Zachowanie się podłoża gruntowego Obciążany ośrodek gruntowy zachowuje się w sposób sprężysto-plastyczny, tzn

W.Brząkała: Fundamentowanie II - Wykład 2

NAJPROSTSZE MODELE LINIOWE PODŁOŻA ODKSZTAŁCALNEGO do Wykładu 2

1. Zachowanie się podłoża gruntowego

Obciążany ośrodek gruntowy zachowuje się w sposób sprężysto-plastyczny, tzn. po usunięciu obciążenia tylko częściowo wraca do stanu sprzed obciążenia. To zjawisko jest dosyć trudne do prostego zamodelowania fizycz- nego, ponieważ długa jest lista czynników powodujących takie zachowanie się materiału:

nieodwracalne wzajemne przemieszczenia ziaren, kruszenie i łamanie cząstek, przestrzenne struktury szkieletu gruntowego, zależność od historii wcześniejszego obciążenia, zmiany porowatości – że nie wspomnieć o znacz- nej komplikacji w przypadku ośrodków nasyconych wodą lub częściowo wodą a częściowo powietrzem poro- wym. Wymagane są złożone programy komputerowe do właściwej oceny numerycznej tych zjawisk, a tym bardziej do rozwiązywania konkretnych zadań projektowych i eksperckich. Wierne zamodelowanie zachowania się gruntu i dobre oprogramowanie nie załatwia jednak sprawy, ponieważ największą trudność stanowi

określenie liczbowych wartości parametrów do obliczeń. Ta sytuacja na pewno dotyczy Trzeciej Kategorii Geotechnicznej (KG 3).

Mniejsze wymagania stwarza KG 2, której dotyczą dalsze rozważania.

Uproszczenia sytuacji obliczeniowej polegają na tym, że:

1) obiekty budowlane są w zasadzie typowe, nie są to konstrukcje bardzo skomplikowane, czy szczególnie odpowiedzialne;

2) najczęściej dominują obciążenia monotonicznie rosnące (gł. w czasie budowy) lub stałe, z małym procentowym udziałem obciążeń zmiennych; problemy z odciążeniem nie są zatem bardzo istotne;

3) okres przyrastania obciążeń (czas budowy obiektu) jest „wystarczająco duży”, aby zachodziło rozpraszanie nadmiaru ciśnienia porowego; jest to oczywiście względne – w stosunku do możliwości filtracyjnych

podłoża, kilkumiesięczny wzrost obciążeń nawodnionych pyłów może być okresem „stosunkowo krótkim”, natomiast kilkudniowy wzrost obciążeń nawodnionego piasku grubego – okresem zupełnie wystarczającym do zakończenia konsolidacji podłoża;

4) obciążenia są „stosunkowo niewielkie” – w stosunku do nośności podłoża.

Ten ostatni punkt wymaga rozwinięcia.

O podstawowych wymiarach fundamentu (np. BxL) decyduje warunek GEO nośności podłoża:

< = który dotyczy bardzo mało prawdopodobnej sytuacji obliczeniowej¹.

1czy ktoś widział beton zbrojony, który ma ciężar objętościowy nie 25 kN/m³, ale 25x1,35 = 33,75 kN/m³ ? Oczywiście, może też chodzić o wpływ niedokładności wykonania, tj. objętości elementu, ale nie rzędu 35%.

Zapas bezpieczeństwa po prawej stronie wynosi dokładnie γR = 1,4; dla uproszczenie załóżmy, że jest to √2. Po lewej stronie zapas bezpieczeństwa wynosi pomiędzy 1,35 a 1,50 (z przewagą tego pierwszego) – załóżmy, że jest to również √2.

W stosunku do typowej sytuacji – jeśli za taką uznać wartości charakterystyczne – wykorzystanie nośności można szacować na η = Vk /Rk = 1/(√2⋅√2) = 1/2. W rzeczywistości ten wskaźnik η jest chyba jeszcze mniejszy, bo wartość charakterystyczna wg EC7-1 jest już sama w sobie „ostrożnym szacowaniem”.

Na rysunku pokazano jak rosną osiadania w przy wzroście η, czyli obciążenia Vk przy stałej nośności Rk. W przedziale 40÷50%

nośności nieliniowość krzywej obciążenie-osiadanie nie jest jeszcze duża i linia prosta (sieczna) jest dobrym jej przybliżeniem, szczególnie dla gruntów niespoistych (linia czarna), gorzej dla gruntów spoistych (linia czerwona).

w

η

40÷50%

100%

2. Modele globalne

Nazwa te określa tzw. analogi globalne, czyli takie układy mechaniczne, które globalnie, makroskopowo, zachowują się trochę podobnie do fundamentu posadowionego na odkształcalnym podłożu gruntowym.

2.1. Model Winklera

Wprowadzając na poziomej płaszczyźnie układ osi x,xB (x wzdłuż długości L fundamentu, xB wzdłuż szerokości B fundamentu) można zapisać:

, = ^, lub równoważnie , = ∙ , (1a) q = obciążenie ośrodka w punkcie (x,xB), kPa,

w = osiadanie ośrodka w punkcie (x,xB), m.

W przypadku ławy L >> B obciążenie podaje się zazwyczaj w przeliczeniu na 1mb, niezależnie od szerokości B,

czyli = _/^/ , ^{, kN/m.}

Ponadto ławy fundamentowe są bardzo sztywne w kierunku poprzecznym, a więc osiadanie ławy praktycznie nie zależy od xB, w(x,xB) = w(x); całkowanie obustronne (1a) po szerokości ławy daje zatem

= _∙ ^lub = ∙ ∙ (1b) Należy mocno podkreślić wadę tego modelu - model Winklera nie przewiduje osiadań terenu obok obciążonego fundamentu (w=0 wtedy i tylko wtedy, gdy q=0), co nie zawsze odpowiada rzeczywistości.

Stałą C można wyznaczyć z pomiarów w dla znanego q, czyli C = q/w. Inna metodę, analizę odwrotną, stosujemy na ćwiczeniach projektowych.

2.2. Warunki stosowania modelu Winklera

Wada modelu Winklera nie jest aż tak poważna, jeśli pod fundamentem znajduje się warstwa odkształcalna (lub kilka warstw) o „małej” grubości H, licząc względem szerokości fundamentu B. Doprecyzowanie znaczenia

„małej” grubości nie jest jednoznaczne, ale zazwyczaj zakłada się, że jest to warunek H < 1,0÷1,5⋅B.

Ma to proste uzasadnienie.

Przykładowe krzywe osiadania powierzchni terenu w(x,xB) przedstawiono jako linie ciągłe - kolorem niebieskim (duża grubość warstwy H),

- kolorem czerwonym (mała grubość warstwy H).

Powyższy rysunek ma jedynie poglądowy charakter i zawiera jeszcze jedno założenie upraszczające:

wykresy naprężeń σz są takie same niezależnie od grubości warstwy H i przyjęte zostały jak dla półprzestrzeni sprężystej, z pominięciem odcinka poniżej głębokości H (skreślenia). Dokładniejsze obliczenia numeryczne

Analogiem globalnym jest układ identycznych odseparowanych sprężyn na stabilnym

podłożu nieodkształcalnym; osiadają tylko sprężyny bezpośrednio obciążone. Model ma jedną stałą sprężystą C [kN/m³].

O osiadaniach decydują głównie naprężenia pionowe σz,od których zależą (liniowo) odkształcenia pionowe εz. Osiadanie w(x,xB) jest całką ε^z w zakresie głębokości od 0 do H, por. sumowanie osiadań metodą warstw obliczeniowych w projekcie z Mechaniki Gruntów. Czyli graficznym obrazem wielkości osiadań w gruncie jednorodnym jest całka po głębokości z funkcji σ^z (pole pod wykresem).

Jak widać na rysunku, poza miejscem obciążonym zakreskowane pole jest małe, jeśli H jest małe (kolor czerwony, z prawej), a osiadania będą duże, jeśli H jest duże (kolor niebieski, z lewej).

σz

σz

H

H

W.Brząkała: Fundamentowanie II - Wykład 2

wykazują, że nie całkiem tak jest – dla „małych” wartości H naprężenia σ^z ulegają zwiększeniu w dolnej części warstwy.

2.3. Ulepszone modele Winklera

Model Pasternaka

Niezależnie od koncepcji, konieczne jest wprowadzenie jeszcze jednej stałej sprężystej, dlatego ten model nazywa się modelem dwuparametrowym.

Ograniczając się do najprostszego przypadku ławy i kierunku L, równanie równowagi dla warstwy sprężystej Pasternaka dają dla segmentu ławy B x g x dx (o grubości g):

= ! + # ∙ $ ∙ − &# + #

' ∙ $ ∙ czyli

= ∙ ∙ − ∙ ( ∙ ^)*₎ (2) Wykorzystano równanie sprężystości τ = G⋅γ =G⋅dw/dx dla warstwy pracującej wyłącznie na ścinanie (G = moduł odkształcenia postaciowego) oraz wprowadzono niefizyczną stałą D = g⋅G [kN/m].

Oczywiście, G ani g nie istnieją i stała D będzie wyznaczona inaczej.

Poza fundamentem jest r(x)=0 i wtedy (2) staje się prostym równanie różniczkowym opisującym kształt osiadającej powierzchni terenu poza fundamentem, czyli dla x ≥ L równanie (2) daje:

= +∙ , -.−/ ∙ − 0 1 ⁽³⁾ gdzie wLjest osiadaniem prawego końca ławy, natomiast/ = 2₃^{w m-1.}

Występuje tutaj zatem efekt „wpływu sąsiada”.

Stałej D nie da się bezpośrednio wyznaczyć, ale C można uznać za znane i można wyznaczyć α za pomocą tzw. analizy odwrotnej. W tym celu należy zmierzyć osiadania wi w kilku punktach poza fundamentem i dobrać taką stałą α, aby krzywa (3) najlepiej wpisywała się w te punkty (Data Fitting, metoda najmniejszych

kwadratów).

Warto przenalizować, co się dzieje z odporem ośrodka pod nieskończenie sztywnym fundamentem obciążonym centralnie. Równanie (2) jest prawdziwe w każdym punkcie wewnętrznym dla 0 < x < L, jak zwykle dla równań różniczkowych, bo pochodne określa się w przedziałach otwartych; na końcach ławy może być różnie. W tym przedziale otwartym jest oczywiście w(x)=const, czyli po prostu rs(x)=B⋅C⋅w(x), co wygląda na model Winklera.

Poza ławą w warstwie Pasternaka jest τ = G⋅dw/dx, co pozwala obliczyć siłę poprzeczną

Q = τ⋅g⋅B = -B⋅D⋅α⋅wL⋅exp{-α⋅(x-L)}. Wartość ta ma sens również w przejściu granicznym x > L, x → L i ta graniczna wartość musi być przeniesiona na fundament pod jego krawędzią x = L, bo akcja równa się reakcji.

Podsumowanie:

pod sztywnym fundamentem na podłożu Pasternaka reakcja jest stała pod fundamentem rs = const, ale pod samymi narożami x = 0, x = L fundamentu wystąpią jeszcze dwie siły skupione Q = B⋅D⋅α⋅wL.

Podstawową wadę modelu Winklera (niezależność sprężyn, brak osiadań poza fundamentem) łatwo usunąć, jeśli na sprężynach rozścielić ciągłą warstwę sprężystą: mogłaby to być elastyczna membrana albo np. warstwa złożona ze sztywnych „cegiełek”

połączonych sprężystymi spoinami i pracująca na ścinanie (tak uczynił Pasternak).

dx r(x) = obciążenie na górnej powierzchni warstwy

Pasternaka, czyli pod fundamentem lub zerowe poza nim,

rs(x) = obciążenie na dolnej powierzchni warstwy Pasternaka, czyli pochodzące od podłoża Winklera, rs(x) = B⋅C⋅w(x),

r(x)

rs(x) τ(x)

τ(x)+dτ/dx⋅dx P

Oznacza to, że na odcinku otwartym (0,L) reakcja podłoża jest stała, wynosi rs = (P-2Q)/L i jest to mniej niż dla analogicznego podłoża Winklera r = P/L. W szczególności mniejsze będzie też osiadanie fundamentu na podłożu Pasternaka, chociaż sprężyny Winklerowskie są takie same i obciążenie też – jest to oczywiste, bo fundament jest niejako „podwieszony” na ścinanej warstewce Pasternaka lub rozciągniętej membranie.

Najważniejszym wnioskiem praktycznym jest jednak stwierdzenie przegrupowania się reakcji podłoża pod sztywną ławą, co jest typowe dla podłoża, które uwzględnia „wpływ sąsiada”, czyli osiadania poza obciążonym fundamentem; w tym przypadku zwiększy to maksymalny moment zginający, który wystąpi w ławie. Efekt przegrupowanie się reakcji podłoża jest prototypem do podobnej analiz w przypadku półprzestrzeni sprężystej, co szczegółowo omówiono w Przykładzie 4 na Wykładzie 1.

Postępowanie w przekroju poprzecznym jest podobne, na odcinku 0 ≤ xB ≤ B (na 1mb długości ławy), ale zamodelowanie dla stopy fundamentowej łącznie przypadku (x,xB) w 2D komplikuje się.

Model Kerra

Ten efekt nieciągłości osiadań, rodzaj „zatopienia się” fundamentu w podłoże jest dobrze znany z praktyki, a dosyć trudno go zamodelować nawet za pomocą MES.

3. Modele lokalne

W tej grupie mieszczą się wszystkie rozwiązania teorii continuum materialnego, a modelowanie przebiega lokalnie w obszarach elementarnych dxdxBdz, na ogół w zakresie sprężysto-plastycznym.

3.1. Półprzestrzeń sprężysta

Pionowa siła dP[kN] skupiona w punkcie (x^o,xBo) wywołuje osiadanie w^o(x,xB) poziomej płaszczyzny brzegowej zgodnie z rozwiązaniem Boussinesqa:

4 , =_6∙7⁵₈∙_:⁹ (4)

gdzie Es = Eo/(1-ν²) , natomiast ; = < − ⁴ + − ⁴ jest odległością (poziomą) we współrzędnych walcowych.

Zgodnie z zasada superpozycji, osiadanie od obciążenia pionowego q(x^o,xBo) na powierzchni D oblicza się całkując (4) po D dla dP = q(x^o,xBo)⋅dx^odxBo; w szczególności dla D = BxL są to tzw. całki Steinbrennera, znane z metody punktów narożnych.

A zatem:

, = _6∙7⁹

8∙ ∬ ^{> ?, ?@}

2 ^{? )} > ^?@⁾

3 4 4 (5)

Równanie (5) jest odpowiednikiem równania (1a), wiążąc osiadania w z obciążeniami q. Dobrze tutaj widać, na czym polega główny problem z zastosowaniami modelu półprzestrzeni sprężystej:

w dalszych rozważaniach (Wykład 3) dotyczących płyt i belek na podłożu sprężystym potrzebne będzie

wyrażenie q za pomocą w, a (5) podaje odwrotnie, w jest wyrażone – i to w sposób skomplikowany - za pomocą q. Odwrócenie zależności w (1a) jest trywialne, ale na pewno nie jest tak w (5).

Ponad pół wieku temu Gorbunow-Posadow zaproponował metodę odwrócenia zależności (5), a nawet opublikował gotowe wykresy sił wewnętrznych dla belek i płyt prostokątnych – por. w innym miejscu na tej stronie WWW.

Obecnie te wykresy przegrywają oczywiście konkurencję ze współczesnymi metodami numerycznymi mechaniki, ale sam pomysł jest ogólny i zasługuje na krótkie przypomnienie.

P

Jest to model trójparametrowy, który można określić jako Pasternak+Winkler, są zatem 3 stałe sprężystości C1, D, C2. Zachowane są wszystkie cechy modelu Pasternaka, a dodatko- wo występuje nieciągłość osiadań przy krawędzi fundamentu – osiadania fundamentu są większe od osiadań przyległego gruntu, co może posłużyć do wyznaczeia stałej C2.

W.Brząkała: Fundamentowanie II - Wykład 2

W uproszczeniu,

Gorbunow-Posadow zastosował podwójne szeregi potęgowe przyjmując, że

w(x,xB) = ΣΣa^ij⋅(x)ⁱ⋅(x^B)^j , q(x^o,xBo) = ΣΣb^ij⋅(x^o)ⁱ⋅(x^Bo)^j , [(x-x^o)²+(xB-xBo)]^-1/2 = ΣΣc^ij⋅(x-x^o)ⁱ⋅(x^B-xBo)^j.

Współczynniki cij są znane z rozwinięcia funkcji 1/ρ, współczynniki amn uznajemy za znane, współczynniki bpq

wyrażamy za pomocą współczynników cij oraz amn;

oznacza to przybliżone wyrażenie funkcji q za pomocą funkcji w.

W tym celu należy podstawić szeregi w odpowiednie miejsca w równaniu (5), wymnożyć szeregi pod całką, dokonać podwójnego całkowania wyraz po wyrazie, a na końcu porównać wszystkie współczynniki przy (x)ⁱ⋅(xB)^j po obu stronach równania (5). Przybliżony charakter rozwiązania wynika z uwzględnianych tylko skończonej liczby składników w podwójnych szeregach, które zawsze są nieskończone².

3.2. Zagadnienie kontaktowe Sadovsky’ego

Dla centralnie obciążonej sztywnej ławy³ o szerokości B rozwiązuje się pewne równanie całkowe z następują- cymi mieszanymi warunkami brzegowymi w poziomie posadowienia:

• od ławą: τ = 0 (gładkość) oraz w = const (sztywność, brak obrotu), -B/2 < xB < +B/2,

• poza ławą: τ = 0 oraz σ^z = 0 (brzeg nieobciążony), otrzymując pionowe naprężenia kontaktowe pod ławą:

σ_{A =}

6∙ ∙ ⁵

29 B^C_/)D⁾

Odpór podłoża bardzo silnie skupia się przy końcach belki, σ^z(±B/2) = +∞.

Potwierdza się tendencja do redystrybucji odporu podłoża w kierunku końców sztywnego fundamentu, podobnie jak w Przykładzie 4 na Wykładzie 1 oraz w modelu Pasternaka, która zwiększa moment zginający fundament w stosunku do odporu równomiernego.

3.3. Poziome warstwy sprężyste

Sytuacja komplikuje się już w przypadku jednej warstwy sprężystej o spągu na pewnej skończonej głębokości H, gdy poniżej H jest podłoże nieodkształcalne: oprócz warunków brzegowych w poziomie posadowienia (np.

jak w pkt. 3.2) należy podać również warunki na głębokości H. Oczywistym warunkiem jest zerowe osiadanie na spągu tej warstwy, czyli w(H)=0 dla podścielającej sztywnej skały.

Jeśli na spągu warstwy zakłada się „gładkość” powierzchni (mało realne), to należy również wyzerować obie składowe naprężeń stycznych τ(H) = 0, jeśli natomiast założyć, że jest to brzeg idealnie „szorstki”, to na spągu warstwy zerują się obie składowe przemieszczenia poziomego u(H) = 0, v(H) = 0.

W przypadku podłoża wielowarstwowego, omówione warunki brzegowe stosuje się do warstwy najwyższej oraz najniższej, a dodatkowo wprowadza się odpowiednie warunki ciągłości na granicach między warstwami.

Istnieją proste i skuteczne metody rozwiązywania takich zagadnień, ale w mniejszym stopniu (szeregi Fouriera, por. ZEM_SIN) lub w większym stopniu (MES) wymagają one współpracy z komputerem.

2te liczby uwzględnianych wyrazów nie mogły być duże w pracach Gorbunowa-Posadowa sprzed 50-60 lat.

3istnieją również asymetryczne rozwiązania dla mimośrodowego obciążenia sztywnej ławy.

Jest to poszukiwanie naprężeń kontaktowych r = σz pod sztywnym, gładkim stemplem posadowionym na półprzestrzeni sprężystej. Rozwiązania analityczne istnieją tylko dla przypadku dwuwymiarowego – nieskończenie długiej ławy w płaskim stanie przemieszczenia oraz dla stempla kołowego (we współrzędnych walcowych) i mają one podobną postać.

EI=+∞ P

-B/2 +B/2

σz

+∞ +∞

4. Więzy dwustronne i więzy jednostronne

Na zakończenie kilka uwag nt. ewentualnego odrywania fundamentu od podłoża.

W ogólnym przypadku należy w każdym punkcie (x,xB) powierzchni posadowienia odróżnić osiadania podłoża w(x,xB) od osiadań fundamentu y(x,xB) posadowionego na tym podłożu. Przy skierowanej w dół osi pionowej, zarówno w jak i y obie wartości są najczęściej dodatnie, ale nie są sobie zawsze równe. Nie jest możliwy przypadek y > w, bo oznaczałoby to „przenikanie się” fundamentu i podłoża, co najwyżej zachodzi y = w.

Możliwa jest jednak sytuacja y < w, gdy fundament oderwie się od podłoża,a na styku utworzy się szczelina.

Styk fundamentu z podłożem nigdy nie przenosi rozciągania, nawet jeśli grunt posiada kohezję, ponieważ fundament wykonuje się na wcześniej przygotowanej warstwie wyrównawczej z betonu podkładowego i nie jest możliwe (ani celowe) sczepienie tych dwóch warstw. Możliwa jest sytuacja, gdy w = 0, ale y < 0, czyli lokalnie część fundamentu unosi się ponad pierwotny poziom terenu i odrywa się od podłoża, tworząc pewną lokalną szczelinę. Takiej sytuacji, co najmniej w odniesieniu do obciążeń stałych, należy unikać w projektowaniu fundamentów, których zadaniem jest przenoszenie obciążeń na podłoże, czyli współpraca w warunkach kontaktu; powinien to być sygnał do ew. przeprojektowania fundamentu.

Podsumowanie:

więzi dwustronne, to przypadek, gdy styk fundamentu z podło- żem realizuje warunek y=w dla ściskania i dla rozciągania, a dla więzi jednostronnych (linia czerwona) warunek ten zachodzi tylko dla ściskania pod fundamentem (i wtedy więzi dwustronne i jednostronne niczym się nie różnią, por. wykres obok).

w 0 y szczelina →