Zadania z mechaniki kwantowej kurs duży, na poniedziałek 22 listopada
23. Proszę uzupełnić rachunki z wykładu prowadzace od ⃗𝑋𝑖, ⃗𝑃𝑖 (𝑖 = 1, 2) do ⃗𝑋, ⃗𝑃, ⃗𝑥, ⃗𝑝 (wyliczyć stałe 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿).
24. Transformacja ⃗𝑋1, ⃗𝑋2 −→ ⃗𝑋, ⃗𝑥 jest liniowa. Proszę znaleźć jawną postać macierzy transfor- macji zdefiniowanej przez: ( 𝑋⃗
⃗𝑥 )
= 𝐴( ⃗𝑋1 𝑋⃗2
)
(𝐴 jest macierzą 6 × 6). Proszę wyliczyć det(𝐴).
25. Rozważamy układ 2 niezależnych spinów: ℋ = ℋ1/2⊗ℋ1/2(nie ma zależności od współrzędnych przestrzennych); ˜𝑆⃗1 = ⃗𝑆1 ⊗𝕀, ˜⃗𝑆2 = 𝕀 ⊗ ⃗𝑆2 Proszę znaleźć wartości własne i wektory własne operatora ˜𝑆⃗1⋅ ˜𝑆⃗2. Wskazówka: rozważyć działanie operatora
(˜⃗𝑆1+ ˜𝑆⃗2 )2
na stany 1
2𝑚〉
⊗ 1
2𝑚′〉 .
26. Niech 𝐻 oznacza hamiltonian układu. Przypuśćmy, że istnieje operator 𝑇 taki, że [𝑇, 𝐻] = 𝑖𝕀.
Proszę wyliczyć 𝑒𝑖𝛼𝑇𝐻𝑒−𝑖𝛼𝑇. Niech 𝐻𝜓 = 𝐸𝜓. Proszę pokazć, że wtedy 𝑒−𝑖𝛼𝑇𝜓 też jest wektorem wlasnym hamiltonianu - do jakiej wartości własnej? Wywnioskować stąd, że taki operator 𝑇 nie istnieje.
A. Rostworowski http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/
