Discrete signalen

~ IJ,!!

l'J.o

2

ET

o.~

.

/

Bibliotheek TU Delft

111111111111

C 1898894

DISCRETE SIGNALEN

L (

0742

832

9

/

DISCRETE SIGNALEN

ir.

A.

Henderson

CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag

Henderson, A.

Discrete signalen / A. Henderson; [uitg. van] Vereniging voor Studie- en

studentènbelangen te Delft - Delft: Delftse Uitgevers Maatschappij. -

m.

1~ dr.:

1980. - Met inde, lit opg.

ISBN 90-6562-044-3

SISO 663-.12 UDC 621.391

Trefw.: digitale techniek.

©VSSD

Eerste

druk

1980

Derde

druk

1991

Delftse

.

Uitgevers Maatschappij

b.V.

P.O.

Box

2851, 2601 CW

Delft, The Netherlands

Tel.

015-123725

Alle rechten voorbehouden. Niets Uit deze uitgave mag

word~n

verveelvoudigd,

opgeslagen in een geautomatiseerd gegeven~bestand,

of openbaar gemaakt, in

enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën,

opnamen, ofop enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke

toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part ofthis publication mà.y bereprodueed, stored in a

retrieval system, or transmitted, in any form or by àity means, electronic,

~chanical,

photocop:ying, recording, or otherwise, without the prior written

permission ofthe publisher.

(

VOORWOORD

. ' / c

Digitale signaalbewerking komt steeds meer, in de belangstelling. Niet alleen

,de digitale filters zijn op opmars, ook bij computergerichte netwerkimiilyse komt men in ,!anraking ~et çliscrete signalen. '_

Bij de bestudering van deze stof wordt men getroffen door de analogie met de 'theorie van de continue signalen, zoals sChakelverschîjnselen, stationaire toestand, toestándsvergelijkingen, wiskundige transformaties (de laplace-transformatie versus de z-laplace-transformatie), beginvóorwaarden, polen en nul-punten enz.

Kennis van de theorie van continue signalen is echter nièt noodzakelijk voor de best.udering van deze stof.

Wel wordt b~kendheid verondersteld met gelijk- en wisselstroomtheorie, complexe grootheden, reeksen en (eenvoudige) matrixr,ekening.

Voor kritiek houd ik mij aanbeVolen.

VOORWOORD, BIJ DE TWEEDE DRUK

Ir. A. Henderson voorjaar 1980

. .

Er zijn enkel~J9uten verbeterd en wat vraagstukken toegevoegd.

VOO~WOORD BIJ DE DERDE DRUK

Ir. A. Henderson voorjaar 1983_

Op enkele plaatsen heb ik de tekst -wat uitgebreid, hetgeen naar ik hoop de duidelijkheid ten goede komt.-

V~~d~r

zijn enkele

f~uten

hersteld en zijn enkele vraagstukk~n toegevoegd.

-Ir. A. Henderson

'najaar 1990

."

INHOUD

blz.

Voorwoord

5

1 InleIding _{. \ .} 9

2. Mathematische beschrijving v~n discrete signalen 10

3. ~pecia1e functies 13

4. Het bemonsteringsproces 15

5

.

Het oplossen van de differentie-vergelijking 16

6. De z-transformatie "-- 19

7. De t~rugtransformatie 24

8. Niet mil zijnde beginvoor·waarden 28

9. De beginwaardetheorema's 29

10. De filterfunctie 30

11. Convolutie 33

12. Lineariteit, causà1itëit en tijdinvariantie 37

13. Stabiliteit 37

14. .Harmonische excitatie 39

15. Filterrealisaties ,49.

16. Toestandsvergelij kingen 54

17. Vrije trillingen en de karakteristieke vergelijking 57

18. De overdrachtsfunctie 59

19. Polen en nulpunten 60

20. Het voorspellingsfilter '63

"

21. Complexe resonantie _{22. Residu-bepaling,} 66 68

Literatuur 72

Vraagstukken 73

Ant~oordehlijst 81

,

J.

INLEIDING

Lezen· we op een aantal tijdstippen de temperatuur af, dan~erkrijgen we uit

_ een continue functie een aantal getallen, bemonsteringen geno·emd. Doen we dat op

r~gelmatige

tijdstippen, dan spreekt

~en

ván equidistante bemoriste-ringen. De bemonsteringstijdstippen geven'we aan met

.... -4T, -3T, -2T, - T; 0, T;' 2T, 3T, 41', ST, enz:

,

'

,

, ,

We veronderstellen, dat-de rij getallen naar links 'begrensd is, d. w.z. de tijd . begint op een tijdstip in een eindig verleden. We zullen lateI; zien, dat dit'een belangrijke eis is.

De rij' mag wel naar rech ts' onbegrensd zijn.

In figuur I is de ,'situatie schetsmatig aangegevt:n. /

fig. 1.

In plaats van continue zegt .men wel analoog, de getallen, verkregen uit het' bemonsteringsproces heten' discreet of 4igitaat.

We zullen in het vervolg aaI,lnemen, dat de

bemo~steringen

op equidistanté tijdstippen plaatsvinden. De ran~orde k heet bemonsteringsge'tal. '

De getallen, die zodoende worden. verkregen; kunnen' worden verwerkt in systemen,cQmputers, filters e.d. Als er behoefte aan-is, kan het discrete sig-, naai weer worden omge]:et in èen analoog signaal. Zie, figuur 2.

continu continu

fig. 2.

De

omz~tters

worden

analoog-digitaal~

resp.

digita

'

~I-anal09g-omzetters

genoemd.'

Hoe kleiner de bemonsteringstijd T, hoe nauwkeuriger l).et sIgnaal wordt voorgesteld door een rij getallen.

Ook het aantal beschi!<bare getallen speelt een rol: Hoe gFoter dat is, des te beter het, onderscheid tussen twee signaalniveaus kal). zijn (resolutie, oplossend vermpgen).

2. MATHEMATISCHE BESCHRIJVING VAN DISCRETE

SIGNALEN

We zullen de rij getallen aangeven met e~n kleine )etter als functle vlm de gehele getallen: x(k) of y(k).

Voorbeeld (zie figJur 3)

x(k)

=

0 voor k<O x(O)

=

1 x(l) =

2

x(2)

=

3 x(k)

=

0 voor k~ 3.

X(k>Î

3

7

-2 -1 0 1 2 345 _~ fig. 3. 0

De bewerkingseenheiq of het filter verandert deze rij 'x(k) In het algemeen in een andere rij y(.k). Deze verandering wordt bepaald d09r de constructie van

h~t filter. Figuur 4 geeft 'het blokschema.

~

filter

I

y(\<) .... fig. 4.

Als voprbeéld noemen we

I

y(k)

="2

[x(k)

+

x(k - I)].

De uitgangsgrootheid van dit filter is steeds het gemiddelde van de laatste

twee ingangsgrootheden. o

Het aldus ingevoerde filter heet digitaal filter.

Een digitaal filter ~an in het algemeen de volgende bewerkingen uitvoeren: a. Vermenigvuldigen met een constante A (zie figuur 5).

y(k) = Ax(k) (1)

fig. 5.

b. Optellen (zie figuur 6): w(k) = x(k) + y(k) xlk) wIk) ylk) fig. 6.

pit noemt men een opteller.

Deze beide omzettingen geschieden tijdloos, dus zonder vertraging. c. Vertragen (zie figuur 7).

y(k)

=

x(k - ,1)

~

'

fig. 7.

(2)

(3)

D is van het woord "Delay". Men noemt dit een vertragingselement.

De vertraging is over een tijdseenheid T. Grotere vertragingen kan men verkrijgen door meer van dergelijke vertr,agingseenheden

i~

cascade te schakelen.

Met behulp van deze bewetkingseenheden kan van een digitaal filter een blokdiagram getekend worden., Het blokdiagram va~ het vorigè voorbeeld is getekend in figuur 8.

xlk),

'n

~

·· 1

,

ylk) •

fig. 8.

Het filte! moet dus over een geheugen beschikken~

Een recursief filter maakt gebruik van een enkel-'of meervoudig ,vertraagde uitgangsgrootheid n~ast de ingangsgrootheid.

Voorbeeld y(k) = x(k) + 2y(k -- 1) In blokdia~ram (figuur 9): fig. 9. ..

~

t(k) , ~

Een dergeiijk filter kan instabiel zijn, dat is hier het geval, want alsx(k) =

o

·

'geldt y(k) = 2y(k - 1), d.w.Z. y(k) neemt toe voor opklimmefide k. Cl

In de praktijk zijn x(k) en y(k) gelijk aan nul beneden een bepaalde waarde van k. Vaak kiest menx(k) = 0 en y(k) = 0 voor k

<

O.

We gaan nu na of we y(k) kunnen vinden als x(k) en de filterformule bekend

.

" zijn. Voorbeeld Stel met y(k)

=

x(k) + y(k - 1) y(k) = 0 voor k

<

0 x(k) = 0 k

<

0 x(k) = 1 k ~ O.

Gevraagd y(O), y(l), y(2), enz. dus algemeen y(k) voor k ~

O.

Oplossing: uit de formule volgt

y(O)

=

x(O)

+

'y(-l)

=

I

+ 0

=

1 y(l)

=

x(l) + y(O)

=

1 + 1

=2

y(2) = x(2) + y(l) = 1 + 2 = 3 enz.

Hier is gemakkelijk in te zien, dat geldt

y(k) = 1 + k ' k ~ 0.' o

Het vinden van een. ~ergelijke zogenaamde gesloten uitdrukking is vaak

las-tiger. De in-en uitgangsrj} zijn in figuur 10 geschetst.' Y(klj 3 2 f enz. enz: -2 -1 0 _4~ 2

o

2 3 4 ~ fig. 10.

De algemene vorm van de vergelijking van een digitaal filter is Aoy(k) + Aly(k - 1) + Aiy(k -.:. 2) + .. . .

/ '

=

Box(k) + BI x(k - 1) + B

2x(k - 2) + ...

(4)

3.

~PECIALE

FUNCTIES

,

In het voorgaande is sprak,e ,geweest van het bemonsteren van een analoog , signaaL We voeren nu in het bemonsteringssymbool, stoot(-functie) of impuls

x(k) = ö(k).

Deze

funct~e

is 1

~

ó

or

k

=

O,en 0 voor k

'*

O. In figuur 11, is de grafiek getekend.

Ö(k~

2

o

1 2 3

fig. 11.

(5)

Een over. een afstand n, (n is geh~el) vertraagde, stoot gèven we aan met

x~k) = ö(k -- n): (6)

In figuur 12 is o(k - 3) getekend.

-2 -1 0 _ 1 2 3 fig. 12.

Het bèmonsteren van een ,analoog signa.al kan nu mathematisch worden beschreven. We beschouwen een functie f(t) voor t ~ O. Is de'berilonste~ -ringstijd T, dan wordt de beinonsterde' functie de som van equidistante

stotfm:

.'

'

fb (t)

=

f( t)

~

o( t

~

nT)

'=

'

~

f(nT)o( t -nT) (7)

_ . n=O - n=O

-Hierin is o(t - nT)

=

1 voor t

=

nT ell o(t .- nT)

=

0 voor t

'*

nT.

Kiezen we T = 1, dan is blijkbaar t een geheel getal. Noem dit

k.

,/ Er ontstaat met fb(k) = x(k): ~ , x(k) = L f(n)o(k - n) - n=O Uitg~schreven: x(k) = f(O)o(k)

+

f(1)o (k - 1)

+

f(2)0 (k _. 2)

+ ...

De termen van deze som vormen een rij getallen. I _ Een rij getallen, die, alle' gelijk één iijn voor niet negatieve k en nul voor , negatieve k

n~emt

;nen de eenheids-stapfunctie Eek). - ,

eek) = 0 voor k < 0 eek) = 1 k ~ O.

In figuur 13 is deze functie getekend.

fig. 13.

De functie

2 0

x(k) = 0 voor k < 0

x(k)

=

k k ~ 0 keek)

noemt men wel "ramp"-functie, zie figuur 14.

x(k)

i

~2 -1 0

fig. 14.

Verder komt voor

x(k) = 0 voor x(k) = çk " , 2 ' 2 4 " , 3 enz. 3 4 5 -_k.

(8)

(9)

(10)

Voor

e

= 1 hebben we de eenheids-stapfunctie., voor 0'<

Icl

< 1 hebben we een dalende rij, voor

lel> 1 hebben we een stijgende rij.

Tenslotte noemen we de bemonsterde sinus- en cosinusfunctie: x(k)

=

O. voor k<O

}

(A sinka)e(k)

x(k)

=

A sin ka k~O (11)

x(k)

=

0 voor k<O

}

x(k)

=

A coska k~O (A coska)e(k)

"

4. HET BEMONSTERINGSPROCES

Stel het analoge signaal is sinusvormig met periode T seconde en dê hoek-_{. . a} frequentie is w (rad/s). Dan geldt,

a .

w T = 21T. a a

Noem de signa~lfrequentie fa' dan is . _{Wa =2nfa (rad/s).}

(13)

(14) Stel T de tijd tussen twee béinonsteringen en K het aantal bemonsteringen

in één signaalperiodè, dan is

T = KT.

a (15)

Stel hèt aantal radial~n van het signaal in één. hemonsteringstijd is

W,

dan

geldt ) .

wa =

~

.

(W

in rad/bern: tijd) (16) Met (16), (15) en (13) volgt wK = Ct) TK ;" w T =21T.

" a a a

wK = 21T. (17)

Het aantal bemonsteringen per seconde noemt men wel de

bemonsterings-frequentie (sample frequency) f, dus

I .

f=

T

(bem!s). ('18)

Met (14). en (16) vinden we tenslotte fa = W_a/21T = W/21TT.

W

fa = 21TT . (19)

Om de vorm van een periodiek signaal eenduidig in een rij getallen vast te leggen, behoeven we K niet tot een extreme waarde op. tè voeren. Dit hOudt natuurlijk verband met de hoogste frequentie, die in het signaal voorkomt.

L

Die frequentie is de hoogste harmonische, d-ie voorkomt volgens de reeks van . 'Fourier. De' vorm hiervan 'is te vinden met twee bemonsteringen in één

periode. Zie figuur 15. .

f(t,Î

1

Dus Met (15) Met (17) ' K=2 I - T =-T 2 a W = 1f (rad/bern. tijd) Met (18) en (19) I I f = - = - f a 2T 2 (20) (21) (22) (23) Dit is de bovengrens. Men noemt deze frequentie de nyquist-frequentie. Deze is de hoogste signaalfrequentie, die uit een discreet signaal kan worden gevon-den.

5.

HET OPLOSSEN VAN DE DIFFERENTIE-VERGELIJKING

We behan,delen hier een methode om de differentie-vergelijking rechtstreeks op te lossen. We tekenen daarbij direct aan, dat we deze methode' verder niet zullen gebruiken, omdat de in de volgende paragraaf in te voereri z-transfor-matie vele voordelen t.O.V. deze methode heeft.

Beschouw als voorbeeld:

6y(k) - 5y(k - I) +'y(k - 2) = 24x(k) - Ilx(k - I). De beginvoorwaarden zijn als volgt:

y( -1) = I

y(-2) = 5. Verder kiezen we als excitatie

x(k) = eek).

We beschouwen eerst de homogeen gemaakte vergelijking: 6y(k) -5y(k - 1) + y(k - 2) = 0 en stellen de homogene oplossing:

Ingevuld:

dus

6À2 - 5À + I = O.

We noemen dit de karakteristieke vergelijking. De wortels zijn: ' À =

1.

en

i I Dus Yh(k)

=

Al

À~

+

A2À~

1 k I k yh(k) ~ AI(Z)" + A₂(3")

-

17

Stel we kennen een oplossing y (k), die we een particuliere oplossing zullen

~oemen,

Deze voldoet aan de dlfferentie-vergelijking, dus: " ,"

6.y (k) "":' Sy (k ~ -I)

+

Y (k - 2) = 24x(k) :... Ilx(k -'- 1),

, P ,P , - ' '. p _, - '

Trekken we deze af ván de.gegeven differentie-vergelijking, dan ontstaat:

6[y(k) - y (k)] - S[y(k -_p 1) - y (k -_{p ,} 1)]

+

y(k - 2) ,- y (k -_p 2) =

0

en dat is juist de homogeen gemaakt~ differentie-vergelijking, dus y(k) = Yh~k)',!" yp~k).

We kunnen in ons' voorbeeld een particuliere oplossing viriden door k groot te kiezen. Dan is.het rechterlid 24 - 11 = 13; terwijl yp(k) een constante, Cis:

uit 6C - SC

+

C = 13 volgt De totale oplossing is dus:

voor k ~ O.

Merk op, dat deze functie niet geldig hoeft te zijn voor k

<

0, omdat' pas op k = 0 de excitatiex(k) = eek) ontstaat.

De constanten Al en A₂ vinden we in het algemeen met de beginvoorwaardel!. We kunnen hier echter 'de gegeven begincondities niet rechtstreeks gebruiken, omdat de afgeleide formule aUeen geldig is voor k ~ O.

We leiden nu bruikbàre beginvoorwaarden af. Uit de differentie-vergelijking volgt:

I

y(k) =

'6

[Sy(k - I) - y(k.- 2)

+

24x(k) - l1x(k - I)] dus

I '

y(O) =

'6

[Sy(- l) - Y(-;.-2) + 24x(0} - llx(-l)]

1 '

=

'6

(S - S + 24 - 0) =4. Op analoge wijze vinden we: ,

16 y(l)

=

T'

Vullen we deze waarden in de gevonden functie in, dan' ontstaat:

waaruit resulteert

zodat

wè

vinden

16

y(O) = 4 , y(I) =

3"

_y ( 2) = 107 ₁₈ enz.

Merk op, dat als y(-l) = y(- 2) = 0 zouden zijn geweest er niet nul zijnde

,waarden y(O) en y(I) behoeven te volgen! We vinden in dit voorbeeld dàn:

y(O)

=

4 en y(l)-=

6"'

33

'

o

De z-transformatie heeft t.O.V. de hier geschetste 'methode enkele voordelen: a. Er behoeft niet een particuliere oplossing te worden bepaald.

b. De beginvoorwaarden vóór k = 0 kunnen rechtstreeks worden gebruikt.'

Een enkele keer geeft de hier behandelde methode een sneller 'resultaat dan de z-transformatie.

Voorbeeld

y(k)

+

y(k - 1) - 12y(k ~ 2) = 0 met

y(O)

=

4 en y(2)

=

O. De karakteristieke vergelijking is

À. 2

+

À. - 12 = O. De wortels hiervan zijn À.

l = 3. en \ = -4. De oplossing is dus: y(k) = A

l3k

+

A2(-4)k.

Omdat de differentie-vergelijking homogeen is, behoeven we geen particuliere oplossing te bepalen.

Beginvoorwaarden invullen levert

Hieruit volgt Dus , \ y(O) = 4 = Al

+

A₂ y(2)

=

0

=

9A I

+

16A2. 64 Al = -;:;- en A ₂ = _ 36 ₇ y(k) = 64 3k _ 36 (_4)k voor k;;;;' Ó. . 7 7

We vinden

y(Q)

=

4 , y(1)

=

48 , y(2)

=

Q , enz.

, .

(De oplossing met z-transformaties zou meer rekenwerk vragen.) 0

6. DE z-TRANSFORMATIE

De z-transformatie biedt de mogelijkheid ingewikkelder problemen op te lossen. De methode blijkt onverwacht elegant.

Definitie

X(z) =

~

x(k)z-k.'

₍₂₄₎

k=O.

Uit de funct~e x(k) wordt zodoende de functie X(Z) verkregen:

x(k) ~ X(z). (25)~

We schrijven functies van z, met een hoofdletter, dus X(z) of Y(z) of U(z) of korter X, Y,U. Ook de omgekeerde weg blijkt-,mogelijk, vandaar de dubbele

pijl in formule (25).

-We zullen nu een tabel samenstellen met functies,en hun z-getra,nsfor.meerden. We beginnen met

x(k) =, S(k). Er volgt

, X(z) =

~

S(k)f-k = 1. k=O

. Als volgende functie nemen we x(k) ~ S(k - n). Dus X(z)

=

~

S(k - n)z-k

=

z_-n. k=O . . We vervolgen met Dus Uitgeschreven: x(k) = eek). , X(z) =

~ z~k

.

k=O X(z) = I

+ z-1

t

z-:~

+ ~-3

:r .

..

We kunnen hiervoor schrijven X(z) = - - - - 1 '

1 - z want de staartdeling levert op:

'(26)

(27)

20

I - Z-I / II . - Z-I Z-l Z-l _ Z-2 Z-2 1

+

Z-

+

z

+

..

.

\ 1 -2 ' Z-2 _ Z-3' enz.

We merken op, dat de volgende staartdeling niet is' toegestaan:

-1/-1

- -I + z -z -z

+

z2 -z enz. Deze.gevonden functie is volgens fOl'inule(27):

-o(k

+

I) - o(k

+

2) - o(k

+

3) - . '.'

en is dus niet E(k), de functie, waarvan we zijn uitgegaan!

Het resultaat van de laatste staartdeling strookt echter niet met de afspraak in de inleiding, dat de rij naar links begrensd moest zijn.

Merk verder op, dat alleen voor Iz-ll

<

1 de reeks convergeert. Omdat we ook divergente rijen toelaten, behoeven we ons niet te bekommeren om vragen over convergentie.

We hebben dus

z

E(k) ~

z .-: I (28)

Deze schrijfwijze is. gelet op de staartdeling toegestaan. De uitvoering van de staàrt deling

-z 1 - .Z

levert echter weer een foutieve rij. We beschouwen nu

x(k) = A kE(k),

. De (goede) staartdeling ,levert op

z6dat

, 1 - (~lz)

k ' z ·

A ~ _. --A-_{z -} ' ,(29)

_,

Voor we dez~ berekening voortzetten, behandelen we eerst enkelebelimgrijke' eigenschappen, waarmee het mo,gelijk is vele.transfonnatie-berekeriingen stèrk te vereenvoudige~.

Eigenschap I

. Als: . x(k) ~ X(z) met x(k) = 0 voor k

<

0; dan is: x(k - I) ~ Z -I X(z). Bewijs: X(z) =

~

x(k)z-k. k=O dus ~ x(k - 1) ~ ~ x(k - l)z-k = k=O = xC-i)

+

x(O)Z-1

+

x(1)z-2

+

x(2)z-3

+

...

=

x(O)~-1

+

x(1)z-2

+

x(2)'z-3

+ .

.

.

= z-l [x(O)

+

x,(l)z-I

+

x(2)z-2

+

...

]

= z-I ~ x(k)z-k k=O .

=

z-I X(z) .. Eigenschap 11 .

Als: x(k) =3> X(z) met x(k) = 0 voor k

<

0 .

en y(k) ~ Y(z) met y(k)

=

0 voor k

<

0,

dan is: Ax(k) + By(k) ==9 AX(z) + BY(z) met A en B willekeurige constanten. Bewijs: X(z) =

~

x(k)'z-k : k=O y('z)

=

~

y(k)z-k k=O dus

Axh)

+

By(k)

~ ~

[Ax(k)

+

By(k)]

~-k

=

k=O

A

~

x(k)z-k + B

~

y(k)z-k

k=O ' k=O

Eigenschap III

Als: x(k) ~ X(z) met x(k) = 0 voor k

<

0,

. d dan is: kx(k)~ -z dz X(z). Bewijs: dus dus Eigenschap IV ~ X(z) = ~ X(k)z-k k=O dX(z) = ~ -kx(k)z-k-l dz k=O = z-l ~ -kx(k)z-k k=O -z dX(z) = ~ kX(k)z-l< . . dz k=O Als: x(k) ~ X(z) m~t x(k) = 0 voor k

<

0, dan is: Bewijs: Akx(k)

~ ~

Akx(k)z-k = k=O ' =

~ x(k)(~)-k

k=O A

We vervolgen nu de berekening van enkele ·z-transformaties. Beschouw

x(k) = kEek)

Met (28) en eigenschap III vinden w~

Dus Beschouw E(k) ~ kEek) =? kE(k) ~ 1 - z-l z z - 1 d z .i. - 1 - z z -z - - -

=

"-z~---- " -dz ,z - 1 . (z _ 1)2 (z _ 1)2 z (z - 1)2 x(k) = (eikw)E(k). Met (29) vinden we met A = eiw

z

(31 ) Tenslotte beschouwen' we

x(k) = (coskw)e(k).

terwijl de transformatie van de beide e·machten. volgens (31) te vinden is:

coskw

~

1 (

z . + ' z . ) =

2 'z _ eJw _{z _ e} -JW .

1 z - e -jw + z ~ ejw

= -z .

2 z2 _ ze-jw _ z~w +-1

1 2;; - cosw'+ j sinw -- cosw - j sinw

-= ï Z _{'2 -}

-z - -z cO,sw +'jz sinw - z cosw - jz sinw+ 1.

1 2z - 2 cosw = -z 2 z2 - 2z cosw + I z - cosw ' = z ...".--=--=-~.:....-z2 - 2z cosw + 1 Zodoende geJdt: z - cosw cos kw ~ z --,-2--=:.--=-:.:..::.:....~ , z - 2z cos"",

+

Voor w = rr /2 vinden we krr z2 cos

T

~

z2 + 1

In het linkerlid staat de rij

1 0 -1 '0 1 0 - 1 enz.

hetgeen ook uit liet rechterlid volgt met eenstaartd'eling. Op analoge wijze vinden we

dus sinw' sihkw ~ z 2 " -z - 2zcosw+'1 . krr ~ z SInT z2 + 1 . (32a) (32b) (32c) (32d)

Voorbeeld 1

Gegeven: x(k) = 0 voor k

<

0 en voor k

> 2

x(O)

=

4 , x(l)

=

S en x(2)

=

2. Gevraagd: X(z).

Oplossing: Blijkb'aar is

x(k)

=

4o(k) + So(k - I) + 2o(k - 2). dus Voorbeeld 2 Gegeven: X(z) = 2 - 9z-1 _{+ 8z-}2 _{+ Sz-4.·} Gevraagd: x(k). Oplossing: D.w.z. x(k) = 2o(k) - 90(k - I )

+ 80

.(k - 2)

+ So(j( - 4).

x(O)

=

2 , x(l) = -9 , x(2)

=

.8 , x(4} =5 en x(k) = 0 voor alle andere waarden van k. Voorbeeld 3

Bepaal de z-getransformeerde van k2e(k). Oplossing:

keek) ~

(z - 1)2

z

Pas eigenschap III toe:

o o z z (z - 1)2 - z·2(z - I) -z - = z -dz (z _ 1)2 (z _ 1)4 z - I - 2z = z -z

+ 1

= z -(z - 1)3 o

7. DE TERUGTRÁNSFORMATIE

~

Wil men alleen de eerste termen van een rij vinden uit een -z-getransformeerde vorm, dan kan men staartdeling toepassen.

Voorbeeld 1 Gegeven:

z

+ 1

Y(z) = - -.

z - 1 We schrijven dit als

1 + z-l Y(z)

=

Deling levert op:

-z

-1/

I

+

Z-I I -z -1 \ I + 2z-1 +2z-2

+

2z-3

+

,

, ,

2z-1 2z-1 _{- 2z-}2

2i-

2 2z-2 _{_ 2z-}3 2Z,-3 _ , , " Dus de eerste termen van' de rij worden:

y(k) = 1, 2, 2, 2, , , , ' o

. Vaak" kanéle terugtransformatie

gl!s~hieden

door toepassing van breul<spIÏtsev

. en .gebruikmaking van één ,van de basistran'sfprmaties,

, Voorbeeld 2 z t-l Gegeven: Y(z) = - -, z - 1 Gevraagd:, y(k), Qplossing: z + 1 z, 1 ,

--=

,

- -

'

- + - -

.

z - l z-1 z - l ' We kurmen dit schrijyen als

_z_+ z-I Z

z'- 1

z=I'

De tweede term stelt de vertraagde stap'functieyoor 'op grond van eigenschap

I, dus

y(k)

=

eek)

+

e(k

-

1) hetgeen de rij 1, 2, 2, 2, 2, , , , is,

'Het is echter vaak handig' de functies van z zodanig om te vormen, dat het resultaat als f(k)e(k) te schrijven is, Hier vinden we zodat 'z + 1 z I z z '- ,1 - z

- - = - - + - - = - - - -

_{z - 1 z - 1 ' z - ' 1 z - ). " z - 1} =2_z _ _ 1 z -1 ' y(k)

=

[2.-

ó(k)]e(k)

of wat op hetzelfde neerkomt

y(k) = 2e(k) - o(k).

Voorbeeld 3

2

Gegeven: Y(z) = ' 4z - 7z

z2 - 3,z

+

2

Gevraagd: y(k).

Oplossing: De polen zijn PI = 1 en P2 = 2, dus

4z2 - 7z Y(z) = (z _ I)(z - 2) .

We schrijven dit als

We vinden Dus dus 4z - 7 . Y(z) = z (z _ 1)(z - .2) À . B "' = z ( -.-

+ - - ) .

z-1 z - 2 A

=

3 en' B

=

I. 3z z Y(z)

= +

-z-1 z-2 o y(k) = (3

+

2k)e(k)~ , 0

Zijn de polen van Y(z) complex, dan leverj de terugtransformatie een

(gedempt) sinusvormig verschijnsel.

Voorbeeld 4

Z2

Gegeven: -Y(z) =

-, z2

+

2z

+

2

Gevraagd: y(k) ..

Ople,;ssing: De polen zijn -1 + j en -1 -j, dus

We vinden"

- Dus

A .B .

Y(z) = z (z + 1 _ j + z + 1 + j)'

.

.

y(k) = A(-I'+ j)k + A*(- I _ j)k = 2 Re [

t

(1

+

j)( - 1 + j)k

I

= Re [(1 + j)(y2fel~SOjkl

= Re[(v'2lo

+

j)(cosl3Sok

+

jsinI3Sok)]

Uiteraard kan dit antwoord worden gecontroleerd door dit terug te

trans-formeren. o

In de techniek vaak voorko!TIende functies zijn de gedempte sinus- en cosinus-vormen.

We

leiden gemakkelijk af

Bkcoskw eek) ~

_z---

z - B cosw

z2 iBz cosw + B2 (33a) , en B sin

-

w

z

,

-

'

-z2 - 2Bz cosw -+- B2 (33b)

Nu we over deie transformaties beschikken, kunnen we de gegeven functie van het vorige voorbeeld (3) gemakkelijker terugtransf~rmeren. We hebben:

z2 -, Y(z)=---~

z2 +'2z

+

2

We,constateren allereerst; dat de polen com~lex zijn. We vergelijken nu de gegeven noemer met de noemer van de gedempte sinus- en cosinusfunctie. We concluderen Bcosw =-1 en Hieruit volgt B

=0

,

We hebben dus z + I Z " " : " ' , -z~ + 2z + 2 , en

De laatste vorm is:

z

-Z2 + 2z + 2

De gewenste teller (hie~ z2) kan nu geformeerd' worden doór n -x de gedempte -cosinus op te tellen bij in x de gedempte 'sinus.

in overeenstemming met het voorgaande.

8.

NIET NUL ZIJNDE BEGINVOORWAARDEN

Als x(k) I).iet nul is voor negatieve k, ondergaat Eigenschap I een kleine verandering:

Eigenschap Ia

Als: x(k) ~ X(z),

dan is: x(k - 1) ~ z-l X(z) + xe-I). (34)

. Het bewijs volgt direct uit het bewijs_ van Eigenschap I.

Verder volgt: x(k - 2) ~ z-l [z-l X(z)+ xC-I)]

+

x(-2) dus x(k - 2) ~ Z-2X(Z)+ z-l x(-I)

+

x(-2) (35) en vervolgens dus x(k - 3) ~ z-l [z-2 X(z) + z-l x(-l)

+

x(-2)]+ x(-3) . x(k - 3) =? z-3 X(z) + z-2x(-I) + z-l x(-2) + x(-3).

Dit kan zo worden voortgezet. Ook is af te leiden

x(k + I) ~ zX(z) - zx(o). Voorbeeld

Gegeven: y(k) = x(k) + 3y(k - I) x(k)

=

E(k)

y( -1)

=

2.

Gevraagd: Bepaal y(k) voor k;;' O. Oplossing: dus Y(z) 7' X(z) + 3z-1y(z) + 3·2. Y(z)(l ~ 3z"1) =_z_ + 6 z - 1 z 6 Y(z)

=

+ ..:.... -(z - 1)(1 - 3z-1) 1 - 3z-1 Z2 6z =

+

-. (z':... I)(z - 3) z ~ 3 . 1 z 3 z 6z: = + + -. 2 z - 1 2 z - 3 z-3 (36) (37)

1 z 15 z

= +

-2 z-1 2 z - 3 ' Dus , 1 15 y(k) = -

'2

+ '2'3k (k ;;;. 0),

, Merk op, dat we niet- mogen schrijven

, . 1 '15

k

'

,

y(k) = (-

'2

+

1

3 )E(k),

omdat dan gesuggereerd wordt, dat y(- l) = 0,

We vinden

I 15 ' 'y(O) ;= -

'2

+ '2 = 7

1 45 '

~(1) = -

2'

+

2"

= 22, enz,

welke waarden natuurlijk ook rechtstreeks 'uit de differentie-vergelijking

gevonden kunnen worden, o

9. DE BEGINWAARDETHEOREMA'S

f:let eerste beginwaardetheoremaluidt:

x(O) = lim X(z) (38) z+~ Bewijs: X(z) =

j

x(k)z-k " k=O" dus

li~

X(z) = lim Ix(O)

+

~(l)

!.

+

,

x(2)

~

~

+

,

:

"

]

=

~(O),

'

z+~ i+~ , Z , z2

, Voorbeeld

In het vorige voorbeeld vonden we

, , z2 6z' Y(z) =

+

-(z - l)-(z - 3) z - 3 dus limY(z)

=

1

+

6

=

7

=

y(O), z+~

Een uitbreiding van dit the,orema is de volgende:

Met volgt ~ , '- ' 1 1 ' 0 X(z) = L x(k)z-k = x(O)

+ -

x( 1)

+

-

x(2)

+

,

,

,

k=O Z z2 1 ' , z[X(z) - x(O)]

=

x(l)

+ -

x(2)

+

,

,

0' z o

dus

x(1) = lim z[X(z) - x(O)].

z~~

Voorbeeld

Uit het vorige voorbeeld volgt:

3 2 · ·

z 6z

zY(z) - zy(O) = (z _ l)(z _ 3)

+

z ._ 3 - 7z

Z3

+

6z3 - 6z2 - 7z3

+

28z2 - 2lz

z2 - 4z + 3

De limiet hiervan voor z -+ 00 is 22 = y(l).

We vinden verder x(2) = lim [z2X(z) - z2 x(0) - zx(l)]. z~~ Algemeen (39) o (40) x(k)

=

lim [zkX(z) - zkx(O)- zk-1x(1) - zk-2x(2) - .. . z~~ . . . - zx(k ~ 1)]. (41)

In het volgende hoofdstuk is een tabel met de meest" voorkomende eigen-schappen en transformaties opgenomen.

10. DE FIL TERFUNCTIE

Een discreet mter kan worden gekarakteriseerd door de

overdrachtsfunctie

of

kortweg de

overdracht (transferfunction):

Y(z)

H(z)

=

X(z)

. of kortweg H

=

Y

IX.

waarbij men aanneemt, dat hoofdletters functies van z

betekenen.

H is dus de verhouding van de in-en uitgangsfunctie in het z-gebied.

Figuur 16 geeft het symboQl.

~Z)

. fig. 16.

Voorbeeld

Gegeven: y(k) = x(k) - x(k - 1) Gevraagd H(z). (42)

Oplossing.

dus

derhalve Y(z)

=

X(z) - Z-l X(Z) Y(z) = (1 - Z-l) X(Z) H(z)

=

z -1

z

Stel nu de ingang is e(k). Gevraagd y(k). Oplossing -dus

z

X(z)=--

_{z -}

₁ Y(z)

=

H(z)-X(z) ~

1.

Dus y(k)

=

6(k).

Merk op, dat Y(z)

=

H(z) als X(z)

=

1, d.w.z. als de ingangsfunctie de.

impulsfunctie B(k) is. Dan is y(k) = h(k); dit noemt men de impulsresponsie. Verder merken we op,.dat voor de ingangsfunctie vaak u(k) i.p~v. x(k) wordt

gebruikt

We kunnen alleen van een overdrachtsfunctie spreken. als de beginvoorwaarden

nul zijn ..

Voorbeeld

dus . y(k) = x(k) - x(k -1) . met x(-9

=

3 Y(z)

=

X(z) - z~l X(z) ....: 3

=

(1 - z-l)X(z) .- 3

v

Tabel van z-transformaties

x(k) Ax(k) + By(k) x(k -- 1) x(k - 2) x(k + 1) x(k + 2) kx(k) Akx(k) lim X(z) z-+-~ lim z[X(z) - x(O)] Z?~ ó(k) ó (k - n) eek) Ak€(k) keek) eikw€(k) coskw€(k) sinkw€(k) Bkcoskw€(k) Bksinkw€(k) X(z) =

~

x(k)z-k k=O AX(z) + BY(z) z-IX(i)+ xe-I) , ( z- 2X(z) + z-Ix(-l) + x(--':'2) ~. , zX(z) - zx(O) z2 X(z) - Z2 x(O) - zx( 1) d . -z - X(z) dz X(~) A x(O)

x(l)

z

z=I

z z - A z z z - cosw Z 2 Z - 2zcosw+-I sinw z--...:.:c:.=--- z2 - 2zcosw+ 1 z - Bcosw z ---=--.=....::."-"--=---Z2 _ 2Bzcosw + B2 " Bsinw z = . : = ' -Z2 _ 2Bzcosw + B2 "

,

\

11.

CONVOLUT~, , , \

'we beschçuwen een filter 'met overdrachtsfunctie H(z): H( )_z "= Y(zl _{X(z) .} X(z) is de z-getransformeeI;de ingangsrij.' Y(z) is de z-getransformeerdeuitgarigsrij. Als X(z)

=

I, d. W.z. x(k)

=

8(k) volgt Y(z)

=

,l1(z)X(z)

=

H(z) dus y(k) = h(k).

We noemden dit de impulsresponsie vim het

filter

:

Voor.een willékeurig ingangssign,aal X(z)' is de"uitgangsfunctie

Y(z)

-=

H(z)X(z),

De vraag rijst,'wat de uitgangsrij y{k) is uitgedrulçt i~ hek) en x(k).

Dat dit niet het gewoneprodu~t is,' blijkt uit .het volgende 'vO'orbeeld.

, \ Stel Er volgt Hieruit volgt dus, z . H(z) = -, z - I Z2 Y(z) = -(z - 1)2 en ' X(z) = -' - . z. z - I z , z Y(z) = .- -

+

-~­ z - 1 (z ~ 1)2 y(k)

=

(1

+

~) E(k).

33

(43) (44)

Anderzijds is hek) = E(k) en x(k) = E(k), hetgeen als product E(k) oplevert. We onderzoeken dit probleem aan de hand~an het volgende voorbeeld.

. ~. , . '. ~ ./

Gegeven het filter

z'

H(z)=~.

' z

-'2

De impulsresponsie is dus

We nemen nu als ingangsfunctie

' 1 I . '. ' ,

x(k)

= -

8(k),

+ -

8(k - 1)

+

8(k - 2),

2 2 .'

Dç z-getransformeerde hiervan is zodat de uitgangsfunctie is Y(z) = H(z)X(z), hetgeen oplevert zodat waaruit volgt . 11 z 2 Y(z) =

'2

- - 1 - 5 --~

z-ï

I l l k _ ,

-y(k) = -(-) eek) - 50(k) - 2o(k - I)

22

-1

3

11

11

_

11

y~O)

='2'

y(l) =4" y(2) =

I'

y(3) =

i6'

y(4) = 32' enz. In fïguur 17.a is de impulsresponsievan het filter geschetst, in figuur 17.b is

de ingangsrij x(k) getekend. _ _

De eerste term van x(k) is 10(k) en deze geeft aanleiding' tot de uitgangs-functie y 1 (k) =

-!

hek). Zie figuur 17 .c. .

De tW,eede term van x(k) is

t

S(k - . 1) en die betekent de responsie

t

hek

~

1), dat is de éénmaal vertraagde functie' van

t

hek). Zie figuur 17.d.

De laatste term van x(k) is S(k - 2) en-die geeft een tweemaal vertraagde uitgangsrij hek - 2). Zie figuur 17.e.

Optellen van de drie uitkomsten levert de totale responsie y(k); zie figuur 17.f. De tenuen zijn: . 1 y(O) = x(O)h(O) =

2'

- 3 y(l) = x(Q)h(l) + x(l)p(O) =4' J - 11 y(2) = x(0)h(2) + x(l)h(l) + x(2)h(O) =

8

y(3) =.x(0)h(3) + x(1)h(2) + x(2)h(I)+.x(3)h(O)

1 1 -I 11 = + + + 0 = -16 8 2 16 . Algemeen k . y(k) = ~ x(i)h(k - i). (45) i=O

We noemen dit de convolutie tussen _ de signalen ~(k) en hek) en schrijven dit als volgt:

35

o.

t

h(k)1

·

e

i

. h(k-2) f d.

t

~(k-l)

I

fig. 17. 1

2

-

k Uit (44) blijkt: x(k)*h(k)

=

h(k)*x(k). We onderzoeken nu de z-getransformeerden: H(z) =

~

h(k)z-k k:;O

o

1 2 3 ~

L l

x (O)h(1j +x(l)h(O)

lX(O)h(2)+X(1)h(1)+X(2)h(O)=~

=t

X(O)h(Ór=~

o.

zodat ~ X(z)

=

~ x(k)z-k . k=O H(z)X(z) =

~

h(k)z-k.

~

X(k)Z-k k=O k=O

= h(O)x(O)

+ [h(O)x(l) + h(l)X(O)]:z.

- l

+

[h(O)x(2)

+ h(l)x(l) + h(2)x(O)]z-2 +

... ,

. hetgeen inderdaad de ·z-getransformeerde is van de convolutie, dus

h(k)*x(k) ='? H(z)X(z) . (48)

. In figuur 18 is nog een constructie gegeven, waarmee het mogelijk is van een

convolutfe een bepaalde term te vinden.

-c.

fig. 18. 1 ï 1 ï

,:-L-r-3 verschuiv n x(k-3}

i

In figuur 18.a is hek) getekend. ,

In figuur 18.1:> is x{k) getekend. Dat is de gespiegelde x{k). In figuur,18.c.is x{k) overreen afstand m (hier m = 3) verschoven.

, Vermenigvuldigen van figuur 18;a met figuur 18.c en de termen optellen,

leverts(m). We ~inden hier voor m= 3: '

12. U:t;lEARITEIT, CAUSALITEIT EN TIJDINVARIANTIE

De filters, die we hebben beschouwd en nog zullen beschouwen, voldoen aan ,de volgende eigenschappen:

a. Zij zijn lineair, d.w.z. in de differentie-vergelijking zijn' de factoren constanten.

Zo is y{k) = [x{k)]2 niet-lineair.

b. Zij zijn causaal, d.w.z. een' ingangssignaal kán aan de uitgang niet vervroegd . Worden waargenomen.

Stel een filter heeft de overdrachtsfunctie:

, z2

H(z) = z -

1 .

We kunnen dit schrijven als

z' H(z) = z _.

+--1

_{z -}

.

_.

De impulsresponsie is dus

hek) = S(k

+

1)

+

eek),

ii

hetgeen inhoudt, dat de ingangsfunctie _eerder wordt waargenomen, dan hij, is ontstaan. We noemen zo'n filter niet-causaal.

De overdrachtsfunctie van een causaal filter (fiat lineair is) heeft een teller, waarvan de graad ten hoogste gelijk is aan de graad van de noemer. c. Zij zijn tijdinvariant, d.W.Z. een verscho'ven ingangsrij levert een over

het-zelfde tijdsinterval verscho~en uitgangsrij. Zo is y(k)

=

x(2k) niet-tijdinvariant.

13. STABILITEIT

. ' \

We bepalen de z-getransformeerde van

Er geldt

Stel Dus

Akejkw€(k) =? z jw = X(z). z - Ae

Deze functie heeft een nulpunt ~1

=

0 en een pool PI

=

Aejw. Nu is x(k) .instabiel (gaat naar oneindig voor groter wordende k) voor

, .

lAl> I.

. Dit betekent, dat de pool dan buiten de eenheidscirkei in het complexe vlak ligt. Zie 'figu ur 1 9.

'mlz,i

-1

-j

_ fig. 19.

ConClusie

Een discrete functie is stabiel, als de polen van zijri z-getransformeerde binnen de eenheidscirkel liggen ..

Voorbeelden

a. Ak€(k) =? z

~

A is stabiel, als lAl

<

1. 0 z

b. €(k) =? ~ is op de rand "an instabiliteit.

De getallen van de rij blijven voor grote ~ -alle gelijk aan' I. 0 Bevat X(z) meer polen, die alle binnen de eenheidscirkelliggen, dan is x(k) stabiel. De pool, die het -dichtst bij de eenheidscirkel ligt, bepaalt het gedrag van x(k) voor grote k.

Voorbeeld

z . 3z X(z)

=

- - I + - - I .

z-ï z-3'

Deze functie heeft twee polen

zodat

I

p = -2 3

Voor grote waarden van k is all~en de eerste term bepalend en dit betreft

indertlaad de pool, die het dichtst bij de eenheidscirkelligt. 0

Het bovenstaande~ is ook van toepassing op een filter met overdrachtsfunctie

H(z). \

Zijn de polen meervoudig dan is het filter ook instabiel, als die polen op de eenheidscirkel liggen!

Voorbeeld

Een filtèr heeft de overdrachtsfunctie

z

H(z) = .

(z - 1)2_

-De impulsresponsie is hek) ::: keek), welke-rij onbegrensd toeneemt.

De functie H(z) heèft een tweevoudige pool in het puilt 1. Het filter is

instabiel. 0

14~

HARMONISCHE EXCITATIE

Het gaat in deze paragraaf om het inschakelen van een hannonisch, d.W.Z. sinusvonnig signaal Op de ingang van een lineair digitaal filter. Aan de uitgang'

~ verschijnt een signaal, dat afhankelijk is van het ingangssign~ en de eigenschappen van het filter.

We beginnen met een eènvoudig digitaal mter me~ de _, overdrachtsfunctie

,

~

H(z).= •

z -

Pl

waarin

Pl

ret!el is. . Stel het ingangssignaal is·

. u(k) = lXI cos kcoc{k)

We schrijven dit signaal als de halve som van twee e-machten:

. ~l 1 ' u(k)

=

2'

x(k)

+

2'

~(k). ) _ .

met

x(k) ,,;, IXleilllk EQc) en ~(k)

=

IXle-jrok E(k)

Elk van deze ~i~e ingangssignalen geeft een uitgangssignaal:

~ (49)

. (50)

x(k) ~ y(k)

;Uk)

=>

y(k)

Omdat het filter lineair is, resulteert de som van beide ingangssignalen in de Som

-van beide uitgangssignalen:

u(k) =

t

(x(kj

+

~(k))

=>

t

(y(k)

+

y(k)} ::: w(k)

(Ook de halve som voldoet).

We beschouwen nu eerst de ingang x(k). We vinden Y(z)-='H(z)X(z) = IXlz

{~.

1 , } z - PI Z _ eJOl

Na breuksplitsen ontstaat:

Al B -Y(z)= IXlz { - -

+

,

}

,

z -

PI Z _ eJOl

waarin Al en B constanten zijn, gelet op de graad van beide noemers. We vinden (zie de patagrnafresidu-bepaling):

A -1- T(pt} .

PI -

e

JOl

, B

=

T(eiOl)

=

H(eiOl), '

e

jOl _{,- PI}

hetgeen inhóudt, dat voor z moet worden gekoz~n eiOl: .'

z

=

ei

Ol

Men noemt z wel de

complexe frequentie.

We kiezen nu het ingangssignaal ~(k).

Er ontstaat ry{z) = H(z).X(z) = IXlz { T(z).

1

,

}

• z -

Pi

z _ e-JOl Dus

~z)=IXlz {~+

'B

.

}

, z - PI Z _ e-JOl met

_•

(52) (53) (54)

"

r

,

41

en We zien ~ _ ,T(Pt> Al - . . PI - e-JW f}J

=

T(

e-

P ) e-joo -'PI

511

=

Ar

(A~ is hettoegevoegde complex van At) en

, ,r

/ ,

)

, Als nu het ingangssignaal u(k) :;: lXI cos kè.OC(k) is, wordt het totale

uitgangs-signaal dus: ' , . .

W(z)=!Y(z)+!:nz);:::IXli{~

+ B

.

+~

+

B* }

2 , 2

2

z -

P

t z _ eJoo z -

PI

Z ,_ e-joo Terruggetransformeerd:

lXI {

*

k _ ;'-.iI< '

*

.

k} w(k) =

T

'

(Al + AI)PI + Bv---- + B e-JOO. E(k)

Met

~A _{I +AI7~eAI}

*

en

ontstaat

w{k:) = Re [lXI {AIPlk + BeÏOOk }] E(k)' Uit (52) volgt

y(k) = IXI{AIPlk

+

~eÎOOk} E(k)

zodat w(k)

=:

Re(y(k» Uit (50) en (51) volgt u(k) = Re(x(k» . ' Schematisch opgeschreven "

Als x(k) ~ y(k) dan geldt Re(x(k) ~ Re(y(k» \

\

(55)

(56)

(57)

We beschouwen nogmaals formule (56). De term IXIBeÎOOkE(k) is afkomstig van het ingangssignaal en de term IXIAIPtkE(k) is de invloed van de filter. '

·

Wenoemen

Yst(k)

=

IXIBeirokE(k)

;

ofwel met (53)

Ysi(k)

=

IXIH(eiro)eirokE(kr

de

stationaire toestand.

en

het

overgangsverschijnsel.

We komen zodoende tOt het blokschema van figuur

20.

x(k)

.J."::l

Yst~

~

fig. 20.

(58)

Als het filter stabiel is

(PI

<

1) zal

het overgangsverschijnsel voor grote waarden

van k verdwenen zijn en hebben we alleen de stationaire toestand.

.

We noemen IH(eiCAl)1 het

amplitud4pectrwn, de amplitudekarakteristiek of

kortweg het spectrwn~

Voorbeeld 1

Gegeven

Z H = - - I

z--

₃

x(k)

=

ei(ltl2)k€(k).

Gevraagd de uitgangsfunctie.

Oplossing. We vinden x(k)

=

jkE(k), dus

Derhalve

.

z

X(z)=--.

Z -

J

Y(z) =z'

.z .

(z - 3)(z - J)

Met breuksplitsen ontstaat

'Y( )

= {O,

'

l

+

O,3jÖ,9 -~,3j }

'

,

z

z

,

z ...: L

+

_

z

',

-

J

.

, 3 , .. " ,

dus

Nemen we nu als ingangssignaal

,

,

'

u(k:)

=<

Re(x(k:»= cos

i

~(k)

dan is de uitgang w(k:) = Re(y(k:».

Zo

resulteert

:-,--w(k:) = {O,J.{t)k

+

0,9 cos ~ k

+

0,3

,sin

i

k}e(k:).

De eerste temi tussen aCcolades is het overgangsverschijnsel, de tweede en derde

term

,

geven de stationaifé toestand

'

'

"

Willen we alleen de stationaire toestand weten (voor het ingangssignaal x(k:»), dan

hanteren we fonTmie

(58):

, • eÎ(J) ';' " 1

YSl(k:) =

' I .èlrok

e{k:)

,

metro=ï

1t

e

J(J) _ ~ .

, 3 '

Na: wat rekenwerk ontstaat

Y

sl(k:) ,,;, (0,9 - O,3j)ei(1r(l)ke(k:)

in overeenstemming met

bet

,

voorgaande.

, ~

InvoorIJeeld 3 zullen we het spectrum van een digitaal filter berekenen.

'

We

vervolgen nu eerst de theorie.

'

We beschouwen een digitaal filter, waarvan de overdrachtsfilllctie een comple:lte

,

pool heeft

Dankol~t

ook

de

toegevoegd

~omple:lte

poolvoor,ómdat de

,

c~fici~nten van z

in de noemer vaD de overdálchtsfurlctie rreel zijn. Dat is

gemakkelijk

~

te

zien voor een

kwadratis~he

vorm. Stel de noemer van

H(x)

is

'

z2

_

+

Dz

+

E met D en E ~l. De

jlolenzijn

dan

'

-D ±

~D2

-

4E

-

Pl.2

=

'

2

,

Als 1)2

~ 4E

Zijn pi en

Pi~l.

Als

-02<

4E

zijn de polen complex:

.

en dan geldt PI =

Jh.

We onderzoeken nu een di~itaal filter met twee toegevoegd complexe polen:

H(z) _ T(z) _

.

T(z)

.

- N(z) - (z - P2)(Z - P3)

.

(60)

*

-metPJ

=pz.

We kiezen -weer aIs uitgangssignaal

x(k) = IXleiClllcE(k).

Het z-getransformèerde uitgangssignaal is dus:

.

{

.

'fez}

.

1 , }

Y(z) = H(z)-X(z) = IXI

_

z (z - P2)(Z - P3)

.

z

.

_{- eJco}

Na breuksplitsen ontstaat

Y(z)!=IXlz

{~+~

+

B

,

.

}

z - P2

z - P3

Z _ eJco

met

A2=

T{pz) ,

(P2 - P3)(P2 - eJCO)

.

A3 =

T(P3)

,

.

,

(P3 - P2)(P3 - eJCO)

T®

B=

,

,

(eJco - P2)(eJco - P3)

(61)

Dus

y(k)

~

lXI {A2PZk

+

A3P3k

+

BeiCOk} E(k)

Kies nu het ulgangssignaal'

~)

= lXI

e-jro~(k)

•

De uitgang wordt nu

_

{ T ( z )

I }

1{z) - lXI z (z - P2)(Z - P3) . z _ e-jco

•

Breuksplitsen:

{ jiJ!')

5'f.

.

'13

.

}

1{z)=IXlz

~

+ __

3_

+

,

.

z - P2

.

Z - P3

Z _ e-Jco

,

met

Jl2

=

T(PZ1.

(P2 - P3)(P2 -:- e-Jro)

'"

Jl3

=

.

" T{P3) . '.

(P3 - P2)(P3 - e-Jro)

t]J= T(e-~ ;

(e-jro - pû(e":'jro - P3)

Vergelijk nu A2 met

>la.

De

tellers zijn elkaar toegevoegd complex.

.

Stel P2 =

a

+ jp (met

~

en p rerel) dan is

p3

=

a -

jp.

..

'

Dus P2 - P3 = 2jP en P3

~

P2 = -2jp.

.

.

*

Derhalve geldt P2 :- P3

= (PJ -

Pil

.

De eerste factoren

in

beide noemers van A2 en 513 zijn dus elkaars toegevoegd

.

complex. Ook de tweede factoren

in

_{de noemers van A2 en}

>la

zijn elkaars

toegevoegd complex.

Derhalve geldt

513 =

A~

.

Evenzo vinden we

i

2

=

Á

3

en

13

=

B* .

.

We

voege~

nu de

he~ft

van beide ingangssignalen bij elkaar, d;w.z. het

.

ingangssignaalwordt:

.

. ,1 l '

u(k)

=~x(k) +-~) " 2 2 De

uitgang wordt

( J .

A

A

·

B

A*

A*

'

B*

w(z)=lIXlz{~

+ _ _

3_

+

.

,

. + _

.

_3_

.

+ _

.

_2_ +

.

}

,

2

Z -

P2

.

Z ~

P3

,

z ,

eJro

z -

,

P2

Z -

P3

Z _ e-jro

Getransformeerd naar het k-gebied:

'

(,

. .

w(k) =

t

_{lXI {A2P2k + Azpl + A3P3}

k + AjP2k + Beirok .; B

*

c-jrok } É(k)

, ,

De eerste en tweede term zijn elkaars toegevoegd comPlex voor alle

Ic,

evenzo de

derde en vierde term en ook de beide laatste termen.

.

Dus

Als x(k) ~ yOc) dan volgt Re(x(k»

=>

Re(y(k» .

Ook nu vinden we dat een deel van de uitgang het overgangsverschijnsel (de , termen meti>2 en P3) en een ander deel de stationaire toestand (de temi met

eirok) is. .

De stationaire toestand is

y st(k) = H(eiro)·eiroke(k), zie figuur

20.

Voorbeeld 2

Gegeven,

,

z

H ( z ) = -z2

+

!.

4 x(k)

=

IXI&roke(k) Gevraagd de uitgang. Oplossing:

H(z) heeft complexe polen Pt,2 =

±

t j

We vinden

Y(Z)=IXlz{_I_t. z . }

, z2

+ -

z - eJro

4 , dus

Na wat rekenwerk vinden we

1 A2 = ---"---4e2jro

+

1 4eiro B=---'-"---4e2jro

+

1 Teruggetransformeerd:

,y(k) = lXI {At (t)k cos

kf

1t

+

2A2 (t)k sin

kf

1t

+

Beirok} E(k) Is de ingang u(k) = lXI cos coke(k) n.l. het reële deel van x(k), dan vinden we als . uitgang w(k)= Re(y(k». De laatste term van y(k) is weer de stationaire toestand:

I .•

YSl(k)

=

H(eiro)eiroke(k):

Tot besluit van de

·

theorie beschouwen we een filter met de overdrachtsfunctie

. , .

H(z), waarvan het aantal polen meer

dan

twee is. De ingangsfunctie kiezen we

weer

x(k)

=

IXleiroke(k) resp. ~(k)

=

IXle-jroke(k).

\ .

We

'

voeren weer breuksplitsing üit in de

uitg~gsfuncties

Y(z) en J{z) en

transformeren het resultaat naar het k-gebied. Uitschrijven levert (zoals we

'

verwachten) weer de uitdrukking (57) eri de formule (58) op.

.

Form~le (S?)

wordt

dan

uitgebreid tot

..

. k k k

Yov(k) =

(AIPI

+

A2IJ2

+

.

... +

Appp )E(k)

(62)

waarin Al, A2, ... , Ap de residuen zijn van Polen Ph IJ2, ... ,Pk van H(z).

We zullen deze adfleiding, die niet essentieel moeilijker is dan

.

het voorgaande,

niet geven.

We

beslu~ten

deze Paragraaf met een berekening, als

.

de overdrachtsfunètie van het

filter twee reële polen heeft We zullen

.

dan tevens het spectrum bepalen.

Voorbeeld 3

Gegeyen h6t filter met overdrachtsfunctie

z H(z) = À)(z - .!.3) . (z - 2 . Het ingangssignaal is . j!k 'x(k) = e 2 €(k); ,

Gevraagd het overgangsverschijnsel en de' stationaire toestand .

. Oplossing: Dus x(k)'= /€(k) z X(z) = z _ j . z Y(z) = H(z)X(z) = z ( _ .!.)(z _ .!.)(z _ j) . z 2 3 Breuksplitsen: A ' B _C_)

+ - - +

.

Y(z) = z(--l' .!. z _ j z~2 · z-3 We vinden

A = 1,2 (1

+

2j) , B = - 0,6 (1

+

3j), C = -0,6 (1

+

j). Dus

y(k)

=

{1,2(l

+

2j)(})k -

-

0,6(1

+

3j)(-~l

.-:.

0,6(1'+ j)l}e(k). Het overgangsverschijnsel is

De stationaire toestand is

en bevat de frequentie van het ingangssignaal. o

Willen we alleen de stationaire toestand weten" dan behoeven we slechts

'H(ejW) te bepalen op grond van (55).

, , Vervolg van het voorbee~d:

' . j!! j ' I '

H(eJw ) = H(e 2) = HU) = -. - 1 • -. ,- I = -0,6(1 +j)

J-ï

J -

₃

dus

Y

.

(k) = H(ejw)ejkw€(k) = -0,6(1

+

Üjk€(k).

,

De amplitude van dit signaal is

\H\

= 0,60.

Is de in~~ngsfunctie u(k) = cos

Î

k € (k) dan is dit het reële deel van,

J-k '

x(k) = e 2 €(k).

Het uitgangssignaal w(k) is ,het reële deel

van

y(k):

, , .n k w(k)

=

{1,2

(-!l -

0,6 (t)k

+

Re

~

-'0,6 (1

+

j)/i ]}e(k). Het overgangsverschijnsel is De stationaire toestand is

'-wst(k) = Re [-0,6(1

+

j)(cosÎk

+

jsin-Ik»)€(k) dus w.(k) = (-0,6coS-Ik

+

0,6sin~k)€(k).

We kiezen nu

w

variabel. We vinden

zol,iat

IHI2 = _

'(êós2w- tcosw

+

~)2 +

(sin2w -

t

Sinw)2 Hieruit volgt

18

IHI2= 31 + 6cos2w - 5cosw - 30cos2wcosw - 30sin2wsinw Hieruit volgt 'w

=

0 1T

w=-2 W=1T - , IHI = 3 IHI = 3 0 5 1 IHI=-_{'2 .} Het spectrum wordt dus volgens figuur 22.

IHt

3 TT T TT _{(rad/bem.tijd)}

00-

'

fig. 21. 15 .

FILTER REALISATIES

o

Een filter kan in het 'algemeen door middel van de in hoofdstuk 2 gegeven bewerkingseenheden vermenigvuldigen, optellen, en vertragen op verschillende manieren worden gerealiseerd. 'Een blokschema met het kteinst mogelijke aantal vertragingselementen noemt men een canonieke realisatie.

Dit kleinste aantal is de orde van het filter en is tevens de orde van de

differentie-vergelijking van ingangs- en uitgangsfunctie. We nemen als voorbeeld '

y(k) = 4x(~)

+

12y(k -'- 1).

y(k) = 4[x(k) + 3y(k - 1)].

We verkrijgen zo het bloksche~a volgens figuur 22.a . .

a. x(k)

'~f-.-

.

__ ... _

y.:[k)

b. x(z) _{t--... ---i~ v(z)}

fig. 22.

In het z-gebied ontstaat

dus

waarmee ontstaat

o

De overdrachtsfunctie is de rechtdoorgaanae versterking gedeeld door één , , .

min de rond-gaande versterking.

Het filter blokschema in het ~-gebied is in figuur 22.b getekend.

Als tweede voorbeeld nemen we een t~eede orde differentie-vergelijking: y(k) = 3x(k) - 2y(k '- 1)

+

3y(k - 2).

Een canonieke realisatie zal dus twee vertragingselementen bevatten. In figuur 23 is de. zogenaamde eerste canonieke realisptie getekend.

x, _{r--~---~---r---~Y}

fig. 23, .

De z-getransformeerde v,èrgelijking is Y

=

3X - 2z-1y

+ 3z-

2_y.

, Dat levert de tweede I canonieke realisatie. Zie figuur 24.

fig. 24.

Deze bevat één opteller meer dan.' de vorige.

Nog een andere reali,satie -is de caséade realisatie.

In ons vQorbeeld hebben we

Y( I + 2z~1 -

3i-

2) ,=' 3X dus H = y = 3 X I

+

2z-.-1 _ 3z-2 Z2

+

2z - J. . z ' z = 3 - -0 = 3 -z '- I z + 3 _.z--l I + 3z-1 '

hetgeep. figuur 25, oplevert.

o

x

_{~---'---r----~Y}

fig .. 2S.

Tenslotte noemen we de parallel reali!iatie.

Het voorbeeld levert op na breuksplitsen:

(0,75 2,25) H=z

- - - + - -

'

z--':I z+3 dus , '1 H = 0,75 - - -+ 2,25" -- z--l I

+

3z-1 Zie figuur 26. . ,\ o

x

_r-.--.

Y

fig. 26. o

In de vorige voorbeelden bestond de teller van H(z) uit slechts één term. Heeft de teller meer term én, dan is het vinden van de eerste canonieke reali-satie iéts lastiger.

Voorbeeld

. 4z

+

5 H(z) = (z - l)(z - 2)-.

De canonieke realisatie mag dus' slechts twee vertragingselementen bevatten. We schrijven 4z-1

₊

_5z-2 H(z) = -I - 3z-1

₊

_2z-2 Beschouw eerst

Y

₁

=

-X _ 3z-1

₊

_2z-2 Dus ofwel

Dit levert het blokschema op van figuur 27.

x

_{r---~---._--~y1}

We vinden verder,.

Y

=

4z-1

_~

_ _ l_· _ _ _ X

+

5z-2 _X, _ 3z-1

+

2z-2 _{. 1 - 3Z;-1}

₊

_2z-2

waaruit. het totale blokschema volgt, .zie figuur_ 28. x

fig_ 28_

y }

-

.

54

16. TOESTANDSVERGELIJKINGEN

Een vertragingselement kan worden opgev"at als een geheugen. Het moet gedurende de bemonsteringstijd de aangeboden functiewaarde onthouden. De uitgangsfuncties van de vertragingsel.ementen geven we aan -met x I (k),'

x

2 (k), . . . , zodat de ingangsfuncties zijn xl (k

+

1), x2(k

+

I), ... .

-De toestandsvector wordt gevormd door de uitgangsfuncties van alle n vertragingselementen:

~= (63)

De orde van het filter_ is n.

De 'n~de orde differentie-vergelijking van -dit filter kan geschreven worden als n eerste orde differentie-vergelijkingen:

~(k +

I)

= .A1~(k)

+

~!!(k). -Hierin is u(k) de vector met alle ingangsfuncties. Verder is de uitgangsfunctie

We noemen dit de toestandsvergelijkingen.

De oplossing-in het z-gebied verloopt als volgt: De z-getransformeerde toestandsvergelijkingen zijn:

Hierin is

z ~(z) -- z~(O) = ,JtPl.{z)

+

[iJOl/(z)

~(z)

=

ri .o..t(z)

+

Çïlll(z).

~z) =

terwijl 6f/(z) en ~!I(z) in het algemeen ook vectoren zijn.

(64)

(65)_

(66) (67)

Zijn u(k) en de begincondities bekend, dan kan y(k) worden berekend.

Voorbeeld Zie figuur 29.

u(k)

3

fig. 29.

Verder is gegeven' X/a)

=

°

en _X2(O)

=

0.

We vinden

xl(k

+:

1)

=

3y(k)

=

3[3u(k)'+ x

2(k»)

ylk)

x₂(k.+ 1) = xl(k) - 2y(k)';'

xI(k)

~

,

2[3u(k).+ x2tk»)

dus xl(k.+ 1) = 3x₂(k).+ 9u(k) x 2(k.+ 1) = xl (k) - 2x2(k) ,-'6u(k). I-n matrixvorm:

[::::

:

::]:[;

-;]

[ Xl

(k)j

[

:

9]

.+ u(k). x₂(k) , -6, De uitgangsvergelijking is y(k) ,;" x 2 (~) .+ 3u(k):

Met z-transformatie vinden we, alsu(k)

=

S(k):

dus . volgt- , Verder is Y = X 2 .+ 3. Invullen levert op

3z2 y = -Z2

+

2z -3 Na enigrèkenwerk vinden we y

=

0 75 _z_ + 2 25 _z_ , z - l ' z+3 zodat y = [0,75

+

2,25 (-3)k]e(k). _o

We kunnen de toestandsvergelijkingen gebruiken om de beginwaarden voor willekeurige k te vinden, als ze op k = 0 gegeven zijn.

Uit (64) volgt

(68) Hiermee zijn alle waarden in de vector! op k = 1 bekend, waarna we de

·waarden op k = 2 kunnen bepalen met

(69) enzovoorts.

Is daarentegen K(1) gegeven, dan volgt !(O) eveneens uit (68) door het stelsel vergelijkingen op te lossen. Stellen we iÏJ1;!.(O) ~

Q,

dan i~

!(O) = ",-l!.( 1),

waarin de matrix'" niet-singulier moet zijn .

. Voorbeeld

[ : : : : :

:~

= [: - : ] [:::::]

Stel Xl (0) = 5 en x

2(0) = -7, dan volgt

Stel nu andersom gegeven x/I) =

-

18

en x₂(1) =

26,

dan volgen xl(O) en

. x 2 (0) uit [ xl(O)l [2

4]-1

[-18]

[51

x 2

(0)J

= 1.

-3

26

=

"':'

7 .

_o

17. VRIJE TRILLINGEN EN DE KARAKTERISTIEKE

VERGELIJKING

Zijn alle ingangsfunctie.s van een filter nul, dan kunnen de uitgangsfuncties van nul verschillen tengevolge van de geheugen-inhoud van de vertragings-elemënten. Met name de uifgangsfuficties ~(k) van de vertiagingselementen hebben een van nul verschillende waarde.

We nemen als voorbeeld eerst een filter mèt één

geheugeneie~ent

(cjus

e~n

eerste orde filter). De differentie-vergelijking is van de eerste orde:

Voorbeeld' x(k

+

1) = 3x(k). Stel x(k)

=

Al Àk dan is x(k

+

1) = AI.À

k

+I dus ofwel À = 3. We noemen À-3=O

de karakteristieke vergelijking en À = 3 is de wortel, die aanleiding geeft tot

een vrije trilling van de vorm. "

o Stel nu we hebben twee simultane dïfferentie-vergelijkingen (het betreft nu"

dus een tweede orde filter):

We stellen dus Uitgesc,hreven: Xl (k) = lXII Àk x (k) = IX I Àk/. "~ . 2 _ [ lXII

;).k+1J

=

lA.

l

~

Ix IÀk+l A 2 21 IX I'Àk+I = A IX I Àk

+

A "IX I Àk 1 11 1 12 .2

bus

ofwel

zodat

of korter

ÀI X11 = AU IX ll + _{A12 1X21}

ÀIX21 = A211Xl1

+

_{A22 1X21}

Dit stelsel heeft een oplossing, als det (À1 -Jl) = O.

Deze formule is ook geldig voor hogere orde digitale filters.

(70)

(71)

We noemen (61b) de karakteristieke vergelijking, waaryan de wortels \ , À2'

À3' . . . aanleiding geven tot vrije. trillingen in de vorm

(72) Deze trillingen treden op in elk punt van het blokschema van hei: filter, dus ook aan de uitgang(en) en aan de uitgangen van de vertragingselementen. De constanten Cl' C₂, C

3, enz. zijn voor die verschillende punten natuurlijk

niet dezelfde. Voor sommige punten kunnen bepáalde constanten C nul zijn. _{. n} Voorbeeld

De karakteristieke vergelijking van het filter van het vorige voorbeeld IS À - 2 -4

IU -Jil

= =

o.

2 .

Dus À

+

À - 2

=

0 met als wortels _À1

=

en _À2

=

-2. De vrije trillingen hebben dus als vorm

A (l)k

+

A (_2)k = A

+

A (_2)k