MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 389-394, Gliwice 2006
WERYFIKACJA METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNYCH
POWŁOK STOŻKOWYCH
PIOTR PACZOS
JERZY ZIELNICA
Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska
Streszczenie. Materiały, jakich używamy do budowy nowoczesnych konstrukcji, pozwalają na zmniejszenie ich masy przy jednoczesnym zwiększeniu nośności.
Stosuje się materiały izotropowe, ortotropowe oraz anizotropowe. Celem niniejszej pracy jest wyprowadzenie równań stateczności sprężysto–plastycznej otwartej ortotropowej powłoki stożkowej, przedstawienie metodyki rozwiązania tego zagadnienia oraz weryfikacja numeryczna rozpatrywanego problemu stateczności metodą elementów skończonych.
1. WSTĘP
Konstrukcje powłokowe mają wiele zalet, lecz w procesie ich projektowania występują spore trudności. Należy tu wymienić skomplikowany opis modelu matematycznego, który wymusza wprowadzanie uproszczeń, występują również trudności w weryfikacji doświadczalnej rozkładu naprężeń, przemieszczeń czy odkształceń [1].
Celem niniejszej pracy jest weryfikacja numeryczna rozpatrywanego problemu stateczności sprężysto–plastycznej otwartej ortotropowej powłoki stożkowej metodą elementów skończonych oraz przedstawienie metodyki rozwiązania tego zagadnienia. Metoda ta polega na poszukiwaniu przybliżonych rozwiązań problemów brzegowych. Cechą metod przybliżonych jest zastępowanie układu o nieskończonej liczbie stopni swobody układem o liczbie skończonej. Do analizy numerycznej stateczności powłoki wykorzystano system COSMOS/M [4].
2. ROZWIĄZANIE ANALITYCZNO-NUMERYCZNE 2.1. Podstawowe założenia
Przyjęto, że powłoka jest swobodnie podparta na brzegach i poddana działaniu aktywnego obciążenia (nie uwzględnia się odciążenia materiału) w postaci siły podłużnej oraz obciążenia poprzecznego skierowanego prostopadle do powierzchni środkowej powłoki warstwowej.
Każda warstwa może być wykonana z materiału o różnych właściwościach fizycznych w zakresie sprężysto-plastycznym i różnych parametrach geometrycznych [2]. Charakterystyki
plastycznym. Z uwagi na skomplikowaną budowę równań podstawowych i znaczne trudności matematyczne w analizie stateczności wykorzystujemy zasadę prac przygotowanych do wyprowadzenia równań podstawowych, a do rozwiązania zastosowano metodę Ritza.
Rys.1. Dwuwarstwowa powłoka stożkowa
W analizie sprężysto–plastycznej wykorzystuje się teorię przyrostową plastycznego płynięcia Prandtla–Reussa [5].
2.2. Rozwiązanie analityczne
Opierając się na zasadzie prac przygotowanych, mamy następujące równanie określające zachowanie się powłoki w stanie odkształconym
, 0 )
( + =
= +− z
p W L
U δ
δ (1)
gdzie W jest energią odkształcenia zgromadzoną w powłoce w stanie odkształconym i +− wyrażoną przez składowe stanu odkształcenia, Lz jest pracą sił zewnętrznych. Równanie (1) jest poprawne zarówno dla stanów przedkrytycznych, jak i pozakrytycznych.
Postępując zgodnie z metodą Ritza, według której pochodne cząstkowe energii potencjalnej układu odkształconego względem parametrów swobodnych funkcji przemieszczeń A są i równe zeru, otrzymujemy układ trzech niejednorodnych algebraicznych równań nieliniowych względem parametrów Ai (i=1,2,3). Równania te opisują aktualny krytyczny układ obciążeń powłoki w stanie sprężysto – plastycznym:
( )
. a
a
~
2 1 31 3 33 2 32 1 31
2 1 21 3 23 2 22 1 21
15 3 1 14 2 1 13 3 1 12 2 1 11 3 13 2 12 1 11 11
A b A a A a A
A b A a A a A
qb A A b A A b A b A b A a A a A a N
a a
= +
+
= +
+
+ +
+ +
= +
+ +
(2)
Układ równań (2) rozwiązany ze względu na współczynnik funkcji ugięcia A1 przyjmuje ostateczną postać:
5 1 4
3 1 3 2 1 2 1 1
~
~
~
~
~
e A e
A e A e A q e
+ +
= +
κ (3)
oraz Na =κqs1 (4) Równanie stateczności (3), będące rezultatem analizy teoretycznej, jest przestępne i nie ma ścisłego rozwiązania, ponieważ współczynniki e~ zależą od obciążenia q. i
2.3. Rozwiązanie numeryczne
W rozpatrywanym zagadnieniu współczynniki w równaniu stateczności (3) są zmienne i zależą od obciążenia zewnętrznego, więc obliczenia numeryczne prowadzone będą na drodze iteracyjnej za pomocą specjalnie opracowanego algorytmu. W związku z tym, że równanie (3) nie ma ścisłego rozwiązania, przyjmujemy następujący tok postępowania, zmierzający do określenia górnego
(
q ,+ Na+)
i dolnego(
q ,− Na−)
obciążenia krytycznego:Rys.2. Schemat blokowy toku rozwiązania równania stateczności
Efektem działania programu jest wyznaczenie wartości obciążenia poprzecznego q oraz siły wzdłużnej Na w funkcji ugięcia powłoki. Ze względu na przestępny charakter i zawiłość równania stateczności procedura numeryczna jest rozwiązaniem iteracyjnym.
3. WERYFIKACJA METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
Analizę porównawczą rozpatrywanego problemu stateczności powłoki przeprowadzimy za pomocą metody elementów skończonych. Do analizy stateczności powłoki zastosowano program COSMOS/M. Analizowane cienkościenne ortotropowe, warstwowe wycinki powłoki stożkowej dyskretyzowano za pomocą czworokątnego elementu wielowarstwowego (maksimum 50 warstw) SHELL4L o 4 węzłach w stanie membranowym i zgięciowym.
Element ten stosowany jest do analizy struktur trójwymiarowych. Posiada 6 stopni swobody w węźle (trzy przemieszczenia i trzy obroty) [3]. Rozpatrywany wycinek dwuwarstwowej powłoki stożkowej został podzielony na 2500 elementów typu SHELL4L, połączonych 2601 węzłami (dla obu warstw - zewnętrznej i wewnętrznej powłoki).
nośnej o wartości q=0.01 MPa i siłą ściskającą wzdłuż tworzącej równą Na=100 kN/m, jak pokazuje rys. 1. Siły te narastały liniowo od zera do maksymalnych obciążeń.
Przyjęto następujące wymiary geometryczne:
L = 1 m - długość tworzącej powłoki, rs = 1.4 m - średni promień powłoki, tt = 0.005 m - grubość warstwy zewnętrznej, cc = 0.003 m - grubość warstwy wewnętrznej, α = 45o - kąt wierzchołkowy powłoki, β = 35o - kąt rozwartości powłoki oraz właściwości materiałowe dla obu warstw:
0,25,
MPa, 10 83 , 1 MPa, 10 5 ,
5 ⋅ 3 = ⋅ 3 =
= yi xy
xi E
E ν
MPa, 1034
MPa,
1034 =
= xci
xti σ
σ
, 2 , 1 dla MPa, 138
MPa, 7 ,
27 = =
= yci i
yti σ
σ
MPa.
3 ,
=41 τtci
Wyniki uzyskane metodą analityczno – numeryczną zostały zweryfikowane za pomocą metody elementów skończonych programem COSMOS/M dla zakresu sprężystego. Procedura numeryczna wpisuje do pliku wynikowego wiele parametrów przydatnych do dalszej analizy, np. dla każdego kąta α - parametr ξ (parametr ugięcia dla wmax), współrzędną maksymalnego ugięcia - s(wmax), oraz wartości naprężeń dla dwudziestu punktów wzdłuż tworzącej.
Rys.3. Przekrój osiowy dwuwarstwowej powłoki stożkowej
Z opracowanej procedury numerycznej dla odpowiednio przyjętych właściwości materiałowych i wymiarów geometrycznych otrzymaliśmy wartość parametru A1max=2,05457 m-1 i współrzędną maksymalnego ugięcia (miejsce na tworzącej powłoki) równą s(wmax)= 2,058 m. Po przeliczeniu uzyskano wartość maksymalnego ugięcia (rys.4.), które dla przyjętego obciążenia (rys.1.) i odpowiednich warunków brzegowych (swobodne podparcie) wyniosło
mm 16 ,
max =1
w .
Porównywana powłoka złożona była z dwóch warstw o równych grubościach t=10 mm i c=10 mm.
Rys.4. Przebieg ugięcia powłoki jako funkcji położenia s wzdłuż tworzącej – wyniki niniejszego opracowania
Wyniki dotyczące ugięć powłoki wzdłuż tworzącej s (dla ϕ = 17°) uzyskane za pomocą metody elementów skończonych są porównywalne i bliskie tym, które otrzymano metodą analityczną. Poniżej na rys. 5 (a) przedstawiona jest ilustracja powłoki z warstwicami ugięcia w. Odczytując wartość ugięcia dla współrzędnej s(wmax) =2058mm, a mierząc od początku mniejszego brzegu krzywoliniowego powłoki L(wmax)=558 mm (rys. 5), otrzymujemy wynik równy wmax =1,22mm.
Odległość mierzona od początku mniejszego brzegu krzywoliniowego powłoki L(wmax)=558 mm (mierząc od mniejszej podstawy stożka) odpowiada maksymalnemu ugięciu wmax.
Rys.5. Rozkład warstwic ugięcia w otwartej powłoce stożkowej (a) i przebieg przemieszczenia wzdłuż tworzącej dla ϕ = 17° (b) – metoda elementów skończonych
(a)
(b)
Różnica wyników dotyczących przebiegu ugięcia w pomiędzy zamodelowaną powłoką w programie COSMOS/M a rezultatami obliczeń analitycznych wynosi maksimum około 5%.
Można zatem stwierdzić, że uzyskane wyniki są poprawne, a niewielkie różnice mogą wynikać z samego procesu modelowania, np. przyjęcia określonych funkcji opisujących przemieszczenia w rozwiązaniu analitycznym i przyjętego podziału siatki MES.
Przedstawiona w niniejszej pracy metoda rozwiązania nieliniowej utraty stateczności sprężysto–plastycznej dwuwarstwowej ortotropowej powłoki stożkowej jest metodą analityczno – numeryczną i pewne jej wyniki zostały zweryfikowane przy użyciu metody elementów skończonych. Obliczenia numeryczne zrealizowano stosując specjalnie opracowany algorytm do iteracyjnego obliczania obciążeń krytycznych i ścieżek równowagi oraz za pomocą programów umożliwiających prowadzenie przekształceń symbolicznych. Istotną cechą rozwiązania jest to, że opracowana procedura jest uniwersalna i jest skuteczna zarówno w zakresach sprężystych jak i plastycznych. Wyniki dotyczące rodzaju wyboczenia powłoki czy rozkładu naprężeń w poszczególnych warstwach otrzymano za pomocą profesjonalnego systemu COSMOS/M. Pomimo pracochłonnych obliczeń i złożoności problemu uzyskane wyniki są zwarte i łatwe do wykorzystania w praktyce inżynierskiej.
LITERATURA
1. Grądzki R., Kowal-Michalska K., Wpływ doboru warstw na stateczność i nośność ortotropowych płyt pięciowarstwowych, Stability Of Structures XTH Symposium, Zakopane, wrzesień 2003.
2. Paczos P., Zielnica J., Stability of Inelastic Bilayered Conical Shells, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 41, 3, p. 575-591, Warsaw 2003.
3. Pilkey W.D., Formulas for stress, strain, and structural matrices, Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons, Inc., 1994, p. 27
4. Woo K.S., Hong C.H., Basu P.K., Materially and geometrically nonlinear analysis of laminated anisotropic plates by p – version of FEM, Computer & Structures, 81 (16), 1953 – 1662, July 2003.
5. Zielnica J., Stateczność powłok sprężysto – plastycznych, Wydanie I, Poznań: WPP, 2001, s. 258
APLICATION OF THE FINITE ELEMENT METHOD TO VERIFY A STABILITY PROBLEM
OF THE ELASTIC-PLASTIC CONICAL SHELLS
Summary. The materials used in the design process of modern structures make possible to decrease their weight and simultaneous increase of the load capacity.
One can find isotropic, orthotropic and anisotropic materials in common use. The objective of this elaboration is to derive the stability equations of elastic–plastic orthotropic open conical shell, also presentation of the solution and numerical verification of the problem by the finite element method.
