Grupy permutacji, grupy symetrii 1 Rozkład permutacji na cykle rozłączne

Grupy permutacji, grupy symetrii

1 Rozkład permutacji na cykle rozłączne

Zadanie 1 Każdą z poniższych permutacji przedstaw w postaci iloczynu cykli rozłącznych:

1 2 3 4 5 5 3 4 2 1

!

, 1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 2 1

!

, 1 2 3 4 5 6 1 4 6 2 3 5

! ,

1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 1 7 8 6

!

, 1 2 3 4 5 6 7 8 3 2 5 8 7 6 1 4

!

, 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 2 5 4 7 6 8

! . Zadanie 2 Wyznacz σ², σ³, σ⁴, σ⁵, σ⁶ oraz σ⁻¹, jeśli σ jest permutacją:

(1 2 3) ∈ S₃, (1 2)(3 4) ∈ S₄, (1 2 3 4) ∈ S₅, (1 2)(3 4 5) ∈ S₅. Podaj rząd każdej z tych permutacji jako elementu odpowiedniej grupy.

Zadanie 3 Wyznacz wszystkie potęgi (o wykładnikach całkowitych) permutacji z zadania 1.

Określ rzędy tych permutacji.

Zadanie 4 Udowodnij, że rząd permutacji

(1, 2, . . . , k)(k + 1, k + 2, . . . , k + l) ∈ S_k+l jest równy NWW(k, l).

Zadanie 5 Udowodnij, że rząd dowolnej permutacji jest równy NWW długości jej cykli rozłącz- nych.

Zadanie 6 Znajdź w grupie S4 wszystkie elementy rzędu: 1, 2, 3, 4.

Zadanie 7 Ile elementów grupy S6: a) ma rząd równy 6,

b) spełnia równanie σ⁶ = id?

2 Znak permutacji

Zadanie 8 Dla każdej permutacji z zadania 1:

– wypisz wszystkie nieporządki i określ ich liczbę,

– podaj długości cykli występujących w rozkładzie tej permutacji i określ znak każdego z nich, – sprawdź, że znak permutacji wyznaczony za pomocą liczby nieporządków jest taki sam jak iloczyn znaków cykli.

Zadanie 9 Sprawdź, że zbiór wszystkich permutacji parzystych w S_n jest podgrupą.

Zadanie 10 a) Ile elementów rzędu 2 jest w grupie A₄, a ile w grupie A₅? b) Ile elementów rzędu 4 jest w grupie A5, a ile w grupie A₆?

Zadanie 11 Opisz wszystkie elementy rzędu 6 w grupach A5, A₆ i A₇. Zadanie 12 Wykaż, że rząd permutacji nieparzystej jest liczbą parzystą.

Zadanie 13 Przedstawmy dowolną permutację w postaci iloczynu cykli (niekoniecznie rozłącz- nych). Udowodnij, że ta permutacja jest parzysta dokładnie wtedy, gdy w danym iloczynie wy- stępuje parzysta liczba cykli o długości parzystej. Zatem liczba cykli o długości nieparzystej nie ma wpływu na parzystość permutacji.

1

3 Podgrupy grup D_n, S_n i A_n

Zadanie 14 Wyznacz wszystkie podgrupy grup S3, A₄, D₃, D₄, D₅ i D₆. Zadanie 15 Opisz wszystkie podgrupy grupy Dn.

Zadanie 16 Sprawdź, że:

a) grupa S₃ jest generowana przez transpozycje (1 2) i (1 3), b) grupa A4 jest generowana przez cykle (1 2 3) i (1 2 4),

c) grupa S₄ jest generowana przez transpozycje (1 2), (1 3) i (1 4).

Zadanie 17 Udowodnij, że grupa S_n jest generowana przez transpozycje, a grupa A_n jest gene- rowana przez cykle długości 3.

4 Klasy elementów sprzężonych w grupach D_n, S_n i A_n

Zadanie 18 Dla każdego σ ∈ S₃ oblicz iloczyn σ(1 2 3)σ⁻¹.

Zadanie 19 Sprawdź, że relacja sprzężenia w danej grupie jest relacją typu równoważności.

Zadanie 20 a) Niech

σ = 1 2 3 4 5 a b c d e

!

będzie dowolnym elementem grupy S₅. Oblicz iloczyny:

σ⁻¹(1 2)σ, σ⁻¹(1 2)(3 4)σ, σ⁻¹(1 2 3)(4 5)σ.

b) Opisz wszystkie elementy sprzężone (w grupie S₅) do każdej z następujących permutacji:

(1 2), (1 2)(3 4), (1 2 3)(4 5).

Zadanie 21 Udowodnij, że dwa elementy grupy S_n są sprzężone dokładnie wtedy, gdy mają tę samą strukturę cykli rozłącznych.

Zadanie 22 Dla n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, opisz podział na klasy elementów sprzężonych w grupie Sn

i wyznacz liczbę elementów każdej klasy.

Zadanie 23 Wyznacz podział na klasy elementów sprzężonych:

a) w grupach D₃, D₄, D₅ i D₆, b) w grupie Dn dla dowolnego n.

Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi

1 Odpowiedź. Na przykład

1 2 3 4 5 5 3 4 2 1

!

= (1 5)(2 3 4).

2 Odpowiedź. Na przykład dla σ = (1 2 3 4) ∈ S₅ mamy:

2

σ² = (1 3)(2 4), σ³ = (1 4 3 2), σ⁴ = id, σ⁵ = (1 2 3 4), σ⁶ = (1 3)(2 4), σ⁻¹ = (1 4 3 2).

3 Odpowiedź. Na przykład

((1 5)(2 3 4))ⁿ=



















id, n ≡ 0(mod6),

(1 5)(2 3 4), n ≡ 1(mod6), (2 4 3), n ≡ 2(mod6), (1 5), n ≡ 3(mod6), (2 3 4), n ≡ 4(mod6), (1 5)(2 4 3), n ≡ 5(mod6).

4 Wskazówka. Niech σ = (1, 2, . . . , k), τ = (k + 1, k + 2, . . . , k + l). Zauważ, że στ = τ σ, więc (στ )ⁿ= σⁿτⁿ. Wyznacz σⁿ(i) dla i ∈ {1, 2, . . . , k} oraz τⁿ(k + j) dla j ∈ {1, 2, . . . , l}.

5 Wskazówka. Metodę z zadania 4 można zastosować w sytuacji ogólnej.

6 Wskazówka. Element grupy S4jest jednej z następujących postaci: id, (a b), (a b c), (a b c d), (a b)(c d), gdzie a, b, c, d to różne elementy.

7 Wskazówka. a) Elementy rzędu 6 w grupie S6to permutacje postaci: (a b c)(d e) i (a b c d e f ), gdzie a, b, c, d, e, f to różne elementy.

b) Elementy grupy S6 spełniające równanie σ⁶= id, to permutacje postaci: id, (a b), (a b)(c d), (a b)(c d)(e f ), (a b c), (a b c)(d e), (a b c)(d e f ), (a b c d e f ), gdzie a, b, c, d, e, f to różne elemen- ty. Łatwiej je policzyć, jeśli zauważymy, że są to permutacje, które nie mają postaci: (a b c d), (a b c d)(d e), ani (a b c d e).

10 Wskazówka. a) Permutacja rzędu 2 to iloczyn rozłącznych transpozycji. Kiedy taki iloczyn jest permutacją parzystą?

11 Odpowiedź. Na przykład w grupie A7 elementy rzędu 6 to permutacje postaci (a b c d e f ) i (a b c)(d e)(f g), gdzie a, b, c, d, e, f, g to różne elementy.

12 Wskazówka. Można się powołać na zadanie 5, ale prościej to wywnioskować bezpośrednio z równości σⁿ= id.

13 Wskazówka. Tu wystarczy skorzystać z tego, że znak iloczynu permutacji jest równy iloczynowi znaków tych permutacji.

14 Rozwiązanie. Znajdziemy wszystkie podgrupy w grupie D4 = {a^kb^l; k = 0, 1, 3, 4, l = 0, 1}, gdzie a⁴ = e, b² = e i ba = ab³. Najpierw wyznaczmy podgrupy generowne przez poszczególne elementy:

hei = {e}, hai = ha³i = {e, a, a², a³}, ha²i = {e, a²},

hbi = {e, b}, habi = {e, ab}, ha²bi = {e, a²b}, ha³bi = {e, a³b}.

Uwaga. To nie są wszystkie podgrupy grupy D₄, gdyż w D₄ są jeszcze podgrupy generowane przez dwa elementy.

Niech H będzie dowolną podgrupą grupy D₄. Jeśli do H należy a lub a³, to {e, a, a², a³} ⊂ H.

Jeśli ponadto do H należy co najmniej jeden z elementów b, ab, a²b, a³b, to b ∈ H (np. jeśli a³b ∈ h, to b = (a³)⁻¹a³b ∈ H), wówczas H = D4.

Niech teraz a, a³6∈H. Ponadto załóżmy, że a² ∈ H. Wówczas, jeśli b ∈ H, to a²b ∈ H (i na odwrót) oraz ab, a³b6∈H (gdyż a, a³6∈H). Podobnie, jeśli ab ∈ H, a³b ∈ H (i na odwrót) oraz b, a²b6∈H. Mamy zatem trzy możliwości: H = {e, a²}, H = {e, a², b, a²b}, H = {e, a², ab, a³b}.

Pozostał przypadek a, a², a³6∈H. (cdn)

Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia z algebry, III rok informatyki, wiosna 2003.

Grupy permutacji, grupy symetrii, wersja druga, 2 VI 2003.

3