A ile jest permutacji rzędu a). 2 b). 3Zad 5.

Zad 1. Czy zbiór

 



 

    



 



  ba a Q b Q c Z

G ; , ,

c 0

_*

z działaniem mnożenia macierzy jest

grupą.

Zad 2. Które z podanych poniżej odwzorowań jest homomorfizmem grup:

R a a

f R

R f

a). :  ^ ( )2^a 

* 2

*

* ( ) 1 :

). f R R f a a a a R

b     

Zad 3. W grupie permutacji S7 wyznaczyć permutację X spełniające równanie

)5,3,4,1() 7,4,2(

3 4 7 1 6 5 2 7 6 5 4 3 2 1

 

 



 X

Zad 4. W grupie permutacji ^A6 ile jest permutacji rzędu a). 2 b). 3 Zad 5. W grupie ^(13) wyznaczyć:

a). Warstwy względem podgrupy H 1,5,8,12 b). tabelkę działań w grupie ilorazowej ^(13)/H

Zad 6 . W grupie Z12 wyznaczyć podgrupę H H1H2 gdzie H1 

 

0,6 Z12 H2 



0,4,8



Z12

Zad 7. Wykorzystując podstawowe twierdzenie o izomorfizmie grup pokazać, że

2

4/H R

R  gdzie



^{( , , , ) :} 1 ² 3 ^{0 ,} 2 ³ 3 ⁰



4 4 3 2

1     

 x x x x R x x x x

H

Zad 8. Obliczyć liczbą wszystkich ( z dokładnością do izomorfizmu ) grup abelowych rzędu 19

7 5 4073125 ^{4 3}

Zad 9. Z produktem jakich grup cyklicznych postaci Zp^k gdzie p jest liczbą pierwszą i N

k jest izomorficzna grupa ^{(4400)(235211)} Zad 10. Sprawdzić, czy dane grupy są izomorficzne:

a). Z6Z20Z50 Z12Z10Z50

Zad 11). W grupie (70)Z2Z4Z3 korzystając z izomorfizmu

3 4

70 2 3 70

4

2 (70) (( , , )) 41 13 11 ;

:Z Z Z f k l m k Z l Z m Z

f     ^k  ^l  ^m   

Wyznacz liczbę elementów rzędu 6 oraz wartości tych elementów.

Zad 12). Sprawdzić, czy dane grupy są cykliczne:

a). (49) (7²) b). Z6Z35Z39

Ad zad 1).

Zbiór

 



 

    



 



  ba a Q b Q c Z

G ; , ,

c 0

_*

z działaniem mnożenia macierzy nie jest grupą

ponieważ: Pomimo, że

a) Działanie mnożenia macierzy jest łączne. Ten fakt można byłoby nie udowadniać, gdyż wiemy, że pewne działania są łączne /mnożenie i dodawanie liczb, mnożenie i dodawanie modulo n, mnożenie i dodawanie macierzy/. Ostatnia własność była omawiana w ramach przedmiotu Algebra liniowa z geometrią. Po pewnych rachunkach niektórym wyszło, że mnożenia macierzy nie jest łączne.

Niech ^{a,d,gQ*, b,e,hQ, c, f,iZ}

cfi G bfiaeiadhadg i

hg cf

bfaead i hg f ed c

ba 



 



  



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 





0 0 0

0

0

0

cfi G bfiaeiadhadg fi

eidhdg c ba i hg f ed c

ba 



 



  



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 





0 0

0

0

0

0

A więc

 

 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 i hg f ed c ba i hg f ed c ba

0 0 0 0 0 0

czyli mamy łączność a ponadto widać, że działanie jest dobrze określone.

b)





 



 

1 0

e 0 1

jest elementem neutralnym tego działania. Można łatwo sprawdzić a z drugiej stronny powinno się do tej pory wiedzieć.

c). Z ogólnych faktów mamy, że macierz odwrotna macierzy kwadratowej A istnieje 

0

detA . Dla macierzy dla naszego zbioru

0 0 0

det 3 2 



 





i a więc element odwrotny dla tej

macierzy nie istnieje co oznacza, że ten zbiór nie jest grupą.

Można byłoby zamieścić tylko punkt c). i odpowiedz byłaby wyczerpująca.

Ad zad 2).

a). ^{f :RR a,bR f(ab)2ab 2a2b  f(a)f(b)} i ^{f(0)20 1} co oznacza, że ^f jest homomorfizmem.

b).^{f :R*R* f(a)a2a1 aR*} Dla 55 11 5 ) 3 ( ) 2 ( 41 ) 6 ( ) 3 2 ( 3 ,

2       

 b f f f f

a a więc ^{f(23) f(2)f(3)} co

oznacza, że ^f nie jest homomorfizmem.

Uwaga Jak występuje zbiór R to aby był grupą, bierzemy działanie dodawanie gdyż dla mnożenia, dla 0 nie byłoby elementu odwrotnego.

Jak występuje zbiór R^* lub R^ to aby był grupą, bierzemy działanie mnożenia gdyż dla dodawania, dla np.: 2+(-2)= 0 nie należałby do tego zbioru.

Ad zad 3).

1 1

)7,4,2)(5,3,4,1(

3 4 7 1 6 5 2 7 6 5 4 3 2 1 )5,3,4,1()7,4,2(

3 4 7 1 6 5 2

7 6 5 4 3 2 1 ^ _

 

 



 



 



 XX

. Kolejność czynników jest istotna gdyż mnożenie permutacji jest nieprzemienne. Stąd

)4,5,2,3,6,1(

7 3 4 1 2 5 6 7 6 5 4 3 2 1

 

 



X 

Ad zad 4).

a).

W rozkładzie permutacji na rozłączne cykle maksymalna długość cykli nie może być większa niż 2, czyli jest iloczynem rozłącznych transpozycji i w parzystej ilości, gdyż należą do A6. Możliwe są tylko iloczyny 2 rozłącznych transpozycji gdyż w iloczynie 4

rozłącznych transpozycji wchodziłyby 8 różnych liczb. Dla 4 ustalonych różnych liczb



1,2,3,4,5,6



, , , _{2 3 4}

1 a a a 

a mamy 3 -



a₁,a₂



a₃,a₄

 

a₁,a₃



a₂,a₄

 

a₁,a₄



a₂,a₃



permutacje różne. Różnych układów liczb a1,a2,a3,a4 w zbiorze 1,2,3,4,5,6 jest

2 15 1

5

2 6

6 4

6 



 

 C

C . A więc wszystkich permutacji rzędu 2 w grupie ^A6 jest ^31545

b).

W rozkładzie permutacji na rozłączne cykle maksymalna długość cykli jest równa 3 i nie może w iloczynie wchodzić cykl długości 2, czyli jest iloczynem rozłącznych cykli długości 3. Taka kombinacja zawsze należy do grupy A6. Przy 3 ustalonych różnych liczbach



^1,2,3,4,5,6



, , _{2 3}

1 a a 

a mamy 2 -



a1,a2,a3





a1,a3,a2



różne permutacje. Różnych układów liczb a1,a2,a3 w zbiorze 1,2,3,4,5,6 jest ²⁰

3 2 1

4 5

3 6

6 







 

C . A więc

wszystkich cykli rzędu 3 w grupie A6 jest 22040 . Permutacja rzędu 3 może być iloczynem dwóch cykli długości 3 i rozłącznych. Przy ustalonym cyklu długości 3 istnieją dwa rozłączne cykle długości 3 których iloczyn tworzy permutację rzędu 3. Takich

możliwości mamy 24080 . W takim tworzeniu permutacji, tworzymy tą samą permutację 2 razy czyli wszystkich permutacji rzędu 3 wynosi ⁸⁰

2

4080 . Z analizy sposobu tworzenia permutacji rzędu 3 wynika, że permutacji rzędu 3 w grupie ^S6 jest też 80.

Ad zad 5).

^{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

) 13

( 



warstw jest ³

4 12 ) 13 ] (

: ) 13 (

[    

rzH

H rz



1,5,8,12



[1] [5] [8] [12]

113H  H    



2,10,3,11



[2] [3] [10] [11]

213H  H    



^4,7,6,9



^{[4] [6] [7] [9]}

413H  H    

Mamy trzy różne warstwy i więcej nie ma warstw. Analogiczne tworzenie daje te same warstwy z innym reprezentantem.

b).

13 H

113 H

213 H

413

13H

1 H

113 H

213 H

413

13H

2 H

213 H

413 H

113 13H

4 H

413 H

113 H

213

Ad zad 6).

2 12 1

12 2

1 Z (( , )) ,

:H H H f k l k l k H l H

f        jest homomorfizmem i jest

izomorficznym włożeniem jeżeli jest różnowartościowe.

0 0 0 )) 0 , 0

((  12 

f ((0,4)) 0 4 4

12 



f ((0,8)) 0 0 8

12 

 f

6 0 6 )) 0 , 6

((  12 

f ((6,4)) 6 4 10

12 



f ((6,8)) 6 8 2

12 

 f

Ponieważ odwzorowanie jest różnowartościowe mamy włożenie na podgrupę

 

₁₂

2

1 H H 0,2,4,6,8,10 Z

H     .

Ad zad 7).

) 3 , 2 ( )) , , , ((

:R⁴ R² f x₁ x₂ x₃ x₄ x₁ x₃ x₂ x₃

f     jest homomorfizmem grup ponieważ



























( , , , )) ( , , , ) ( 2( y ), 3( y )

) , , ,

((x₁ x₂ x₃ x₄ y₁ y₂ y₃ y₄ f x₁ y₁ x₂ y₂ x₃ y₃ x₄ y₄ x₁ y₁ x_{3 3} x₂ y₂ x_{3 3} f

)) , , , (( )) , , , ((

) 3 , 2 (

) 3 , 2 ( )) y 3 ( ) 3 ( , ) 2 ( ) 2

((x₁ x₃  y₁  y₃ x₂  x₃  y₂  ₃  x₁ x₃ x₂  x₃  y₁  y₃ y₂  y₃  f x₁ x₂ x₃ x₄  f y₁ y₂ y₃ y₄ )

0 , 0 ( )) 0 , 0 , 0 , 0

(( 

f .

Im f R2 ponieważ dla ^a,bR mamy f(a,b,0,0)(a,b).



^{x x x x R x x x x}



^H

f  ( , , , ) : 2 0 , 3 0 

ker _{1 2 3 4} ⁴ _{1 3 2 3}

Wtedy z podstawowego twierdzenia o homomorfizmie grup f :GG₁ mamy, że

f f

G/ker Im czyli R⁴/H R².

Ad zad 8).

Grup rzędu 40731255⁴7³19 z dokładnością izomorfizmu jest tyle i rozwiązań w liczbach naturalnych:

4

2 ....

1k  k_r 

k 4=4=3+1=2+1+1=2+2

3

2 ....

1l  l_s 

l 3=3=2+1+1+1+1

1

2 ....

1m  m_t 

m 1=1

7 19

5⁴ Z ³ Z

Z  

Z 5

⁴

 Z 7

^2\

 Z 7  Z 19

Z5⁴Z7Z7Z7Z19

7 19 5³ Z5 Z ³ Z

Z    Z5³Z5Z7²Z7Z19 Z5³ Z5Z7Z7Z7Z19 7 19

5

5² Z5 Z Z ³ Z

Z     Z5² Z5Z5Z7²Z7Z19 Z5²Z5Z5Z7Z7Z7Z19 7 19

5

5² Z² Z ³ Z

Z    Z5²Z5²Z7²Z7Z19 Z5² Z5² Z7Z7Z7Z19

Ad zad 9).

Z podstawowego wzoru ⁽n⁾⁽k1k2^...kr⁾⁽k1⁾⁽k2⁾^....⁽kr⁾ gdzie czynniki n

k k

k_{1 2}... _r  są parami względnie pierwsze mamy:

) 11 ( ) 5 ( ) 2 ( ) 11 5 2 ( ) 4400

(  ^{3 2}  ³  ² 



Grupy ^(p) dla liczby pierwszej nieparzystej p są cykliczne a więc (p^)Zk gdzie ^{k (p) p1(p1)rz(p)}. Także ^{(2 )} Z2Z₂k² dla k ²

k . Stąd

5 2 5 4 2 2 10 20 2 2 2

3 2

3511) (2 ) (5 ) (11) 2

( ) 4400

(     Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z



Ponieważ ponadto Zkl Zk Zl dla liczb naturalnych ^k,l względnie pierwszych.

Ad zad 9).

Ponieważ ^{Zkl ZkZl} dla liczb naturalnych ^k,l względnie pierwszych

52 2 5 4 3 2 50 20

6 Z Z Z Z Z Z Z Z

Z        

2

2 3 2 5 2 5

50 2 10

12 Z Z Z Z Z Z Z Z

Z        

W produkcie kanonicznym na grupy cykliczne rzędu ^p o podstawie liczby pierwszej występują te same czynniki a więc Z6Z20Z50 Z12Z10Z50

Ad zad 11).

W grupie ^{(70)Z2Z4Z3} dla elementu

3 4

2 3

4

2

) , ,

(k l m Z Z Z kZ lZ mZ ^{rz(k,l,m)NWW(rzk,rzl,rzm)}. Stąd 6

) 1 , 2 , 0

( 

rz ^{rz(0,2,2)6 rz(1,0,1)6 rz(1,0,2)6 rz(1,2,1)6 rz(1,2,2)6} . Takich elementów jest 6.

39 11 13 41 )) 1 , 2 , 0

(( ¹

70 2 70

0  



f ^{f((0,2,2))410}₇₀^132₇₀^{112 9} 31

11 13 41 )) 1 , 0 , 1

(( ¹

70 0 70

1  



f ^{f((1,0,2))411}₇₀^130₇₀^11261 59

11 13 41 )) 1 , 2 , 1

(( ¹

70 2 70

1  



f ^{f((1,2,2))411}₇₀^132₇₀^{112 19} A więc liczby 9,31,19,39,59,619 mają rząd 6.

Ad zad 12).

a). Grupy ^(p) dla liczby pierwszej nieparzystej p są cykliczne i (p^) Zk gdzie ^{k (p) p1(p1)rz(p)}.

W naszym przypadku 42

2) 7 ( ) 49

(  Z

 czyli grupa ^(49) jest cykliczna.

Informację ogólną przypomniałem zapisując na tablicy i nie było osoby która by tą informację wykorzystała.

b). Z6Z35Z39 Z2Z3Z7Z5Z3Z13

W grupie cyklicznej ^G istnieje dokładnie ^p1 elementów rzędu p dla liczby pierwszej ^przG.

3 ) 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0

( 

rz ^{rz(0,2,0,0,0,0) 3 rz(0,0,0,0,1,0)3}

Dla ^{p3rzG8190} mamy więcej niż 3—1=2 elementów rzędu 3 a więc ta grupa nie może być grupą cykliczną, czyli generowaną przez jeden element.