MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych

MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych

Jerzy Pamin e-mail: JPamin@L5.pk.edu.pl

Podziękowania:

P. Mika, A. Winnicki, A. Wosatko

ADINA R&D, Inc.http://www.adina.com ANSYS, Inc. http://www.ansys.com TNO DIANA http://www.tnodiana.com FEAP http://www.ce.berkeley.edu/feap

Tematyka zajęć

Nieliniowość fizyczna

Teoria plastycznego płynięcia

Zastosowania - deformacje plastyczne Uwagi końcowe

Literatura

[1] R. de Borst and L.J. Sluys. Computational Methods in Nonlinear Solid Mechanics. Lecture notes, Delft University of Technology, 1999.

[2] G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanice kostrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005.

[3] M. Jir´asek and Z.P. Baˇzant. Inelastic Analysis of Structures. J. Wiley &

Sons, Chichester, 2002.

Analiza przyrostowo-iteracyjna

Nieliniowy problem:

fext przykładane w przyrostach t → t + ∆t → σ^t+∆t= σ^t+ ∆σ Równowaga w chwili t + ∆t:

ne

X

e=1

A^{e T} Z

V^e

B^Tσ^t+∆tdV = f_ext^t+∆t

n_e

X

e=1

A^{e T} Z

V^e

B^T∆σ dV = f_ext^t+∆t− f_int^t gdzie: f_int^t =Pne

e=1A^{e T}R

V^eB^Tσ^tdV Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t:

∆σ = ∆σ(∆(∆u)) Układ równań dla przyrostu:

K ∆u^g = f_ext^t+∆t− f_int^t

Nieliniowość fizyczna

K ∆u^g = f_ext^t+∆t− f_int^t Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t:

∆σ =∆σ(∆(∆u))

∆σ = ^∂σ_∂
^t _∂

∂u

^t

∆u D =^∂σ_∂, L = ^∂_∂u

Dyskretyzacja: ∆u = N∆u^e

Liniowe związki geometryczne → macierz dyskretnych związków kinematycznych B = LN niezależna od przemieszczeń

Styczna macierz sztywności K =

n_e

X

e=1

A^{e T} Z

V^e

B^TDB dV A^e

Uplastycznienie materiału

A B C

przemieszczenie siła

P

A

+

-

σy

σy

σy

σy

σy

σy

+

- -

+ C B

zakres sprężysty

pełne uplastycznienie pełne uplastycznienie zakres sprężysty

Teoria płynięcia plastycznego [1,3]

Nośność materiału nie jest nieskończona, przy deformacji powstają odkształcenia trwałe

Pojęcia teorii plastyczności

I Funkcja plastyczności f (σ) = 0

- określa granicę zachowania sprężystego

I Prawo płynięcia plastycznego ˙^p= ˙λm - określa prędkość odkształceń plastycznych

˙λ - mnożnik plastyczny

m - kierunek płynięcia plastycznego

(zazwyczaj stowarzyszony z funkcją płynięcia m^T= n^T= _∂σ^∂f)

I Wzmocnienie plastyczne f (σ − α, κ) ¬ 0 kinematyczne (κ = 0) lub izotropowe (α = 0)

I Warunki obciążenie-odciążenie:

f ¬ 0, ˙λ ­ 0, ˙λf = 0 (odciążenie jest sprężyste)

Teoria płynięcia plastycznego

Deformacja materiału zależy od historii obciążenia, zatem związki konstytutywne są zapisywane w prędkościach.

Płynięcie plastyczne gdy f = 0 i ˙f = 0

(warunek zgodności plastycznej) Dekompozycja addytywna

˙ = ˙^e+ ˙^p

Odwzorowanie bijekcyjne

˙

σ = D^e˙^e

Wykorzystując prawo płynięcia

˙

σ = D^e( ˙ − ˙λm)

Zgodność procesu plastycznego

˙f = _∂σ^∂fσ +˙ _∂κ^∂f ˙κ

Moduł wzmocnienia h = −¹_˙

λ

∂f

∂κ˙κ

Podstawiając ˙σ do równ. zgodności n^Tσ − h ˙λ = 0˙

oblicza się mnożnik plastyczny

˙λ = ^nTDe˙

h+n^TD^em

Macierzowe równanie konstytutywne

˙ σ =h

D^e−_h+n^DemnT^TD^Dem^e

i

˙

Operator styczny D^ep= D^e−_h+n^DemnTD^TDem^e

Całkowanie po czasie niezbędne na poziomie punktu

Teoria Hubera-Misesa-Hencky’ego

Najczęściej stosowana jest teoria Hubera-Misesa-Hencky’ego (H-M-H), oparta na skalarnej mierze energii odkształcenia postaciowego.

Dla małych odkształceń zakłada się addytywność ich przyrostów:

˙ = ˙^e+ ˙^p

I Funkcja płynięcia

np. ze wzmocnieniem izotropowym f (σ, κ) =p3J₂^σ− ¯σ(κ) = 0 κ - miara odkształcenia plastycznego ( ˙κ = ¹_¯σσ^T˙^p= ˙λ)

I Prawo płynięcia plastycznego

˙^p= ˙λ_∂σ^∂f

I Prawo wzmocnienia izotropowego np. liniowe

¯

σ(κ) = σy + hκ h - moduł wzmocnienia

Wykresy siła-przemieszczenie

Idealna plastyczność Plastyczność ze wzmocnieniem

Teoria plastycznego płynięcia

Funkcje plastyczności dla metali:

Coulomba-Tresci-Guesta i Hubera-Misesa-Hencky’ego

Funkcje plastyczności niezależne od ciśnienia

Teoria plastycznego płynięcia

Funkcje plastyczności dla gruntów:

Mohra-Coulomba i Burzyńskiego-Druckera-Pragera

Funkcje plastyczności zależne od ciśnienia

Powierzchnie „plastyczności” dla betonu

Płaski stan naprężenia

Eksperyment Kupfera

Funkcja ”plastyczności” Rankine’a: f (σ, κ) = σ₁− ¯σ(κ) = 0 Miara odkształcenia zarysowania κ = |^p|

Algorytm komputerowej plastyczności

Algorytm powrotnego odwzorowania

→algorytm Eulera „wstecz” (bezwarunkowo stabilny) 1. Obliczyć sprężysty predyktor

σ_tr = σ^t+ D^e∆

2. Sprawdzić, czy f (σ_tr, κ^t) > 0 ? Jeśli nie, to stan sprężysty σ = σtr

Jeśli tak, to stan plastyczny, obliczyć plastyczny korektor

σ = σtr− ∆λD^em(σ) f (σ, κ) = 0

(układ 7 równań nieliniowych na σ, ∆λ) Obliczyć κ = κ^t+ ∆κ(∆λ)

σ σ

σ

f = 0

Iteracyjne poprawki są konieczne, chyba, że powrót odbywa się po promieniu i wzmocnienie jest liniowe.

Brazylijski test rozłupywania

Sprężystość, płaski stan odkształcenia

Deformacje, naprężenie pionowe σyy i niezmiennik naprężenia J₂^σ

Brazylijski test rozłupywania

Sprężystość, zależność naprężeń od siatki

Naprężenia σyy dla rzadkiej i gęstej siatki

Naprężenia pod siłą zmierzają do nieskończoności (zależność rozwiązania od gęstości siatki) - rozwiązanie sprzeczne z fizyką

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowa deformacja i naprężenie σyy

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowe odkształcenie _yy i niezmiennik J₂^

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Displacement 0

200 400 600 800

Force

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Displacement 0

200 400 600 800

Force

This is correct!

Dla elementu czterowęzłowego wykres siła-przemieszczenie wykazuje wzmocnienie na skutek blokady objętościowej, bo plastyczność H-M-H zawiera więz nieściśliwości plastycznej, którego nie potrafi odtworzyć poprawnie model MES

Element ośmiowęzłowy nie wykazuje blokady

Brazylijski test rozłupywania

Sprężystość, płaski stan odkształcenia, elementy 8-węzłowe

Deformacje, naprężenie pionowe σ_yy i niezmiennik naprężenia J₂^σ

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowa deformacja i naprężenie σ_yy

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowe odkształcenie yy i niezmiennik J₂^

Plastyczność Burzyńskiego-Druckera-Pragera

I Funkcja plastyczności ze wzmocnieniem izotropowym

f (σ, κ) = q + α p − βc_p(κ) = 0 q =√

3J₂- dewiatorowa miara napr.

p = ¹₃I₁- ciśnienie hydrostatyczne α = _{3−sin ϕ}^{6 sin ϕ} , β = _{3−sin ϕ}^{6 cos ϕ}

ϕ - kąt tarcia wewnętrznego c_p(κ) - kohezja

I Potencjał plastyczny f^p= q + α p α = _{3−sin ψ}^{6 sin ψ}

ψ - kąt dylatacji

Niestowarzyszone prawo płynięcia

˙^p= ˙λm, m = ^∂f_∂σ^p

I Miara odkształceń plastycznych

˙κ = η ˙λ, η = (1 +²₉ α²)¹²

I Moduł wzmocnienia kohezji h(κ) = ηβ ^∂c_∂κ^p

c_p q

p HMH

BDP

ϕ

Dla sin ϕ = sin ψ = 0 otrzymuje się funkcję Hubera- Misesa-Hencky’ego.

Symulacja niestateczności zbocza

Gradientowa plastyczność Burzyńskiego-Druckera-Pragera

Ewolucja miary odkształceń plastycznych

Uwagi końcowe

1. Konsystentna linearyzacja równań zapewnia kwadratową zbieżność procedury Newtona-Raphsona.

2. W projektowaniu akceptuje się zazwyczaj połączenie liniowo sprężystych obliczeń statycznych celem wyznaczenia naprężeń (sił przekrojowych) z analizą stanów granicznych uwzględniających uplastycznienie lub zarysowanie.

3. W obliczeniach nieliniowych szacuje się mnożnik obciążenia, przy którym następuje uszkodzenie/zniszczenie/utrata stateczności konstrukcji - ma on interpretację globalnego współczynnika bezpieczeństwa, więc obliczenia powinno się prowadzić dla średnich wartości obciążeń i wytrzymałości.