ZAPIS LOGICZNY UKŁADU KOMBINACYJNEGO METODĄ REPREZENTACJI BINARNYCH

ZAPIS LOGICZNY UKŁADU KOMBINACYJNEGO METODĄ

REPREZENTACJI BINARNYCH

Janusz Łukowski

ul.Kopernika 1 p.207a, 85-074 Bydgoszcz e-mail: januszl@ukw.edu.pl

Streszczenie: W artykule przedstawiono nową metodę uproszczania zapisu logicznego układu kombinacyjnego z wykorzystaniem tabeli prawdy podstawowych funktorów logicznych lub/i reprezentacji binarnej kombinacji wejść. Metoda reprezentacji binarnych stanowi alternatywny sposób konstrukcji uproszczonego zapisu funkcji wyjściowej układu kombinacyjnego w odniesieniu do metody przekształceń formalnych, metody tablic Karnaugha czy metody Quine’a– McCluskeya.

Słowa kluczowe: Tabela prawdy układu kombinacyjnego, uproszczony zapis logiczny układu kombinacyjnego, metoda reprezentacji binarnych

Logical description of a combinational system by the binary representation method

Key words: Truth table of combinational system, reduced logical description of combinational system, method of binary

1. Wprowadzenie

Układy kombinacyjne [1, 2, 3, 4, 5] należą do układów logicznych, w których każda kombinacja wartości zmiennych wejściowych jednoznacznie określa kombinacje wartości zmiennych wyjściowych. Działanie układu kombinacyjnego opisuje funkcja logiczna (funkcja boolowska będąca matematycznym modelem układu kombinacyjnego), w której zmienne i one sama przyjmują wartości ze zbioru {0,1}. Funkcje logiczne mogą być przedstawione w postaci opisu słownego, tabeli prawdy w sposób analityczny. Funkcje logiczne można upraszczać korzystając z podstawowych własności algebry Boole’a (metoda przekształceń formalnych [1,2,4,8]), wykorzystując metodę tablic Karnaugha [7], metodę Quine’a– McCluskeya [6] lub metodę bezpośredniego przeszukiwania [4]. Do najprostszych układów kombinacyjnych należą bramki logiczne (digital logic gates) realizujące funkcje logiczne jednej lub wielu zmiennych. W pracy przedstawiono nową metodę uproszczania postaci analitycznej funkcji logicznej wykorzystującej funkcje logiczne bramek logicznych oraz tabelę prawdy układu kombinacyjnego. Metodę tę określono mianem metody reprezentacji binarnych.

2. Koncepcja metody reprezentacji binarnych

Elementarna funkcja logiczna jest funkcją dwóch zmiennych wejściowych (z wyjątkiem funkcji logicznej negacji, która jest jednoargumentowa) i jest realizowana fizycznie przez funktory logiczne koniunkcji (AND), alternatywy (OR) oraz negacji(NOT). Stabelaryzowana zależność funkcji wyjściowej y funktorów logicznych w funkcji zmiennych wejściowych x1x0 (Tabela 1) stanowi

podstawowy zestaw 4-rech kombinacji zmiennych wejściowych i tworzący bazowy element metody reprezentacji binarnych.

Ilość zestawów oblicza się według formuły:

il_zestaw = 2n_/4,

gdzie: n - ilość wejść układu.

Każdy zestaw 4-ech kolejnych kombinacji (stanowiących jeden zestaw) może być rozpatrywany indywidualnie w procesie tworzenia zminimalizowanej postaci funkcji logicznej lub jako grupa łączona 21 _,22

Tabela 1. Tabela prawdy funkcji logicznych x1 x0 y 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 funkcja logiczna y = x1 x0 y = x1 + x0

AND OR NOT NAND NOR XOR XNOR

Istotą proponowanej metody zapisu wyrażenia boolowskiego dla funkcji logicznej wielu zmiennych jest:

- podział wszystkich kombinacji funkcji logicznej wielowejściowej na zestawy zawierające po 4 kolejne kombinacje układu kombinacyjnego; - możliwość wykorzystania do jego konstrukcji

zapisu funkcji logicznej jednego z podstawowych dwuargumentowych funktorów logicznych lub konfiguracji jednej ze zmiennych wejściowych w postaci tabeli prawdy (rys.1);

- możliwość łączenia zestawów w grupy rozpatrywane jako jeden zestaw.

W przypadku wystąpienia identycznej postaci analizowanej funkcji wyjściowej w ramach zestawu jak postać podstawowego funktora logicznego czy też układu kombinacji jednej zmiennej wejściowej celem uwzględnienia pozostałych zmiennych w konstrukcji wyrażenia boolowskiego traktujemy zestaw jako taki, w którym stan wyjścia przyjmuje stan wysoki dla wszystkich 4-ech kombinacji. Przykład 1. x2 x1 x0 y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

W przykładzie 1 dla kombinacyjnego układu trójwejściowego (x2x1x0) funkcja wyjściowa y ma

postać: .Tabela prawdy funkcji logicznej y posiada dwa zestawy 4-ech kombinacji. Postać pierwszego zestawu jest taka sama jak tablica prawdy funkcji OR dla zmiennych, zaś drugiego jest identyczna jak układ kombinacji zmiennej wejściowej. W celu uwzględnienia pozostałych zmiennych wejściowej w zapisie wyrażenia boolowskiego przyjmujemy stan wysoki na wyjściu układu dla wszystkich kombinacji (dwóch zestawów), dzięki czemu dla zestawu pierwszego w zapisie wprowadzamy zmienną x2 zanegowaną (stan przeciwny do stanu

wysokiego wyjścia), a dla zestawu drugiego x2 w

postaci prostej.

Brak zmiennej wejściowej x0 w zapisie funkcji

boolowskiej dla drugiego zestawu wynika z faktu, iż zmienna ta posiada dwie różne wartości w obrębie rozpatrywanego zestawu.

3. Procedura konstrukcji uproszczonej postaci wyrażenia boolowskiego

W przypadku zgodności tabeli prawdy funkcji wyjściowej z postacią tabeli prawdy funktora logicznego lub układu kombinacji jednej ze zmiennych wejściowych procedura konstrukcji postaci uproszczonej ma następującą strukturę: - podział kombinacji układu na zestawy po

4 kombinacje każdy;

- identyfikacja zgodności tabeli prawdy podstawowej funkcji boolowskiej lub układu kombinacji jednej ze zmiennych wejściowych z postacią funkcji wyjściowej w obrębie zestawu; - w przypadku zgodności uwzględnienie

pozostałych zmiennych wejściowych w zapisie logicznym funkcji, przy założeniu stanu wysokiego funkcji wyjściowej dla każdej kombinacji w obrębie zestawu.

W przypadku braku zgodności tabeli prawdy funkcji wyjściowej z postacią tabeli prawdy funktora logicznego lub układu kombinacji jednej ze zmiennych wejściowych dokonujemy podziału kombinacji układu na zestawy po 4 kombinacje każdy. W obrębie 1-go zestawu (Przykład 2) zapis funkcji logicznej (w postaci kanonicznej lub dysjunkcyjnej) może być konstruowany dla łącznej ilości kombinacji zgodnie z wagami binarnego zapisu pozycyjnego tzn.: 20_{, 2}1_{, 2}2_{. Konstrukcja}

funkcji logicznej z wagą 20_{, wymaga konstrukcji}

wyrażenia boolowskiego dla jednej kombinacji zmiennych wejściowych w ramach jednego zestawu. Konstrukcja wyrażenia boolowskiego z wagą 21_{, pozwala na łączne rozpatrywanie 2-ch}

dowolnych kombinacji w obrębie jednego zestawu o identycznej wartości stanu wyjściowego. Zaś w przypadku wystąpienia 3 identycznych stanów wyjściowych, to konstrukcja wyrażenia boolowskiego jest realizowana w konfiguracji 21 ₊

20_{. W przypadku łącznego rozpatrywania}

kombinacji funkcja logiczna zawiera tylko te zmienne wejściowe, których wartość jest identyczna lub zanegowana w odniesieniu do wartości analizowanego stanu wyjściowego.

Przykład 2. x1 x0 y 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

4. Case study – Rozproszone systemy baz danych w planowaniu produkcji

Przedstawiona nowa metoda uproszczonego zapisu logicznego układu kombinacyjnego umożliwia bezpośrednią konstrukcję zapisu logicznego w oparciu o tabelę prawdy funktorów logicznych lub układ kombinacji binarnej jednego z wejść układu. W przypadku niezgodności postaci tabeli prawdy podstawowych funktorów logicznych lub układu kombinacji binarnej wejść przedstawiono technikę łączenia kombinacji układu w ramach zestawu.

Literatura

1. Kalisz J. Podstawy elektroniki cyfrowej. WKŁ, Warszawa 1993.

2. Majewski W. Układy logiczne, WNT, Warszawa 1993. 3. Mano M. M. Computer engineering: hardware design.

Prentice-Hall, Upper Sadle River 1988.

4. Traczyk W. Układy cyfrowe. Podstawy teoretyczne i metody syntezy. WNT, Warszawa 1986.

5. Bromirski J. Teoria automatów. WNT, Warszawa 1969. 6. McCluskey E. Logic design principles, Prentice-Hall,

Upper Sadle River 1986.

7. Kamionka-Mikuła H., Małysiak H., Pochopień B.

Synteza i analiza układów cyfrowych. Wydawnictwo

Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego,

Gliwice 2009.

8. Adamowicz A., Zbierski P. Logic of mathematics.

A modern course of classical logic. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., Nowy York 1997, seria: Pure and Applied Mathematics.