Zestaw 16 - zadania na poniedziałek, 22 marca
Zadanie 1. Niech 𝑋, 𝑌 - dowolne skończone zbiory. Pokazać, że liczba surjekcji 𝑋 → 𝑌 jest równa:
(♯𝑌 )!{♯𝑋
♯𝑌 }
, gdzie ♯𝑋 oznacza moc (liczbę elementów) zbioru 𝑋.
Zadanie 2. Pokazać, że dla dowolnego 𝑛 ∈ ℕ zachodzą następujące równości:
(1) ∑
𝑘
(−1)𝑘[𝑛 𝑘 ]
= [𝑛 = 0] − [𝑛 = 1].
(2)
𝑛
∑
𝑘=0
𝑘[𝑛 𝑘 ]
= 𝑛!𝐻𝑛.
Zadanie 3. Niech 𝐵𝑛 oznacza 𝑛-tą liczbę Bella, z definicji równą liczbie podziałów 𝑛 elementowego zbioru na niepuste podzbiory. Udowodnić, że:
𝐵𝑛 = 1 𝑒
∞
∑
𝑘=0
𝑘𝑛 𝑘!.
Wskazówka. Zapisać 𝐵𝑛 jako sumę liczb Stirlinga. Skorzystać z 6.19, a następnie wykonać jedną z sum.
Zadanie 4. Udowodnić następujące przedstawienie liczb harmonicznych przez współczyn- niki dwumianowe:
𝐻𝑛=
𝑛
∑
𝑘=1
(−1)𝑘+1 𝑘
(𝑛 𝑘 )
, 𝑛 ≥1.
Ponadto zadania: 3, 14, 36 z rozdziału 6.
