Definicje, twierdzenia, podstawowe operacje logiczne
1. W poniższych definicjach wskaż definiendum i definiens:
(a) Piłka jest to przedmiot w kształcie kuli, który służy do gry.
(b) Zbiór liczb naturalnych jest to zbiór składający się z liczb całkowitych dodatnich oraz z zera.
(c) Okrąg jest to brzeg koła.
(d) Zbiór nieskończony to taki zbiór, który jest równoliczny ze swoim właściwym podzbiorem.
(e) Rozmaitość to przestrzeń topologiczna lokalnie przypominająca przestrzeń euklidesową.
(f) Podzbiór zbioru A, który jest od różny od A, nazywamy podzbiorem właściwym A.
(g) Liczba wymierna to taka, którą da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych.
(h) Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna, nazywamy liczbą niewymierną.
(i) Ciało F , takie że dowolny wielomian o współczynnikach z F ma pierwiastki w F , nazywamy ciałem algebraicznie domkniętym,
(j) Krawędź grafu to uporządkowana para wierzchołków tego grafu.
(k) Pętla w grafie, to krawędź będąca parą takich samych wierzchołków.
(l) Średnia arytmetyczna liczb a1, .., an to wartość (a1+ ... + an)/n.
2. Wykorzystując wprowadzone symbole oraz odpowiednie operacje logiczne, zapisz podane twierdzenie w postaci implikacji a następnie wskaż warunek konieczny oraz warunek dostateczny. Zapisz twierdzenie odwrotne, przeciwne i przeciwstawne do zadanego twierdzenia:
(a) Jeśli liczba n kończy się na cyfrę 2 lub 4, to n jest parzysta.
p – ”n kończy się na cyfrę 2”, q – ”n kończy się na cyfrę 4”, r – ”n jest parzysta”
(b) Jeśli proste k i l leżą na jednej płaszczyźnie Π, to proste te przecinają się.
p – ”k leży na płaszczyźnie Π”, q – ”l leży na płaszczyźnie Π”, r – ”k i l przecinają się”
(c) Jeśli n jest liczbą całkowitą podzielną przez 12, to n jest podzielne przez 3 i 4.
p – ”n jest liczbą całkowitą”, q – ”n jest podzielne przez 12”, r – ”n jest podzielne przez 3”, s – ”n jest podzielne przez 4”
(d) Jeżeli n jest liczbą całkowitą, która jest mniejsza od 4 i która nie jest mniejsza od 3, to n jest równe 3
p – ”n jest liczbą całkowitą”, q – ”n jest mniejsze od 4”, r – ”n jest mniejsze od 3”, s – n jest równe 3
(e) Jeśli W jest czworokątem, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym w połowie oraz, którego boki są równej długości, to W jest kwadratem
1
p – ”W jest czworokątem, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym”, q – ”W jest czworokątem, którego przekątne przecinają się w połowie”,
r – ”W jest czworokątem, którego wszystkie boki są równej długości”, s – ”W jest kwadratem”
(f) Jeżeli liczba naturalna n jest większa od 4 lub jest mniejsza od 3, to n może być równe 1 lub n może być równe 2 lub n nie może być równe 3.
p – ”n jest większe od 4”, q – ”n jest mniejsze od 3”, r – ”n jest równe 1”, s – ”n jest równe 2”, t – ”n jest równe 3”
3. Sprawdź, stosując metodę zero-jedynkową, czy dana formuła logiczna jest tauto- logią:
(a) [(p ∨ q) ∧ ¬p] → q (b) (p → q) → [(p ∧ r) → q]
(c) (p → q) → [p → (q ∨ r)]
(d) p → [¬p ∨ q]
(e) [(p ∨ q) ∧ (p → q)] → (q → p) (f) p ∨ [(¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]
(g) ¬[p ∧ (¬p ∧ q)]
(h) p → [(¬q ∧ q) → r]
(i) [(p → q) ∧ (q → p)] → (p ∨ q)
2
