ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XXVII (1986)
G r a ż y n a H o b o t T e r e s a P o k o r a
Lublin
Metody rzutowo-newtonowskie
( Praca upłynęła do Redakcji 198211.30)
1 . wsTęp
W a r ty k u l e tym będziem y ro z p a try w a ć n ie lin io w e z a d a n ie p o s t a c i (1*1) L u(x) = f ( x #u (x )) , x
(1.
2)
u (x ) *0,
x e ć> ,g d z ie
.$1
j e s t o bszarem og ran iczo n y m , c)£l j e s t je g o b rz e g ie m , I - o p e ra to re m różniczkow ym ty p u e lip ty c z n e g o2 2
(1 .3 ) Lu (x) * - Di ( a i k (x)DkuCx)) + Y1 bk (x ) Dku W *
i , k
=1
k=1
t a z o s t a ł a w prow adzona p rz e z K. W itsch a w p ra c a c h [17 ] , [1 8 ], N iech H-. _ (5 ?) b ę d z ie p r z e s t r z e n i ą S obolew a, k t ó r e j e le m e n ta -
J-»P
mi s ą fu n k c je o w a rto ś c ia c h rz e c z y w is ty c h ,
1
>0,
1
< p ^ o o •W p r z e s t r z e n i t e j n a tu r a ln ą normę będziem y o zn aczać p rz e z | • | , r . W p rz y p a d k u p * 2 , będziem y k ró tk o p is a ć H^(S1) i o dpow iednio d l a norm y używać sym bolu | • | ^ . N a stę p n ie p rz e z p ( ^ ) oznaczym y p o d p r z e s tr z e ń p r z e s t r z e n i HL 1 »P f u n k c ji o n o śn ik u zw artym ,
P oniew aż będziem y sto so w ać m etodę R itz a , w y jścio w e z a d a n ie sfo rm u łu je m y , uży w ając pew nej form y b i l i n i o w e j .
P roblem 1 [1 7 ]. N iech o b s z a r ma b rz e g bSl lip s c h itz o w s k i W H ^(5 ?) o k re śla m y s i l n i e e l i p ty c z n ą form ę b ilin io w ą a (•
5
• ) ( 1 .4 ) a ( v , u ) * | a i k (x)Dku(x )D i v (x ) + £ bk (x )D ku (x )v (x ) jd x i i,k= 1 k“1 g d z ie a ^ k C C (£2) , b ^ L ^ C - f l) . N iech fu n k c ja f ( x ,u ) b ę d z ie zd e-fin io w a n a na z b io rz e D = { ( x ,v ) : x € S2 , v € R, | u * (x ) - v | < cT}, cf > 0 , o ra z f , f u , f u u eC(D^,) . P rz y ty c h z a ło ż e n ia c h u* e ) n C ( Q ) i ( 1 .5 ) a ( v ,u * ) » (v ,f[u * 3 ) , g d z ie f [u] (x ) * f ( x ,u ( x ) ) •METODY RZUTOWO-NEV/TONOWSKIE 45 (1.
6)
u ę H ^ ( ^ ) , a ( v ,u ) - ( v , f u [u *Ju) =0,
V v e H ^ (Q -) , ma t y l k o tr y w ia ln e ro z w ią z a n ie *N iech {v n }, n « 0 ,1 , . . . , V cH®(Sł) b ę d z ie c ią g ie m p r z e s t r z e n i e le m e n tu sk o ń czo n eg o . Z p o d p r z e s tr z e n ią Vn j e s t zw ią zan y p a r a -m etr h n , h n < c h n# s t a ł a * n = 1 , 2 , . . . O znacza on w p rz e -s t r z e n i elem e n tu -skończonego n a jw ię k -s z ą ze ś r e d n ic elem en tó w . Po-n a d to p r z e s t r z e Po-n i e t e s p e ł Po-n i a j ą pewPo-ne w ła s Po-n o ś c i ap ro k sy m a cy jPo-n e, k tó ry c h żąd a s i ę w tw ie r d z e n iu o z b ie ż n o ś c i ( tw ie r d z e n ie 4 . 1 ) .
M etoda o b lic z a n ia k o le jn y c h p r z y b liż e ń u n e Vn ro z w ią z a n ia d o k ład n eg o u* ró w n a n ia (1.
5) j e s t o k re ś lo n a n a s tę p u ją c o :
D la dow olnego uQ € VQ k o le jn e p r z y b liż e n ie u n e Vn otrzym ujem y ja k o ro z w ią z a n ie lin io w e g o ró w n an ia
( 1 .7 ) a ( v .u n ) - ( v . f u r Un_ l ] V . - y ^ l ^ l )
Vv ę Vn , n -
1
,2
, . . .O p isan ą w yżej m etodę będziem y nazywać m etodą rzu to w o -n ew to n o w sk ą. Oznaczmy p rz e z k ( n ) wym iar p o d p r z e s tr z e n i Vn « J e ś l i i =
= 1 * 2 , . k ( n ) , j e s t b a z ą w Vn , to k (n )
i» 1
(1 .9 ) (A - B f f ^ u ^ ) ) OCn = . T g d z ie ocn - Ccc" ,
(*2
* •••* a k ( r d * A* B ” m a c ie rz e kw adratow e A * {a f i ) } 9 •••» k ( n ) , B * { ( f j * ^u^u n -1
^ f i s **** ^ (n ) * b - w e k to r:b » ^ un-1^ ~ ^u^un-1-^ un-1^l * <3 “ •••* k(n)
k (n -
1
)V fv n
-1 .,n-1
n-1 * Z , ^ i f i » *i
=1
i a
1
,2
, . . . , k ( n -1) , baza p r z e s t r z e n i Vn^ •
S posoby k o n s t r u k c j i baz w p r z e s t r z e n i elem e n tu sko ńczon ego s ą o p is a n e w [7 1 . N a le ż y d o d a ć , że u k ła d ( 1 .9 ) j e s t układem rz a d k im , co w ynika z w ła s n o ś c i baz w p r z e s t r z e n i elem e n tu sk o ń czo n eg o . S tą d do ro z w iązy w a n ia ty c h układów n a le ż y sto so w ać s p e c ja ln e m etody
( p a tr z n p . [ 7 ] , [ 1 1 ] ) . W każdym k ro k u d l a n = 1 ,2 , . . . n a le ż y od nowa o b lic z a ć e le m e n ty m a c ie rz y A i B o ra z w e k to ra b . P rz y w zro ś-c i e k (n ) r o ś n i e wym iar u k ła d u (1C.9 ) .
METOD If RZtTTOWO-NEWTONOWSKIE 47 (1) O bieram y k (n ) » k . Wtedy m etoda rzutow o-new tonow ska j e s t id e n ty c z n a z tz w . m etodą n ew to no w sk o-rzutow ą. D la n » 1 ,2 , . . . u k ła d ( 1 .9 ) j e s t zaw sze układem liniow ym o k niew iadom ych. M acierz A n ie z m ie n ia s i ę w k o le jn y c h k ro k a c h , z m ie n ia ją s i ę ty l k o elem en -t y m a c ie rz y B i w e k -to ra b . F a k -t -t e n wpływa w o b lic z e n ia c h na o sz c z ę d n o ść c z a s u . (2 ) O bieram y k (n ) t a k , ab y Vn1 c Vn , n » 1 ,2 , . . . Wtedy z a -m ia s t (
1
.8) w ygodnie j e s t p r z y ją ć
k (n ) (1 ' 1 0 > un * u n - 1 + Ż P i f i ' i-1
a ró w n a n ie (1.7) p r z e k s z t a ł c i ć do p o s t a c i
(1.11) a (v' un - un.i ) - Cv' fuCun-1]<un ‘ un-1>> “
. - a C V jU ^ ) + ( v , f [ u n_13) Vv € Vn , n - 1 ,2 , . . . T
Współczynniki poprawki, tzn. wektor (3n *» [(3^, •••# Pk(n)^ *
obliczamy z układu równań
(1 .1 2 ) (A - B (fu , u n_1)) f . ^ ( f . V ^ ,
K oniec o b lic z e ń n a s tę p u je w ted y , gdy p rz y z g ó ry zadanym £ > 0 s p e łn io n y j e s t w arunek ||un - un_/j||< £ • w p ra k ty c e b ad a s i ę zw ykle w e k to r (łn w spółczynników p o p ra w k i, t z n . spraw d za s i ę , o z y 1p “ I L < £
-W n astępnym p a r a g r a f i e omówimy m etody rz u to w o -n ew to n o w sk ie w p rz y p ad k u n ie lin io w e g o ró w n a n ia o p erato ro w e g o G (u) *
0*
2 . METODY RZUTOWO-NEWTONOWSKIE DLA RÓWNANIA OPERATOROWEGON iech V i S b ęd ą p r z e s tr z e n ia m i unormowanymi. R ozpatrzm y o p e r a to r n ie lin io w y G: D c V —* S . W c e lu o trz y m a n ia k o le jn y c h p r z y b liż e ń u n ro z w ią z a n ia u * ró w n a n ia
( 2 .1 ) G (u) * 0 ,
s to s u je m y n a jp ie r w m etodę N ew tona, t z n . d la dow olnego Vq e D
k o le jn e p r z y b li ż e n i e v n otrzym ujem y ja k o ro z w ią z a n ie lin io w e g o ró w n a n ia
( 2 .2 ) ^v n “ v n-1^ * * n * ***
N a s tę p n ie lin io w e ró w n a n ie (2 .2 ) będziem y rozw iązyw ać w p r z y b li -ż e n iu , s t o s u ją c m etodę rz u to w ą . Tak ja k w p ra c y [16] wprowadzamy dwa c i ą g i p o d p r z e s tr z e n i {Vn }, {s n }# n *
0,
1
, . . . . a p ro k sy m u ją - cy ch o dp ow iedn io p r z e s t r z e n i e V i S * (* o zn acza p r z e s t r z e ń d u a ln ą ) , V c V, S* n * n C S* o ra z dim V_ * dim S* < oo . n nMETODY RZUTOWO-NEWTONOWSKIE 49 ( 2 .3 ) ( v . g V u ^ ) ( un “ un-1)) = - ( v .G C u ^ ) ) V v e S * , n «
1
,2, . . .
Aby p r z y b li ż e n i e un b y ło w yznaczone z ( 2 .3 ) w sp o só b jed n o z n a c z n y , zak ład am y , źe( u n € V n , (v .G ( u ^ un ) . O, V v € S * ) = > u n -
0.
Sposób otrzym yw ania k o le jn y c h p r z y b liż e ń u n ro z w ią z a n ia u* ró w n a n ia (2.
1
) o p is a n y wzorem (2
.3) będziem y nazywać m etodą
rzu to w o -new to no w ską (k r ó tk o m etodą P -N ).V
P r z y b liż e n ie un o k re ś lo n e wzorem ( 2 .3 ) można z a p is a ć w in n y s p o só b , k o r z y s ta ją c z o p e r a to r a rz u to w a n ia Qn# Tak j a k w p ra c y
[ló ] o p e r a to r Qn : V— >V w raz z o p e ra to re m liniow ym A: V —»S będ ziem y nazyw ać o p e ra to re m rz u to w a n ia o rto g o n a ln e g o na A* S*, j e ś l i
/
u n “ Qnu < = * u n e V (v »Aun> = ( v #Au) V v £ S n .
W naszym p rz y p ad k u przyjm ujem y A « ^ ( urv-']) * ( 2 .3 ) możemy z a p is a ć w p o s t a c i
(2 .4 ) \ / u » Q u „ - Q G*(u un n n-1 n v n-1
4
)"*^ G (u . ) .1 n -1
' * S zczeg ó ln y m i p rzy p ad k am i m etody (2 .3 ) s ą - m etoda R itz a - G a le r k in a , S ^ * Vn ,ytr 1
- m etoda n a jm n ie js z y c h kw adratów , gdy $ n * ^ ( u n -
1^ n *
U w a g a 1 . W p rz y p ad k u z a d a n ia o p isa n e g o w p a r a g r a f i e 1 mamy V = , S* = V, a o p e r a to r G j e s t z d e fin io w a n y n a s tę -p u ją c o ;
d la u e V , G(uj=»g e S a ( v #u ) - ( v ,f [u]) = (v ,g ) V v e V . D o ty ch c zas m etody PN n ie b y ły c z ę s to używane w p rz e c iw ie ń -s tw ie do c z ę -s to używ anych m etod new to no w -sk o-rzu to w ych . W m etodach ty c h p r z y b liż e n ie wk e c V ro z w ią z a n ia u* d e f in iu je m y ja k o ro z w ią z a n ie ró w n an ia
( 2 . 5 ) (v,G(wk)) = 0 V v e S k' , g d z ie Sk c S * i dim Vk = dim Śk •
C z ę sto o p e r a to r G ma p o s ta ć G (u) = Au - F ( u ) , g d z ie A j e s t o p e ra to re m lin io w y m , a A F o p e ra to re m zw artym . W prow adzając o p e r a to r rz u to w a n ia 0 ^ , w y s ta rc z y w tym p rz y p ad k u w ykazać, że wk * ^kT ^wk^ * t z n * wk •3e s "t Punktem sta ły m o p e r a to r a O^T, g d z ie
.-j
T(w) = A F (w ). F a k t t e n j e s t w ykorzystyw any p rz y b a d a n iu z b ie ż -n o ś c i m etody.
METODY RZUTOWO-NEWTONOWSKIE 51 W p ra k ty c e o b lic z a n ie w^ p ro w ad zi do ro z w ią z a n ia n ie lin io w e g o ró w n a n ia ( 2 . 5 ) . Do ro z w ią z a n ia te g o ró w n a n ia można sto so w ać m eto-dy i t e r a c y j n e o p is a n e w [ l i ] .
*
P rzed staw im y d a l e j p rz y p a d e k , w którym do ro z w ią z a n ia rów na-n ia ( 2 ,5 ) b ę d z ie sto so w ana-n a m etoda N ew tona-na. Wychodzimy od pewna-nego p r z y b liż e n ia s ta rto w e g o w^ q ę ^ k * d e fin iu je m y k o le jn e p r z y b li ż e -
n ie wk n € ja k o ro z w ią z a n ie lin io w e g o rów n an ia
( 2 .6 ) (v,G'(wk<n. 1)(wkfn-wk in . 1)) = -(v.C (w k#n_1))
Vvi§*.
n - 1 ,2 . . . W tym p rz y p ad k u mówimy o m eto d zie new to n o w sk o -rzu to w ej ( k r ó tk o o m e to d z ie N -P ). Z b ie ż n o ść k o n k re tn y c h m etod N-P w p rz y p ad k u me-to d y k o l l o k a c j i d la rów nań ró żn iczk o w y ch zw yczajnych b y ła omówio-na w p ra c a c h [ 2 ] , [1 4 J , a d la p o stę p o w a n ia R itz a w o d n ie s ie n iu do pewnego z a d a n ia brzegow ego ty p u e lip ty c z n e g o w [ 6 ] . W [ 2 ] , [1 4] a u to r z y w y k azu ją, p rz y pewnych o g ra n ic z a ją c y c h z a ło ż e n ia c h , z b ie ż -ność po danych m etod w k u la c h z a w ie ra ją c y c h u * , k tó ry c h p ro m ie n ie n ie z a le ż ą od k . D la b a r d z i e j zło ż o n e g o problem u p rz e d s ta w io n e g o w [6 ] a u t o r o trz y m u je podobny w ynik, ż ą d a ją c , aby w^ Q l e ż a ł o w pew nej k u l i , k t ó r e j p ro m ień m a le je p rz y w z ro ś c ie w ym iaru p o d p rz e -s t r z e n i V. .kR u s s e l w [15] z w ró c ił uwagę, że m etoda NP może m ieć z a s to s o w anie w k i l k u p ie rw s z y c h k ro k a c h m etody PN, gdy o b lic z e n ia p r z e -prow adzane s ą w p r z e s t r z e n ia c h , k tó ry c h wym iar j e s t n i e w i e l k i . O trzym ujem y w ted y d o b re początkow e p r z y b li ż e n i a , k tó r e potem s ą w ykorzystyw ane do d a ls z y c h o b lic z e ń .
-b l i ż e n i e u p o k ry w a jące s i ę z p rz y -b liż e n ie m w, n Kę n o b liczo n y m ze w zoru ( 2 . 6 ) . O znacza t o , że p rz y p r z y ję ty c h z a ło ż e n ia c h o b ie me-to d y , t z n . N-P i P-N s ą id e n ty c z n e .
*V 3 . ZBIEŻNOŚĆ METOD RZUTOWO-NEWTONOWSKICH
N iech u* b ę d z ie dokładnym ro zw iązan iem ró w n an ia ( 2 . 1 ) . W t w i e r -d z e n iu o z b ie ż n o ś c i z a ło ż e n ia można p o -d z i e l i ć na -dw ie g ru p y . P ie rw sz a z n ic h d o ty c z y o p e r a to r a G i p r z y b liż e n ia uN. Z a ło ż e n ia t e m ają p o s ta ć ta k ą , ja k w tw ie rd z e n iu d otyczącym k la s y c z n e j meto d y N ew metona. D ruga g ru p a z a ło ż e ń zw iązan a j e s t z o p e ra meto re m r z u -to w a n ia (3 .n
TWIERDZENIE 3.1 [ 1 8 ] . N iech G: K c V —>S, g d z ie K « K ( u " ,r ) * = { u € V : |[u* —u|| < r Z a ł ó ż m y , że o p e r a to r G j e s t r ó ż - n ic z k o w a ln y w s e n s ie F re c h e ta w K o ra z
METODY RZUTOWO-NEWTONOWSKIE 53 ( 3 .4 ) ||Qnu* - u*ll < £ #
g d z ie £ < 1 /(4 D ), D » B CL/2;
(c ) p r z y b liż e n ie s p e łn ia o szaco w an ie ( 3 . 5 ) Ilu* - un R < (1 + V1-4D £ )/(2 D )
i r > r Q • max { Ilu* - uNll , 2 s } *
Wtedy p r z y b liż e n ia un d l a n = N + 1 , N + 2 , . . . o k re ś lo n e wzorem ( 2 .3 ) s p e ł n i a j ą o szaco w an ie
( 3 .6 ) ||u * - u n || ^ r Qf n = N + 1 , N + 2 , . . .
Oznaczmy dodatkow o p rz e z En(u * ,V ) * i n f { l|u*-vn ll: vR € Vn ] • J e ś l i E (u * #V )-* 0 , n —* oo , t o u n —> u * , n —»oo .
U w a g a 2 . P rzy jm ijm y Vn « V^, S* * Ś* d l a V n > N, g d z ie i Ś * u s ta lo n e p o d p r z e s tr z e n ie . Z ałóżm y, że l|Qn ll C, n > N, o ra z u N e K (u * ,2 € ) • W tedy c ią g {un J j e s t z b ie ż n y do e le m e n tu w^ o trzy m an eg o m etodą n ie lin io w e g o rz u to w a n ia , a o k re ś lo n e g o wzorem
( 2 . 5 ) .
T w ie rd z e n ie 3 .1 w ykazuje z b ie ż n o ś ć c ią g u {u n j do u * . Sprawą i n t e r e s u j ą c ą j e s t ró w n ie ż szy b k o ść t e j z b ie ż n o ś c i.
z b ie ż n y do u * . N a stę p n ie n ie c h b ę d z ie d an y c ią g l i c z b rz e c z y w is ty c h {e n}* ®n > °* en~ > 0 (n —>00) t a k i , że ( 3 .7 ) Ilu* - Qnu1l ^ en , en-1 ^ K ^ ,
- s t a ł a d l a n * 1 ,2 , . . . P rz y ty c h z a ło ż e n ia c h
( 3 .8 ) Ilu* - un l! « e n (1 + <^(en)) , n
-^00 .
W szczeg óln ym p rz y p ad k u , gdy e R ■ IIu* - Q u*|| , d o sta je m y Hu* - un ll a e n (1 + &(e^) .
U w a g a 3 . W p ra k ty c e ważne j e s t o szaco w an ie e ^ p rz e z En (u * ,V ), n p . p o s t a c i
e n * l,u* * Qnu* ,[ < (1 + HQnll) V U*’V )‘
W p r z e s t r z e n i e le m e n tu sko ń czo n eg o , k t ó r e j elem en tam i s ą p rz e d z ia ła m i w ielo m ian y s to p n ia s , En (u *,V ) ^ ęh® , g d z ie h n c h a r a k te r y z u je ro z m ia r e le m e n tu . S tą d i ze w zoru ( 3 .8 ) d o sta je m y o sza co w an ie
( 3 .9 ) II u * - u n ll c c.jh® .
METODY RZUTOWO-NEWTONOWSKIE 55 W p rz y p ad k u s ** 2 , otrzym ujem y m etodę o z b ie ż n o ś c i kw adratow ej* 4 . METODY RZUTOWO-NEWTONOWSKIE DLA NIELINIOWYCH ZADAŃ BRZEGOWYCH W p a r a g r a f i e tyra zajm iem y s i ę n ie lin io w y m zadaniem brzegowym
( 1 .1 ) - ( 1 .2 ) w p o s t a c i w a ria c y jn e j ( 1 .5 )* K o lejn e p r z y b liż e n ia u n ro z w ią z a n ia u* ró w n an ia (1 .5 ) o k re śla m y ze w zoru ( 1 . 7 ) . W d a l s z e j c z ę ś c i sk o rz y sta m y z tw ie rd z e ń 5.1 i 3*2, d la te g o o k re ś lim y d la z a d a n ia ( 1 . 5 ) o p e r a to r G i je g o p o ch o d n ą. Przyjm ujem y V » , S - V* i d e f in iu je m y d l a u c V
( 4 .1 ) G (u) » g € S ś = > a ( v f u ) - ( v .f C u l) ■ ( v , g ) V v € V. Pochodna o p e r a to r a G j e s t dana wzorem
-TWIERDZENIE 4.1 [1 7 ] , N iech fu n k c ja f ( x ,u ) b ę d z ie z d e fin io w a na w o b s z a rz e A *R. Załóżm y, że
(a) f(x,u), fu (x,u), fuu(x#u) e C ( 9x r),
| f u ( x , u ) ( , | f u u ( x , u ) | ^ L w Q x R,
(b ) c ią g p o d p r z e s tr z e n i {Vn ] s p e łn ia w arunek (A ), Cc) u * e H °(Q ) Hk (<2) ,
Cd) p a ra m e tr h N c h a r a k te r y z u ją c y p o d p rz e s trz e ń VN j e s t ta k d o b ra n y , że d la dow olnego £ > O i u N e V N
( 4 . 4 ) lu j, - u * |., ^ c h £ -1| u * | k <<r .
W tedy p r z y b li ż e n i a un e Vn d la n * N + 1 , N + 2 , . . . o k re ś lo n e ze w zoru (l#7) s p e ł n i a j ą o szaco w an ie ( 4 . 5 ) | u * - u n ^ ^ c2 Cu*)h£“ 1 , n » N + 1 , N + 2 , . . .
D o w ó d . Spraw dzim y z a ło ż e n ia tw ie rd z e n ia 3*1 d o ty c z ą c e o p e r a to r a G. Z o g ra n ic z o n o ś c i f w y nika, że fu n k c ja f s p e łn ia w arunek L i p s c h i t z a . S tą d i z z a ło ż e ń d o ty c z ą c y c h form y a ( v ,u ) (.p a trz §1, p ro b lem 1 ) w ynika i s t n i e n i e c a łe k w y stę p u ją c y c h we w zorze ( 4 .1 ) . O p e ra to r G j e s t d o b rz e z d e fin io w a n y , ró ż n ic z k o w a ł- n y , a je g o pochodna w yraża s i ę wzorem ( 4 . 2 ) . Wykażemy, że G(u) s p e ł n i a w arunek L i p s c h i t z a . Aby t o w ykazać sk o rz y sta m y z te g o , że V * * V, bo V * H ^ ( Q ) i j e s t t o p r z e s t r z e ń H i l b e r t a . S tą d S * V. P rzy jm u jąc k o le jn o we w zorze ( 4 .2 ) u * Oj i g * g-j o ra z u * U g i g » gg* d o sta je m y
METODY RZUTOWO-NEWTONOWSKIE 57 S tą d po o d ję c iu s tro n a m i otrzym ujem y
(v * fu C u^]h - f ^ t u g l h ) = C v,g1 - g2 ) V v € V, D la V * g,j - g2 2 ^ - g2 H ^ -L II g1 - g2 II II Oj - Ugll II h li , skąd I §1 *
62II
L II u j - Ug || , c z y l i SCu-D - GW l l « L II “i • u2 II 1 « I U1 • “2 I 1 •bo norm y || . ||^ i | . |^ s ą rów now ażne, t z n . i s t n i e j e > 0 t a k a , że
q1 II u || 1 < | u 11 ^ || u u 1 ,
A
S tą d i z e w zoru ( 4 . 2 ) , w którym podstaw iam y v = h d o s ta je m y | j - - L| | h ||^ < |(h,h)| < II hIM Igll < II h || 1 || G (u )h || , sk ąd
(4 .6 ) II G (u )h II > m II h II ^ •
Z t e j n ie ró w n o ś c i na p o d sta w ie C 10, tw . 1 4 .1 1 J w ynika, że o p e ra -t o r o d w ro -tn y do lin io w e g o o p e r a -to r a G'(u) j e s -t lin io w y i c ią g ły , a s tą d o g ra n ic z o n y .
ł
Z ( 1 .6 ) w ynika i s t n i e n i e G (u * j , a z p o p rz e d n ie j c z ę ś c i
t - i 1
dowodu II G (u*) || ^ j B. P onadto
II g'(u*)~ 1 (g'(u) - G^u^ ))I) ^ llG ( u * f 1 || ilG*(u)- g'(u*)|I<
< II u “ u * II -j < I a ~ j . D la |u - u * < r , g d z ie r < , i s t n i e j e o p e r a to r G (u) , ho | u - u * | 1 < q < | i g'(u) - 1 - { i + C (u * )" 1 (g'(u) - g'(u* ) ) J '1g' (u" ) ' 1 = OO “ Y- (g '(u ) - g'(u*))} V f u ' ) ' 1 , i=»0 .*
METODY RZUTOWO-NEWTONOWSKIE 59 i i G * ( u 1 | < NG c u * ) — P < B . 1—q P rz e jd z ie m y do z a ło ż e ń d o ty c z ą c y c h o p e r a to r a rz u to w a n ia Qn# Z d e f i n i c j i Q i V—>V i n n u n * Qnu 'ś = K v »G<(urv-,j) u n ) * (v , G C 'u ^ ) u ) \)v « V , P rzy jm u jąc w tyra w zorze v = ®^u n -1 ^ u n ^ w y k o rz y stu ją c wzór ( 4 .6 ) , d o s ta je m y
m !lun ll 1 IIGł (un - 1 )un || ś |G#(un - 1 )u| , n a to m ia s t ze w zoru (4 .2 ) " ^ S i - I ) u " < C1 II u I11 * a s tą d i z n ie ró w n o ś c i p o d an e j w yżej C 1 I V h 4 , Ilu II, = C || U || 1 Vu « V, n . 1 ,2 , . . . oo dow odzi je d n o s t a j n e j o g ra n ic z o n o ś c i o p e ra to ró w Qn . P rz y jm u ją c ©n = (1 + C )chjj“^ | u * lk i u w z g lę d n ia ją c z a ło ż e n ia ( b ) i ( d ) tw ie r d z e n ia 4 .1 , mamy e N < £ ' • Poniew aż h n ^ h n-1 ^ It,h n w ięc z a c h o d z i w zór ( 3 . 7 ) o ra z e n < V d l a n > N. Na p o d sta w ie t e z y tw ie r d z e n ia 3 .2 otrzym ujem y t e z ę tw ie r d z e n ia 4 .1 .
PRACE CYTOWANE
[U J . I . B l a i r , E r r o r Bounds f o r th e S o lu tio n o f N o n lin e a r
T w o -p o in t B oundary V alue P roblem s by G a le rk in M ethod, Numer. M ath. 19 (1 9 7 2 ), 9 9 -1 0 9 .
C2] C. De B oor, B,. S w a rtz , C o llo c a tio n a t G a u ssia n P o in t s , SIAM J . N um er.A n a l. 10 (1 9 7 3 ), 58 2-6 0 6 .
2
[3] P .G . C i a r l e t , An 0 (h ) Method f o r a N on-sm oth B oundary V alue P ro blem , A e q u a tio n e s M ath .2 , ( 1 9 6 8 ) , 3 9 -4 9 .
[4-5] P .G . C i a r l e t , M.H. S c h u ltz , R .S . V arg a, N u m erical M ethods o f H ig h -o rd e r A ccu racy f o r N o n lin e a r B oundary V alu e P ro b lem s, I . Num er.M ath .9 (1 9 6 7 ), 3 9 4 -4 3 0 , V .Num er.M a th .13 (1 9 6 9 ),
5 1 -7 7 .
[6] J . D o u g la s, T . D upont, A G a le rk in M ethod f o r a N o n lin e a r D i r i c h l e t P ro blem , M ath.C om put.29 (1 9 7 5 ), 6 8 9 -6 9 6 .
[7] M. D ry ja , J . Jan k o w sk a, H. Ja n k o w sk i, P rz e g lą d m etod i a lg o - rytm ów num erycznych, c z ę ś ć 2 , WNT, Warszawa 198 2.
[8 ] I . G lad w eel, R a y le ig h -R itz M ethods f o r N o n lin e a r B oundary V alu e P ro b lem s, J . I n s t •M ath. A p pl. 11 (1 9 7 2 ), 1 9 1 -2 1 1 .
[9 ] T .R . L u c a s, G.W. R e d ie n , A H igh O rd er P r o je c tio n M ethod f o r N o n lin e a r T w o -p o in t B oundary V alu e P ro b lem s, Num er.M ath. 20
(1 9 7 2 ;, 2 5 7 -2 7 0 .
[10] J . M u s ie la k , W stęp do a n a li z y f u n k c jo n a ln e j, PWN, Warszawa 1 97 6 .
[11] J.M . O rte g a , W.C. R h e in b o ld t, I t e r a t i v e S o lu tio n o f N o n lin e a r E q u a tio n s i n S e v e r a l V a ria b l e s , Academ ic P r e s s , New York 197 0. [12] F.M . P e r r in , H .S . P r ic e , R .S . V a rg a, On H ig h e r -o rd e r N u m erical
METODY RZUTOWO-NEWTONOWSKIE 61 [133 G.W. R ed d ien , A p p ro x im atio n M ethods f o r T w o-poirrt B oundary V alu e P roblem s w ith N o n lin e a r B oundary C o n d itio n s , SIAM .J. N um er.A n a l. 13 ( 1 9 7 6 ) , 4 0 5 -4 1 1 .
[14] R .D . R u s s e l, C o llo c a tio n f o r S ystem s o f B oundary V alue P ro b lem s, Num er.M ath. 23 (1 9 7 4 ), 1 1 9 -1 3 3 .
[15] R .D . R u s s e l, A C o m p arisio n o f C o llo c a tio n and F i n i t e
D if f e r e n c e s f o r T w o -p o in t B oundary V alu e P ro b lem s, SIAM .J. N um er.A n a l. 14 (19773* 1 9 -3 9 .
[16] K. W itsch , K o n v erg en zau ssag en f ttr P r o je k tio n s v e r f a h r e n b e i L in e a r en O p e ra to ra n . Num er.M ath. 27 (1 9 7 7 ), 3 3 9 -3 5 4 .
[17] K. W itsch , P r o j e c t i v e N ew to n -V erfah ren b e i E l l i p t i s c h e n Ran d w e rta u fg a b e n , Num er.M ath. 30 (1 9 7 8 ), 3 3 -3 4 8 .
[18] K. W itsch , P r o je c tiv e N ew to n -V erfah ren und Anwendungen a u f N ic h lin e a r e R an d w ertau fg ab en , N um er.M ath. 31 (1 9 7 8 ), 2 0 9 -2 3 0 . [19] K .A . W itte n b rin k , H igh O rd er P r o j e c t i o n M ethods o f Moment
