Ćwiczenia AM II, 22.12/2016 Elementy teorii miary c.d.
Zadanie 1. (”Gruby” zbiór Cantora) Niech (ai) taki, że ai > 0,P∞
i=12i−1ai< 1, I = I0= [0, 1].
Krok 1. Niech A1 - przedział otwarty współśrodkowy z I, |A1| = a1. Zatem I1 := I \ B1 jest sumą dwóch przedziałów rozłącznych domkniętych.
Krok 2. Niech A2 będzie sumą 2 przedziałów otwartych długości a2, współśrodkowych, odpowiednio, z prze- działami z których ”złożony” jest I1. Stąd I2 := I1 \ A2 jest sumą 4 przedziałów domkniętych, rozłacznych.
I tak dalej, za każdym razem wyrzucamy z każdego odcinka odcinek współśrodkowy z nim o długości ai, w i-tym kroku.
Niech C = I \S
Ai. (Dla ai= 1/3i otrzymamy zbiór Cantora, którego miara wynosi 0.) Uzasadnić, że A jest brzegowy i λ(C) > 0.
Zadanie 2. Wykazać, że jeśli przynajmniej jeden ze zbiorów A, B ⊂ R jest miary zero, to produkt A × B ⊂ R2 jest też zbiorem miary zero (względem miary Lebesgue’a na R2).
Zadanie 3. Zbiór Cantora C składa się ze wszystkich liczb postaci
x = X∞ i=1
ci
3i,
gdzie ci ∈ {0, 2}. Rozwinięcie tej postaci jest jednoznaczne (Proszę to uzasadnić). Definiujemy funkcję f : C → R wzorem
f (x) = X∞ i=1
ci
2i+1.
Udowodnić, że funkcja f jest niemalejąca, ciągła i przeprowadza zbiór miary zero na odcinek [0, 1].
Zadanie 4. Wykazać, że dla dowolnego zbioru A ⊂ Rk zachodzi
λz(A) = inf{λ(U) : A ⊂ U, gdzie U ⊂ Rk jest otwarty, }.
Zadanie 5. Niech T : [0, 1) → [0, 1), T (x) = 2x − [2x]. Wykazać, że jeśli A ⊂ [0, 1) jest mierzalny, to T−1(A) też jest mierzalny i ma tę samą miarę.
Zadanie 6. Udowodnić, że jeśli miara zewnętrzna µz: 2X→ [0, +∞] spełnia µz(A ∪ B) = µz(A) + µz(B) dla dowolnych rozłącznych A, B ⊂ X, to µz jest miarą.
Zadanie 7. Wprowadzamy k-wymiarową miarę wewnętrzną Lebesgue’a:
λw(A) = sup{λ(F ) : F ⊂ A, F -domknięty}.
Wykazać, że
(a) λw(∅) = 0; λw(A) ¬ λw(B), jeśli A ⊂ B; λw(S
j∈NAj)P∞
j=1λw(Aj) dla parami rozłącznych zbiorów Aj,
(b) λw(A) = λ(M) dla pewnego zbioru M ⊂ A typu Fσ,
(c) Jeśli E jest zbiorem mierzalnym, to λ(E) = λw(A) + λz(E \ A) dla dowolnego A ⊂ E.
Zadanie 8. Czy miara wewnętrzna jest skończenie addytywna? Ile wynosi miara wewnętrzna zbioru Vitaliego?
Zadanie 9. Wykazać, że λw(A) = λz(A) wtedy i tylko wtedy, gdy A jest mierzalny.
Zadanie 10. Przypuśćmy, że A ⊂ R jest zbiorem mierzalnym o dodatniej mierze. Wykazać, że istnieją x, y ∈ A takie, że x − y ∈ Q.
Zadanie 11. Ile może wynosić miara zewnętrzna zbioru Vitaliego?
1
