Opracował: Marek Cabaj
Politechnika Świętokrzyska w Kielcach Centrum Laserowych Technologii Metali
1
Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu:
„Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”.
Ćwiczenie 1:
Niektóre metody przetwarzania sygnałów cyfrowych.
Niezbędne wiadomości:
1. Szum – określenie.
Sygnał przy przesyłaniu i przetwarzaniu może ulec pewnym zniekształceniom. Różnicę między sygnałem pierwotnym a ostatecznym nazywamy szumem. Szum możemy potraktować jako sygnał o charakterze przypadkowym, którego średnia wartość jest równa zeru. W układach rzeczywistych szum towarzyszy każdemu sygnałowi. Zbyt duża jego wartość może w znacznym stopniu zakłócić lub wręcz uniemożliwić prawidłowe działanie systemu wykorzystującego sygnał.
W większości systemów, o ich przydatności dla użytkownika decyduje względny poziom mocy szumu w stosunku do mocy sygnału użytecznego:
S/N = (Moc sygnału)/(Moc szumu)
Dla wielu spotykanych w praktyce systemów stosunek ten przyjmuje bardzo duże wartości, dlatego zwykle S/N podaje się w dogodniejszej mierze logarytmicznej, której jednostką jest decybel (dB), przy czym:
S/N dB = 10 log10 (S/N)
Dla sygnału dyskretnego U określonego przez n próbek, z których każda jest sumą sygnału użytecznego i szumu możemy napisać:
U(i)=S(i)+N(i) gdzie: S(i) – wartość sygnału dla i-tej próbki
N(i) – wartość szumu dla i-tej próbki.
Moc sygnału jest proporcjonalna do wartości:
∑
=
⋅
= n
i
S k S i
P
1
2( ) gdzie k – współczynnik proporcjonalności zaś moc szumu proporcjonalna do:
∑ ∑[ ]
=
=
−
⋅
=
⋅
= n
i n
i
N k N i k U i S i
P
1
2 1
2( ) ( ) ()
Stosunek S/N ( w dB) jest więc równy:
∑[ ]
∑
∑
∑
=
=
=
=
−
=
= n
i n
i n
i n
i
i S i U
i S
i N
i S N
S
1
2 1
2
10
1 2 1
2
10
) ( ) (
) ( log
10 ) (
) ( log
10 /
2. Średnia ruchoma.
Prostą metodą na poprawienie stosunku S/N dla sygnałów dyskretnych jest zastosowanie algorytmu tzw.
średniej ruchomej. Na podstawie ciągu wartości U(n) wyznaczamy nowy ciąg Uf(n) wg wzoru:
k
i n U n
U
k
i f
∑−
=
−
=
1
0
) ( )
( gdzie k – zdefiniowana przez nas liczba
naturalna (k>0)
Opracował: Marek Cabaj
Politechnika Świętokrzyska w Kielcach Centrum Laserowych Technologii Metali
2
Próbki nowego sygnału są więc określone jako średnia arytmetyczna z ostatnich k próbek sygnału wejściowego.
3. Koherentne uśrednianie sygnału.
Inną metodą poprawy S/N jest tzw. uśrednianie koherentne (zwane również jako liniowe, przeddetekcyjne lub wektorowe). Użycie tej metody możliwe jest, gdy sygnał użyteczny jest sygnałem okresowym (sygnał powtarza się co N próbek), lub sygnał generowany jest wielokrotnie (np. w powtarzanym kilkukrotnie eksperymencie).
Dla wyznaczenia średniej koherentnej konieczne jest zgromadzenie wielokrotnych zbiorów próbek sygnału źródłowego, zakłóconego szumem. Faza sygnału musi być identyczna w każdym ze zbiorów.
Jeśli dysponujemy k – zbiorami, to wartość próbek dla średniej koherentnej wyznaczamy z zależności:
k
n U n
U
k
i i f
∑
= =1
) ( )
( gdzie Ui(n) – wartość n-tej próbki w i-tym zbiorze.
Analiza matematyczna pokazuje, że stosunek S/N poprawia się w tym wypadku o 10⋅log10(k).
4. Interpolacja.
Jeśli w sygnale dyskretnym z równomiernym próbkowaniem jedna lub kilka próbek zostało zniszczonych, to można je w sposób przybliżony odtworzyć metodą interpolacji liniowej. Ideę tej metody przedstawiono na rysunku poniżej:
Dla powyższego przykładu:
2
) 1 ( ) 1 ) (
1 ( )
( ≈ − +U i+ +U i− i
U i U
W taki sposób można w przybliżeniu odtworzyć kilka kolejnych brakujących próbek, lub nawet zmieniać częstotliwość próbkowania (dodając nowe próbki między istniejącymi). W niektórych przypadkach, kiedy konieczne jest uzyskanie większej dokładności, interpolacja liniowa nie wystarcza i należy użyć bardziej zaawansowanych metod, np. interpolacji kwadratowej.
5. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów.
Aproksymacja polega na dobraniu spośród funkcji o określonej postaci takiej, która w przybliżony sposób przedstawia daną funkcję f(x) dla xœ<a,b>. Wybrana funkcja g(x) zwana aproksymującą, może być na przykład określona w postaci wielomianu:
g(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... +aNxN
albo ogólniej, w postaci kombinacji liniowej niezależnych liniowo funkcji g0(x), g1(x), g2(x) .... gN(x):
g(x) = a0 g0(x) + a1 g1(x) + a2 g2(x) + .... +aN gN(x)
W tym przypadku zagadnienie aproksymacji f(x) funkcją g(x) sprowadza się do znalezienia wartości współczynników a0, a1, a2 .... aN takich, aby g(x) spełniała określone kryteria np. aby wartość całki:
=∫[ − ]
b
a
dx x g x f
J ( ) ( ) 2
miała możliwie najmniejszą wartość. Przy takim kryterium jest to aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów.
Opracował: Marek Cabaj
Politechnika Świętokrzyska w Kielcach Centrum Laserowych Technologii Metali
3
Jeśli f(x) jest określona tylko w określonych punktach: x0, x1, x2 .... xk , to kryterium przyjmie postać:
∑ ∑
= =
−
= k
i
i N
n n
i g x
x f J
0
2
0
) ( )
(
Można wykazać, że powyższe wyrażenie osiąga minimum wówczas, gdy spełniony jest układ równań:
A∗G =F
gdzie A, G i F są macierzami:
A=[a0 a1 ... aN]
=
) ( ....
) ( ) (
....
....
....
....
) ( ....
) ( ) (
) ( ....
) ( ) (
1 0
1 1
1 0 1
0 1
0 0 0
k N N
N
k k
x g x
g x g
x g x
g x g
x g x
g x g G
[f(x0) f(x1) ... f(xk)]
F =
Rozwiązanie tego układu prowadzi do znalezienia optymalnych współczynników a0, a1, a2 .... aN.
Zadanie 1.
W pliku tekstowym c1z1dat.dat zapisano przebieg sygnału dyskretnego, zakłóconego szumem.
a) sporządzić wykres tego sygnału;
b) napisać skrypt wyznaczający średnią ruchomą dla tego sygnału na podstawie k próbek.
c) wygenerować sygnały dla k=20 i k=50. Porównać na wykresie przebieg otrzymanych sygnałów z sygnałem pierwotnym.
d) zakładając, że niezakłócony sygnał pierwotny jest określony wzorem:
− +
= −
sin 100 ) 1
( 5 , 0 )
( 0.001 n
e n
u n
obliczyć stosunek S/N dla sygnału z pliku oraz sygnałów uzyskanych metodą średniej ruchomej.
Zadanie 2.
W pliku tekstowym c1z2dat.dat zapisano serię 10-ciu pomiarów wielkości fizycznej, uzyskanych w powtarzanych eksperymentach. W każdym eksperymencie mierzono wielkość fizyczną w jednakowych odstępach czasu.
a) sporządzić wykres obrazujący przebieg mierzonej wielkości w funkcji czasu dla trzech dowolnie wybranych eksperymentów;
b) wyznaczyć średnią koherentną sygnału;
c) zakładając, że rzeczywiste zmiany mierzonej wielkości w czasie są określone wzorem:
− +
= −
sin 100 ) 1
( 5 , 0 )
( 0.001 n
e n
u n
obliczyć stosunek S/N dla sygnału uzyskanego z jednego z eksperymentów oraz dla średniej koherentnej sygnału.
Opracował: Marek Cabaj
Politechnika Świętokrzyska w Kielcach Centrum Laserowych Technologii Metali
4 Zadanie 3.
W pliku tekstowym pomiar3.dat zapisano przebieg sygnału dyskretnego. W wyniku błędów transmisji część danych utracono. Wszystkie próbki w odebranym sygnale o wartości ujemnej są złe (zostały utracone).
a) sporządzić wykres obrazujący przebieg sygnału;
b) metodą interpolacji liniowej odtworzyć wartości brakujących próbek;
c) zakładając, że niezakłócony sygnał jest określony wzorem:
− +
= −
sin 200 ) 1
( 5 , 0 )
( 0.0005 n
e n
u n
obliczyć stosunek S/N dla sygnału przed i po korekcji błędów.
Zadanie 4.
W pliku tekstowym pomiar4.dat zapisano przebieg sygnału dyskretnego.
a) sporządzić wykres obrazujący przebieg sygnału;
b) znaleźć współczynniki a0, a1, a2, a3 wielomianu:
g(n) = a0 + a1n + a2n2 + a3n3 aproksymującego sygnał.
c) znaleźć współczynniki a0, a1, a2, ... a6 wielomianu trygonometrycznego:
g(n) = a0 + a1⋅cos(n/80) + a2⋅sin(n/80) + a3⋅cos(n/40) + a4⋅sin(n/40) + a5⋅cos(n/20) + a6⋅sin(n/20) aproksymującego sygnał.
d) wyznaczyć średniokwadratowy błąd aproksymacji dla punktów b) i c).
Pytania sprawdzające:
1. Co to jest sygnał?
2. Co to jest sygnał dyskretny?
3. Podać wzór do wyznaczenia średniej ruchomej dla sygnału dyskretnego.
4. Na czym polega uśrednienie koherentne sygnału?
5. Na czym polega interpolacja liniowa?
6. Co to jest aproksymacja sygnału?
