Matematyka dyskretna, seria 12 (grafy c.d.)
Zad 1. Narysuj wszystkie drzewa spinaj¡ce poni»szego grafu. Sprawd¹ zgod- no±¢ z macierzowym twierdzeniem o drzewach.
C D
A B
Zad 2. Wyznacz liczb¦ drzew spinaj¡cych grafu a) W6, b) Q3.
Zad 3. Wyznacz liczb¦ drzew spinaj¡cych grafu powstaªego z grafu G po usu- ni¦ciu p¦tli, je±li
A(G) =
1 1 1 2 0 1 0 2 1 1 1 2 0 1 1 2 1 1 1 0 0 1 1 0 1
.
Zad 4. Korzystaj¡c z twierdzenia o u±ciskach dªoni wyka», »e ka»de drzewo o n ≥ 2wierzchoªkach posiada przynajmniej 2 li±cie (wierzchoªki stopnia 1).
Wsk: Co by byªo gdyby ka»dy wierzchoªek miaª stopie« wi¦kszy ni» 1 ? Zad 5. Drzewo binarne to drzewo ukorzenione uporz¡dkowane, w którym ka»dy wierzchoªek ró»ny od li±cia (tzw. wierzchoªek wewn¦trzny) ma dwa wierzchoªki potomne. Na rysunku poni»ej pokazano drzewo binarne maj¡ce 3 wierzchoªki wewn¦trzne. Wyka», »e ka»de drzewo binarne o n ≥ 1 wierzchoªkach wewn¦trz-
n=3
nych ma dokªadnie n + 1 li±ci.
A B
Zad 6. Wyznacz liczby chromatyczne grafów A oraz B.
Zad 7. Niech T b¦dzie drzewem o n ≥ 2 wierzchoªkach. Wyka», »e χ(T ) = 2.
Wsk: Skorzystaj z wyniku Zad.4.
Zad 8. Wyznaczy¢ liczb¦ chromatyczn¡ grafu narysowanego poni»ej. Jaka jest liczba optymalnych kolorowa«? Wyznacz wielomian chromatyczny tego grafu.
Zad 9. Wyznacz liczby chromatyczne grafów plato«skich.
Zad 10. Wyznacz wielomian chromatyczny tego grafu. Jaka jest liczba opty- malnych kolorowa«?
