listy;

2 jeśli krawędzie z T ∪ {e} nie indukują cyklu, to dodaj e do T . (Możemy tu zastosować etykietowanie związane

z korzeniami r (·) drzew lasu).

Jak zapamiętać poprzedniki p(·) po połączeniu drzew?

....

(9)

NewRoot(v ) i AddEdge(e = (u, v)) - idea

1

3

4 5

6

8 2

7

(u, v ) = (5, 7)

v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 6 5 1 - 3 3

r (v ) 1 1 6 1 1 6 6 6

(10)

NewRoot(v ) i AddEdge(e = (u, v)) - idea

1

3

4 5

6

8 2

7

(u, v ) = (5, 7)

v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 7 5 1 3 - 3

r (v ) 1 1 7 1 1 7 7 7

(11)

NewRoot(v ) i AddEdge(e = (u, v)) - idea

1

3

4 5

6

8 2

7

(u, v ) = (5, 7)

v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 7 5 1 3 5 3

r (v ) 1 1 1 1 1 1 1 1

(12)

Opis procedury NewRoot(v )

1

3 4

5

8 2

7

6 v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 6 5 1 - 3 3

r (v ) 1 1 6 1 1 6 6 6 Zanim dodamy uv ustawimy poprzedniki w drzewie wierzchołka v tak, aby „wskazywały w kierunku” nowego korzenia (kraw. uv).

NewRoot(v )

1 xold := r (v ) (xold korzeń wierzchołka v )

2 Jeżeli x_old = v to STOP.

3 u−:= None, u₊:= v

4 Dopóki u−6= x_old powtarzamy:

p := u−; u−:= u+; u+:= p(u−); p(u−) := p

(13)

Opis procedury NewRoot(v )

1

3 4

5

8 2

7

6 v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 6 5 1 - 3 3

r (v ) 1 1 6 1 1 6 6 6 x_old = 6, v = 7

NewRoot(v )

1 xold := r (v ) (xold korzeń wierzchołka v )

2 Jeżeli xold = v to STOP.

3 u−:= None, u₊:= v

p := u−; u−:= u+; u+:= p(u−); p(u−) := p

(Zamieniamy skierowanie krawędzi na ścieżce z v do x_old.)

(14)

Opis procedury NewRoot(v )

1

3 4

5

8 2

7

6 v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 6 5 1 - - 3

r (v ) 1 1 6 1 1 6 6 6 x_old = 6, v = 7

u−:= None, u+:= 7

p := None, u−:= 7, u+:= p(7) = 3, p(7) := None NewRoot(v )

1 x_old := r (v ) (x_old korzeń wierzchołka v )

3 u−:= None, u₊:= v

p := u₋; u₋:= u+; u+:= p(u₋); p(u₋) := p

(15)

Opis procedury NewRoot(v )

1

3 4

5

8 2

7

6 v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 7 5 1 - - 3

r (v ) 1 1 6 1 1 6 6 6 x_old = 6, v = 7

u−:= 7, u+:= 3

p := 7, u−:= 3, u+:= p(3) = 6, p(3) := 7 NewRoot(v )

3 u−:= None, u₊:= v

p := u₋; u₋:= u+; u+:= p(u₋); p(u₋) := p

(16)

Opis procedury NewRoot(v )

1

3 4

5

8 2

7

6 v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 7 5 1 3 - 3

r (v ) 1 1 6 1 1 6 6 6 x_old = 6, v = 7

u−:= 3, u+:= 6

p := 3, u−:= 6, u+:= p(6) = −, p(6) := 3 NewRoot(v )

3 u−:= None, u₊:= v

p := u₋; u₋:= u+; u+:= p(u₋); p(u₋) := p

(17)

Opis procedury NewRoot(v )

1

3 4

5

8 2

7

6 v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 7 5 1 3 - 3

r (v ) 1 1 7 1 1 7 7 7 x_old = 6, v = 7

u−:= 3, u+:= 6

p := 3,u−:= 6, u+:= p(6) = −, p(6) := 3 NewRoot(v )

3 u−:= None, u₊:= v

p := u₋; u₋:= u+; u+:= p(u₋); p(u₋) := p

5 Opcjonalnie możemy zamienić korzenie na nowe

(18)

Opis procedury AddEdge(e = (u, v))

Po dodaniu uv „łączymy” drzewa o korzeniach r (u) i r (v ).

AddEdge(e = (u, v))

1 NewRoot(v )

2 p(v ) := u (dodajemy uv )

3 x₁:= r (v ); x₂ := r (u); (zapamiętujemy korzenie)

4 Dla każdego wierzchołka w ∈ V (G ): Jeśli r (w ) = x₁, to r (w ) := x₂

(Wszystkie wierzchołki z drzewa wierzchołka v otrzymują korzeń drzewa wierzchołka u)

1

3 4

5

8 2

7

6 v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 6 5 1 - 3 3

r (v ) 1 1 6 1 1 6 6 6

(19)

Opis procedury AddEdge(e = (u, v))

1 NewRoot(v )

1

3 4

5

8 2

7

6 v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 7 5 1 3 - 3

r (v ) 1 1 6 1 1 6 6 6

(20)

Opis procedury AddEdge(e = (u, v))

1 NewRoot(v )

1

3 4

5

8 2

7

6 v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 7 5 1 3 5 3

r (v ) 1 1 6 1 1 6 6 6

(21)

Opis procedury AddEdge(e = (u, v))

1 NewRoot(v )

4 Dla każdego wierzchołka w ∈ V (G ):

Jeśli r (w ) = x₁, to r (w ) := x₂

1

3 4

5

8 2

7

6 v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 7 5 1 3 - 3

r (v ) 1 1 1 1 1 1 1 1

(22)

Opis procedury AddEdge(e = (u, v))

1 NewRoot(v )

3 x1:= r (v ); x2 := r (u); (zapamiętujemy korzenie)

4 Dla każdego wierzchołka w ∈ V (G ):

Jeśli r (w ) = x1, to r (w ) := x2

UWAGA: Tak jak w przypadku algorytmu Kruskala, żeby otrzymać optymalną złożoność, musimy zastosować odpowiednie struktury danych dla zbiorów rozłącznych.

1

3 4

5

8 2

7

6 v 1 2 3 4 5 6 7 8

p(v ) - 1 7 5 1 3 - 3

r (v ) 1 1 1 1 1 1 1 1

(23)

Procedura DeleteEdge(e = (u, v))

Jak skonstruujemy drzewo, to będziemy usuwać z niego niektóre krawędzie, żeby uzyskać inne drzewo rozpięte.

1 2

3 4 5

6 7 8 9

10

11 12

13 14

(u, v ) = (4, 8)

v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

p(v ) 3 1 - 3 9 8 13 4 3 8 6 4 8 2

r (v ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

(24)

Procedura DeleteEdge(e = (u, v))

Jak skonstruujemy drzewo, to będziemy usuwać z niego niektóre krawędzie, żeby uzyskać inne drzewo rozpięte.

1 2

3 4 5

6 7 8 9

10

11 12

13 14

(u, v ) = (4, 8)

v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

p(v ) 3 1 - 3 9 8 13 - 3 8 6 4 8 2

r (v ) 3 3 3 3 3 8 8 8 3 8 8 3 8 3

(25)

Opis procedury DeleteEdge(e = (u, v))

Poniższa procedura dzieli drzewo T zawierające krawędź e, na dwa drzewa T1 i T2 powstałe po usunięciu e z T .

DeleteEdge(e = (u, v))

1 Jeśli p(u) = v , to v₁ := v i v₂ := u w p.p. v1 := u i v2 := v

2 p(v2) := NONE

3 Dla każdego wierzchołka w z T₂: r (w ) := v2

v₁ = 4, v₂ = 8

1 2

3 4 5

6 7 8 9

10

11 12

13 14

UWAGA: To jak znajdujemy wierzchołki z T2zależy od tego jak zaimplementowaliśmy korzenie/poprzedniki.

(26)

Opis procedury DeleteEdge(e = (u, v))

Poniższa procedura dzieli drzewo T zawierające krawędź e, na dwa drzewa T1 i T2 powstałe po usunięciu e z T .

DeleteEdge(e = (u, v))

1 Jeśli p(u) = v , to v₁ := v i v₂ := u w p.p. v1 := u i v2 := v

2 p(v2) := NONE

3 Dla każdego wierzchołka w z T₂: r (w ) := v2

v₁ = 4, v₂ = 8

1 2

3 4 5

6 7 8 9

10

11 12

13 14

UWAGA: To jak znajdujemy wierzchołki z T2zależy od tego jak zaimplementowaliśmy korzenie/poprzedniki.

(27)

Algorytm generujący wszystkie drzewa rozpięte - idea

Ustalamy dowolny v^∗. Zaczynamy z listą krawędzi:

indeksy 1 2 . . . deg(v∗) . . . |E | krawędzie e1 e2 . . . edeg(v∗) . . . e|E |

e1, e2, . . . , edeg(v∗)– krawędzie incydentne z v^∗.

Budujemy drzewo jak w algorytmie Kruskala. (Korzystamy z AddEdge i NewRoot).

Zapamiętujemy kolejne krawędzie wykorzystując indeksy krawędzi: np. Tree(1) = 1, Tree(2) = 3, . . . , Tree(|V | − 1) = 100

oznacza, że do drzewa kolejno dodaliśmy e1, e3, . . . , e100. Jeśli utworzymy drzewo lub skończymy przeglądać listę,

usuwamy ostatnią dodaną krawędź (DeleteEdge) i zamiast niej pobieramy kolejną za nią z listy (jeśli nie ma takiej, to usuwamy kolejną ostatnią krawędź (DeleteEdge)).

Kończymy gdy Tree(1) = edeg(v_∗)+ 1 tzn. zostały zanalizowane wszystkie drzewa zawierające krawędzie incydentne z v∗

(28)

Algorytm generujący wszystkie drzewa rozpięte - idea

e1, e2, . . . , edeg(v∗)– krawędzie incydentne z v^∗. Budujemy drzewo jak w algorytmie Kruskala.

(Korzystamy z AddEdge i NewRoot).

Zapamiętujemy kolejne krawędzie wykorzystując indeksy krawędzi:

np. Tree(1) = 1, Tree(2) = 3, . . . , Tree(|V | − 1) = 100 oznacza, że do drzewa kolejno dodaliśmy e1, e3, . . . , e100.

Jeśli utworzymy drzewo lub skończymy przeglądać listę,

(29)

Algorytm generujący wszystkie drzewa rozpięte - idea

np. Tree(1) = 1, Tree(2) = 3, . . . , Tree(|V | − 1) = 100 oznacza, że do drzewa kolejno dodaliśmy e1, e3, . . . , e100. Jeśli utworzymy drzewo lub skończymy przeglądać listę,

(30)

Algorytm generujący wszystkie drzewa rozpięte - idea

np. Tree(1) = 1, Tree(2) = 3, . . . , Tree(|V | − 1) = 100 oznacza, że do drzewa kolejno dodaliśmy e1, e3, . . . , e100. Jeśli utworzymy drzewo lub skończymy przeglądać listę,

(31)

Algorytm generujący drzewa – oznaczenia

Oznaczenia:

r (v ) – korzeń drzewa, do którego aktualnie należy v ;

p(v ) – poprzednik w drzewie, do którego aktualnie należy v ; Tree(i ) – indeks krawędzi (na liście krawędzi) dodanej jako i -tej do aktualnie budowanego drzewa.

(32)

Algorytm generujący wszystkie drzewa rozpięte -

przykład

(33)

Algorytm generujący drzewa – opis

I.

1 Utwórz listę krawędzi biorąc na jej początek krawędzie incydentne z dowolnie wybranym wierzchołkiem v^∗: e₁, e₂, . . . , e_{d (v}^∗₎, e_{d (v}^∗₎₊₁, . . . , e_m

2 Dla każdego wierzchołka v ∈ V (G ), r (v ) := v ; p(v ) := NONE .

3 k := 1 – wskaźnik wykorzystywany przy przeglądaniu krawędzi;

4 END := d (v^∗) + 1 – będzie określał zakończenie działania algorytmu;

5 i := 0 – licznik, ile dodano krawędzi do drzewa;

6 Tree(1) := None – nie zaczęliśmy budować drzewa.

(34)

Algorytm generujący drzewa – opis

I.

(35)

Algorytm generujący drzewa – opis

I.

(36)

Algorytm generujący drzewa – opis

I.

(37)

Algorytm generujący drzewa – opis

I.

(38)

Algorytm generujący drzewa – opis

I.

(39)

Algorytm generujący drzewa – opis

II. Powtarzamy (Rozpatrujemy w pewnej kolejności, z nawracaniem, krawędzie ek= (uk, vk) zaczynając od e1= (u1, v1), bo k = 1 na początku)

1 Pobierz z listy ek= (uk, vk).

2 Jeśli r (uk) 6= r (vk) , to

dodajemy e_k za pomocą AddEdge(ek); i := i + 1;

Tree(i ) := k .

3 Jeśli Tree(1) = END, to STOP

4 Jeśli i = |V (G )| − 1, to wydajemy krawędzie zbudowanego drzewa

5 Jeśli i = |V (G )| − 1 lub k = |E (G )| (Jeśli zbudowaliśmy drzewo lub skończyły się krawędzie), to

1 Jeśli Tree(i ) = |E (G )| , to

usuwamy ją za pomocą DeleteEdge(e|E (G )|) i := i − 1

2 Usuwamy eTree(i )za pomocą DeleteEdge(eTree(i )).

3 k := Tree(i ) + 1

4 i := i − 1

W przeciwnym przypadku k := k + 1

(40)

Algorytm generujący drzewa – opis

II. Powtarzamy

2 Jeśli r (uk) 6= r (vk)

(Jeśli rozpatrywana krawędź ek łączy dwa różne drzewa), to dodajemy ek za pomocą AddEdge(e^k);

i := i + 1; (zapisujemy, że dodaliśmy w sumie i kraw. do drzewa)

Tree(i ) := k (zapisujemy indeks nowo dodanej krawędzi do drzewa).

1 Jeśli Tree(i ) = |E (G )| , to

3 k := Tree(i ) + 1

4 i := i − 1

(41)

Algorytm generujący drzewa – opis

II. Powtarzamy

2 Jeśli r (uk) 6= r (vk) , to

dodajemy ek za pomocą AddEdge(e^k);

i := i + 1;

Tree(i ) := k .

(Wszystkie krawędzie incydentne z v^∗zostały rozpatrzone)

1 Jeśli Tree(i ) = |E (G )| , to

3 k := Tree(i ) + 1

4 i := i − 1

(42)

Algorytm generujący drzewa – opis

II. Powtarzamy

2 Jeśli r (uk) 6= r (vk) , to

i := i + 1;

Tree(i ) := k .

4 Jeśli i = |V (G )| − 1, to wydajemy krawędzie zbudowanego drzewa (Skończyliśmy budować kolejne drzewo. Wypisać jego krawędzie można np. bazując na poprzednikach (p(·)) lub na indeksach z Tree)

1 Jeśli Tree(i ) = |E (G )| , to

3 k := Tree(i ) + 1

4 i := i − 1

(43)

Algorytm generujący drzewa – opis

II. Powtarzamy

2 Jeśli r (uk) 6= r (vk) , to

i := i + 1;

Tree(i ) := k .

1 Jeśli Tree(i ) = |E (G )| (Jeśli ostatnio dodana krawędź jest ostatnia na liście krawędzi), to

usuwamy ją za pomocą DeleteEdge(e|E (G )|)

i := i − 1 (Będziemy zaraz rozpatrywać krawędź, która przed nią została dodana do drzewa)

3 k := Tree(i ) + 1

4 i := i − 1

(44)

Algorytm generujący drzewa – opis

II. Powtarzamy

2 Jeśli r (uk) 6= r (vk) , to

i := i + 1;

Tree(i ) := k .

1 Jeśli Tree(i ) = |E (G )| , to

usuwamy ją za pomocą DeleteEdge(e^{|E (G )|}) i := i − 1

2 Usuwamy e_{Tree(i )}za pomocą DeleteEdge(eTree(i )).

3 k := Tree(i ) + 1 (w kolejnej turze rozpatrzymy krawędź znajdującą się na liście krawędzi zaraz po usuniętej)

4 i := i − 1 (zmieniamy licznik liczby krawędzi aktualnie dodanych do drzewa)

(45)

Algorytm generujący drzewa – opis

II. Powtarzamy

2 Jeśli r (uk) 6= r (vk) , to

i := i + 1;

Tree(i ) := k .

1 Jeśli Tree(i ) = |E (G )| , to

usuwamy ją za pomocą DeleteEdge(e^{|E (G )|}) i := i − 1

2 Usuwamy e_{Tree(i )}za pomocą DeleteEdge(eTree(i )).

3 k := Tree(i ) + 1

4 i := i − 1

W przeciwnym przypadku k := k + 1 (w kolejnej turze weźmiemy kolejną krawędź z listy krawędzi)

(46)

Algorytm generujący drzewa – opis

II. Powtarzamy

2 Jeśli r (uk) 6= r (vk) , to

i := i + 1;

Tree(i ) := k .

1 Jeśli Tree(i ) = |E (G )| , to

3 k := Tree(i ) + 1

4 i := i − 1