Podstawy matematyki
Weekend nr 1 - zadania domowe
Termin wykonania: 28.10.2020
Rozwiąż dowolne 3 spośród poniższych zadań (za każde zadanie moż- na uzyskać maksymalnie 5 punktów):
1. Wykorzystując wprowadzone symbole oraz odpowiednie operacje logiczne, zapisz podane twierdzenie (część tzw. Twierdzenia Cevy ) w postaci implikacji a następnie wskaż warunek konieczny oraz warunek dostateczny. Zapisz twierdzenie odwrotne, przeciwne i przeciwstawne do zadanego twierdzenia:
Jeśli w trójkącie ABC punkty A0, B0 oraz C0 leżą odpowiednio na bokach BC, CA i AB, oraz |BA|A0C0|· |CB|B0A0|· |AC|C0B0| = 1, to proste AA0, BB0 oraz CC0 przecinają się w jednym punkcie.
p – ”punkty A0, B0 oraz C0 leżą odpowiednio na bokach BC, CA i AB trójkąta ABC”, q – ”|BA|A0C|0|· |B|CB0A|0| ·|C|AC0B|0| = 1”,
r – ”proste AA0, BB0 oraz CC0 przecinają się w jednym punkcie”
2. Sprawdź, stosując metodę zero-jedynkową, czy dana formuła logiczna jest tauto- logią:
(p ∧ q → r) ↔ [p → (q → r)]
3. Dla zadanych zbiorów A, B, C,
A = {2, 5, 7, 9}, B = {2, 5, 6, 7, 8}, C = (8, 9), wyznacz następujące zbiory E, F i G:
E = (A ∪ B0) ∩ (A0∪ C), F = A ∩ (C \ B), G = (A ∩ B) ∪ (A0∩ C)
4. Korzystając z zasady włączania i wyłączania, odpowiedz na poniższe pytanie:
W grupie 4000 osób przeprowadzono badania na temat muzyki, której słuchają. Każdą osobę spytano, czy słucha muzyki klasycznej, hip-hopu, czy disco polo. Okazało się, że każda osoba za- znaczyła przynajmniej jedną odpowiedź. Klasycznej muzyki słuchało 500 osób, hip-hopu 1500, a disco polo 3000. Wszystkich trzech typów muzyki słucha 100 osób, disco polo i klasycznej słucha 200, a klasycznej i hip-hopu 300. Ile osób słucha hip-hopu i disco polo?
5. Zbadaj monotoniczność funkcji:
f : R → R, f (x) = |x + 1| + 7
1
