УДК 539.3 А. Сяський, докт. техн. наук; Н. Шинкарчук

(механіка та матеріалознавство).

УДК 539.3

А. Сяський, докт. техн. наук; Н. Шинкарчук

Рівненський державний гуманітарний університет

МІШАНА КОНТАКТНА ЗАДАЧА ДЛЯ ОРТОТРОПНОЇ

ПЛАСТИНКИ З ЕЛІПТИЧНИМ ОТВОРОМ І ЖОРСТКОГО ДИСКА

Резюме. Розглянуто мішану контактну задачу для ортотропної пластинки з еліптичним отвором і жорсткого диска за наявності на лінії розмежування матеріалів зон спаю, гладкого контакту і відставання. Використовуючи інтегральні подання компонент вектора зміщення контурних точок, побудовано систему сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь для визначення контактних зусиль. Напружений стан на контурі отвору пластинки досліджено методом механічних квадратур і колокації. Ключові слова: нескінченна пластинка, еліптичний отвір, зона спаю, зона контакту, ортотропні матеріали, напружений стан, інтегрально-диференціальні рівняння.

A. Syasky, N. Shynkarchuk

MIXED CONTACT PROBLEM FOR AN ORTHOTROPIC

PLATE WITH ELLIPTIC HOLE AND HARD DISK

The summary. We are researching a mixed contact problem for an orthotropic plate with elliptic hole

and a hard disk when zones of spayed materials, zones of smooth contact and ones of disconnection are present on the boundary line. The system of singular integral-differential equations to determine contact efforts was built by using the integral representation displaced contour points vector. Stress state on the contour of plate hole is testing by the method of mechanical quadrature and collocation.

Key words: an infinite plate, an elliptical hole, spayu zone, contact zone, orthotropic materials, a

stained state, integral-differential equations.

9

( )

( )

0 1 0 1 1 2 1 2 1 1 2 ( ) ' ln sin ' ln sin 2 2 t t f t dt f t dt c β π β α π α β β β β λ λ π + +   + − − −  + +    

∫

∫

 , λ γ∈ ;

(

)

0 0 0 1 (uд ivд) U iV eiϕ σ ε_N σ −   + = + + _ + _  , (2) де α₀, β₀, α₁, β₁ – образи кутів α₀∗, β₀∗, α₁∗, β₁∗ при відображенні (1); E , _x ν – модуль _x Юнга і коефіцієнт Пуассона матеріалу пластини в напрямку осі Ox ; β , ₁ β – корені ₂ характеристичного рівняння [5]; c c – сталі; ₁, ₂ 0 * * 1 2 ( ) it f if i T iS e dt λ ρ ρλ α + =

_∫

+ ; * *

( )

( ) T_ρ +iS_ρλ = T_ρ+iS_ρλ ω σ ; ′

σ

=eiλ; T_ρ, S_ρλ – нормальні та дотичні зусилля на контурі отвору пластинки; U V – жорстке ₀, ₀ лінійне зміщення диска, ϕ₀– кут його повороту. Граничні умови задачі в зоні контакту

[

α β₀, ₀

]

приймаємо у вигляді рівності нормальних зміщень пластинки і диска. За відсутності сил тертя їх можна записати так [8]: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a λ u b+ λ v=ε ϕN Sin Nλ +a λ U +b λ V ; S_{ρ λ}=0, λ γ∈ . ₁ (3) Тут γ₁,γ₂,γ₃– образи ділянок Γ ,₁ Γ ,₂ Γ при відображенні (1); ₃

( )

( )

( ) i a

λ

+ib

λ

=

α β

+i eλ;

α β ω σ

+i = ′

( )

;

α

= −1

ε

(

N−1 cos

)

N

λ

;

β ε

=

(

N−1 sin

)

N

λ

;

( )

cos

(

1 cos

)

(

(

1

)

)

a

λ

=

λ ε

− N− N−

λ

; b

( )

λ

=sin

λ ε

+

(

N−1 sin

)

(

(

N−1

)

λ

)

. В зоні спаю

[

π α π β

+ ₁, + ₁

]

пластинки і диска граничні умови записуємо у вигляді рівності зміщень їх контурних точок [8] 0 (sin sin(( 1) )) 0 u=U − λ ε− N− λ ϕ ; v=V₀+(cosλ ε+ cos((N−1) ))λ ϕ₀, λ γ∈ . ₃ (4) Підставляючи (2) в граничні умови (3), (4), отримаємо систему чотирьох сингулярних інтегральних рівнянь з логарифмічними ядрами для визначення функцій 1 f ′, f ′₂ на ділянці контакту і в зоні спаю

( ) (

)

( )

0

( )

1

( )

0 0 1 1 2 1 2 1' 2' ln sin 2' ln sin 2 2 x t t a f t dt f t dt f t dt β π β λ α α π α β β λ λ λ β β ν π + +  ₊  _{− −}   − +  + −  _ _ 

∫

∫

∫

( ) (

)

( )

0 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ' 2 2 x x x Y X b f t dt λ α β β ν β β ν β β β β λ λ β β ν λ π π π  −  − + − +  − + − ×  _

∫

( )

( )

( )

( )

0 1 0 1

1' ln sin 1' ln sin 2 0sin( ) 1 2

10

( )

1 1 0 1 2 1 2 0 ( )

' ln sin 2 (cos cos(( 1) ))

2 2 x x X t f t dt c E h N π β π α β β ν λ _{λ λ ε λ ϕ} π + +  ₋ − + + = + + − 

∫

% , λ γ∈ , ₃ (6) де c%₁=2E hU_{x 0}−c₁, c%₂=2E hV_{x 0}−c₂. Крім системи рівнянь (5),(6) повинні виконуватися умови силової й моментної рівноваги диска [8]

( )

( )

0 1 0 1 2' 2' 0 f t dt f t dt X β π β α π α + + + = −

∫

∫

;

( )

( )

0 1 0 1 1' 1' 0 f t dt f t dt Y β π β α π α + + + =

∫

∫

; (7)

( )

( )

( )

( )

0 0 0 0

0 1' cos 2' sin 1' cos(( 1) ) 2' sin(( 1) )

M f t t f t t dt f t N t f t N t dt β β α α ε   =_{ } + _ + _ − + − _ _− 

∫

∫



( )

( )

( )

( )

1 1 1 1

1' cos 2' sin 1' cos(( 1) ) 2' sin(( 1) )

f t t f t t dt f t N t f t N t dt π β π β π α π α ε + + + +   −_ _ + _ + _ − + − _ _ 

∫

∫

 , які служать для визначення сталих c c% %₁, ₂,

ϕ

₀. Якщо функції f₁′

( )

λ

, f₂′

( )

λ стануть відомі, то контактні зусилля на контурі отвору пластинки можна визначити за формулою [7]

( )

( )

(

2 1

)

(

( )

( )

)

2 2 f if a ib T_ρ iS_ρλ λ λ λ λ α β ′ − ′ − + = + . (8) Кільцеві зусилля T_λ на контурі Γ знаходимо із співвідношення [7]

(

1

)(

2

)

₍

₍

₎

2 2

₎

₍

₍

₎

₎

1 2 4 1 1 2 4 2 1 2 1 1

sin cos sin cos

4 T_λ= − −T_ρ +β +β _ l l + a b l+ λ λ R + a b l+ −l l R λ λ −_ ∆ ∆

(

1

)(

2

)

₍

₍

₎

2 2

₎

₍

₍

₎

₎

0 4 1 3 3 4 3 1 4 1 2 1 1

sin cos sin cos

4 l b a l l R l l b a l R Tλ −β −β _{ } − _ − λ λ − + + − λ λ +_ ∆ ∆ % % . (9) Тут введено позначення

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 sin cos 1 cos sin 2 2 x x X Y a b T_λ = λ + λ_ β β +β +β − ν b λ + β +β +β β −ν a λ _ ∆ ∆  π π; 2 2 2 2 1 sin 1 2cos l =a λ − β βb λ ; l2=asin2λ −bcos2λ ; 2 2 3 sin cos l =a λ +b λ ;

(

)

4 1 2 l =ab β + β ; ∆ =_j a2sin2λ + βb2 _j2cos2λ,

(

j =1, 2

)

;

( )

( )

( )

( )

0 1 0 1 * 0 0 1 1 1 2 2 2 t t R T T t S t ctg dt T t S t ctg dt β π+β ρ ρ ρλ ρ ρλ α π+α λ − λ −     = − + _ − _ + _ − _ π

∫

_{ } π

∫

_% % _ ;

( )

( )

( )

( )

0 1 0 1 * 0 0 2 1 1 2 2 2 t t R S S t T t ctg dt S t T t ctg dt β π+β ρλ ρλ ρ ρλ ρ α π+α λ − λ −     = − + _ + _ + _ + _ π

∫

  π

∫

% %  ; * 3 4 1

R = − T_ρ −R; R₄ =4S_ρλ* +R₂; R%₃ =R₃cos 2λ +R₄sin 2λ; R%₄ =R₄cos 2λ −R₃sin 2λ;