sn to

Pierścienie całkowite i NWD

Def. Liczba D



Z nazywa się liczbą bezkwadratową jeżeli jest niepodzielna przez kwadrat liczby pierwszej.

Jeżeli D



Z jest liczbą bezkwadratową to ^Q

 

^{D }



^{pq D:p,qQ}



jest podciałem ciała liczb zespolonych w którym można wprowadzić operację sprzężenia pq D pq D. Jeżeli ^a,bQ

 

^D to abab abab abab dla dowolnej liczby bezkwadratowej D



Z.

Te własności można łatwo wyrachować.

Jeżeli ^cQ

 

^D jest pierwiastkiem równania ^{x2 axb0 a,bQ} to c jest również pierwiastkiem tego równania, ponieważ:

b c a c b ac c b ac c b

ac

c²  000 ²   ²   ²  gdyż dla

b b a a Q b

a,   

Analogicznie dowodzi się, ze jeżeli ^cQ

 

^D jest pierwiastkiem wielomianu f(X)Q

 

X to c jest również pierwiastkiem tego wielomianu. Ponadto jeżeli c



c _to

) ( ) )(

2 aX b (X c X c f X

X      i z wzorów Vietty mamy cc a cc b. Def. Element ^{ Q}

 

^D nazywamy elementem całkowitym jeżeli

Z oraz

Z 



 



Jest to równoważne własności, że wielomian f(X)(X )(X )Z[X]. Zbiór wszystkich elementów całkowitych oznaczać będziemy przez Q

 

D C. Z definicji natychmiast wynika, że

   

^{D Q D C}

Z  .

Twierdzenie.

   

) 4 (mod 1 2

D Z 1

)4 (mod 3 ) 4 (mod 2

 

 



 



 



 







 dla D

D D

dla D

Z D

Q

_C

Dowód. Niech D Q

 

D C

s t q

a p¹  ¹  . Zatem p₁,q,t₁,sZ. Można założyć, że 1

, 1 ) , (

1 ) ,

(p₁ q  NWD t₁ s  q s NWD

Ponieważ aaZ aaZ mamy p Z q

a p

a  2 ¹  ₂

Stąd ^{q2 p1} w pierścieniu Z . Z podstawowego twierdzenia z arytmetyki i z faktu, że NWD(p₁,q)1 mamy ^q2 a więc

2

1  

 q

q . W przypadku ^q1 biorąc p 2 p1 a przypadku ^q2 biorąc p p1

mamy, że p p Z

q

p   2

1 .

Ponieważ Z

4 2

2 ²

2 1 2 1

1    



 

 



 

 

 D k

s t D p

s t D p

s t a p

a mamy p k Z

s D

t

  4 

4

2

2 2

1 .

Oznacza to, że ^{s t}1^D

2 4 w pierścieniu Z . Gdyby istniała liczba pierwsza nN n2 taka, że ^ns to NWD(4t₁,n²)1 i ^{n t}1^D

24 . Z podstawowego twierdzenia z arytmetyki

D

n² . Jest to niemożliwe gdyż D jest liczbą bezkwadratową. Stąd s2^m m0 i D

m t

1

2 4

2 . Gdyby m2 to ^{2m D} co jest niemożliwe gdyż D jest liczbą bezkwadratową.

Wystąpić mogą przypadki s 1  s 2. W przypadku s1 biorąc t  2t1 a przypadku

2

s biorąc t  mamy, że t1 t t Z s

t

  2

1 .

Z powyższego wnioskujemy, że element całkowity może być co najwyżej postaci

 

^{D p t Z}

Q t D

a p  _C , 

2 2

Wtedy p t D k pt Z

t D D p

t a p

a     



 

 



 

 

 Z ,

4 4 2

2 2

2

2 2

Każde rozwiązanie w liczbach całkowitych ze względu na zmienne ^p,tZ równania k

D t

p²  ² 4 (**) da nam liczbę całkowitą p t D Q

 

DC

a  

2

2 .

Jeżeli istnieje rozwiązanie w liczbach całkowitych to po redukcji modulo 4 tego równania w Z 4

też będzie istniało rozwiązanie. Jeżeli po redukcji w Z nie będzie istniało rozwiązanie to 4

równanie (**) nie będzie miało rozwiązania.

4 4

2

2 ) (4 )

(p t D  k

0 ) ( . ) ( )

(

₄

44 2 4 4

2



t D



p gdzie (a)₄ aZ reszta z dzielenia liczby

a

przez 4.

Dla dowolnych ^p,tZ reszty kwadratowe modulo

4

przyjmują wartości 0,1 tzn.

 

0,1 )

( , )

(p² ₄ t² ₄

1

0

Jeżeli D2(mod4)D3(mod4) to (D)₄

 

2,3 . Mogą wystąpić przypadki a). (t²)₄ 1 to

( ) . ( )

₄

  2 , 3

44

2 D



t . Zbiór ten jest rozłączny z zbiorem (p²)₄

 

0,1 co oznacza, że w tym przypadku nie ma rozwiązań.

b). (t²)₄ 0 to

( ) . ( )

₄

  0

44

2 D



t co oznacza (p²)₄ 0. Wtedy ^{p2c t 2g c,gZ} i

Z g c D g c

a  ,  . Wszystkie liczby tej postaci są elementami całkowitymi. Oznacza to

 

^{D Z}

 

^D

Q _C  .

2

0 Jeżeli D 1(mod4) to (D)₄ 

 

1 . Mogą wystąpić przypadki a). (t²)₄ 0 to

( ) . ( )

₄

  0

44

2 D



t co oznacza (p²)₄ 0. Wtedy ^{p2c t 2g c,gZ} i

Z g c D g c

a  ,  . Wszystkie liczby tej postaci są elementami całkowitymi. Oznacza to

   

D Q D C

Z 

b). (t²)₄ 1 to

( ) . ( )

₄

  1

44

2 D



t co oznacza, że (p²)₄ 1.

Wtedy ^{p2c1 t 2g1 c,gZ}. Nie wszystkie wynikłe tutaj rozwiązania muszą dawać elementy całkowite. Wstawiając uzyskane postacie do równania wyjściowego (**) i biorąc

1

4 

 h

D otrzymamy:

k h

g

c 1) (2 1) (4 1) 4 2

(  ²  ²  

g k h g

c

     

4

) 1 2 ( 4 ) 1 2 ( ) 1 2

(

^{2 2 2}

k h g g

c



²

 

²

 

₂

 ) 1 2 4 (

) 1 2 ( ) 1 2 (

k h g g

c g

c   (2 1)2  4

) 2 2 2 )(

2 2 (

k h g g

c g

c )(  1)(2 1)²  (

Przy ustalonym h dla zmiennego parametru ^{k (cg)(cg1)(2g1)2h} dowolne liczby Z

g

c,  będą rozwiązaniami ostatniego równania.

W przypadku D1(mod4) otrzymujemy, że ^a ^p ^{t D}^Q

 

^D C ^p,^t^Z 2

2 wtedy i

tylko wtedy liczby całkowite p, są równocześnie są parzyste lub równocześnie nieparzyste t

wtedy i tylko wtedy gdy D b t Z

t b a t b p Z b b t

p          ,  2

2 1

2 .

Liczby tej postaci są wszystkimi elementami całkowitymi i tworzą podpierścień pierścienia

 

^D

Q ponieważ: jeżeli D a b c d Z

D d b

a    , , , 

2 c 1

, 2

1 to

a). ^{a b1} ₂^{D c d1} ₂^D_^{ac(bd)1}₂^D



 



  





 



  

b). _^_^{   }_^_^{  } _^







  







   b b d d D

D a D d

b

a D c 2 2

2 2 2

c 1 2 1

2 )1 4 (

) 1

(D ad cb bd D

acbd     

jest elementem całkowitym ponieważ D1(mod4) a więc D Z 4

1 .

Liczby tej postaci tworzą pierścień D Q

 

D C

Z 



 



  2 1

Wniosek. Podzbiór ^Q

 

^D C ^Q

 

^D składający się z elementów całkowitych jest podpierścieniem pierścienia ^Q

 

^D .

Twierdzenie.(Stark-Heegner, [Stark]) Jeśli D0 jest liczbą bezkwadratową to

Pierścień elementów całkowitych Q

 

D C jest pierścieniem ideałów głównych ( PIG) wtedy i tylko wtedy, gdy D



1,2,37,11,19,43,67,163



Skomplikowany dowód tego twierdzenia znajduje się w 27-mio stronicowej pracy Starka .

[Stark] H. M. Stark, A complete determination of the complex quadratic fields of class-number one, Michigan Math. J. Volume 14, Issue 1 (1967), p.1-27

W pracy [Perić-Vuković] autorzy pokazują, że dla D



1,2,37,11



pierścień Q

 

D C

jest pierścieniem Euklidesowym z normą daną wzorem N(a)aa.

[Perić-Vuković] V. Perić, M. Vuković, Some examples of principal ideal domain which are not euclidean and some other counterexamples, Novi Sad J. Math. Volume 38, No. 1 (2008), p.137-154 Ponadto, w tej samej pracy jest udowodnione, że dla D



19,43,67,163



pierścień

 

D C

Q jest dziedziną ideałów głównych, w którym nie można wyposażyć w strukturę pierścienia Euklidesa.

Dla liczby bezkwadratowej D dodatniej wszystkimi pierścieniami Euklidesowymi są pierścienie dla D



2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73



. W przypadku pierścieni ideałów głównych nie są znane wszystkie pierścienie tej postaci i nawet nie wiadomo czy jest ich skończona liczba.

Dla dowolnej liczby bezkwadratowej D w pierścieniu Q

 

D C dowolny ideał ma co najwyżej dwa generatory.

Na ćwiczeniach pokazaliśmy przykład, że elementy ^{a4 b22 3} w pierścieniu



^3



Z

nie mają NWD a stąd nie jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu a tym bardziej nie jest pierścienie ideałów głównych czy Euklidesa.

Ponieważ Z

 

Z Q



3



C

2 3

3 1  



 



  



 to z powyższego twierdzenia wynika, że te liczby

mają NWD w pierścieniu 



 



   2

3

Z 1 gdyż jest pierścieniem ideałów głównych i Euklidesa a więc pierścieniem z jednoznacznością rozkładu. W pierścieniu z jednoznacznością rozkładu NWD istnieje zawsze dla dowolnych elementów, różnych od zera.

Jaki jest ^{NWD(4,22 3)?} w pierścieniu 



 



   2

3 Z 1

Ponieważ 



 



  





 



  









 



2 3 1 2

3 1 1

0 2 3

1 2 1 4

3 2

2 Z to z algorytmu Euklidesa

wynika, że ^{NWD(4,22 3)4} Również



 



  









  









 

 











 



 2

3 1 2

3 1 1

1 2 3

1 2 1 16

3 8 8 ) 3 2 2 )(

3 2 2 (

) 3 2 2 ( 4 3

2 2

4 Z

to ^{NWD(4,22 3)22 3}.

Oznacza to, że te elementy są stowarzyszone i tak jest ponieważ ⁴ ₂¹ ₂^{1 3}



^{22 3}





 



  

 i

3 2 2 2 3

1 2

4 1   



 



   oraz ³

2 1 2 3 1

2 1 2

1  ¹  



 



  



.

Wspólne dzielniki liczb a4 b22 3 w pierścieniu ^Z



^3



to



^{1,2,1 3}



. Dzielniki te z definicji dzielą ^{NWD(4,22 3)22 3~4} w

pierścieniu 



 



   2

3 Z 1