Classes de Wadge potentielles et th´ eor` emes d’uniformisation partielle

143 (1993)

Classes de Wadge potentielles et th´ eor` emes d’uniformisation partielle

par

Dominique L e c o m t e (Paris)

R´esum´e. On cherche `a donner une construction aussi simple que possible d’un bor´elien donn´e d’un produit de deux espaces polonais. D’o`u l’introduction de la no- tion de classe de Wadge potentielle. On ´etudie notamment ce que signifie “ne pas ˆetre potentiellement ferm´e”, en montrant des r´esultats de type Hurewicz. Ceci nous am`ene naturellement `a des th´eor`emes d’uniformisation partielle, sur des parties “grosses”, au sens du cardinal ou de la cat´egorie.

0. Introduction. La notion de classe de Wadge permet de mesurer la complexit´ e topologique d’un bor´ elien d’un espace polonais de dimension 0.

On peut se demander si la complexit´ e d’un bor´ elien donn´ e ne diminue pas en raffinant la topologie polonaise de l’espace ambiant. Comme on le verra au tout d´ ebut, la r´ eponse est positive : tout bor´ elien peut ˆ etre rendu ouvert.

Mais la question analogue se pose avec des topologies produit, notam- ment lors de l’´ etude des relations d’´ equivalence bor´ eliennes; d’o` u l’intro- duction de la notion de classe de Wadge potentielle (on d´ etaillera ce lien dans le chapitre 1). Apr` es avoir effectu´ e quelques rappels et ´ etabli quelques pro- pri´ et´ es de base, on donne une nouvelle d´ emonstration d’un premier r´ esultat d’uniformisation partielle, d´ ej` a prouv´ e par Przymusi/nski : une condition n´ ecessaire et suffisante pour qu’un bor´ elien contienne un graphe de fonction bor´ elienne ` a image non d´ enombrable. Ensuite, on verra qu’` a chaque niveau de complexit´ e on peut trouver un bor´ elien dont la complexit´ e ne diminue pas.

Suite ` a quoi on cherchera ` a savoir si certains r´ esultats vrais pour les classes de Wadge peuvent ˆ etre adapt´ es aux classes de Wadge potentielles.

En l’occurrence, il s’agit d’une part de voir si cette notion correspond ` a une r´ eduction, comme dans le cas des classes de Wadge classiques, et on verra que non. On cherchera ensuite ` a savoir si on peut obtenir des r´ esultats de type Hurewicz, c’est-` a-dire : ne pas ˆ etre d’une classe donn´ ee, c’est ˆ etre au

1991 Mathematics Subject Classification: Primary 04A15.

moins aussi compliqu´ e que des exemples de r´ ef´ erence n’´ etant pas de cette classe.

On obtiendra des r´ esultats partiels pour les potentiellement ferm´ es, et pour les petites classes de Wadge (notamment, on caract´ erisera les bor´ eliens potentiellement ferm´ es parmi les bor´ eliens ` a coupes d´ enombrables, ` a l’aide d’ensembles localement ` a projections ouvertes).

Ce qui nous am` enera ` a de nouveaux r´ esultats d’uniformisation, pour des ensembles ` a coupes maigres et des G

denses, dont le but est d’obtenir d’autres caract´ erisations que celles ´ evoqu´ ees ci-dessus.

1. Notations et rappels. On utilisera les notations standard de la th´ eorie descriptive des ensembles, qui peuvent ˆ etre trouv´ ees dans [Mo]. Par exemple, on notera D

(Σ

) la classe des diff´ erences de deux ouverts.

Γ d´ esignera une famille d’ensembles, et Γ dX les parties de X qui sont dans Γ . Par exemple, ∆

d2

d´ esignera l’ensemble des bor´ eliens de 2

.

Dans un espace polonais r´ ecursivement pr´ esent´ e, Σ d´ esignera la topolo- gie engendr´ ee par les Σ

(c’est la topologie de Gandy–Harrington), ∆ la topologie engendr´ ee par les ∆

, ce qu’on pourra noter aussi ≺∆

 (cette topologie est polonaise : cf. [Lo4]).

Si X est un tel espace, on pose Ω

:= {x ∈ X : ω

= ω

}. Rappelons (cf. [Mo]) que Ω

est Σ

, et un Σ-ouvert dense (cf. [Lo1]). Les traces des Σ

sur Ω

sont ∆

d(Ω

, ΣdΩ

); en effet, si A est Σ

contenu dans Ω

et f est ∆

telle que f (x) ∈ WO ⇔ x 6∈ A, on a

x 6∈ A ⇔ x 6∈ Ω

ou [x ∈ Ω

et ∃ξ < ω

(f (x) ∈ WO et |f (x)| ≤ ξ)].

L’espace (Ω

, ΣdΩ

) est donc ` a base d´ enombrable d’ouverts-ferm´ es, donc m´ etrisable s´ eparable; on sait (cf. [Lo1]) que c’est un espace fortement α- favorable, donc c’est un espace polonais, de dimension 0 par ce qui pr´ ec` ede.

Si X et Y sont des espaces topologiques, Π

(resp. Π

) d´ esignera la projection de X ×Y sur X (resp. Y ). Le symbole δ(C) d´ esignera le diam` etre de C pour une distance qui rende complet l’espace polonais ambiant.

Par ailleurs, je renvoie le lecteur ` a [Ku] et [Mo] pour ce qui concerne les notions de base en topologie, en th´ eorie descriptive et en th´ eorie effective, et

`

a [W] et [Lo2] pour les r´ esultats sur les classes de Wadge, qui seront rappel´ es en cas de besoin. Rappelons tout de mˆ eme certains de ces r´ esultats.

Soit P

(resp. P ) un espace polonais de dimension 0, et A

(resp. A) un bor´ elien de P

(resp. P ). On dira que A est dans la classe de Wadge engendr´ ee par A

(not´ ee hA

i) s’il existe une fonction continue f de P dans P

telle que A = f

(A

).

Si Γ est une famille d’ensembles, on notera ˇ Γ := { ˇ A : A ∈ Γ }. Par

exemple, ˇ Σ

= Π

. On dira que Γ est auto-duale si Γ = ˇ Γ .

Soit Γ une famille de bor´ eliens d’espaces polonais de dimension 0, stable par image r´ eciproque continue. On montre que Γ est une classe de Wadge non auto-duale si et seulement si Γ admet un universel. Ainsi les classes de Baire additives et multiplicatives sont des classes de Wadge non auto-duales, par exemple.

On ordonne les classes de Wadge par l’inclusion; ce qui pr´ ec` ede montre que cet ordre n’est pas total : deux classes de Wadge non auto-duales duales l’une de l’autre sont incomparables. On a cependant le th´ eor` eme de Wadge : si Γ

et Γ

sont des classes de Wadge, alors Γ

⊆ Γ

ou Γ

⊆ ˇ Γ

. Cet ordre est ´ egalement bien fond´ e. On sait aussi qu’une classe de Wadge non auto-duale a pour successeur une classe de Wadge auto-duale, et qu’une classe de Wadge auto-duale a pour successeurs deux classes de Wadge non auto-duales duales l’une de l’autre.

On montre ´ egalement que si Γ est non auto-duale, 2

contient un vrai Γ , c’est-` a-dire un ´ el´ ement de Γ \ ˇ Γ .

Si F est ferm´ e dans l’espace polonais P de dimension 0, dire que A est dans Γ dF ´ equivaut ` a affirmer l’existence de B dans Γ dP tel que A = B ∩ F . Enfin, si ξ est un ordinal d´ enombrable non nul, on note ∆

-PU(Γ ) la classe suivante : { S

n∈ω

A

∩ U

: (U

) ∆

-partition, A

∈ Γ }. On montre que si Γ est une classe de Wadge, Γ = ∆

-PU(Γ ), et que si de plus Γ 6= {∅} et ˇ Γ 6= {∅}, il existe un plus grand ordinal d´ enombrable ξ tel que Γ = ∆

-PU(Γ ), appel´ e niveau de Γ (on convient que {∅} et {∅}

sont de niveau 0).

Rappel 1.1. (a) [Ku] Si X est un espace polonais et (B

) une suite de bor´ eliens de X, il existe une topologie polonaise sur X, plus fine que la topologie initiale, rendant les B

ouverts.

(b) [Lo3] Si (X, σ) et Y sont des espaces polonais et B un bor´ elien de X × Y ayant ses coupes verticales Σ

, il existe une topologie polonaise σ

sur X, plus fine que σ, telle que B soit Σ

dans (X, σ

) × Y .

Lemme 1.2. Soit (X, σ) un espace polonais; alors il existe une topologie polonaise de dimension 0 sur X plus fine que σ.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Soit (U

) une base de la topologie de σ

:= σ.

A l’aide du rappel 1.1(a), on trouve une topologie σ

rendant ferm´ es les U

. Soit (U

) une base de σ

. On construit comme ceci par r´ ecurrence une suite croissante (σ

) de topologies polonaises sur X telle que si (U

)

est une base de σ

, U

est ferm´ e de (X, σ

). Posons S

:= {U

: j ≤ n, p ∈ ω};

alors σ

= ≺S

, et T

n∈ω

S

= S

, donc σ

:= ≺ S

n∈ω

S

 r´ epond au probl` eme : (X, σ

) est hom´ eomorphe ` a la diagonale de Q

n∈ω

(X, σ

), qui est ferm´ ee dans Q

n∈ω

(X, σ

).

Proposition 1.3. Si X est un espace polonais et (B

) une suite de bor´ eliens de X, il existe une topologie polonaise de dimension 0 sur X, plus fine que la topologie initiale, rendant les B

ouverts.

D ´ e m o n s t r a t i o n. On applique le rappel 1.1(a) et le lemme 1.2.

D´ efinition 1.4. Soient X et Y des espaces polonais, et A un bor´ elien de X × Y . Si Γ est une classe de Wadge de bor´ eliens, on dira que A est potentiellement dans Γ (ce qu’on notera A ∈ Pot(Γ )) s’il existe des topologies polonaises de dimension 0, σ (sur X) et τ (sur Y ), plus fines que les topologies initiales, telles que A, consid´ er´ e comme partie de (X, σ) × (Y, τ ), soit dans Γ .

Dans l’´ etude des relations d’´ equivalence bor´ eliennes, par exemple dans [HKL], on ´ etudie le pr´ e-ordre qui suit. Si E (resp. E

) est une relation d’´ equivalence bor´ elienne sur l’espace polonais X (resp. X

), on pose

E ≤ E

⇔ (∃f : X → X

bor´ elienne telle que xEy ⇔ f (x)E

f (y)).

La derni` ere relation peut s’´ ecrire : E = (f × f )

(E

); or si E

est dans Γ (ou mˆ eme si E

est Pot(Γ )) et E = (f × f )

(E

), E est Pot(Γ ) : si (U

) et (V

) sont des bases des topologies associ´ ees ` a E

, on peut rendre les f

(U

) et les f

(V

) ouverts, par la proposition 1.3, ce qui fournit une topologie σ; on a alors E ∈ Γ d(X, σ) × (X, σ). Ceci motive l’introduction de la notion de classe de Wadge potentielle.

R e m a r q u e 1.5. (a) Si A est un bor´ elien ` a coupes verticales Σ

d’un produit de deux espaces polonais, alors A est Pot(Σ

).

En effet, on applique le rappel 1.1(b) et le lemme 1.2.

R e m a r q u e 1.5. (b) [Lo4] Si Γ est une classe de Wadge et B est ∆

(α) dans ω

× ω

, alors B est Pot(Γ ) si et seulement si B, consid´ er´ e comme partie de ω

× ω

muni de la topologie ∆

, est dans Γ .

Rappelons enfin deux r´ esultats sur les ensembles maigres.

Proposition 1.6 [Lo1]. Si X est un espace polonais parfait non vide et A un sous-ensemble maigre de X × X, on trouve une copie P de 2

dans X telle que si x et y sont distincts dans P , (x, y) n’est pas dans A.

Corollaire 1.7. Si X et Y sont des espaces polonais parfaits non vides et A un sous-ensemble maigre de X × Y , on trouve une copie P (resp. Q) de 2

dans X (resp. Y ) telles que (P × Q) ∩ A = ∅.

D ´ e m o n s t r a t i o n. On peut supposer que X, Y = ω

; en effet, si (U

) est une base de la topologie de X, X

:= X \ S

n∈ω

(U

\ U

) est G

dense de

X, donc polonais parfait, et est de dimension 0. Soit (x

) une suite dense

de X

; alors X

:= X

\ {x

: n ∈ ω} est G

dense de X

, donc polonais de

dimension 0, et est localement non compact, donc hom´ eomorphe ` a ω

. De mˆ eme avec Y .

On applique alors la proposition 1.6 ` a X = Y = ω

; ceci fournit une in- jection continue ψ de 2

dans ω

dont l’image est le P de la proposition 1.6;

on peut alors poser P := ψ

N

et Q := ψ

N

. 2. Ensembles potentiellement ouverts

R e m a r q u e 2.1. Soit A un bor´ elien d’un produit de deux espaces polon- ais. Si A a une de ses projections d´ enombrable, donc en particulier si A est d´ enombrable, A est Pot(∆

).

En effet, si par exemple Π

A est d´ enombrable, on rend les coupes ver- ticales de A ouvertes-ferm´ ees, par la proposition 1.3, de sorte que A est Pot(Σ

) ∩ Pot(Π

), par la remarque 1.5(a). Ceci fournit des topologies σ et σ

sur X, et τ et τ

sur Y , de bases respectives (U

), (U

), (V

), (V

).

On remarque ensuite que si (Z, µ) est polonais et µ

est polonaise sur Z et plus fine que µ, l’application identique, de (Z, µ

) dans (Z, µ), est bijective continue; son inverse est donc bor´ elienne, et par cons´ equent, les bor´ eliens de (Z, µ) et (Z, µ

) co¨ıncident.

On applique alors la proposition 1.3 ` a X, (U

) et (U

), qui sont des bor´ eliens de X, d’une part, et ` a Y , (V

) et (V

) d’autre part, pour avoir le r´ esultat.

Ceci montre en particulier que la notion de classe de Wadge potentielle n’a d’int´ erˆ et que si les espaces polonais ambiants sont non d´ enombrables.

Proposition 2.2. Soit A un bor´ elien d’un produit de deux espaces polon- ais. Alors A est Pot(Σ

) si et seulement si A est r´ eunion d´ enombrable de rectangles bor´ eliens.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Si A est Pot(Σ

), on utilise la remarque de la preuve pr´ ec´ edente. Inversement, on applique la proposition 1.3.

Il r´ esulte de ceci que tous les bor´ eliens d’un produit ne peuvent ˆ etre rendus ouverts en conservant une topologie produit de topologies polonaises;

par exemple, la diagonale ∆(2

) de 2

× 2

n’est pas r´ eunion d´ enombrable de rectangles, donc ∆(2

) n’est pas Pot(Σ

).

On donne maintenant une nouvelle preuve du premier th´ eor` eme d’uni- formisation partielle annonc´ e; assez curieusement, la discussion s’articule autour de la notion d’ensembles potentiellement ouverts. Ce th´ eor` eme sera en outre appliqu´ e au chapitre 3. Notons que ce th´ eor` eme a d´ ej` a ´ et´ e d´ emontr´ e dans [P].

Th´ eor` eme 2.3. Soit A un bor´ elien d’un produit de deux espaces polonais.

Alors A contient un graphe de fonction injective continue d´ efinie sur une

copie de 2

si et seulement si A n’est pas r´ eunion d´ enombrable de rectangles bor´ eliens dont l’un des cˆ ot´ es est un singleton.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Si A contient un graphe comme dans l’´ enonc´ e, rai- sonnons par l’absurde : A = S

n∈ω

A

× B

, avec A

ou B

singleton; si Gr(f ) ⊆ A, Gr(f ) s’´ ecrit S

n∈ω

[Gr(f dA

) ∩ (X × B

)]; comme Gr(f ) est non d´ enombrable, l’un des ensembles Gr(f dA

)∩(X ×B

) est non d´ enombrable, ce qui contredit l’injectivit´ e de f .

Montrons la r´ eciproque.

P r e m i e r c a s : A est Pot(Σ

). D’apr` es la proposition 2.2, on a A = S

n∈ω

A

× B

, avec A

et B

bor´ eliens, donc on peut trouver n tel que A

et B

soient non d´ enombrables, donc bor´ eliennement isomorphes, disons par ϕ. A

contient une copie de 2

, qui contient un G

dense G sur lequel ϕ est continue; G ´ etant non d´ enombrable contient une copie de 2

, d’o` u le r´ esultat.

S e c o n d c a s : A n’est pas Pot(Σ

). Posons

E := {x ∈ X : A(x) est d´ enombrable} .

Si E est co-d´ enombrable, (E × Y ) ∩ A est bor´ elien ` a coupes d´ enombrables, donc est r´ eunion d´ enombrable de graphes bor´ eliens (par le th´ eor` eme de Lusin : cf. [Mo]). De plus, par la remarque 2.1, ( ˇ E × Y ) ∩ A est Pot(∆

), donc (E × Y ) ∩ A n’est pas Pot(Σ

), et l’un des graphes n’est pas Pot(Σ

) (qui est stable par r´ eunion d´ enombrable par la proposition 2.2). Par suite, la fonction correspondante est ` a image non d´ enombrable, par la remarque 2.1. On va alors trouver un parfait du domaine de la fonction sur lequel elle est injective, et on conclut comme au premier cas.

Si E n’est pas co-d´ enombrable, comme il est co-analytique, ˇ E contient une copie de 2

; il suffit donc de voir que si X = 2

et A est ` a coupes verticales non d´ enombrables, A contient un graphe comme dans l’´ enonc´ e.

Posons donc

F := {y ∈ Y : A(y) est maigre dans 2

}.

Si F est co-d´ enombrable, (2

×F )∩A est bor´ elien ` a coupes non d´ enombrables (donc non vides), donc est uniformisable par une fonction Baire-mesurable d´ efinie sur 2

(par le th´ eor` eme de von Neumann). Cette fonction f est continue sur un G

dense G de 2

, et f

G est non d´ enombrable : sinon, comme G = S

β∈f⁰⁰G

G ∩ f

({β}), l’un des G ∩ f

({β}) serait non maigre et contenu dans A(β), ce qui contredirait le fait que β est dans F . On conclut alors comme avant.

Si F n’est pas co-d´ enombrable, comme il est bor´ elien, ˇ F contient une

copie de 2

; il suffit donc de voir que si X = Y = 2

et A est bor´ elien ` a

coupes non maigres, A contient un graphe comme dans l’´ enonc´ e.

Mais par le th´ eor` eme de Kuratowski–Ulam, A est non maigre, donc on peut trouver s et t dans 2

telles que (N

× N

) \ A soit maigre. On trouve alors, par le corollaire 1.7, deux copies P et Q de 2

telles que P × Q ⊆ (N

× N

) ∩ A, et si ϕ est un hom´ eomorphisme de P sur Q, Gr(ϕ) r´ epond ` a la question.

3. Classe de Wadge potentielle d’un bor´ elien. On cherche main- tenant ` a diminuer au maximum la complexit´ e d’un bor´ elien donn´ e d’un produit d’espaces polonais.

Proposition et D´ efinition 3.1. Soit A un bor´ elien d’un produit d’espaces polonais. Il existe une unique classe de Wadge de bor´ eliens, ap- pel´ ee classe de Wadge potentielle de A, et not´ ee Γ

, telle que :

(i) A ∈ Pot(Γ

),

(ii) si Γ est une classe de Wadge strictement contenue dans Γ

, alors A 6∈ Pot(Γ ).

D ´ e m o n s t r a t i o n. Montrons l’existence d’une telle classe, en raison- nant par l’absurde : si Γ

est la classe de Wadge hAi engendr´ ee par A, A est Pot(Γ

) et on trouve Γ

ψ Γ

telle que A soit Pot(Γ

). Par r´ ecurrence, on construit comme ceci Γ

ψ Γ

telles que A soit Pot(Γ

). Mais ceci contredit la bonne fondation de l’ordre de Wadge.

Montrons l’unicit´ e d’une telle classe : si Γ

et Γ

v´ erifient (i), (ii) et Γ

6= Γ

, Γ

6⊆ Γ

(sinon Γ

ψ Γ

et A n’est pas Pot(Γ

)), donc ˇ Γ

⊆ Γ

, et de mˆ eme ˇ Γ

⊆ Γ

, donc Γ

= ˇ Γ

est non auto-duale.

L’ensemble A est dans Pot(Γ

) ∩ Pot(Γ

), donc comme dans la preuve de la remarque 2.1, on trouve des topologies σ et τ telles que A soit dans (Γ

∩ Γ

)d(X, σ) × (Y, τ ). Mais la classe de Wadge Γ engendr´ ee par A, consid´ er´ e comme partie de (X, σ) × (Y, τ ), v´ erifie A ∈ Pot(Γ ) et Γ ⊆ Γ

∩ ˇ Γ

ψ Γ

, une contradiction.

Toute classe de Wadge potentielle est donc une classe de Wadge; on peut se demander s’il y a une r´ eciproque. L’exemple de la diagonale de 2

montre que c’est vrai pour la classe des ferm´ es, et on va voir que c’est vrai en g´ en´ eral.

On peut mˆ eme pr´ eciser ce r´ esultat, en trouvant un Pot(Γ ) “maximal”; mais pour ce faire on introduit une classe de fonctions qui est le candidat na- turel pour le probl` eme de la r´ eduction ´ evoqu´ e dans l’introduction, comme le montre le lemme suivant.

Soit donc C

la classe des fonctions telles que l’image r´ eciproque d’un Pot(Σ

) soit aussi Pot(Σ

).

Lemme 3.2. Soient X, Y , X

, Y

des espaces polonais, A (resp. B) un

bor´ elien de X × Y (resp. X

× Y

); si f , de X

× Y

dans X × Y , est dans

C

et r´ eduit B ` a A, alors Γ

est contenue dans Γ

.

D ´ e m o n s t r a t i o n. A ∈ Pot(Γ

), ce qui fournit σ et τ telles que A est dans Γ

d(X, σ) × (Y, τ ). Soient (U

) et (V

) des bases de σ et τ . Comme f est dans C

, par la proposition 2.2 on trouve des bor´ eliens U

et V

tels que f

(U

× V

) = S

m∈ω

U

× V

. Par la proposition 1.3, on obtient des topologies σ

et τ

rendant les U

et les V

ouverts, de sorte que f , de (X

, σ

) × (Y

, τ

) dans (X, σ) × (Y, τ ), est continue. Donc B est dans Γ

d(X

, σ

) × (Y

, τ

) et B ∈ Pot(Γ

), d’o` u le r´ esultat : sinon Γ

⊆ ˇ Γ

, et B ∈ Pot(Γ

) ∩ Pot( ˇ Γ

); donc comme dans la preuve de la proposition 3.1, et par abus de langage, B ∈ Pot(Γ

∩ ˇ Γ

) et Γ

= ˇ Γ

; d’o` u Γ

ψ Γ

, ce qui contredit B ∈ Pot(Γ

).

Th´ eor` eme 3.3. Si Γ est une classe de Wadge de bor´ eliens il existe B dans Γ dω

× ω

tel que :

(i) Γ

= Γ ,

(ii) A est Pot(Γ ) si et seulement s’il existe f dans C

injective telle que A = f

(B).

D ´ e m o n s t r a t i o n. P r e m i e r c a s : Γ est non auto-duale. Soit U un universel pour Γ dω

, U ⊆ ω

× ω

. Posons (α)

(n) := α(2n + i), o` u i = 0, 1,

hγ, βi(n) :=  γ(k) si n = 2k, β(k) si n = 2k + 1, et B(α, β) ⇔ U ((α)

, h(α)

, βi).

Alors B est aussi universel pour Γ dω

: (·)

est continue, donc si C est dans Γ dω

, (·)

(C) aussi, et il existe α dans ω

tel que (·)

(C) = U

; hα, 0

i est donc un code pour C.

B est dans Γ , donc comme ` a la fin de la preuve du lemme pr´ ec´ edent, Γ

⊆ Γ . Raisonnons par l’absurde pour montrer (i) : Γ

ψ Γ , donc Γ

⊆ ˇ Γ ; B est Pot(Γ

), ce qui fournit des topologies σ et τ telles que B ∈ Γ

d(ω

, σ) × (ω

, τ ), et on a B ∈ ˇ Γ d(ω

, σ) × (ω

, τ ).

L’application identique, de (ω

, σ) dans ω

, est bijective continue, donc d’inverse bor´ elienne; son inverse est donc continue sur un G

dense G de ω

; sur G, σ et la topologie usuelle co¨ıncident. G ´ etant non d´ enombrable contient une copie L de 2

, et comme Γ 6= ˇ Γ , on peut trouver D dans (Γ \ ˇ Γ )dL; D = E ∩ L, o` u E ∈ Γ dω

. B ´ etant universel, soit α dans ω

tel que B

= E. Tout comme B

, E est dans ˇ Γ d(ω

, σ), donc E ∩ G est dans Γ dG car sur G, les topologies sont identiques. Donc D est dans ˇ ˇ Γ dL, une contradiction qui montre que Γ = Γ

.

Pour (ii), si A = f

(B), A est Pot(Γ ) ` a cause du lemme pr´ ec´ edent.

Inversement, si A est Pot(Γ ), on trouve σ

et τ

telles que A soit dans

Γ d(X, σ

) × (Y, τ

). On trouve des ferm´ es F et H de ω

, et des hom´ eomor-

phismes : ϕ, de (X, σ

) sur F , et ψ, de (Y, τ

) sur H. (ϕ×ψ)

A ∈ Γ d(F ×H),

donc est la trace sur F ×H de R ∈ Γ dω

×ω

. h·, ·i est un hom´ eomorphisme,

donc il existe α dans ω

tel que h·, ·i

R = U

, ce qui s’´ ecrit R(γ, β) ⇔ U (α, hγ, βi) ⇔ B(hα, γi, β) .

La fonction f := g ◦ (ϕ × ψ) ◦ Id r´ epond ` a la question, si on pose g : F × H → ω

× ω

, (γ, β) 7→ (hα, γi, β) ,

puisque par la proposition 2.2, les fonctions de la forme u × v, avec u et v bor´ eliennes, sont dans C

.

S e c o n d c a s : Γ est auto-duale. On sait qu’alors: ou bien il existe une suite strictement croissante (Γ

), cofinale dans Γ , de classes de Wadge non auto-duales telle que

Γ = n [

n∈ω

A

∩ U

: (U

) ∆

-partition, A

∈ Γ

o , ou bien Γ est le successeur d’une classe non auto-duale Γ

telle que

Γ = {(A ∩ N ) ∪ (B \ N ) : N ∈ ∆

, A ∈ Γ

, B ∈ ˇ Γ

} .

Dans la premi` ere ´ eventualit´ e, comme Γ

est non auto-duale, on trouve A

dans Γ

dω

× ω

tel que Γ

= Γ

et si B

est dans Γ

dω

× ω

, il existe α

dans ω

tel que B

(γ, β) ⇔ A

(hα

, γi, β) (ceci par le premier cas).

Soit

ψ

: ω

→ N

, α 7→ n

α , et B := S

n∈ω

(ψ

× Id)

A

. La fonction ψ

´ etant un hom´ eomorphisme, (ψ

× Id)

A

∈ Γ

dN

× ω

⊆ Γ dN

× ω

et B ∈ ∆

-PU(Γ ) = Γ , donc Γ

⊆ Γ .

Si l’inclusion est stricte, il existe n tel que Γ

ψ Γ

= Γ

; or on a A

= (ψ

× Id)

(B), et Γ

⊆ Γ

par le lemme pr´ ec´ edent, d’o` u contra- diction. Donc Γ

= Γ .

Si A est Pot(Γ ), on trouve σ

, τ

, F , H, ϕ, ψ, R comme au premier cas. On sait qu’on peut trouver une ∆

-partition (U

) de ω

× ω

et B

dans Γ

dω

× ω

tels que l’on ait l’´ egalit´ e R = S

n∈ω

U

∩ B

. La fonction f := h ◦ (ϕ × ψ) ◦ Id convient, si on pose

h : F × H → ω

× ω

, (γ, β) 7→ (ψ

(hα

, γi), β) si (γ, β) ∈ U

, puisque si C et D sont des bor´ eliens de ω

, on a

h

(C × D) = [

n∈ω

U

∩ ({α ∈ ω

: ψ

(hα

, αi) ∈ C} × D) ∈ Pot(Σ

) . Dans la seconde ´ eventualit´ e, on trouve A

dans Γ

dω

× ω

, et A

dans Γ ˇ

dω

× ω

tels que Γ

= Γ

, Γ

= ˇ Γ

; et si C (resp. D) est dans Γ

(resp. Γ ) dω

× ω

, on trouve α

(resp. α

) dans ω

tels que

C(γ, β) ⇔ A

(hα

, γi, β), D(γ, β) ⇔ A

(hα

, γi, β) .

Si ϕ

est un hom´ eomorphisme de ω

sur ω

\ N

, et si B := (ϕ

× Id)

A

∪ (ψ

× Id)

A

, B est dans Γ dω

× ω

, donc Γ

⊆ Γ .

Comme Γ est le successeur de Γ

, si l’inclusion est stricte, on a Γ

⊆ Γ

ou Γ

⊆ ˇ Γ

. Soit par exemple Γ

⊆ Γ

; A

∈ Pot( ˇ Γ

) = Pot(Γ

), et comme Γ

est non auto-duale, A

n’est pas Pot(Γ

) car Γ

= ˇ Γ

. Donc A

n’est pas Pot(Γ

); or A

= (ϕ

× Id)

(B), donc Γ

⊆ Γ

, une contradiction.

La derni` ere partie est analogue ` a celle de la premi` ere ´ eventualit´ e.

On cherche maintenant ` a adapter les r´ esultats sur les classes de Wadge.

Si C (resp. D) est bor´ elien de X (resp. Y ), on a

hCi ⊆ hDi ⇔ il existe f continue, de X dans Y , telle que C = f

(D).

Une question analogue se pose pour les classes de Wadge potentielles : peut-on trouver une classe de fonctions C telle que si B est bor´ elien de Z ×T , on ait

Γ

⊆ Γ

⇔ ∃f : X × Y → Z × T dans C telle que A = f

(B) . Comme on va le voir, la r´ eponse est n´ egative; la classe qui semblait le candidat “raisonnable”, C

` a cause du lemme pr´ ec´ edent, ne fonctionne pas, et ` a un petit niveau (avec A ∈ Π

et B ∈ ˇ D

(Σ

)).

On notera ≤

le pr´ e-ordre associ´ e ` a C

:

A ≤

B ⇔ il existe f dans C

telle que A = f

(B).

L’in´ egalit´ e A ≤

B entraˆıne donc l’inclusion Γ

⊆ Γ

, par le lemme 3.2.

On montre maintenant un lemme bien plus fort que n´ ecessaire pour in- troduire le contre-exemple ´ evoqu´ e ci-dessus, mais qui permettra de mieux comprendre ce qu’on cherche ` a faire dans les paragraphes suivants.

D´ efinition 3.4. Si X est un espace polonais, on dira que G, G

de X, est presque-ouvert si G est contenu dans l’int´ erieur de son adh´ erence.

Lemme 3.5. Soient (C

) (resp. (D

)) des suites de presque-ouverts non vides de X (resp. Y ), f

: C

→ D

continues et ouvertes, B la r´ eunion S

n∈ω\{0}

Gr(f

), et A un bor´ elien de X × Y contenant B; si B \ A contient Gr(f

), alors A n’est pas Pot(Π

).

D ´ e m o n s t r a t i o n. Sinon, soit F (resp. G) un G

dense de X (resp. Y ) sur lequel les topologies (initiales et fournies par le fait que A soit Pot(Π

)) co¨ıncident (on montre leur existence comme dans la preuve du th´ eor` eme 3.3);

on a A ∩ (F × G) ∈ Π

dF × G.

Montrons que Gr(f

) ⊆ Gr(f

) ∩ (F × G). Soit U (resp. V ) un ouvert de X (resp. Y ) tels que (U × V ) ∩ Gr(f

) 6= ∅. Alors D

∩ V ∩ G est un G

dense de D

∩ V , donc f

(V ∩ G) est un G

dense de f

(V ).

Donc F ∩ f

(V ), puis F ∩ f

(V ∩ G), sont des G

denses de f

(V );

ce dernier rencontre donc U ∩ f

(V ) en au moins {x}; alors (x, f

(x)) est dans (U × V ) ∩ (F × G) ∩ Gr(f

) 6= ∅.

Gr(f

) est non vide, donc par ce qui pr´ ec` ede on trouve (x, y) dans (F × G) ∩ Gr(f

), et on a (x, y) ∈ (F × G) ∩ B \ A; il suffit donc de voir que (F × G) ∩ B ⊆ (F × G) ∩ B ∩ (F × G). On applique alors le fait que Gr(f

) ⊆ Gr(f

) ∩ (F × G) pour avoir la contradiction cherch´ ee.

Exemple 3.6. Soit D

:= {(α, β) ∈ 2

× 2

: ∃!p ∈ ω, α(p) 6= β(p)}.

Alors D

n’est pas Pot(Π

).

En effet, on applique le lemme pr´ ec´ edent ` a X = Y = C

= D

= 2

, f

(α) = α, f

(α)(p) = α(p) ⇔ p 6= n − 1 si n > 0, et A = B.

Th´ eor` eme 3.7. Il n’existe pas de classe de fonctions C telle que l’inclu- sion de Γ

dans Γ

soit ´ equivalente ` a l’existence de f dans C telle que A = f

(B).

D ´ e m o n s t r a t i o n. Raisonnons par l’absurde; si B est Pot(Σ

) et f dans C, comme Γ

⊆ Σ

, Γ

⊆ Σ

, donc f

(B) est Pot(Σ

). Donc si C existe, C est une sous-classe de C

.

Comme on l’a vu avant le lemme 3.2, Γ

= Π

, et par 3.6, ˇ D

n’est pas Pot(Σ

), donc Π

⊆ Γ

et Γ

⊆ Γ

. Il suffit donc de voir que

∆(2

) 6≤

D ˇ

pour avoir la contradiction cherch´ ee.

Raisonnons par l’absurde : il existe f dans C

telle que ∆(2

) = f

( ˇ D

).

Alors f

(∆(2

)) est non d´ enombrable, sinon par la remarque 2.1, f

(∆(2

)) serait Pot(Σ

), et par suite ∆(2

) = f

(f

(∆(2

))) aussi, ce qui est ex- clus.

On peut donc trouver une copie P de 2

dans ∆(2

) sur laquelle f est injective; f

P est donc un bor´ elien non d´ enombrable, et ses coupes sont d´ enombrables : si par exemple une de ses coupes verticales C est non d´ enombrable, soit (f

P )(α

), {α

} × C est un rectangle bor´elien, donc est Pot(Σ

); f

({α

} × C) est alors aussi Pot(Σ

), non d´ enombrable car {α

} × C ⊆ f

(2

× 2

), et contenu dans ∆(2

), ce qui est contra- dictoire.

f

P n’est donc pas r´ eunion d´ enombrable de rectangles bor´ eliens dont l’un des cˆ ot´ es soit un singleton, sinon les cˆ ot´ es seraient d´ enombrables comme les coupes, et P aussi. Par le th´ eor` eme 2.3, il existe un hom´ eomorphisme ψ de 2

sur un compact L, et une injection continue g d´ efinie sur L, dont le graphe est contenu dans f

P .

Alors si B := D

∩ (L × g

L), B est bor´ elien ` a coupes d´ enombrables

de L × g

L, donc est maigre relativement ` a L × g

L. Donc, si l’on pose

E := (ψ × (g ◦ ψ))

(B), E est maigre relativement ` a 2

× 2

, et par la

proposition 1.6, il existe M hom´ eomorphe ` a 2

tel que si α et β sont distincts

dans M , alors (α, β) n’est pas dans E.

Soit R := ψ

M × (g ◦ ψ)

M ; alors R ⊆ ˇ D

, sinon soit (α, β) dans R ∩ D

; on a alors α = ψ(θ) et β = g(ψ(ε)), o` u θ, ε sont dans M , et θ 6= ε, sinon (α, β) ∈ Gr(g) ⊆ f

P ⊆ ˇ D

. Donc (θ, ε) 6∈ E et (α, β) 6∈ B, une contradiction.

De plus, Gr(gdψ

M ) ⊆ R ∩ f

P , donc R ∩ f

P est non d´ enombrable, et f

(R) est Pot(Σ

) comme R, est contenu dans ∆(2

), et est non d´ enombrable, ce qui est exclus.

4. R´ esultats de type “Hurewicz”. Dans [Lo-SR], il est d´ emontr´ e le r´ esultat suivant :

Th´ eor` eme 4.1. Si ξ est un ordinal d´ enombrable non nul , il existe un compact de dimension 0, P

, et un vrai Σ

de P

, A

, tels que si A est un bor´ elien de l’espace polonais X, on ait : A n’est pas Π

de X si et seulement s’il existe une injection continue f de P

dans X telle que A

= f

(A).

En fait P

= 2

, sauf si ξ = 1, auquel cas P

est constitu´ e d’une suite convergente infinie et de sa limite. Ceci implique, avec B = f

P

, que A n’est pas Π

si et seulement s’il existe un ferm´ e B de X tel que A ∩ B soit un vrai Σ

de B. L’ensemble A

est dit “test d’Hurewicz”.

Dans la suite, on cherchera ` a ´ etablir un analogue ` a ces r´ esultats dans le cas o` u ξ = 1. On y parviendra partiellement; dans cet esprit, voici la

D´ efinition 4.2. Si Γ est une classe, on dira que P

(Γ ) est v´ erifi´ ee si, pour tout A dans Γ , A n’est pas Pot(Π

) si et seulement s’il existe un Pot(Π

), B, et un Pot(Σ

), C, tels que B ∩ C = B ∩ A ne soit pas Pot(Π

).

En apparence, cette propri´ et´ e n’explique pas ce que signifie “A n’est pas Pot(Π

)”. Mais elle ram` ene le probl` eme au cas o` u A est Pot(D

(Σ

)), et on va voir que sous l’hypoth` ese “A est Pot(F

)”, on sait caract´ eriser quand A n’est pas Pot(Π

). Mais il nous faut la

D´ efinition 4.3. Si X et Y sont des espaces topologiques, une partie A de X × Y sera dite localement ` a projections ouvertes (ou l.p.o.) si pour tout ouvert U de X × Y , les projections de A ∩ U sont ouvertes.

Lemme 4.4. Soient X et Y des espaces polonais, F et G des G

denses de X et Y , et A un G

l.p.o. non vide de X × Y ; alors A ∩ (F × G) est non vide.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Soient (U

) et (V

) des suites d’ouverts denses, de X et Y , telles que F = T

n∈ω

U

, G = T

n∈ω

V

, et (F

) une suite de ferm´ es de X × Y telle que A = T

n∈ω

F ˇ

. On construit par r´ ecurrence sur n des suites d’ouverts non vides (O

) et (T

) de X et Y v´ erifiant :

(i) δ(O

), δ(T

) < 2

,

(ii) O

× T

⊆ (U

× V

) \ F

, (iii) A ∩ (O

× T

) 6= ∅,

(iv) O

⊆ O

, T

⊆ T

.

Admettons avoir construit ces objets; (O

) et (T

) sont des suites d´ e- croissantes de ferm´ es non vides dont les diam` etres tendent vers 0, donc leurs intersections sont {x} et {y}; mais (x, y) ∈ O

× T

⊆ ˇ F

∩ (U

× V

), donc (x, y) ∈ A ∩ (F × G) 6= ∅.

Admettons avoir construit (O

)

et (T

)

v´ erifiant les conditions demand´ ees; alors par (iii), Π

(A ∩ (O

× T

)) est un ouvert non vide de X, donc rencontre U

: l’ensemble A ∩ [(O

∩ U

) × T

] est non vide, donc sa projection sur Y est un ouvert non vide de Y , donc rencontre V

. L’ensemble A ∩ [(O

∩ U

) × (T

∩ V

)] est non vide, donc contient (x

, y

); il reste ` a choisir deux ouverts O

et T

de diam` etre au plus 2

v´ erifiant la double inclusion suivante :

(x

, y

) ∈ O

× T

⊆ O

× T

⊆ [(O

∩ U

) × (T

∩ V

)] \ F

. On remarquera que ce r´ esultat est faux si on ne suppose pas que A est un G

. D´ esignons par P

l’ensemble des suites de 0 et de 1 comportant une infinit´ e de termes ´ egaux ` a 1. Si maintenant A d´ esigne (2

×2

)\(P

×P

), A est un K

qui v´ erifie les autres conditions du lemme et ne rencontre pas P

× P

!

Th´ eor` eme 4.5. (a) Soit A un Pot(F

) d’un produit d’espaces polonais X × Y ; alors A n’est pas Pot(Π

) si et seulement s’il existe des espaces polonais de dimension 0, Z et T , une suite de ferm´ es de Z × T , (F

), et des fonctions injectives continues, f , de Z dans X, et g, de T dans Y , tels que si C := S

n∈ω

F

, on ait : (i) C \ C 6= ∅,

(ii) C = (f × g)

(A), (iii) C \ C et F

sont l.p.o.

(b) Soit A un Pot(∆

) d’un produit d’espaces polonais X × Y ; alors A n’est pas Pot(Π

) si et seulement s’il existe des espaces polonais de dimen- sion 0, Z et T , un ∆

de Z × T , C, et des fonctions injectives continues, f , de Z dans X, et g, de T dans Y , tels que :

(i) C \ C 6= ∅,

(ii) C = (f × g)

(A), (iii) C \ C et C sont l.p.o.

D ´ e m o n s t r a t i o n. (a) Raisonnons par l’absurde : si A est Pot(Π

),

C aussi et on trouve des G

denses F et G de Z et T tels que C ∩ (F × G)

soit dans Π

dF × G.

On applique le lemme pr´ ec´ edent ` a Z, T , F , G, et C \ C, et on a [(F × G) ∩ C] \ C 6= ∅. Il suffit alors de voir que ce dernier ensemble est ´ egal ` a [(F × G) ∩ C ∩ (F × G)] \ C pour avoir la contradiction cherch´ ee;

et il suffit de voir que F

⊆ F

∩ (F × G).

Si U et V sont des ouverts de Z et T tels que F

∩ (U × V ) soit non vide, on applique le lemme pr´ ec´ edent ` a U , V , F ∩ U, G ∩ V , et F

∩ (U × V ) pour voir que F

∩ [(F ∩ U ) × (G ∩ V )] est lui aussi non vide.

Inversement, on peut supposer que X et Y sont des ferm´ es de ω

, et pour simplifier l’´ ecriture qu’ils sont ∆

, ainsi que la suite (G

) de ferm´ es pour ∆

dont A est la r´ eunion (on applique la remarque 1.5(b)).

Comme ∆ ⊆ Σ, et par une double application du th´ eor` eme de s´ eparation, on voit que A

2

= A

2

; par suite, puisque ∆ est polonaise, A

2

\ A est un Σ

non vide, ainsi que (A

2

\ A) ∩ Ω

; et puisque Ω

⊆ Ω

, (A

2

\ A) ∩ Ω

est lui aussi non vide; posons Z := (X ∩ Ω

, ΣdX ∩ Ω

), T := (Y ∩ Ω

, ΣdY ∩ Ω

), F

:= G

∩ (Z × T ), et prenons pour f et g les applications identiques.

Alors (A

2

\ A) ∩ Ω

= A ∩ (Z × T )

2

∩ (Z × T ) \ (A ∩ (Z × T )), donc ces objets conviennent : C \ C et F

sont Σ

et un ouvert de Z × T est r´ eunion de rectangles Σ

(les projections des traces de ces rectangles seront donc Σ

).

(b) Si A n’est pas Pot(Π

), on raisonne comme dans (a), ` a ceci pr` es qu’on pose C := A ∩ (Z × T ).

La r´ eciproque est analogue ` a celle de (a), ` a ceci pr` es que pour montrer l’´ egalit´ e entre [(F × G) ∩ C] \ C et [(F × G) ∩ C ∩ (F × G)] \ C, il suffit de voir que C ⊆ C ∩ (F × G); si U et V sont des ouverts de Z et T tels que C ∩ (U × V ) soit non vide, on applique le lemme 4.4 ` a U , V , F ∩ U , G ∩ V , et C ∩ (U × V ).

On introduit maintenant une propri´ et´ e, qui est du type Hurewicz au sens de l’introduction; ` a ceci pr` es que pour comparer la complexit´ e, on n’a pas de r´ eduction sur tout l’espace de d´ epart, mais seulement sur un ferm´ e.

D´ efinition 4.6. Si Γ est une classe, on dira que P

(Γ ) est v´ erifi´ ee si pour tout A dans Γ dX × Y , A n’est pas Pot(Π

) si et seulement s’il existe des espaces polonais de dimension 0, Z et T , une D

(Σ

) de Z × T , D, et des fonctions injectives continues, f , de Z dans X, et g, de T dans Y , tels que :

(i) D \ D 6= ∅,

(ii) D ∩ (f × g)

(A) = D, (iii) D et D \ D sont l.p.o.

Proposition 4.7. P

(Γ ) ´ equivaut ` a P

(Γ ).

D ´ e m o n s t r a t i o n. Supposons P

(Γ ); si A ∈ Γ \ Pot(Π

), soient B et C fournis par P

(Γ ), σ et τ rendant B ferm´ e. Alors comme dans la preuve du th´ eor` eme 4.5(b) on trouve Z, T , et D comme indiqu´ e et des injections continues F , de Z dans (X, σ), et G, de T dans (Y, τ ), tels que l’on ait l’´ egalit´ e D = (F × G)

(A) ∩ (F × G)

(B) (ceci parce que B ∩ C est Pot(D

(Σ

))). D’o` u D ∩ (F × G)

(A) = D, et il ne reste qu’` a revenir aux topologies initiales pour obtenir f et g.

Inversement, si A ∈ Pot(Π

), D aussi, ce qui est exclus, comme dans la preuve du th´ eor` eme 4.5(b).

Supposons maintenant P

(Γ ); Pot(Π

) ´ etant stable par intersection finie, A n’est pas Pot(Π

) si B et C existent.

Inversement, si A n’est pas Pot(Π

), soient Z, T , D, f , et g fournis par P

(Γ ); D = U ∩ D, o` u U est ouvert de Z × T , donc B := (f × g)

D et C := (f × g)

U r´ epondent au probl` eme, par injectivit´ e de f et g : on a B ∩ A = (f × g)

D = C ∩ B.

Cette proposition permet de comprendre pourquoi, indirectement, la propri´ et´ e P

permet de mieux connaˆıtre les bor´ eliens non potentiellement ferm´ es. On ´ etablit maintenant cette propri´ et´ e pour certaines familles de bor´ eliens.

Proposition 4.8. La propri´ et´ e P

est v´ erifi´ ee par chacune des classes suivantes :

(i) les ensembles potentiellement ∆

,

(ii) les bor´ eliens ` a coupes verticales co-d´ enombrables, (iii) les relations d’´ equivalence bor´ eliennes.

Avant de d´ emontrer cette proposition, on donne la d´ efinition suivante : D´ efinition 4.9. Si Γ est une classe, on dira que P

(Γ ) est v´ erifi´ ee si pour tout A dans Γ , A n’est pas Pot(Σ

) si et seulement s’il existe B dans Pot(Π

) tel que A ∩ B soit Pot(Π

), et tel que pour tout C dans Pot(Σ

), A ∩ B 6= C ∩ B.

Il est clair, en raison des formules B\A = B\(A∩B) et B∩A = B\(B\A) que P

(Γ ) ´ equivaut ` a P

(Γ ) si Γ est auto-duale; mais cette derni` ere est plus maniable quand il est question de r´ eunions d´ enombrables.

D ´ e m o n s t r a t i o n d e l a p r o p o s i t i o n 4.8. On a d´ emontr´ e le “si”

dans le cas g´ en´ eral; on montre donc la r´ eciproque dans chacun des trois cas.

(i) On montre la chose plus pr´ ecise suivante : si Γ est un contre-exemple minimal (pour l’ordre de Wadge) ` a P

(Pot(Γ )), Γ est non auto-duale et est de niveau au moins deux.

Si Γ est auto-duale, traitons le premier cas de l’alternative ´ evoqu´ ee dans

la preuve du th´ eor` eme 3.3 (l’autre cas ´ etant plus simple) : on trouve une