Utrata stateczności segmentu powłoki cylindrycznej [1]

Modelowanie zagadnień wyboczenia

Wykład 6 z SOKI, specjalość BIM

Jerzy Pamin

e-mail: Jerzy.Pamin@pk.edu.pl

Katedra Technologii Informatycznych w Inżynierii Politechnika Krakowska

Podziękowania dla M. Radwańskiej i P. Plucińskiego

SOKI, BIM, 2020

Wyboczenie konstrukcji prętowej - powtórzenie

Sztywność giętna jest zwiększana przez siłę rozciągającą, a zmniejszana przez ściskającą.

Dostatecznie duża siła ściskająca redukuje sztywność na zginanie do zera powodując wyboczenie.

Założenia liniowej teorii Eulera:

I obciążenie statyczne jednoparametrowe

I liniowa sprężystość

I układ idealny (bez imperfekcji) Nie zakłada się zasady zesztywnienia (równowaga w konfiguracji odkształconej).

PP_kr

v v

P P_kr

z imperfekcją

(K + λK^∗_σ)v = 0 → λmin, v K^∗_σ - macierz wstępnych naprężeń (geometryczna) Algorytm:

1. Stan przedwyboczeniowy dla obciążenia konfiguracyjnego p^∗ Kd^∗ = p^∗ → d^∗, N^e∗, K^e∗_σ , K^∗_σ

2. Problem własny do wyznaczenia obciążenia krytycznego pkr = λkrp^∗ i formy wyboczenia v = ∆d

Utrata stateczności segmentu powłoki cylindrycznej [1]

Zagadnienie silnie nieliniowe - przeskok

Ly

R

y Lx

z B

A

C

x 4 Λ P^∗

f

Powłoka sprężysta mało wyniosła

P [kN]

20

10 30 40

0

wC[mm]

(3)h

=12.70

(4)h

= 15.88

h⁽¹⁾=6.35

(5)h

= 19 .05

h⁽²⁾

=9.53 U

S1

L S2

0 2 4 6

H = 12.5

SOKI, BIM, 2020

Zagadnienie geometrycznie nieliniowe w MES [2]

Równowaga układu zdyskretyzowanego

K_T ∆ˇu = ∆f = f_ext^t+∆t− f_int^t Styczna macierz sztywności

K_T = K₀+ K_u+ K_σ K₀ - macierz sztywności liniowej

K_u - macierz sztywności przemieszczeniowej

(macierz dyskretnych związków kinematycznych B zależna od przemieszczeń)

K_σ - macierz sztywności naprężeniowej (zależna od naprężeń uogólnionych)

Założono sprężystość materiału

Równowaga układu zdyskretyzowanego

K_T∆ˇu = f_ext^t+∆t− f_int^t → ∆ˇu

∆ = B ∆ˇu = [B_L+ B_N(ˇu)] ∆ˇu , ∆g = Γ ∆ˇu g - gradient przemieszczenia

∆σ = D ∆ , σ^t+∆t = σ^t+ ∆σ Wzory na macierze elementowe

K^e_T = K^e₀+ K^e_u+ K^e_σ K^e₀ =

Z

V^e

B^TD B dV , K^e_σ = Z

V^e

Γ^TS(σ) Γ dV K^e_u = K^e_u1(ˇu) + K^e_u2(ˇu, ˇu) =

= Z

V^e

B^T_LD B_N + B^T_ND B_L
dV + Z

V^e

B^T_ND B_NdV

f_int^e = Z

V^e

(B_L+ B_N)^Tσ dV

SOKI, BIM, 2020

Warunki utraty stateczności

Dla jakiego λ wystąpi stan krytyczny na ścieżce równowagi K_T∆ˇu = ∆f = ∆λf^∗

u λ

B

L Standardowy probem własny

(K_T − κI)w = 0 → κ₁, w₁ κ₁ = 0 ⇔ λ₁ = λ_kr

Warunki stanów krytycznych Obc. gran. L ∆λ = 0, w^T₁f^∗ 6= 0 P. bifurk. B ∆λ 6= 0, w₁^Tf^∗ = 0 Bifurkacja stanów równowagi - uogólniony problem własny

−

 K_T∆ˇu₁ = ∆λf^∗

K_T∆ˇu₂ = ∆λf^∗ ⇒ K_Tv = 0 Kryterium stanu krytycznego (v 6= 0) → det K_T = 0

Zał. liniowe rozwiązanie odniesienia ˇu^∗ = K⁻¹₀ f^∗, ˇu = λˇu^∗, σ = λσ^∗ Zlinearyzowany warunek wyboczenia

Analiza wyboczenia powłoki walcowej z żebrem pierścieniowym pakietem ABAQUS (Chojnacki [3])

p^∗ = 1 kPa, λ_kr = 2.62

p^∗ = 1 kN/m, λ_kr = 766

SOKI, BIM, 2020

Analiza wyboczenia powłoki walcowej (Chojnacki [3])

Wyboczenie powłoki idealnej

Analiza wyboczenia powłoki walcowej (Chojnacki [3])

Przed punktem granicznym

Pod koniec ścieżki równowagi

Rozkłady naprężenia zastępczego HMH

Wyboczenie powłoki z imperfekcją o amplitudzie 2 mm

SOKI, BIM, 2020

Literatura i pytania

Literatura

[1] M. Radwańska, A. Stankiewicz, A. Wosatko, J. Pamin. Plate and Shell Structures. Selected Analytical and Finite Element Solutions. John Wiley & Sons, 2017.

[2] Z. Waszczyszyn, C. Cichoń, M. Radwańska. Stability of Structures by Finite Elements Methods. Elsevier, 1994.

[3] M. Chojnacki. Projekt zbiornika stalowego i nieliniowa analiza wyboczenia powłoki z imperfekcjami. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, Kraków, 2014.

Pytania

1. Podać założenia liniowej teorii wyboczenia. Jakim wzorem wyraża się początkowy problem wyboczenia? Co stanowi rozwiązanie tego problemu? Jaki jest wpływ imperfekcji na analizę wyboczenia?

2. Z jakich macierzy składa się w analizie geometrycznie nieliniowej operator styczny? Jak wyprowadza się problem własny wyboczenia z warunku bifurkacji stanów równowagi?