Ein Algebrisches Turbulenzmodel für Ästuare

Institut für Strömungsmechanik

und Elektron. Rechnen im Bauwesen

der Universität Hannover

Ein algebraisches Turbulenzmodell für Ästuare

R. Lehfeldt

Hannover ISSN 0177-9028

Institut für Strömungsmechanik und Elektron. Rechnen im Bauwesen Universität Hannover

Appelstraße 9 A, D-3000 Hannover 1, Tel.: (xx49] (0511) 762-3568

Von dem Fachbereich für Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität Hannover zur Erlangung des Grades eines Doktors der Ingenieurwissenschaften genehmigte Dissertation.

Referent: Korreferenten:

Prof. Dr.-Ing. K.-P. Holz

Prof. Dr. rer. nat. J. Sündermann Prof. Dr.-lng. W. Zielke

Institut für Strömungsmechanik

und Elektron. Rechnen im Bauwesen

der Universität Hannover

Bericht Nr. 30/1991

Rainer Lehfeldt

Abstract

The density distribution within a fluid is of great importance for flow and transport phenomena in geophysical computational fluid dynamics. All turbulent exchange pro-cesses are influenced by buoyancy effects and must be adequately considered in numerical models.

Parameterizations of the vertical eddy visoosity and eddy diffusivity are presented for application in estuarine simulations. This model is implemented in a 2D vertiCally struc-tured finite difference scheme.

The algebraic turbulence model is based on the mixing length assumption and damping functions. Schematic test cases and a long term simulation of three months for a aalt wedge estuary show that this is an adequate parameterization of the turbulent exchange processes. Wlthout any change of coefficients the model is applied to a well mixed estuary giving equally satisfactory results.

A comparison of commonly used mixing length approaches for homogeneaus and strati-fied flows shows differences near the surface which modify the flow field considerably and consequently effect the advective transport of scalar quantities. Simulations of labora-tory experiments corrobora.te a. mixing length formulation for the eddy viscosity which can be derived from free surface flow conditions assuming the logarithmic velocity profile and a linear shear stress distribution.

The applied damping functions depend on the gradient Richardson number and comply with limiting conditions which are derived from energy redistribution considerations. The coefficients of these functions are determined from data of the atmospheric boundary layer which is an environment quite different from the intended area of application, so as to avoid any system specific calibration.

A comparison of model runs in a case-study of the Trave estuary demonstrates that constant eddy coefficients Iead to systematic errors even within short simulation periods. With the algebraic turbulence model presented in this study simulations of estuaries which are primarlly characterized by an equilibrium of horizontal advection and vertical diffusion reproduce even complex transport processes with sufficient accuracy.

Zusammenfassung

Bei der Modellierung geophysikalischer Strömungen hat die Dichteverteilung innerhalb des Fluids eine entscheidende Bedeutung für die Strömungs- und Transportprozesse. Die turbulenten Austauschprozesse werden durch Auftriebseffekte beeinflußt und müssen in geeigneter Form im numerischen Modell berücksichtigt werden.

Es wird eine Parametrisierung des vertikalen turbulenten Austausches von Impuls und skalaren Transportgrößen erarbeitet, die für Simulationen in Ästuaren tauglich ist. Die-ses Modell ist in einem 2D vertikal strukturierten Finite-Differenzen-Modell implemen-tiert.

Das algebraische Turbulenzmodell auf der Basis von Mischullgswegansatz und Dämp-fungsfunktionen wird anhand von exemplarischen Testbeispielen überprüft und hat sich für ein Salzkeil-Ästuar in einer Langzeitsimulation von drei Monaten als hinreichende Parametrisierung erwiesen. Ohne weitere Parameteranpassung wurde es für ein vertikal stärker durchmischtes Ästuar ebenso erfolgreich eingesetzt.

Ein Vergleich derzeit gebräuchlicher Ansätze für den Mischungsweg in homogenen und geschichteten Strömungen zeigt in Oberflächennähe Unterschiede, die das Geschwin-digkeitsfeld und somit den advektiven Transport skalarer Größen zum Teil erheblich modifizieren. Simulationen von Laborexperimenten belegen, daß mit einem Mischungs-wegansatz, der für eine Freispiegelströmung unter der Annahme eines logarithmischen Geschwindigkeitsprofils und einer linearer Schubspa~nungsverteilung abzuleiten ist, der turbulente Impulsaustausch hinreichend erlaßt werden kann.

Die Dämpfungsfunktionen hängen von der Gradienten-Richardson-Zahl ab und erfüllen Grenzbedingungen, die aus Energieumverteilungsbetrachtungen abgeleitet werden. Zur Bestimmung der Koeffizienten in diesem Ansatz werden Daten aus der atmosphärischen Grenzschicht herangezogen, die keinen direkten Bezug zum späteren Anwendungsfall haben, wodurch eine systemspezifische Kalibrierung vermieden wird.

Im Vergleich der Modellvarianten zur Fallstudie Trave zeigt sich, daß konstante Aus-tauschkoeffizienten schon bei kurzer Simulationsdauer zu systematischen Abweichungen führen.

Dagegen liegt mit der in dieser Arbeit vorgestellten Kombination von Ansätzen ein al-gebraisches Turbulenzmodell zur Simulation von Ästuaren mit primärem Gleichgewicht von horizontaler Advektion und vertikaler Diffusion vor, das auch sehr komplexe Trans-portprozesse gut erfaßt.

Vorwort

Die vorliegende Arbeit ist im wesentlichen in den Jahren 1983 bis 1986 am Institut für Strömungsmechanik und Elektronisches Rechnen im Bauwesen der Universität Han-nover im Rahmen des Teilprojektes B8 Modeliierung des turbulenten Austausches in

Gezeitenströmung des Sonderforschungsbereichs 205 Küsteningenieurwesen entstanden. Das Teilprojekt stand unter der Leitung von Herrn Dr.-lng. S. Bloß, dem ich für die Anregung zu dieser Arbeit und fruchtbare Diskussionen herzlich danke.

Herrn Prof. Dr.-Ing. K.-P. Holz danke ich für den Freiraum, diese Arbeit zum Ab-schluß führen zu können, sowie für die Übernahme des Referates.

Den Herren Prof. Dr. rer. nat. J. Sündermann und Prof. Dr.-Ing. W. Zielke danke ich für die Übernahme der Korreferate.

Außerdem sei den Kollegen des Instituts sowie Herrn Dr. J. C. Patterson von der Uni· versity of Western Australia für die gute Zusammenarbeit und anregende Diskussionen gedankt.

Hannover, im Februar 1991 Rainer Lehfeldt

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

1.1 Ziel der Arbeit

1.2 Experimentelle Evidenz . 2 Grundgleichungen 2.1 Erhaltungssätze . . . . 2.1.1 Navier-Stokes-Gleichungen . 2.1.2 Kinetische Energie . . . 2.1.3 Boussinesq-Approxima.tion . 2.1.4 Skalare Transportgleichung. 2.1.5 Zustandsgleichung . . . . . 2.2 Reynolds-Zerlegung . . . . 2.2.1 Reynolds-Gleichung für Impuls 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7

Mittlere kinetische Energie . .

Turbule.~te kinetische Energie Energiedissipation . . . . Reynolds-Gleichung für skalare Größen Reynolds-Stress-Gleichungen . Reynolds-Flux-Gleichungen 3 Thrbulenzmodelle 3.1 Klassifizierung . 3.2 Stress-/F!ux-Modellierung . . . 3.2.1 Turbulentes Längenmaß

3.2.2 Level-4- bis Level-I-Modelle nach Mellor & Yamada . 3.3 Algebraische Stress- /Flux-Modellierung .

3.4 Eddy- Viscosity-Modellierung , . 3.4.1 Turbulente Prandtl-Zahl 3.4.2 k-e-Modell . . . . 3.4.3 Energiemodell . . . . ·3.4.4 Mischungsweg-Modell ..

3.4 .5 Eddy-Viscosi ty- Formeln 3.5 Austausch-Modellierung . . . . ' I VII 1 2 6 6 7 9 9 10 11 .14 16 17 18 19 20 20 23 27 27 30 33 34 39 40 42 43 45 46 54 55

4 Schichtungseffekte 4.1 Grenzschichtapproximation . 4.1.1 Energieumverteilung 4.1.2 Grenzbedingungen 4.2 Eddy- Diffusivity-Modellierung 4.2.1 Dämpfungsfunktionen 4.2.2 Flux-Profil-Relationen 4.2.3 Datenanalyse

...

4.3 Stress-/Flux-M~dellierung

..

4.3.1 Grenzschichtapproximation 4.3.2 Turbulentes Längenmaß 4.3.3 Stabilitätsfunktionen 5 Fallstudien 5.1 Programmsystem TISAT-P2V 5.1.1 Numerisches Modell 5.1.2 Turbulenzmodell 5.2 Strömung

...

5.2.1 Laborgerinne 5.2.2 Windeinfluß 5.2.3 Scheidegraben , 5.2.4 Humber-Ästuar 5.2.5 Durchmischte Ästuare 5.3 Transport

...

5.3.1 Geschichtete Ästuare . 5.3.2 Salzverteilüng in der Trave .

6 Schlußbemerkung Literaturverzeichnis A Anhang Grundgleichungen A.l Zustandsgleichung . . A.2 Reynolds-Zerlegung . B Anhang Schichtungseffekte B.l Flux-Profii-Relationen .. VIII 57 57 60 62 63 63 67 70 72 74 74 76 77 77 78 82 82 83 93 100 109 111 117 117 130 139 141 151 151 152 153 153

B.2 Grenzschichtapproximation . C Anhang Fallstudien

C.l Strömung . . . .

C.2 Transport . . . . , . . . . . C.2.1 Geschichtete Ästuare

C.2.2 Salzverteilung für Tra.ve und Weser

IX 155 158 158 159 159 163

Ab bild ungsverzeichnis

1.1 Typische Zeitreihen turbulenzbehafteter Größen 1.2 Momentane turbulente Wasserversetzung 1.3 Turbulente Strukturen . . . . , . , . . . , . , . 1.4 Hochfrequente Suspensionsmessungen • . . , , . 1.5 Vertikalverteilungen relativer Sedimentkonzentrationen 2.1 Statistisch station~re Strömung . . .

2.2 Terme der Reynolds-Stress-Gleichung 3.1 Turbulenzmodelle . . . . , , . . , .. 3.2 Turbulenter Austausch . . . . 3.3 Theoretische Mischungsweg-Ausätze . 3.4 Mischungsweg- Verteilungen . . . . 2 3 4 5 5 15 22 28 47 53 54 4.1 Dämpfungsfunktionen im Vergleich 68

4.2 Turbulente Prandtl-Zahl und Flux-Richardeon-Zahl im Vergleich . 69 4.3 Kalibrierung von Dämpfungsfunktionen ,

5.1 Programmsystem TISAT-P2V , 5.2 Differenzenstern in TISAT-P2V 5.3 TISAT Systemdefinitionen , . .

5.4 Geschwindigkeitsprofile im '10-Schichten-Modell 5.5 Geschwindigkeitsprofile im 5-Schichten-Modell 5.6 Eddy- Viscosity-Profile im 10-Schichten-Modell . 5.7 Eddy-Viscosity-Profile im 5-Schichten-Modell . . 5.8 Geschwindigkeitsprofile und Mischungsweg-Ausätze 5.9 Eddy-Viscosity-Profile und Mischungsweg-Ausätze . 5.10 Windeinfluß, Laborversuch von Tsuruya . . . . 5.11 Windeinfluß und Mischungsweg-Ausätze . . . . 5.12 Zirkulation, Laborversuch von Baines & Knapp 5.13 Windinduzierte Geschwindigkeitsprofile . . . 5.14 System Scheidegraben . . . . 5.15 Strömungs- und Eddy-Viscosity-Felder, Ebbpha.se 5.16 Strömungs- und Eddy-Viscosity-Felder, Flutphase 5.17 Geschwindigkeitsprofile im Scheidegraben . X 71 78 80 80 86 87 88 89 91 92 94 95 98 99 101 103 104 105

5.18 Tiefengemittelte Zeitreihen . . . 106

5.19 Eddy-Viscosity-Profile im Scheidegraben . . . 107

5.20 Geschwindigkeitsprofile für konstante Koeffizienten 108

5.21 Zeitreihenvergleich k-Modell und Mischungsweg, Humber-Ästuar . 109 5.22 Minimale Eddy-Viscosity . . . 110

5.23 Variation des Tidehubes im durchmischten System. 112

5.24 Zeitreihen bei konstanten Koeffizienten 114

5.25 Geschwindigkeitsfelder 115

5.26 Erosionszyklen . . . . 116

5.27 Ästuartypen . . . 118

5.28 Salzgehaltszeitreihen, geschichtete Systeme 121

5.29 Längsprofile Salzgehalt .. , , .. , , .. , 122

5.30 Profile in Schichtenströmung . . . , . 124

5.31 Zeitliche Entwicklung von Horizontalgeschwindigkeit und Eddy-Viscosity 125 5.32 Strömungsfeld, Ebbphase , , , , , . . . , . . . , • . . . 126 5.33 Strömungsfeld, Flutphase . . . 126 5.34 Dimensionslose Profile in geschichteten und durchmischten Systemen 128 5.35 Dimensionslose Profile bei unterschiedlichen Mischungsweg-Ausätzen 129

5.36 Randbedingungen in der Trave-Simulation 132

5.37 Salzgehalt für 3 Monate in der Trave . . . . 132

5.38 Langzeitvergleich von Profilen . . . 133

5.39 Modellvariante mit konstanten Koeffizienten 133

5.40 Mischungsweg-Varianten und Salzgehaltsverläufe . 135

5.41 Mischungsweg-Varianten und Temperaturverläufe 136

5.42 Dichtegetriebene Zirkulation 137

5.43 Wärmefahnen . . . 138

A.l Zustandsgleichung und Dichtegradient 151

A.2 Zeitskalen in einer Tideströmung von Dyer 152

B.l Profilfunktionen von Businger .. , , . . . 153

B.2 Inverse turbulente Prandtl-Zahl von Yamada . 154

B.3 Inverse turbulente Prandtl-Zahl von Watanabe . 154

C.l Einschwingen, Laborversuch von Jobson & Sayre 158

C.2 Dimensionslose Profile in Schichtenströmung . . . 160

C.3 Salzgehaltszeitreihen bei unterschiedlichen Mischungsweg-Ausätzen 161

C.4 Salzgehaltszeitreihen von Bowden & Rarnilton 162

C.5 Systeme Trave und Weser • • 0 • • • • • • • • 163

C.6 Modellierte Ästuartypen

....

'

...

163

C.7 Temperatur- und Salzgehaltsprofile nach 7 Wochen 164

c.s

Temperatur- und Salzgehaltsprofile nach 11 Wochen . 164

C.9 Eddy-Viscosity-~ntwkklung

...

165

C.10 Eddy-Viscosity-Mittelwerte

....

165

C.ll Salzgehaltsverteilung in der Weser . . . 166

Nomenklatur

Ah

Aii

Ai;

Aq

Av

A,p

Aq~; At,

A2

a a Bl> B2 b b

c

Cv

Cu,

c.,

Cq~

Ctoo

Cp c. Cp, c~e, I c~'' CD Ct .... Cs

Dii

Di;

Dk

DL

Dq

Dq~ Dq~;

D.

Cw

c2, m

turbulenter horizontaler Austauschkoeffizient substantielle Ableitung in Reynolds-Stress-Gleichung substantielle Ableitung minus TKE-Anteil

in Reynolds-Stress-Gleichung

substantielle Ableitung in TKE-Gleichung turbulenter vertikaler Austauschkoeffizient

substantielle Ableitung in Reynolds-Dichte-Gleichung substantielle Ableitung in Reynolds-Flux-Gleichung Koeffizienten für Diffusionslängenskalierung Schallgeschwindigkeit

Koeffizient bei Dämpfungsfunktionen Koeffizienten für Diffusionslängenskalierung Breite

Koeffizient bei Dämpfungsfunktionen Konzentration Schubspannungskoeffizient dimensionslose Geschwindigkeiten Stabilitätsfunktion Schubspannungskoeffizient Jkg-1 _J(-1 _{spezifische Wärme} m2s-3 m2s-3 m2s-3 m3s-3 m2s-3 02s-t ßms-2 m2s-4 Schwebstoffkonzentration

empirische Konstante im k-e-Modell empirische Koeffizienten

empirische Koeffizienten bei Term-Approximationen Diffusionsterm in Reynolds-Stress-Gleichung

Diffusionsterm minus TKE-Anteil in Reynolds-Stress-Gleichung Diffusionsterm in k-Gleichung (k-e-Modell)

Diffusionsterm in Längenmaß-Gleichung Diffusionsterm in TKE-Gleichu~g

Diffusionsterm in Reynolds-Dichte-Gleichung Diffusionsterm in Reynolds-Flux-Gleichung

Diffusionssterm in Dissipationsgleichung (k-e-Modell)

d E Et, E2 F; f f(Ri) G;; Gi; Gk GL GM, GH Gq G<~>;

a.

g;, g g(Ri) h J(H J(M I<s [(, I<o k k L L Lk L, 1 l lo lm lm0 lt,

t,

m N Wassertiefe Ästuarkennzahl Koeffizienten für Diffusionslängenskalierung äußere Volumenkräfte Darcy-Weisbach-Widerstandsbeiwert Dämpfungsfunktion für skalare Größen Auftriebsterm in Reynolds-Stress-Gleichung

Auftriebsterm minus TKE-Anteil in Reynolds-Stress-Gleichung Auftriebssterm in k-Gleichung (k-e-Modell)

Auftriebsterm in Längenmaß-Gleichung Stabilitätsfunktionen

Auftriebsterm in TKE-Gleichung

Auftriebsterm in Reynolds-Flux-Gleichung

Auftriebssterm in Dissipationsgleichung (k-e-Modell) Schwerebeschleunigung

Dämpfungsfunktion für Impuls m Gesamttiefe

m2_s-1 _{Eddy-Diffusivity (Wärme, Salz)}

m2_{s-l Eddy-Viscosity}

m2 _s-1 _{Eddy-Diffusivity (Sediment)}

m2 _s-1 _{Eddy-Diffusivity (Wärme, Salz)}

m2_s-1 _{Eddy-Koeffizient für neutrale Schichtung} W m -t [ ( -1 Wärmeleitungskoeffizient

m2_s-2 _{turbulente kinetische Energie}

m Referenzlänge m Monin-Obukov-Länge

m empirisches Längenmaß im Energiemodell

m turbulentes Längenmaß m charakteristische Länge m Mischungsweg

m Mischungsweg für skalare Größen m Mischungsweg für Impuls

m Mischungsweg für Impuls bei neutraler Schichtung m Energieumverteilungslängenskalen

m N, n p

p

pii Pij pk PL Pq P,p P,pj PJj P, Po p Pr Pr1 Q Q q q q q2 Rl R, Ri Ric r

s

Sc Sc, S9 , S,pi> S,p, SL,

Exponent bei Dämpfungsfunktionen m2_s-1 _{Eddy-Viscosity}

Nm-2 Nm-2

m2s-3 m2s-3

Exponent bei Dämpfungsfunktionen momentaner Druck

Reynolds-Mittelwert des Drucks

Produktionsterm in Reynolds-Stress-Gleichung Produktionsterm minus TKE-Anteil

in Reynolds-Stress-Gleichung

Produktionsterm in k-Gleichung (k-e-Modell) Produktionsterm in Längenmaß-Gleichung Produktionsterm in TKE-Gleichung

W

s-1 _{Produktionsterm in Reynolds-Dichte-Gleichung}

[]ms-2 Produktionsterm in Reynolds-Flux-Gleichung

[]ms-2 reduzierter Produktionsterm in Reynolds-Flux-Gleichung m2_s-4 _{Produktionsterm in Dissipationsgleichung (k-e-Modell)}

Referenzdruck

Fluktuation des Drucks Prandtl-Zahl

turbulente Prandtl-Zahl

[ I

momentane Quelldichte skalarer Größen

[ I

Reynolds-Mittelwert der Quelldichte skalarer Größen

[ I

Fluktuation der Quelldichte skalarer Größen

ms-1 _{charakteristische Geschwindigkeit} m3_s-1 _Durchfluß

m2_s-2 _{turbulente kinetische Energie} Fluß-Richardson-Zahl

Reynolds-Zahl für dominante turbulente Wirbel Richardson-Zahl, Gradient-Richardson-Zahl kritische Richardson-Zahl Taylor-Bodenreibungsbeiwert ppt Salzgehalt Schmid

t-

Zahl turbulente Schmidt-Zahl

Funktionen invarianter Parameter im Diffusionslängenmaß

SM, SH Stabilitätsfunktionen T s charakteristisches Zeitmaß T

•c

Temperatur To

•c

Referenztemperatur Tu Stabilitätsfunktion t s Zeit

u

ms-1 _{Reynolds-Mittelwert der x-Geschwindigkeitskomponente}

U; ms-1 _{momentane Strömungsgeschwindigkeit}

U; ms-1 _{Reynolds- Mittelwert der Strömungsgeschwindigkeit}

Ul ms-1 Fluktuation der Strömungsgeschwindigkeit

u.

ms-1 Schubspannungsgeschwindigkeit

V

ms-1 Reynolds- Mittelwert der y-Geschwindigkeitskomponente

V, ms-1 _{turbulentes Geschwindigkeitsmaß}

w

ms-1 Windgeschwindigkeit

w

ms-1 Reynolds-Mittelwert der z-Geschwindigkeitskomponente

x,

m Ortskoordinate

z m Abstand

zo m Referenztiefe

zo m Rauhigkeitslänge

zo m Tideamplitude

a inverse turbulente Prandtl-Zahl

aT J(-2 _{Koeffizient für Temperatur in Zustandsgleichung}

as pprt Koeffizient für Salzgehalt in Zustandsgleichung

ß

I I

Expansionskoeffizient

r

m2s-1 _{molekulare Diffusivität}

r,

m2s-1 _{turbulente Diffusivität} 'Y Koeffizient Äx m Ortsschritt horizontal Ät s Zeitschritt Äz m Ortsschritt vertikal

s,,

Kronecker-Symbol

~. e m2s-3 Dissipationsrate der TKE pro Masseneinheit

e;; m2s-3 _{Dissipationsterm in Reynolds-Stress-Gleichung}

Ek m2s-a Dissipationsterm in k-Gleichung

EL m3s-3 Dissipationsterm in Längenmaß-Gleichung Eq m2s-a Dissipationsterm in TKE-Gleichung

e.p

[J2

~~-1 Dissipationsterm in Reynolds-Dichte-Gleichung

E.pj []ms- 2 Dissipationsterm in Reynolds-Flux-Gleichung

c:. m2s-4 Dissipationsterm in Dissipationsgleichung (k-e-Modell)

( Monin-Obukhov-Parameter

( m Wasserstand

K von Karman-Konstante

Ai> A2 m Dissipationslängenskalen

,\ _{Windschubkoeffizient}

,\I> ..\2, ..\a m Diffusionslängenskalen

I' m Längenmaß nach Kolmogorov

I' kgm-1s-1 dynamische Zähigkeit

/ld kgm-1s-1 Druckzähigkeit

II m2s-l kinematische Zähigkeit

Vt m2s-t turbulente Viskosität

li;; m2s-3 Energieumverteilungsterm in Reynolds-Stress-Gleichung

llt~j Oms-2 Energieumverteilungsterm in Reynolds-Flux-Gleichung

p kgm-3 _{Dichte des Wassers}

Po kgm-3 Referenzdichte I kgm-3 _{Dichteschwankung} p Ps kgm-3 Schwebstoffdichte

au kgm-1s-2 Tensor der Reibungsspannungen

ak, a, empirische Konstante (k-e-Modell)

T Nm-2 Schubspannung

Tb Nm-2 Schubspannung am Boden'

Tij Nm- 2 Schubspannungskomponenten

T, Nm- 2 Schubspannung an der Oberfläche

To Nm-2 Wandschubspannung

<I>

_{I I}

Momentanwert skalarer Größen

·~

_{I I}

_{Reynolds-Mittelwert skalarer Größen}

<I>n Profilfunktion für skalare Größen

<l>M Profilfunktion für hnpuls

t/>

I I

Fluktuation skalarer Größen

1

Einleitung

1.1

Ziel der Arbeit

Bei der Modeliierung geophysikalischer Strö~ungen hat die Dichteverteilung innerhalb des Fluids eine entscheidende Bedeutung für die Strömungs- und Transportprozesse. Die turbulenten Austauschprozesse werden durch Auftriebseffekte beeinflußt und müssen in geeigneter Form im numerischen Modell berücksichtigt werden.

Es soll eine Parametrisierung des vertikalen turbulenten Austausches von Impuls und ska-laren Transportgrößen erarbeitet werden, die für Simulationen im Ästuarbereich tauglich ist. Das Modell soll in seiner Komplexität möglichst einfach sein, da auch beim Einsatz für Langzeitsimulationen die Rechenzeiten vertretbar bleiben sollen.

Dennoch müssen die Eigenschaften des Ästuars hinreichend erfaßt werden. In dieser Zone mit Wasserkörpern unterschiedlicher Dichte, in der sich charakteristische longitudinale und vertikale Gradienten infolge der durch Tidegeschehen, Oberwasser und Wind be-stimmten Dynamik ausbilden können, ist die Turbulenz mit konstanten Koeffizienten nicht hinreichend zu parametrisieren.

In der vorliegenden Arbeit wird daher die Entwicklung von Turbulenzmodellen skizziert, um ein Verständnis für die Approximationen der einzelnen Ansätze und ihre Grenzen zu gewinnen. Zunächst werden alle nötigen Ausgangsgleichungen zusammengestellt und die Modellansätze für die turbulenten Austauschterme angegeben. Dabei wird deutlich, daß die Turbulenzparametrisierung eine Konsequenz der mathematischen Beschreibungs-form der Natur ist und ein Turbulenzmodell mit den übrigen Approximationen in der mathematischen Modeliierung konsistent sein muß. Dies gilt insbesondere für die For-mulierung einer Zustandsgleichung und die Spezifikation von Randbedingungen. Ziel ist es, ein algebraisches Turbulenzmodell zu formulieren. Der Prandtl'sche Mi-schungsweg in Verbindung mit Dämpfungsfunktionen zur Erfassung von vertikalen Dieb-teeffekten ist dazu seit mehreren Jahrzehnten verwendet worden. Im Vergleich der Li-teratur fällt auf, daß dabei im wesentlichen diagnostische Betrachtungen für spezielle Situationen angestellt wurden, so daß eine Fülle systemspezifischer Eichparameter vor-liegt.

Hier wird nun versucht, eine allgemeingültigere Formulierung zu finden, indem die Ka-librierung des Ansatzes mit Daten vorgenommen wird, die keinen direkten Bezug zum späteren Anwendungsfall haben. Es werden neuere Meßdaten aus der atmosphärischen Grenzschicht benutzt, um die erforderliche Parameterbestimmung vorzunehmen.

2 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Abbildung 1.1: Typische Zeitreihen turbulenzbehafteter Größen, aus Monin & Yaglom, 1971 [86).

Eine Langzeitsimulation des Transportes von Salz und Wärme in einem geschichteten Ästuar dokumentiert den Einsatzbereich des algebraischen Turbulenzmodells. Im Vor-feld werden anhand von Daten aus Laborversuchen Teilaspekte dieses Turbulenzmodells diskutiert und die Parametrisierung des vertikalen turbulenten Impulsaustausches und des Transportes skalarer Größen für jeweils kontrollierte Bedingungen verifiziert.

1.2 Experimentelle Evidenz

Die zur Simulation anstehenden physikalischen Größen sind turbulent. Dazu zeigt die Abbildung 1.1 hochauflösende Messungen von Wind und Temperatur, die den turbulen-ten Charakter dieser Größen im zeitlichen Verlauf deutlich machen [86).

Die registrierten Fluktuationen der Windgeschwindigkeit und -richtung tragen wesent-lich zum Austausch von Impuls bei, d.h. die effektive Zähigkeit des Fluids wird beträcht-lich erhöht. Ebenso wird der Wärmeaustausch durch die turbulenten Schwankungen der Temperatur vergrößert.

Neben dem zeitlichen Verlauf einer physikalischen Variablen an einem festen Ort inter-essiert ihr charakteristisches Verhalten in der Nachbarschaft von Berandungen. In der Abbildung 1.2(a) ist ein Satz von Aufnahmen der Versetzung von Wasserstoffbläschen über die Wassertiefe zu verschiedenen Zeiten dargestellt (19). Eine Überiagerung der Meßwerte in Abbildung 1.2(b) ergibt die zeitgemittelte Wasserversetzung, die mit einem

I ,\ I

I

I I !

1.2. EXPERIMENTELLE EVIDENZ 3

b) c) d)

Abbildung 1.2: Momentane turbulente Wasserversetzung und zeitlicher Mittelwert einer Horizontalströmung, aus Cebeci & Smith, 1974 [19).

theoretischen Ansatz durch das Geschwindigkeitsprofil in Abbildung 1.2(c) beschrieben werden kann.

Die Abbildung 1.3 zeigt eine turbulente Strömung in einem offenen Gerinne. Der Unter-schied zwischen den einzelnen Aufnahmen besteht in der Geschwindigkeit, mit der die Kamera in Strömungsrichtung mitbewegt wurde, so daß in den Aufnahmen Wirbel unter-schiedlicher Ausdehnung zutage treten. Diese Draufsicht ergänzt den Vertikalschnitt aus Abbildung 1.2 in der Charakterisierung der Thrbulenz als dreidimensionales Phänomen [95).

Direkte hochfrequente Messungen von Konzentrationen suspendierten Materials in einer bestimmten Höhe über der Sohle [29) in Abbildung 1.4 weisen ebenfalls die charakteri-stischen turbulenten Fluktuationen auf. Deren Amplitude und Mittelwert hängen von der momentan herrschenden Tideströmung ab (oben 83cms-I, unten 96cms-1

) und

ver-deutlichen die starke Wechselwirkung von Dynamik und Transport in einem Fluid. Die Abbildung 1.5 zeigt analog zu Abbildung 1.2(c), wie Meßwerte von Sedimentkon-zentrationen durch einen theoretischen Ansatz erfaßt werden können [118).

Für Fragestellungen zu Transportvorgängen skalarer Größen, wie etwa Transport von Salz, Wärme, Sediment mit charakteristischen Konzentrations- oder Temperaturprofi-len, ist die Wechselwirkung des vertikalen Geschwindigkeitsprofils und des jeweiligen Konzentrationsprofils von entscheidender Bedeutung. Die momentanen Abweichungen von diesen glatten Profilen der mittleren Größen sind die sog. turbulenten

Schwankun-4 •) c) d) KAPITEL 1. EINLEITUNG O~hwlndlJhU dt1' Aamua. l!,t5omJa

Abbildung 1.3: Turbulente Strukturen mit bewegter Kamera aufgenommen, aus Prandtl, 1984 (95).

gen. Sie tauchen in den Gleichungen zur Simulation als turbulente Diffusionsterme für Impuls und Wärme bzw. Stoff auf und bestimmen wesentlich das momentane lokale Gleichgewicht von horizontaler Advektion und vertikaler Diffusion.

Das resultierende Ges~hwindigkeitsfeld hängt vom turbulenten Impulsaustausch ab und ist durch den baroclinen Druckgradienten an die Verteilungen von Wärme bzw. Konzen-trationen gekoppelt. Dies zeigt die Bedeutung der adäquaten Modeliierung turbulenter Austauschprozesse in numerischen Modellen.

1.2. EXPERIMENTELLE EVIDENZ

60

Zelt (s)

120

Abbildung 1.4: Hochfrequente Suspensionsmessungen, aus Dyer, 1986 (29).

0

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o. 0.005 0.01 0.05 0.1 0.15. 1.0

relative Konzentration

&

5

Abbildung 1.5: Vertikalverteilungen relativer Sedimentkonzentrationen C fC. und die zugehörigen theoretischen Verläufe nach Rouse, aus Vanoni, 1975 (118).

2

Grundgleichungen

Ziel dieses Abschnittes ist, die hydrodynamischen Grundgleichungen für Impuls- und Stoff-/Wärmetransport so zusammenzustellen, wie sie in modellierter Form bei der nu-merischen Berechnung turbulenter Strömungen zur Anwendung kommen. Die reinen Er-haltungssätze der Physik werden durch vereinfachende Annahmen bezüglich der Stoffei-genschaften des Fluids ( constant property fluid) und der Bedeutung bzw. Größenordnung einzelner Terme (Boussinesq-Approximation) so weit reduziert, daß im Prinzip die Be-rechnung turbulenter Strömungen möglich ist.

Wegen der Nichtlinearität der resultierenden Gleichungen und der Komplexität der be-treffenden Bewegungsvorgänge ist eine statistische Untersuchungsmethode nötig. Die Zerlegung aller Variablen in Mittelwert und Schwankungsgröße (Reynolds-Zerlegung) führt nun auf Gleichungssysteme für die mittleren Größen, läßt aber Zusatzterme auftreten, die Korrelationen der Schwankungsgrößen darstellen. Für diese Reynolds-Transportterme können weitere Bestimmungsgleichungen abgeleitet werden, die immer neue Korrelationen enthalten und durch geeignete Parametrisierungen beschrieben wer-den müssen (Schließungsproblem der Hydrodynamik).

Die im nächsten Abschnitt zu beschreibenden Turbulenzmodelle unterscheiden sich im wesentlichen dadurch, auf welcher Ebene diese Parametrisierung einsetzt, d.h. welche Grundgleichungen zur Modeliierung herangezogen werden. Daher sind im folgenden alle notwendigen Beziehungen zunächst als exakte Gleichungen angegeben, die zur Charak-terisierung der Turbulenzmodelle dienen. Dabei werden insbesondere die Gleichungen. abgeleitet, die für die Klassifizierung -der Modelle nach Rodi (98] sowie Mellor & Yamada [84] von Bedeutung sind.

2.1

Erhaltungssätze

Die Bewegungsgleichungen eines Fluids ergeben sich aus den Erhaltungssätzen in Ver-bindung mit den Fluideigenschaften. Die Massenerhaltung wird durch die Divergenz des Massenstromvektors pU; und die lokale zeitliche Änderung der Dichte beschrieben:

{)p {)

8t

+

8x, (pU,) = 0 (2.1)

mit p

=

Dichte und U;

=

Geschwindigkeitskomponente in x; -Richtung.

Die Impulserhaltung bildet die Bilanz aus der Divergenz des Impulsstroms, der durch den Impulsstromtensor pU;Uj beschrieben wird, und der zeitlichen Änderung des Impulses

2.1. ERHALTUNGSSÄTZE 7 sowie den Beiträgen von externen und internen (molekularen) Kräften:

a a ap 8au

at

(pU;)

+

8x

1 (pU;Ut) = - 8x1

+

8x1

+

pF;

wobei P

=

Druck, pF; = äußere Massenkräfte, au

=

Tensor der Reibungsspannungen bedeuten. Als äußere Massenkraft ist hier im wesentlichen die Schwerkraft zu berück-sichtigen: pF; = pg; mit g; = (0, 0, -g).

Für Berechnungen in großflächigen Arealen in einem rotierenden Koordinatensystem müssen die Trägheitsterme um die Corioliskraft erweitert werden. Sie sind jedoch für die Fragestellungen in der vorliegenden Arbeit ohne Bedeutung und werden somit nicht explizit berücksichtigt.

Unter Ausnutzung der Gleichung für die Massenerhaltung lautet die Impulserhaltung

(au,

r;,

au,) 8P 8au F. (2 )

p

0t

+

I ßx1 = - ßx;

+

8x1

+

p i •2

Aus der Impulserhaltung leitet sich durch Multiplikation mit U; die Gleichung für

kine-tische Energie ab. Unter mehrfacher Berücksichtigung der Massenerhaltung (2.1) ergibt sich aus den folgenden beiden Identitä.ten und deren Kombination

a au, ap

ßt (pU,U,) = 2pU;ßt

+

u,u,

8t

a

-8 Xt (pU,U;U;)

=

U 8U;U; U U 8pU, p

,--+

j ; -ax, ax, au, apu,

=

2pU;U,-

+

U;U1 -8x1 . ax, au, au, 1

a

1 a

pU;ßt

+

pU;U, 8x,

=

2

at

(pU;U;)

+

2

8x, (pU,U;U;)

!(

8U;U; U·U·8p U·U·8pU1 U 8U;U;)

= 2 p 8t

+ • •

lJt

+ • •

8x₁

+

p 1 _8x

1

8 1 {) 1

p 8t 2U;U;

+

pU, 8x 1 2U;U; die Gleichung für die Erhaltung der kinetischen Energie

8 1 8 1 8P 8au

p( ßt 2U;U;

+

U, ßx, 2U;U;) = -U1 ßx;

+

U1 ax,

+

pU;F; (2.3)

2.1.1

Navier-Stokes-Gleichungen

Für Newtonsehe Flüssigkeiten hängen die Reibungsspannungen linear mit den Deforma-tionsgeschwindigkeiten zusammen, d.h. die innere Reibung tritt nur bei Relativbewegun-gen im Fluid proportional zur ersten Ableitung der Geschwindigkeit zutage.

au, au; 2 au,

8 KAPITEL 2. GRUNDGLEICHUNGEN mit p. = dynamische Zähigkeit (Scherzähigkeit, die in der Regel

nur von der Temperatur abhängt)

Jl.d =Druckzähigkeit (Proportionalitätskonstante zwischen

Normalspannungen und Volumendilatation).

Die Koeffizienten der dynamischen Zähigkeit p. und der Druckzähigkeit Jl.d weisen nur eine geringe räumliche Variation auf, die durch ihre schwache Abhängigkeif von der Temperatur bedingt ist. Wenn nun alle Terme, die räumliche Ableitungen von p. und Jl.d enthalten, vernachlässigt werden, lautet die Impulsgleichung (2.2):

p(ßU;

+

u,

ßU;)

= _

ßp

+

p.( .ß_(ßU;

+

ßU,)

+

(P.d _

~p.)

ß2U1

+

pF; (_2.5)

ßt ßx, ßx; ßx1 ßx1 ßx; 3 ßx;ßx,

Die vier Gleichungen (2.1) und (2.5) enthalten die fünf Unbekannten Dichte p, Druck

P und die Geschwindigkeiten U; in den drei Raumrichtungen und bilden somit kein geschlossenes Gleichungssystem.

In der Praxis kann die Variation der Dichte eines bewegten Fluidteilchens als klein angesehen werden. Diese Annahme gilt, wenn die Geschwindigkeit klein gegen die Schallgeschwindigkeit ist, U

<<

a, und zusätzlich die Bedingung T

> >

~ erfüllt wird. Dabei sind T und L charakteristische Zeit- und Längenmaße, innerhalb derer sich die Geschwindigkeit U meßbar ändert ((86], p.29).

a(ms-1

) bei 15°0 L = l(m) T

=

~(s)

Wasser 1500 1 6.7

*

10-4

Luft 340 29.4

*

10-4

Bei einer Systemausdehnung von L = lm liegt die aus der Schallgeschwindigkeit a ab-zuleitende charakteristische Zeit bei T "' 10-4_{s bzw. bei der Frequenz j "' 10}4_Hz.

Eine Fluidströmungsgeschwindigkeit von lms-1 _{in einem System von lm Ausdehnung}

impliziert eine charakteristische Zeit von T"' ls, d.h. die Dichte kann unter diesen Be-dingungen als konstant betrachtet werden. Diese Annahme der Vernachlässigbarkeit von Dichteänderungen gilt auch für stark turbulente Zustände.

Mit der Voraussetzung p = const vereinfacht sich die Gleichung für die Massenerhaltung (2.1) zur Kontinuitätsgleichung

ßU! =O

ßx1 (2.6)

Damit reduziert sich nun ebenfalls der Ansatz für die Reibungsspannungen auf den reinen DeformationsanteiL Die in Euterscher Betrachtungsweise notierten Impulsgleichungen (2.2) bzw. (2.5) gehen mit diesen Ansätzen für die Reibungsspannungen und die Dichte in die Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible, zähe Flüssigkeiten über

ßU; ßU; 1 ßP ß2_U;

- +

u,-

= - - -

+

v - -

+

F; (2.7)

2.1. ERHALTUNGSSÄTZE 9

mit der kinematischen Zähigkeit v = pf p. Der verbleibende Term für die

Reibungsspan-nungen repräsentiert wegen der Voraussetzung der Kontinuitätsgleichung (2.6) nur noch einen Teil seiner ursprünglichen Komponenten:

1

aail P a au, au,

a

2

u,

p

OXI

=

p

OXI ( OXI

+

OX1) = II OXtOXI

2.1.2

Kinetische Energie

Die kinetische Energie (2.3) für ein Fluid mit konstanten Eigenschaften (constant pro· perty fluid: p = const, p = const ) lautet unter Beachtung der Beziehung

.!..u,(au,

+

au,) _ (au

1

+

au,)au,

ax,

ax,

ox;

ax,

8x; ax,

=

U.·

o

2U1

+

au, au,

+

u .

.!.. au,

+

au, au, _ au, au, _ au, au,

I

8x,ax, ax, ax,

I OX;

ax,

ax, 8x;

ax,

OXI OXj OXI

U· f)2U;

1

_8x

1

8x

1

die zur Umformung des Zähigkeitsterms benutzt wird:

a u

1

u

1

a

u(P

u,u,)

( a u.(au, au,))

(au, au,)au; u ", (

₂ s)

---=--

,-+--

+ v -

; - + -

- v - + - - + ;r; .

8t

2

ax,

p 2

ax,

8x,

OXj

ax,

OX;

ax, ._"_.

~ . V

I II III N

Die Bedeutung der einzelnen Terme ist nach Hinze (51] beschrieben durch I lokale Änderung der kinetischen Energie pro Masse und Zeit

li Änderung durch Advektion von Druck- und kinetischer Energie, m.a.W. die Leistung durch dynamische Druckänderungen

III Leistung durch Reibungsspannungen IV Dissipation

V Leistung von Volumenkräften

2.1.3

Boussinesq-Approximation

Auch unter stark turbulenten Bedingungen ist die hydrostatische Gleichung 8P0

f8x;

= ·

pog; mit Po = Referenzdruck, Po = Referenzdichte eine gute Näherung für die vertikale

Druckverteilung (16). Wenn Druck und Dichte mit dem Ansatz P = Po+P und p = po+p'

um den hydrostatischen Gleichgewichtszustand entwickelt werden und als äußere Kräfte nur die Schwerebeschleunigung wirkt, F; = g;, ergibt sich für die rechte Seite der Glei-chung (2. 7) unter Verwendung der Näherungen

1 1 1 p'

- - , = , RJ-(1--) und

Po+ P p0(1

+;;)

Po Po

i~l

10 KAPITEL 2. GRUNDGLEICHUNGEN folgende Beziehung:

so daß die Navier-Stokes-Gleichung (2.7) in ihrer Boussinesq-Approxima.tion vorliegt:

fJU; fJU; 1 ßp {}2 _{U; p'}

-+U•-=---+~~----g;

fJt ßx, Po ßx; ßx,ßx, Po (2.9)

Dies ist der Ausgangspunkt zahlreicher Literatur über Turbulenz, wie etwa. Rodi [98]. Die Dichteschwankungen tauchen ausschließlich im Auftriebsterm (p' / p0)g; auf, während sie bei sämtlichen Trägheitstermen vernachlässigt werden. Der Druck p ist der statische Druck minus dem hydrostatischen Druck, P - Po, bzgl. der Referenzdichte p0 •

2.1.4 Skalare 'fransportgleichung

Die Impulsbilanz ist aus der Transportgleichung (2.2) für den Impuls durch Annahmen bzgl. der Dichte und Zähigkeit des Fluids abgeleitet worden. Für den Transport von skalaren Größen(), wie etwa Salz, Wärme oder Sediment, gelten ebensolche Erhaltungs-gleichungen.

{}i) {}i) {} {}i)

-+U,-

=

-(r-)+Q

{}t ßx, ßx, ax,

mit

r

= molekulare Diffusivität und

Q = Quelldichte von i)

Je nach Problemstellung hat die Diffusivität unterschiedliche Werte für Impuls

r

=

II II = kinematische Zähigkeit

Wärme

r

=

k/(pep) k = Wärmeleitungskoeffizient, ep = spezifische Wärme

Stoff

r

=

D D

=

Diffusionskoeffizient

(2.10)

Aus diesen Materialkennzahlen können dimensionslose Kenngrößen für das Fluid gebildet werden, kinematische Zähigkeit molekulare Wärmeleitung kinematische Zähigkeit molekulare Stoffdiffusion II = k/(pep) = Pr ~=Sc D für die nach (23) folgende Größenordnungen gelten:

Prandtl-Za.hl Schmidt-Zahl

(2.11) (2.12)

2.1. ERHALTUNGSSÄTZE Sc Pr Flüssigkeiten "' 1000 "' 1 sehr unterschiedlich "' 0. 7 Wasser: "' 8 11

Wenn die Materialkennzahlen als konstant angesehen werden können ( d.h. im wesentli-chen schwache räumliche Variation, s.o.), erhält man die skalare Transportgleichung, die bis auf Druck und Volumenkräfte b~w. Quelldichte der Navier-Stokes-Gleichung ähnelt:

{){/) {){/) {)2{/)

7it

+

u,

8x,

=

r

8x,8x,

+

Q <2·13) Aus dieser Ähnlichkeit resultieren die Analogien zur Beschreibung von Impuls- und . Wärme- bzw. Stoffaustausch. Der wesentliche Unterschied liegt in dem Druckgradient-term von (2.7), weil Druckänderungen stets von Geschwindigkeitsänderungen begleitet werden. Dies ergibt sich aus der Divergenz der Navier-Stokes-Gleichung ohne den Anteil der Volumenk~äfte und Dichteänderungen:

.i_ 8U;

+

.i_U, 8U; =

_!

82 P

+

₁₁

.!_(

[J2U; )

ßx; ßt ßx; ßx1 (J {)a;i{)Xi ßxi {Jx,{)a;l

und unter mehrfacher Ausnutzung der Kontinuitätsgleichung 2.6:

2.1.5

Zustandsgleichung

Die Dichte p = p(P, T) ist in erster Linie abhängig von der Temperatur und dem Druck. Für die atmosphärische Grenzschicht kann die Zustandsgleichung für ein ideales Gas

p

=

P/(RT) benutzt werden, während in der ozeanischen Grenzschicht zusätzlich noch

Salzgehalt und Sediment oder Schwebstoffe berücksichtigt werden müssen. In der Lite-ratur werden verschiedene empirische Beziehungen angegeben.

Eckart [31), 1958: p

=

1/a. =Po/(>.+ a0Po)

mit >. 1779.5

+

11.25T- 0.0775T2_{- (3.80}

+

_O.lT)S CY.o 0.6980

~

'-\ \.

~

o··\

.---.

..

-'="' P0 5890

+

38T - 0.375T2

+

38 a spezifisches Volumen und T Temperatur S Salzgehalt

Diese Formel wird vor allem von Autoren, die sich auf Leendertse [65) beziehen, verwen-det.

12 KAPITEL 2. GRUNDGLEICHUNGEN

· Krauss [58}, 1973: 1/ _ 0 7022

+

l00(17.5273+0.llOIT-0.000639T"-0.039986S-0.000107TS)

P - · P+SBB0.9+37.592T-0.34395'i'>+2.2524S

mit P = Druck [bar}

T,S wie oben

Diese Formel wird in ozeanographischen Modellen verwendet. Sie ist der von Eckart bis auf die explizite Berücksichtigung des Druckes P sehr ähnlich.

Blumberg [10), 1978: P = Po(a.

+

ßS)

mit _Po

₌

0.9989l(gcm-3)

a.

₌

1.00059 ß

₌

7.57

*

10-4_[ppt) alles bei T

₌

ts•c

Blumberg verwendet diese Beziehung bei Untersuchungen zum Einfluß des baroclinen Druckgradienten auf das resultierende Geschwindigkeitsfeld.

Der gleiche Ansatz wird von Bowden & Rarnilton [12} für Ästuarmodeliierung benutzt mit den Koeffizienten a. = 1.0 und

ß

=

7.8

*

1Q-4[ppt).

Odd [89), 1988: p = 1000

+

0 .. 768

+

0.62C [kgm-3 ) mit S Salzgehalt [kgm-3 ) C

=

Sedimentkonzentration [kgm-3 }

Odd empfiehlt diese Formel, wenn es darum geht, die lokale Gradient-Richardson-Zahl, d.h. ein Maß für die Dämpfung von vertikalem turbulenten Austausch in geschichteten Strömungen zu berechnen. Er räumt ein, daß die Berücksichtigung der Konzentration in der Dichteformel nicht allgemein anerkannt ist, geht aber davon aus, daß Sediment und Wasser sich zusammen wie eine Mischung verhalten.

Bryan & Cox [15], 1972: p = Po(l - a.c(T- To)-a.,(S-So))

mit empirischen Koeffizienten der Tiefe, a.1 und a.,, die tabelliert vorliegen. Mit dieser Formel wird in Ozeanmodellen gerechnet.

Lehfeldt & Bloss [67), 1988: p = po(l - a.T(T-To)2 - a.sS)

2.1. mit ERHALTUNGSSÄTZE Po = 999.972 [kg m-3_] To = 4 [•c] CtT = 7

*

w-arK-2]

as = 750

*

w-

6_[ppt-1 ] T in [•cj S in (ppt] 13

In der Ästuarmodeliierung sowie bei Studien zur Wärmeausbreitung in geschichteter Strömung hat sich die Formel bewährt. Zur Modellierung von Trübungszonen ist diese Zustandsgleichung von Lang [60] erweitert worden zur Berücksichtigung von Schwebstoff, indem ein Zusatzterm (p, - p0)C, addiert wird [104]:

. p, = 2670 [kg m-3] Schwebstoffdichte

C,

=

Schwebstoff Konzentration

In der Abbildung A.l ist für eine typische Salzgehalts- und Temperaturverteilung aus der Fallstudie Trave die resultierende Dichteverteilung aus verschiedenen Ansätzen dar-gestellt. Dabei treten Differenzen auf, die für den Fall, daß der vertikale Dichtegradient in einem Turbulenzmodell berücksichtigt wird, besondere Bedeutung erlangen können. Nach der Boussinesq-Approximation sind die Dichteschwankungen p' = p - p0 nur im

Auftriebsterm (p' / p0)g; von Bedeutung. Dieser Term wird im folgenden in der Form ßg;t/J verwendet,

wobei

ß

= 1/po = Expansionskoeffizient

und </> = Schwankungsgröße der skalaren Variablen,

die die Dichte maßgeblich bestimmen.

Zusammen mit einer Zustandsgleichung, die die lokale Dichte p in Abhängigkeit von den lokalen Werten der Temperatur T, des Salzgehaltes S, der Sedimentkonzentration C an-gibt, bilden die Kontinuitätsgleichung (2.6) und die Navier-Stokes-Gleichung (2.7) oder (2.9) ein vollständiges Gleichungssystem in dem Sinne, daß bei Vorgabe adäquater Rand-bedingungen für die vier Unbekannten U1 und p nunmehr vier Gleichungen vorliegen,

mit denen eine turbulente Strömung im Detail beschrieben werden kann.

Die unterschiedlichen Dichteformeln haben sich jeweils in speziellen Anwendungen bewährt. Sie berücksichtigen lokal dominante Abhängigkeiten und sind nur bedingt übertragbar. Hinsichtlich der sensiblen Reaktion von Geschwindigkeits- und Konzen-trationsverteilungen auf den baroclinen Druckgradienten einerseits und das augewandte Turbulenzmodell, das über Stabilitätsparameter wie die Richardson-Zahl vom vertikalen Dichtegradienten abhängt, andererseits sind die Simulationsrechnungen nur schwer ver-gleichbar. Turbulenzmodell- und Dichte-Koeffizienten dienen bei der Modellverifikation oft als Eichparameter.

14 KAPITEL 2. GRUNDGLEICHUNGEN

2.2

Reynolds-Zerlegung

Nach der Anschauung aus den Abbildungen 1.1, 1.2, 1.4 und der nachfolgend zitierten Turbulenz-Definition von Hinze [51] führt der Ansatz einer detaillierten Beschreibung turbulenter Strömungen jedoch auf solche Datenmengen, daß eine statistische Behand-lung des Problems notwendig wird:

Turbulente Fluidbewegung ist ein unregelmäßiger Strömungszustand, in dem die verschie-denen Zustandsgrößen eine Zufallsverteilung bzgl. Zeit und räumlichen Koordinaten auf-weisen, so daß statistisch bestimmte Mittelwerte definiert werden können.

Die Thrbulenz kann als Superposition von Wirbeln verstanden werden, deren Obergrenze die Ausdehnung der Systemgröße und deren Untergrenze ein von der Zähigkeit abhängi-ger Längenmaßstab ist. Durch die Nichtlinearität der Impulsgleichung in den advektiven Termen sind diese Wirbel miteinander gekoppelt, so daß die Thrbulenzberechnung sehr große Skalenbereiche abdecken muß.

Die kleinsten Wirbel sind dynamisch essentiell, da sie für die Dissipation durch Reibung verantwortlich sind. Ihr Längenmaß 7J ist nach Kolmogorov beschrieben mit

(2.14) mit 11 = kinematische Zähigkeit

E = DissipationBrate der turbulenten kinetischen Energie pro Masseneinheit. Messungen zeigen, daß

mit q = charakteristische Geschwindigkeit

I

=

charakteristische Länge

(2.15)

der energieträchtigen Wirbel. Das Längenverhältnis der größten (,...., 1) und kleinsten ("' 7J) Wirbel ergibt s'ich zu

1 ql a a

- = (-)•

=:

R,'

7J II

(2.16) wodurch eine Reynolds-Zahl für dominante turbulente Wirbel definiert wird [122). Mit typischen Werten für q,...., lms-t, 1,...., 100m, I'= 0.00179kgm-1_{s-l(reines Wasser,}

0°C), p

=

1.02698

*

103_kgm-3 _{ergibt sich ~ "'10}5

• D.h., Wirbelgrößen von 1 =100m bis

7J = lmm müßten in einem dreidimensionalen numerischen Gitter aufgelöst werden, was einer Knotenzahl von

>

1015 _{gleichkommt und nicht sinnvoll zu rechnen ist. Daher wird}

eine statistische Beschreibung der komplexen turbulenten Strömung vorgenommen. 0. Reynolds [97) hat die Zerlegung der momentanen Werte der Geschwindigkeit U, des Druckes P und der skalaren Transportgrößen cii in Mittelwerte und Fluktuationen

vor-2.2. REYNOLDS-ZERLEGUNG

~~

A

A

rl.

~

d

~ ~

A

A&ßAAA

A

v\)Vj

VV'J~VV\1\J~V V14JZO~u.b

s•mln•lt•

r

V \

Y

a. •• hwlndlgk•ll "Statlatlach-atatlonilro" Str6muns · "Nicbt-atatlonlle" Strömuns

I

E!ruemblo-gemlnelte O.lchwlndlgke!t (Mittelwert aller Experimente)

Zelt

Abbildung 2.1: Statistisch stationäre Strömung, aus Bradshaw, 1971 (13). geschlagen

U;

=

Ui

+uh ·

P="F+p,

15

(2.17) bei der die jeweiligen Mittelwerte als Zeitmittelwerte an einem festgehaltenen Ort

- 1

IT

A=rlo A(t+r)dr (2.18)

definiert sind. Dem liegt die Annahme zugrunde, daß die Strömung statistisch stationär ist, d.h. Ensemble-Mittelwerte als zeitunabhängig gelten können und d1,1rch Zeitmittel-werte ersetzbar sind (Ergoden-Hypothese). Die als Reynolds-Bedingungen für das Rech-nen mit diesen Mittelwerten bekannten Beziehungen lauten

~=A

A+'"B=A+11

A+B'=A11

iJA

BA

8s = 8s

y -

,(J_

Ja

A ds

=Ja

A ds (2.19)

wobei A und B zwei Zufallsvariable sind und s die Zeit oder eine Ortskoordinate bedeutet. Daraus folgt für die in Mittelwert und Schwankung zerlegten physikalischen Größen

A=A+a:

ä=A-A=O

Ab= Ab=

o

AB= (A

+

a)(11

+

b)

=

A 11 +ab

16 KAPITEL 2. GRUNDGLEICHUNGEN Das Mittelungeintervall muß dabei lang in bezug auf die charakteristische Periode der Schwankungsgröße a = A-

A

sein und kurz im Vergleich zu den Perioden der gemittelten Größe

A.

Das ist gleichbedeutend damit, daß zwischen den hoch- und niederfrequenten Anteilen der Strömung ein großer Abstand vorliegen muß [86). Bei der Bildung des Pro-duktes

Ab

ist dies jedoch nur näherungsweise zu erfüllen.

Typische Zeitskalen für die turbulenten Schwankungen in geophysikalischen Strömungen ergeben sich aus den Abbildungen 1.1 und 1.4. Danach treten die Fluktuationen im Bereich t ~ ls auf, während sich in Flüssen und Ästuaren die mittleren Zustandsgrößen im Minutenbereich, 1 ~

t

~ 10min, merklich ändern [78).

Dyer [29) zeigt, daß in Tideströmungen der wesentliche Energieeintrag in der Tidefre-quenz und im Bereich zwischen wenigen Sekunden und einigen Minuten liegt (vergl. Abbildung A.2).

Damit trifft der obere Teil der Abbildung 2.1 auf die Ästuarmodellierung zu.

2.2.1

Reynolds-Gleichung für Impuls

Die Anwendung der Reynolds-Zerlegung mit nachfolgender Mittelung überführt die Kon-tinuitätsgleichung (2.6) und die Navier-Stokes-Gleichung (2.7) in Gleichungen zur Be-stimmung der mittleren Größen U, P und

75

und der turbulenten Komponenten u, p und t/>. Die Dichte ist nach den obigen Ausführungen zur Boussinesq-Approximation (2.9) als repräsentativer Mittelwert p0 enthalten. Für die äußeren Kräfte gilt nach den Ausführungen zur Zustandsgleichung F;

+

J;

= -(g;

+

ßg;tj>).

Für die Kontinuitätsgleichung ergibt sich aus

8 -

au,

8iJi

-(U,

_ax,

+

u,) = -

_{ax, ax,}

+-

= 0

und (2.21)

In der Impulsgleichung treten wegen der Nichtlinearitäten dabei Zusatzterme auf.

8U; 8u; 8 - - -

-7ft

+

7ft

+

ßx, [U; Ur

+

U;ur

+

u;Ur

+

u;ur) 1 8P 8 2_U 1

----+v--+F;

Po 8x; 8x,8x, 1 8p 82_u 1

---+v--+/;

Po OX; ax,ax, (2.22)

2.2. REYNOLDS-ZERLEGUNG 17

Eine zeitliche Mittelung von (2.22) ergibt die Gleichungen für die mittleren Geschwin-digkeiten

au; a - - 1 a/5 &2_U;

-- +

-[U; U1

+

u1u1] = - - -

+

v - -

+

F;

ßt ßx, Po ßx; ßx,&x, (2.23)

Die sog. Reynolds-Spannungen p0u1u1 werden in den Diffusionsterm hineingenommen.

Es sind Korrelationen zwischen fluktuierenden Geschwindigkeiten, die den turbulenten Impulsaustausch in Analogie zum molekularen Impulsaustausch bewirken.

8U; 8U; U, 1 8P 8 8U; _

-- + -- --

= - - -

+

- [ v - -u;u,j

+

F;

ßt ax, Po OX; ax, 8x, (2.24)

Dies sind die Reynolds-Gleichungen für die mittleren Geschwindigkeiten. Durch Sub-traktion von (2.22) und (2.23) erhält man die Gleichung für die Schwankungsgrößen

ßu;

a -

-

1 ßp 82_u;

- +

-(U;U/

+

u1U1

+

U;Ul-u;u,j = - - -

+

v - -

+ /;

8t OXI Po OXj ax,ax, (2.25)

Für die äußeren Volumenkräfte ist /;

=

(p' / p0)g; = -ßg;</J zu setzen.

Die Divergenz von (2.25) führt auf eine Poiseon-Gleichung für die Druckschwankungen, die nicht direkt integriert werden kann (68], aber für die Auswahl von Modellgleichungen interessant ist:

1 82 _{p au, ßu; 8}2

_aq,

- - - =

- 2 - - - --[u;u/- u;ul]-

ßg;-p0 8x;8x; lJx; 8x, 8x18x, 8x;

2.2.2

Mittlere kinetische Energie

(2.26)

Die kinetische Energie der mittleren Strömung (MKE) ergibt sich, wenn die Reynolds-Gleichung (2.24) mit U; multipliziert wird.

!

8U; U;

+

1 8

I1i Vi Vi

= _

_!_

8U;

p

+

II

U:~

8U; - U: OUjUI

+

U: F.· 2 {}t 2 ax, Po 8x; • 8x, 8x, • {Jx, • I

oder wieder gruppiert wie in der Gleichung für die kinetische Energie (2.8): 8 U; U;

~= I

a U(P

+

U; U;) ( a U(au; au,)) (au; au,)au;

u

F.

- , - - - + v - · - + - - v - + - - + · ·

_{OX/ Po 2 ax,}

I ax, ßx; ax, 8x; ax, ...!.,_.!,

II

a -

ßU1 -(U;u;ul)

+

u;u,-ßx, ax, ~

..____,__...,

VI VII III IV V (2.27)

Durch die Reynolds-Zerlegung und Mittelung treten im Vergleich zur Gleichung (2.8)

zwei zusätzliche Terme VI und VII auf, die die Wechselwirkung der turbulenten Schwan-kungen mit der mittleren Strömung beschreiben. Der Term

8

~

1

( u;utU;) ist die Leistung,

18 KAPITEL 2. GRUNDGLEICHUNGEN

die durch die turbulenten Reibungsspannungen erbracht wird. Über den Term u;u1~ wird der mittleren Strömung Energie entzogen und in turbulente kinetische Energie um-gesetzt.

2.2.3

Turbulente

kinetische Energie

Dieser Zusammenhang ergibt sich, wenn die Terme der kinetischen Energie (2.8) Reynolds-zerlegt und zeitgemittelt werden und die Differenz zur Gleichung (2.27) ge-bildet wird. Dabei gilt U;U;

=

U; U;

+

2U;u;

+

u;u; = U; U;

+

2U1u;

+

q2•

(2.28) {)(j'i -fJ{/i

--+U,--=

_{fJt 2 fJx1 2}

~

_8U; 8 p q2 u1u , - - - ( u1(-+-) 8x, 8x1 Po · 2 · ~~ II III

{) 8u; 8u, 8u; ßu, &u;

-+

v-u;(-

+ -)

- v ( -

+ - ) - -

ßg;u;t/J (2.29)

8xr 8x1 8x; fJxr fJx; 8x1 ~ IV

mit der Bedeutung der einzelnen Terme

I Änderung der turbulenten kinetischen Energie inklusiv Advektion durch mittlere Strömung

V

II Deformationsarbeit der mittleren Strömung durch turbulente Reibungsspannungen, entspricht Produktion

III turbulente Diffusion der turbulenten mechanischen Energie, entspricht der Leistung des turbulenten dynamischen Druckes IV Leistung der turbulenten Schubspannungen

V Dissipation durch turbulente Bewegung VI Leistung der äußeren Kräfte

VI

In (2.27) be~chreiben die Terme -u1u1ih₈iT _r1 und -v!h₈iT _:er ~

8

u die Arbeit der Deformation der

_r,

Dissipati-2.2. REYNOLDS-ZERLEGUNG 19 onsterme, die den Verlust der mittleren Strömung an die turbulente Bewegung bzw. die Umwandlung in Wärme angeben .

. Der sog. TKE-Produktionsterm -u;utf- taucht in den Gleichungen für die kinetische Energie der mittleren Strömung und der turbulenten kinetischen Energie mit jeweils entgegengesetztem Vorzeichen auf. Somit wird die der mittleren Strömung über diesen Term entzogene Energie (MKE) zur Quelle für die turbulente kinetische Energie (TKE). Da die TKE-Gleichung einen advektiven Term Ut/;;~ enthält, ist die Turbulenz an einem Punkt im allgemeinen abhängig von Bedingungen an anderen Raumpunkten, und ein lokales Gleichgewicht von Produktion und Dissipation ·ist nicht gegeben.

Aus dem Produktionsterm läßt sich ableiten, daß eine beschleunigte Strömung (positiver Geschwindigkeitsgradient in Strömungsrichtung) dazu neigt, die Turbulenz abzubauen (Term bleibt negativ) und eine gebremste Strömung (negativer Geschwindigkeitsgradient in Strömungsrichtung) die Turbulenz anfacht.

Hinze (51) weist darauf hin, daß die vielfach gemachte Umformung der Zähigkeitsterme in der TKE-Gieichung

a

(8u; 8u1) (Bu; 8u1)8u;

- u ·

+ +

-ßx1 I ßx1 ßXj ßXt ß:tj 0Xt

a

-aU;

a 1 aq~

81i;8ti;

~

- u · -

+

-ßxt • ax, ax, 2 ax, ax, ßx, ßx; ax,

a a

"f

81i;8ti;

ßx, ßx,

2 -

ax, ax,

zu unterschiedlichen Bedeutungen der verbleibenden Zähigkeitsterme führt. Nur für den Fall von homogener Turbulenz, d.h. keinerlei räumliche Variation, ist vikL

8•· ~~ !k..8•· Zj gleich der Dissipation v(~

+

~)~. Dann entfallen sämtliche räumlichen Ableitungen von mitt-leren turbulenten Größen, so daß gilt

. und für stationäre homogene Turbulenz ergibt sich das lokale Gleichgewicht von Pro-duktion und Dissipation der TKE.

2.2 .4

Energiedissipation

Die Ableitung der Energiedissipation findet sich bei Batchelor, 1970 (5) und die Definition der Dissipation als

20 KAPITEL 2. GRUNDGLEICHUNGEN

2.2.5

Reynolds-Gleichung für skalare Größen

Aus der Transportgleichung für skalare Größen (2.13} ergibt sich nach der Reynolds-Zerlegung

analog zur Reynolds-Gieichung für Impuls (2.24} eine Gleichung für die Mittelwerte skalarer Größen:

8~ 8Ur ~ 8 8~ -

--

+ - -

= - [ r - -

ur4>] +

Q

8t 8xr 8xr 8xr

sowie eine Gleichung für die Schwankungsgröße

4>

84> 8 - - -

8

2

4>

-8t

+

-8 [Ur4>

+ u,<I> + u,q'>- ur4>]

=

r-8

8

+

q

Xf Xt Xt

(2.32)

(2.33) Das Gleichungssystem aus Kontinuitätsgleichung und Reynolds-Transportgleichungen für Impuls und skalare Größen (2.21, 2.24 und 2.32) kann für die mittleren Werte von Geschwindigkeit, Druck und Transportgrößen nur dann gelöst werden, wenn die turbu-lenten Korrelationen U;üi und

ur4>

bekannt sind. Die Bestimmung dieser Reynoldschen Spannungstensoren, die als Folge von Informationsverlust durch ZeitmitteJung notwen-dig wird, ist die eigentliche Aufgabe bei der Berechnung turbulenter Strömungen. Hier beginnt die Turbulenzmodellierung.

2.2.6

Reynolds-Stress-Gleichungen

Die Reynolds-Stress-Gleichungen u;ur sind die Grundlage für jedes nicht rein empirische

TurbulenzmodelL Die Transportgleichung für diese Terme wird jetzt abgeleitet. Dies geschieht in drei Schritten:

1) Die Gleichung für die Schwankungsgrößen u; (2.25) wird mit der Schwankungsgröße Uj multipliziert

8u; 8U; -8u; 8u;

8'üiüi

1 8p 82

u; ( )

u·-+uJur-+u·Ur-+u·ur--u·--= --ui-+uiv--+uJf; 2.34

J 8t 8x, .J 8x, J 8x, J 8x, Po 8x, 8x,8x,

2} Die Gleichung für die Schwankungsgrößen Uj wird durch Subtraktion der gemittelten Gleichung für Ui von der

zeitabhängige~

ermittelt und mit u; multipliziert, m.a.W. in (2.25) werden die Indices i und j getauscht:

8Uj 8Uj -8Uj 8u; 8UjU/ 1 op 82

u;

f

u

1

-+u;ur-+u;Ur-+u

1

u

1

- - u ; - -

=

--u;-+uw--+u;

i (2.35)

2.2. REYNOLDS-ZERLEGUNG 21 3) Die Addition der zwei resultierenden Gleichungen und anschließende Mittelung, hier termweise durchgeführt, ergibt:

I l1!!i.

+

~ 8u;u;

Uj 81 Uj BI 81

II

III _u; Ul1!!i.+ _{18", u;} u~ _{18" 1}

₌

U( _{I tl j} l1!!i. _Br + ~)

1 tl; Brt

=

u8iJfüi

I Brt

u·u1!1!!i. +u·u1~

₌

l!J!i + 8u,u;

₌

Bu;utut

J Brt 1 _Brt tl jtll Brt tl; a", _a",

IV

V -U·~ _ U•8UjUJ

J ax, I Bx,

=

0

VI -.l..(u·k _{Po 1 8:ti} + u·k) 1_8z:;

=

_.!..(~ _{PO 8:ci} + ~) _8:c;

+

.lt(~ _{PO 8:z:i} + ~) _8:t:j

-t;"!(u;Öil + u;Ö;t) + !(~ + ~) 8~u,u; _.L(8üTüi)

=

8 ( ~ + ~) BrtBrt 8:r:t 8»t Brt Uj 8"t Uj 8:n1 VII = . 82u; + . 82u; + 2!1!!i.~

u, a",a", u 1 a",a", a", a",

VIII

Dabei ist die Fluktuation der Volumenkräfte durch die Fluktuation von Auftriebskräften gegeben und nach den Ausführungen zur Zustandsgleichung eingesetzt. Sammlung aller Terme ergibt die Reynolds-Stress-Transportgleichung

8u;u; + U 18u;u; _ P.·· + II·· + D·· fJt 8xl - IJ IJ IJ (2.36) mit Produktion P;; Energieumverteilung II;; Diffusion Du Dissipation c;; ₌ Auftrieb G;;