Lista zada« nr 4: rozkªad permutacji na cykle
(1) Zapisz permutacje z poprzedniej listy zada« w postaci iloczynu cykli rozª¡cznych.
(2) Zapisz permutacj¦ (1, 2, 3, 4) · (6, 5, 4, 3) · (2, 3, 4, 5) w postaci iloczynu cykli roz- ª¡cznych.
(3) Wyznacz rz¡d cyklu dªugo±ci r.
(4) Udowodnij, »e permutacja, która jest iloczynem cykli rozª¡cznych o dªugo±ciach r1, r2, . . . , rk, ma rz¡d równy najmniejszej wspólnej wielokrotno±ci r1, r2, . . . , rk. (5) Wyznacz wszystkie mo»liwe rz¦dy permutacji zbiorów {1, 2, 3, . . . , n} dla n = 4,
n = 5i n = 6.
(6) Niech σ = (1, 2, 3, 4, . . . , n − 1, n) oraz τ = (1, 2) (jak w zadaniach (4) i (5) z poprzedniej listy zada«). Wyra¹ dowoln¡ transpozycj¦ postaci (k, k +1) (zamiana dwóch s¡siednich warto±ci) jako iloczyn pewnej liczby czynników σ i τ.
(7) Wyra¹ dowoln¡ transpozycj¦ (i, j) jako iloczyn pewnej liczby transpozycji postaci (k, k + 1).
(8) Udowodnij, »e ka»d¡ permutacj¦ mo»na zapisa¢ jako iloczyn pewnej liczby czyn- ników σ i τ z zadania (5).
