Proces Wienera (ruch Browna, Brownian motion)
Proces Ornsteina-Uhlenbecka z k
→ 0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
−
−
−
−
=
=
+
−
−
−
=
− 0 2 0 0 0 0 2 2 22
exp
2
1
,
,
2
1
1
2
1
2
2
1
t
t
D
x
x
t
t
D
t
x
t
x
p
Dt
kt
k
D
e
k
D
x
p
D
t
p
kt
Równanie Fokkera- Plancka
dla procesu
Ornsteina-Uhlenbecka z k = 0
Proces Wienera jest procesem ciągłym, ale trajektorie są nieróżniczkowalne.
( )
222
1
,
x
n
D
t
n
t
x
n
p
=
→
Równanie Fokkera - Plancka dla procesu Wienera jest w istocie równaniem dyfuzji
(w 1 wymiarze).
gęstość (koncentracja) cząstek
Uwaga: w powyższym wyprowadzeniu przyjęliśmy milcząco warunki brzegowe dla równania Fokkera-Plancka w postaci 𝑝 𝑥 → ±∞, 𝑡 𝑥0, 𝑡0 → 0
W związku z tym 𝑝 𝑥, 𝑡 𝑥0, 𝑡0 ma postać rozkładu Gaussa, który dla 𝑡 → ∞ coraz bardziej się „wypłaszcza”, obniża i zbiega do zera. Jest
to naturalne, ponieważ cząstka może oddalić się dowolnie daleko od punktu początkowego. W dalszym ciągu wykładu przyjmiemy inne warunki brzegowe dla procesu Wienera, tak że ruch cząstki będzie ograniczony do pewnego przedziału, i otrzymamy inne rozwiązanie
Proces Wienera jest procesem o przyrostach niezależnych.
Dla procesów Markowa zachodzi
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
) (
)
(
)
− = + + − = + + + − = + + − −
−
=
−
−
=
=
−
−
−
−
=
=
=
1 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1,
2
exp
2
1
,
2
exp
2
1
,
,
,
,
;
;
,
;
,
n i i i i i i i i i i n i i i i i i i n i i i i i n n n nt
x
p
t
D
x
t
D
t
t
t
x
x
x
t
x
p
t
t
D
x
x
t
t
D
t
x
p
t
x
t
x
p
t
x
t
x
t
x
p
Prawdopodobieństwo łączne przyrostów jest iloczynem prawdopodobieństw
poszczególnych przyrostów, więc przyrosty są niezależne.
• Proces Wienera (ruch Browna) nie jest „szumem białym” (tzn. nie ma stałego widma mocy – widać to na podstawie obliczonej na następnym slajdzie funkcji autokorelacji, która nie jest deltą Diraca, i na podstawie twierdzenia Wienera-Chinczyna, że widmo mocy jest transformatą Fouriera funkcji autokorelacji).
• Natomiast szumem białym są przyrosty procesu Wienera, czyli liczby przypadkowe brane z rozkładu Gaussa
Za 𝑝 𝑥𝑖+1, 𝑡𝑖+1𝑥𝑖, 𝑡𝑖
wstawiamy wyrażenie na 𝑝 𝑥, 𝑡 𝑥0, 𝑡0 z poprzedniego
slajdu, z zamianą 𝑥 → 𝑥𝑖+1, …, 𝑡0→ 𝑡𝑖
Ogólna własność procesów Markowa
Δ𝑥𝑖- przyrosty procesu Wienera
Przyrosty procesu Wienera są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Gaussa
Funkcja autokorelacji dla procesu Wienera
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
(
)
( ) ( )
(
) (
)
2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0,
min
,
,
,
,
2
exp
2
1
,
,
,
0
,
,
,
,
x
t
t
D
t
s
D
t
x
s
x
t
x
x
t
t
D
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
s
x
t
x
s
x
t
x
s
t
x
t
s
D
t
s
D
x
x
dxx
t
s
D
t
x
s
x
p
x
dx
t
x
s
x
t
x
s
x
s
x
t
x
s
t
t
x
s
x
t
x
s
x
s
x
t
x
t
x
s
x
t
x
+
−
−
=
+
−
=
=
+
−
=
+
−
=
=
−
−
−
−
=
=
=
−
+
−
=
+ −
ponieważ przyrosty są niezależne
Ogólnie
Wartość oczekiwana 𝑥0i wariancja 𝐷 𝑠 − 𝑡0 rozkładu Gaussa
Czyli funkcja autokorelacji dla procesu Wienera nie jest deltą Diraca
Procesy nieciągłe (skokowe)
Opisane ogólnie równaniem Master
(
)
=
(
) (
) (
−
) (
)
mt
n
t
n
p
t
n
m
W
t
n
t
m
p
t
m
n
W
t
n
t
n
p
t
,
,
,
,
,
,
,
,
W przypadku dyskretnej przestrzeni stanów
• 𝑝 𝑛, 𝑡 𝑛
′, 𝑡′
-
prawdopodobieństwo, że układ (np. cząstka) w chwili t jest w stanie
n
, jeżeli w chwili t’ był w stanie n’.
• 𝑊 𝑛 𝑚, 𝑡 - prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu (ang. rate) w
chwili t ze stanu m do stanu n; postać „rate” całkowicie określa proces
stochastyczny.
Procesy generacji i rekombinacji
Błądzenie przypadkowe
(random walks)
Proces Poissona
Procesy narodzin i zgonów
(birth & death)
Błądzenie przypadkowe (w jednym wymiarze)
Cżąstka może przebywać w dyskretnych punktach
d -
Prawdopodobieństwo przejścia do sąsiedniego położenia na jednostkę czasu
Równanie Master
,
2
,
1
,
0
,
=
=
m
m
x
(
)
(
) (
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
−
=
−
−
+
=
→
=
=
−
+
=
=
=
−
+
=
=
=
−
−
+
+
=
− − −
Dt
x
Dt
t
x
p
tD
s
td
e
e
t
s
G
l
n
nl
x
td
e
e
t
s
G
s
G
n
P
t
s
G
e
e
d
t
s
G
t
e
t
n
t
n
P
e
t
s
G
t
n
t
n
P
t
n
t
n
P
t
n
t
n
P
d
t
n
t
n
P
t
ils ils is is n is is n ins ins4
exp
4
1
0
,
0
,
exp
2
exp
,
0
,
,
2
,
1
,
0
,
2
exp
,
1
0
,
0
,
0
0
,
,
2
,
,
,
,
,
,
2
,
,
1
,
,
1
,
,
2 2 0 ,
Funkcja charakterystyczna
Przy zadanym warunku brzegowym
x(0) =0
otrzymujemy rozwiązanie
Potraktujmy x
jako zmienną ciągłą
Błądzenie przypadkowe w granicy l→0 daje proces Wienera
Transformata Fouriera rozkładu prawdopodobieństwa
𝑃 𝑛, 𝑡 𝑛′, 𝑡′ oznacza prawdopodobieństwo, że cząstka w chwili t jest w punkcie x=n, jeżeli w chwili t’ była w punkcie
x’=n’
Ponieważ 𝐺 𝑠, 0 =
σ𝑛𝑃 𝑛, 0 0,0 𝑒𝑖𝑛𝑠= σ𝑛𝛿𝑛,0𝑒𝑖𝑛𝑠= 1
Obliczamy transformatę Fouriera obu stron równania Master
W celu obliczenia rozkładu prawdopodobieństwa dla błądzenia przypadkowego należy dokonać odwrotnej transformacji Fouriera funkcji charakterystycznej, 𝑃 𝑥, 𝑡 0,0 = 1
2𝜋−∞ ∞
𝑒−𝑖𝑥𝑠𝐺 𝑠, 𝑡 𝑑𝑠. Wyniku nie da się wyrazić w postaci analitycznej, ale można uprościć zagadnienie, traktując x jako zmienną quasi-ciągłą, tzn. przyjmując, że kolejne punkty, indeksowane jako 1,2,3… , leżą w niewielkiej odległości od siebie (odstęp między sąsiednimi punktami 𝑙 → 0) – por. kolejny slajd.
(
)
(
) (
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
−
=
−
−
+
=
→
=
=
−
+
=
=
=
−
+
=
=
=
−
−
+
+
=
− − −
Dt
x
Dt
t
x
p
tD
s
td
e
e
t
s
G
l
n
nl
x
td
e
e
t
s
G
s
G
n
P
t
s
G
e
e
d
t
s
G
t
e
t
n
t
n
P
e
t
s
G
t
n
t
n
P
t
n
t
n
P
t
n
t
n
P
d
t
n
t
n
P
t
ils ils is is n is is n ins ins4
exp
4
1
0
,
0
,
exp
2
exp
,
0
,
,
2
,
1
,
0
,
2
exp
,
1
0
,
0
,
0
0
,
,
2
,
,
,
,
,
,
2
,
,
1
,
,
1
,
,
2 2 0 ,
Błądzenie przypadkowe w granicy l→0 daje proces Wienera
Potraktujmy x
jako zmienną ciągłą
Proces Poissona
Błądzenie przypadkowe w jedną stronę (kroki wykonywane są tylko w prawo z
prawdopodobieństwem na jednostkę czasu
m
)
Równanie Master
(
)
(
) (
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
( )
)
( )
(
)
( )
!
0
,
0
,
!
1
exp
,
1
exp
,
1
0
,
0
,
0
0
,
,
1
,
,
,
,
,
,
,
,
1
,
,
0 2 2 2 1 0 ,n
t
e
t
n
P
e
n
t
e
e
t
te
e
te
e
t
s
G
t
e
t
s
G
s
G
n
P
t
s
G
e
t
s
G
t
e
t
n
t
n
P
e
t
s
G
t
n
t
n
P
t
n
t
n
P
t
n
t
n
P
t
n t n ins n t is is t is t is n is n ins insm
m
m
m
m
m
m
m
m m m m − = − − −=
=
+
+
+
=
=
−
=
=
=
−
=
=
=
−
−
=
Funkcja charakterystyczna
Przy zadanym warunku brzegowym
x(0) =0
otrzymujemy rozwiązanie
Rozkład Poissona
Transformata Fouriera rozkładu prawdopodobieństwa
Obliczamy transformatę Fouriera obu stron równania Master
(♠)
(♠)
Z porównania współczynników przy 𝑒𝑖𝑛𝑠w obu rozkładach funkcji charakterystycznej
(♠)
Problem na czasie: jakie jest prawdopodobieństwo, że w chwili t w sklepie będzie n klientów, jeżeli prawdopodo-bieństwo wejścia klienta na jednostkę czasu wynosi μ.
Tym razem uzyskanie rozkładu prawdopodobieństwa z funkcji charakterystycznej było łatwe
Procesy generacji i rekombinacji
Cżąstka może przebywać w punktach
x
=
ml
,
m
=
0
,
1
,
2
,
,
l
=
const
Prawdopodobieństwo przejścia do sąsiedniego położenia na jednostkę czasu
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
(
)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
(
)
l
(
G
R
)
P
x
P
R
G
l
x
t
P
P
t
x
R
t
x
G
n
l
x
t
x
P
t
x
R
x
l
t
x
P
t
x
G
x
l
t
x
P
f
dx
d
l
f
dx
d
l
dx
d
l
dx
f
d
l
dx
df
l
x
f
l
x
f
t
x
P
t
x
R
t
x
P
t
x
R
t
x
P
t
x
G
t
x
P
t
x
G
t
x
P
t
x
R
t
x
G
n n n n m m m m m m m m m m m+
+
−
−
=
−
+
−
=
=
−
+
−
−
=
=
+
+
=
+
+
=
−
+
−
=
= + + − − 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 12
1
,
1
,
!
,
,
1
exp
,
,
1
exp
,
exp
2
1
1
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
ze stanu m do m+1 (generation rate)
ze stanu m do m-1 (recombination rate)
Równanie Master
Ograniczając się do dwóch pierwszych
wyrazów rozwinięcia, z równania Master
uzyskujemy
równanie Fokkera-Plancka
Ponownie dokonajmy przejścia 𝑙 → 0.
Żeby urozmaicić wywód, skorzystajmy z formalnej definicji operatora 𝑒𝐴 = 1 + 𝐴 +1
2𝐴
2+ ⋯ gdzie A
oznacza dowolny operator
Korzystamy z formalnej definicji operatora exp ±𝑙 𝑑
𝑑𝑥
![Widok A Duet on Engagement: Challenges and Dilemmas of the Researcher of Ethnicities in Poland in the Early 1990s [Dwugłos o zaangażowaniu. Wyzwania i dylematy badacza etniczności w Polsce na początku lat dziewięćdziesiątych XX wieku]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)