PROBLEMY POMIARÓW ODKSZTAŁCEŃ SZYBKOZMIENNYCH PROWADZONYCH ZA POMOCĄ TENSOMETRÓW STRUNOWYCH

PROBLEMY POMIARÓW ODKSZTAŁCEŃ SZYBKOZMIENNYCH PROWADZONYCH ZA POMOCĄ TENSOMETRÓW

STRUNOWYCH

Grzegorz Cieplok

, Łukasz Kopij

1Katedra Mechaniki i Wibroakustyki, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

acieplok@agh.edu.pl, ^blkopij@agh.edu.pl

Streszczenie

W pracy przedstawiono nowe rozwiązanie układu podtrzymującego drgania struny tensometrycznej opar- te na zjawisku drgań samowzbudnych. Wygenerowane przez układ drgania utrzymują się w czasie, są od- porne na zakłócenia i umożliwiają rejestrację drgań szybkozmiennych. W pracy wyprowadzono równania ruchu struny poddanej wymuszeniu siłą przyłożoną do jednego z jej końców i sprzęgniętą z oscylatorem van der Pola. Na podstawie uzyskanych wyników można określić skuteczność działania proponowanego rozwiązania w przypadku pobudzeń siłami szybkozmiennymi oraz określić szanse na pracę układu w wa- runkach rzeczywistych.

Słowa kluczowe: drgania samowzbudne, czujnik strunowy.

PROBLEMS OF THE MEASURMENTS OF RAPIDLY CHANGING DEFORMATIONS WITH THE VIBRATING WIRE GAUGE

Summary

In the presented paper a new solution to the system maintaining the vibrations of the wire sensor, which has been based upon the phenomenon of self-induced vibrations, is described. The vibrations generated in this manner do not fade in time, are resistant to disturbances and allow measurement the vibrations rapid- ly changing in time. In the paper, the dynamic equations of the movement of the wire subjected to forcing with a force applied to one of its ends and interconnected with the van der Pol oscillator are derived. Upon the basis of the received solutions, it is possible to determine the effectiveness of action of the proposed so- lutions in the case of induction with the use of forces rapidly changing in time, and also to determine a probability of the system being able to work in real-life conditions.

Keywords: self-induced vibrations, vibrating wire sensor.

1. WSTĘP

Przetworniki strunowe są generalnie stosowane do po- miarów odkształceń w warunkach działania obciążeń statycznych. Posiadają nieskomplikowaną budowę oraz wysoki stopień odporności na działanie czynników ze- wnętrznych. Sygnał wyjściowy z przetwornika ma charak- ter częstotliwościowy, co czyni go odpornym na zakłócenia

i parametry przewodów transmisyjnych łączących prze- twornik z urządzeniem rejestrującym [5]. Brak elementów elektronicznych w znacznym stopniu uodparnia go na wyładowania elektryczne i silne pola elektromagnetyczne.

Cechą charakterystyczną czujników strunowych jest ich dobra czasowa stabilność parametrów metrologicznych [6].

Udokumentowane badania wskazują na możliwość stoso- wania czujników w pomiarach trwających około 30 lat.

Ma to szczególne znaczenie w przypadku konstrukcji budowlanych i inżynierskich, których czas użytkowania przyjmowany jest na 50 lat.

Wymienione cechy powodują, że czujniki strunowe są szeroko stosowane w wielu gałęziach przemysłu; w szcze- gólności w budownictwie lądowym, wodnym, geotechnice oraz ochronie środowiska [2][7][13][14].

Ze względu na charakter działania czujnika, w którym wzbudzenia struny odbywają się cyklicznie, w odstępach czasu potrzebnych na wygaszenie się drgań swobodnych, jego zastosowanie jest ograniczone do pomiarów wielkości mechanicznych i temperatury stałych lub wolno zmienia- jących się w czasie. Dlatego metoda ma ograniczone zastosowanie np. w przypadku obiektów wysokich narażo- nych na działanie wiatru (np. kominach, masztach, wie- żach), wspornikach maszyn (fundamenty pod turbogenera- tory)[3][9], mostach kolejowych i drogowych, w przypadku wymuszeń parasejsmicznych (w warunkach krajowych) i sejsmicznych (na świecie).

Znane są rozwiązania stosowane do pomiarów od- kształceń szybkozmiennych, gdy te zachodzą w czasie krótszym niż czas wytłumiania się drgań struny. W tym przypadku pobudzenie struny jest synchronizowane z chwilą pojawienia się wymuszenia powodującego zmianę jej naciągu. W ten sposób tensometr strunowy może zostać wykorzystany np. do rejestracji nacisków wywiera- nych przez koła jadących pojazdów [5]. Rozszerzeniem tej koncepcji jest synfazowe pobudzanie struny do drgań quasi-ciągłych [4]. W tym przypadku struna jest pobudza- na cyklicznie co n okresów, a faza impulsu pobudzającego pozostaje w odpowiedniej zgodności z fazą drgań struny.

W rozwiązaniu traci się pewną część sygnału wynikającą z obecności stanów przejściowych spowodowanych impul- sem pobudzającym. Zastosowanie dwóch elektromagne- sów, które pozwalają rozdzielić funkcję pobudzania drgań i ich przekształcania w sygnał pomiarowy, pozwala na uzyskanie drgań o stałej amplitudzie [4].

Najbardziej zaawansowanymi rozwiązaniami są układy wykorzystujące pętlę sprzężenia fazowego PLL (ang.

Phase Locked Loop). Systemy te posiadają również swoje wady i ich zastosowanie q jest ograniczone.

Ciągła rejestracja sygnału pozwala na całościową ana- lizę przebiegu odkształcenia i wychwycenie wartości ekstremalnych, co z kolei przekłada się na właściwszą ocenę bezpieczeństwa elementu lub obiektu. Najistotniej- szym problemem, z którym obecnie zmagają się firmy produkujące tensometry strunowe, pozostaje nadal pomiar odkształceń szybkozmiennych, w tym krótkotrwałych i losowych.

2. KONCEPCJA NOWEGO ROZWIĄZANIA

Sposobem na wzbudzenie i utrzymanie niegasnących drgań własnych struny - wg autorów - jest rozwinięcie drgań samowzbudnych struny. Drgania tego typu są dobrze znane w inżynierii mechanicznej. Występują w układach niezachowawczych i mają tę cechę, że są zdolne do samoczynnego uzupełniania utraconej energii, a ich amplituda i częstotliwość określona jest przez para- metry fizyczne układu. Z tego powodu różnią się od drgań swobodnych tłumionych tym, że nie zanikają w czasie oraz od drgań wymuszonych tym, że częstotliwość drgań stanu ustalonego nie jest uzależniona od częstotliwości siły zewnętrznej.

Przykładem równania, opisującego drgania samo- wzbudne jest równanie van der Pola (1)

( )

2

2

2

1 0

d y dy

y y

dt − ε − dt + =

Zawiera ono nieliniowy składnik ^−ε

(

)

dzialny za utrzymywanie drgań, który w dalszej części pracy nazywany jest składnikiem van der Pola. Przykła- dowe rozwiązania równania przedstawiono na rys.1. Widać na nim jak dla różnych warunków początkowych trajekto- rie fazowe nawijają się na stały kontur cyklu granicznego.

Modyfikując równanie (1) do postaci (2), można mu nadać interpretację fizykalną. Opisuje ono wtedy ruch masy m posadowionej na elemencie sprężystym k pod działaniem siły F zgodnej z formułą składnika van der Pola (rys.2).

Rys.1. Wykresy fazowe równania (1) dla dwóch różnych warun- ków początkowych.

( )

2

2 2

2

d y dy

m ky a y

dt + = ε − dt

dy/dt

y

Rys.2. Model układu mechanicznego odpowiadający równaniu (2) W przypadku, gdy wartość bezwzględna współrzędnej y spada poniżej wartości parametru a, wtedy siła F do- starcza energię do układu, w przeciwnym razie rozprasza ją. Rzeczą charakterystyczną, na którą zwracają uwagę autorzy pracy, jest brak burzliwych składowych przejścio- wych występujących w przypadku gwałtownych zmian współczynnika sprężystości k (rys.3a,3b). Współrzędna y oczywiście zmienia swój przebieg, ustala się bowiem nowy cykl o innej częstotliwości, jednak proces ten zacho- dzi bez istotnego zaburzenia ruchu. Nowa częstotliwość drgań masy m ustala się niemalże natychmiastowo. Ta cecha układu stała się podstawą idei zastosowania drgań samowzbudnych w tensometrze strunowym. W tym przypadku siła F zapewnia utrzymuje niegasnących drgań poprzecznych struny, a gwałtowne zmiany jej naciągu nie powodują zaburzeń w ruchu poprzecznym. Nowa często- tliwość drgań ustala się niemalże natychmiast i jest goto- wa do odczytu przez układy przetwarzania sygnału.

Rys. 3a. Przebieg współrzędnej y w przypadku skokowej zmiany współczynnika k (zmiany współczynnika nastąpiły w chwilach

0.8[s] oraz 1.2[s])

Rys. 3b. Trajektoria fazowa z trzema cyklami granicznymi odpowiadająca przebiegowi z rys.3a

3. MODEL MATEMATYCZNY STRUNY PODDANEJ

ROZCIĄGANIU

Poddano analizie strunę wykonującą drgania po- przeczne i rozciąganą wzdłużnie, rys.4. Oznaczając przez A pole przekroju poprzecznego struny, ρ - gęstość materia- łu, dx - elementarny odcinek struny, można masę tego odcinka wyznaczyć następująco:

dm=

ρ

Traktując elementarną masę dm jako punkt material- ny w ruchu na płaszczyźnie, można sformułować dyna- miczne równania jego ruchu, korzystając bezpośrednio z drugiego prawa Newtona.

Rys.4. Model struny poddanej wzdłużnemu rozciąganiu Oznaczając położenie masy elementarnego odcinka struny dm współrzędnymi x i y, otrzymuje się w rzucie na kierunek ruchu poprzecznego równanie (4),

2

2y ( ) sin( ) sin ( , )

dm T dT d T q x t dx

t α α α

∂ = + + − +

∂ ⁽⁴⁾

gdzie T oznacza siłę w strunie, a q - gęstość zewnętrznej siły poprzecznej. Zakładając niewielkie wartości kąta α równanie (4) można uprościć do postaci (5):

2

2y ( , )

dm Td dT q x t dx

t α α

∂ = + +

∂ ⁽⁵⁾

Wyrażając α przez y x t( , ) x

∂

∂ oraz wykorzystując zależność (3), równanie ruchu struny na kierunku poprzecznym można zapisać w postaci (6):

(

) ^dy

F a y

ε dt

= −

m

k

y

t [s]

y [m]

y [m]

dy/dt [m/s]

2 2

2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

y x t y x t y x t T x t

A T x t q x t

t x x x

ρ ∂ − ∂ =∂ ⋅∂ +

∂ ∂ ∂ ∂ (6)

W równaniu siła wzdłuż struny nie jest stała. Jej chwilową wartość można wyznaczyć na podstawie równa- nia ruchu podłużnego elementarnego odcinka o masie dm (7), gdzie u jest to przemieszczenie się elementarnego odcinka struny wzdłuż jego głównej osi symetrii

2

2 cos ( ) cos( )

dm u T T dT d

t α α α

∂ = − ⋅ + + ⋅ +

∂ ⁽⁷⁾

Przybliżając w równaniu kosinusy małych kątów do jedynki oraz zakładając jednorodność materiału, otrzyma- no równanie ruchu struny (8) na kierunku podłużnym.

2 2

2 2

( , ) ( , )

u x t E u x t 0

t ρ x

∂ − ∂ =

∂ ∂ ⁽⁸⁾

gdzie: E - moduł Younga.

Na podstawie prawa Hooke'a można wyrazić siłę w strunie przez jej lokalne odkształcenie, tzn:

T A AE AE u

σ ε ∂x

= ⋅ = =

∂ ⁽⁹⁾

lub

2 2

T u

x EA x

∂ = ∂

∂ ∂ ⁽¹⁰⁾

Wstawiając zależność (10) do równania (6), otrzymano ostatecznie równanie (11):

2 2 2

2 2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

y x t y x t y x t u x t

A T x t EA q x t

t x x x

ρ ∂ − ∂ = ∂ ⋅∂ +

∂ ∂ ∂ ∂ (11)

Układ równań (6) i (11) stanowi podstawę do mate- matycznego opisu ruchu struny, której punkty wykonują sprzężony ze sobą ruch poprzeczny i podłużny.

Sposób utwierdzenia struny narzuca warunki brzego- we. W rozpatrywanym przypadku struna utwierdzona jest jednostronnie. Drugi koniec jest prowadzony prostoliniowo i poddany działaniu siły zewnętrznej Tk. Na tej podstawie można zapisać zależności (12) i (13):

(0, ) 0 ( , ) 0 y t y l t

=

= (12)

(0, ) 0 ( , ) 1 _k u t

u l t T

EA

=

= ⋅

(13)

4. KONCEPCJA ADAPTACJI RÓWNANIA VAN DER POLA DO UTRZYMYWANIA

NIEGASNĄCYCH DRGAŃ WŁASNYCH STRUNY

Przeniesienie idei zastosowania drgań samowzbudnych na przypadek struny tensometrycznej przedstawiono na

rys.5. Rozpięta pomiędzy dwoma punktami, do ruchu poprzecznego wprawiana jest za pomocą siły Lorentza powstałej w wyniku oddziaływania prądu i przepływające- go przez strunę oraz pola magnetycznego wytworzonego przez magnes stały. Natężenie prądu kształtowane jest przez układ elektroniczny pracujący w pętli sprzężenia zwrotnego, w którym sygnał wejściowy stanowi napięcie indukowane w przetworniku magnetoelektrycznym.

W celu dostosowania napięcia wejściowego do układów elektronicznych jest ono wstępnie wzmacniane, a następnie poddane całkowaniu w czasie tak, aby z przetwornika prędkościowego uzyskać sygnał przemieszczenia struny. Po przejściu sygnału przez układy mnożąco-sumacyjne reali- zujące składnik van der Pola jest on wzmacniany prądowo do wartości umożliwiających wytworzenie siły zapewniają- cej drgania na poziomie umożliwiającym ich rejestrację.

Rys.5. Rysunek poglądowy układu sterowania ruchem struny tensometrycznej opartego o równanie van der Pola. 1 - magnes

stały, 2 - przetwornik magnetoelektryczny, 3 - struna, 4 - wzmacniacz napięciowy, 5 - układ całkujący, 6,8 - układy

mnożące, 7 - sumator, 9 - wzmacniacz prądowy

5. WYNIKI SYMULACJI KOMPUTEROWYCH

Opierając się na wyprowadzonych w poprzednim roz- dziale równaniach uzupełnionych o składniki sił oporu wiskotycznego oraz składnik van der Pola (ujęty w q(x,t)), przeprowadzono symulację komputerową dzia- łania układu, w której struna została poddana obciąże- niom skokowym. W celu rozwiązania cząstkowych równań różniczkowych zastosowano metodę różnic skończonych w wariancie z ,,czasem do przodu''. Do symulacji przyjęto następujące parametry:

l=0,15[m] - długość czynna struny D=0,0002[m] - średnica struny

ρ=7800[kg/m³] - gęstość struny (14) Tk=14,115[N] - napięcie wstępne struny

τ=24,5E-05[kg/m] - gęstość liniowa struny E=220[GPa] - moduł Younga

a=0,0001 [m] - parametr składnika van der Pola Na rys.6 przedstawiono przebieg przemieszczeń wzdłużnych u, w przypadku, gdy zmiany obciążenia nastąpiły w chwili t¹=0,009s z wartości T^k=14,12N na

Tk=7,06N oraz w chwili t2=0,0175s z wartości Tk=7,06N na T^k=28,23N. Na rys.7 przedstawiono odpowiadający zmianom obciążenia przebieg drgań poprzecznych tego samego punktu, poczynając od wartości początkowej odpowiadającej niewielkiemu wytrąceniu struny z pozycji spoczynkowej do chwili rozwinięcia się drgań ustalonych.

Amplituda drgań zgodnie z wiedzą teoretyczną uzyskuje wartość dwukrotnie większą w stosunku do wartości parametru a, tj. 0.2mm. Częstotliwość drgań pierwszej postaci w tym przedziale wyniosła 800Hz, a w kolejnych dwóch przedziałach odpowiednio 562Hz i 1135Hz. Warto- ści częstotliwości różnią się od wartości uzyskanych na podstawie wzoru teoretycznego dla drgań poprzecznych struny swobodnej (15) o około 8Hz, co znajduje swoje odbicie w piśmiennictwie naukowym.

0

1 2

Tk

f = l τ (15)

gdzie f0 - częstotliwość drgań własnych struny.

Podobnie jak to miało miejsce w przypadku układu dyskretnego, przejście pomiędzy nowymi punktami pracy następuje bez wzbudzania burzliwych stanów przejścio- wych, a nowe częstotliwości ustalają się prawie natych- miastowo. Zauważalny jest brak istotnego wpływu sta- nów przejściowych zachodzących wzdłuż struny na drga- nia poprzeczne.

Rys.6. Przebieg przemieszczenia wzdłużnego u punktu leżącego w środku struny (x=l/2)

Rys.7. Przebieg przemieszczenia poprzecznego punktu leżącego w środku struny (x=l/2)

6. PODSUMOWANIE

W pracy skoncentrowano się na problemie zastosowa- nia tensometru strunowego do pomiarów odkształceń szybkozmiennych. W odróżnieniu od dotychczas stosowa- nych rozwiązań tego typu przedstawiono nową koncepcję utrzymywania niegasnących drgań własnych struny opartą na drganiach samowzbudnych. W prezentowanym rozwią- zaniu drgania samowzbudne generowane są przez układ elektroniczny realizujący zasadę działania oscylatora van der Pola. Na podstawie symulacji komputerowych wyka- zano słuszność przyjętego rozwiązania. Układ elektronicz- ny wzbudził i utrzymywał drgania samowzbudne na zadanym poziomie i był odporny na skokowe obciążenia o znacznej amplitudzie następujące po sobie w milisekun- dowych odstępach. Przechodzenie układu z jednego punk- tu pracy do drugiego następowało bez wzbudzania się złożonych przebiegów przejściowych, dając możliwość odczytu nowej częstotliwości bez konieczności czekania na ustalenie się drgań.

Przedstawione rozwiązanie jest nową koncepcją, która weszła w etap prób laboratoryjnych. Autorzy zdają sobie sprawę, że rozwiązanie w odniesieniu do stosowanych aktualnie na skalę przemysłową układów jest kosztowniej- sze i znacznie bardziej energochłonne, jednak teoretycznie umożliwia rejestrację odkształceń szybkozmiennych.

Literatura

1. Bande V., Pop S., Viman L., Pitica D.: Behavioral model and a Matlab simulation interface of vibrating wire trans- ducers. In: 32nd International Spring Seminar on Electronics Technology, ISSE, 2009, p.1-6.IEEE Conf. Pub., doi:

10.1109/ISSE.2009.5206996.

2. Barcik W., Sieńko R., Biliszczuk J.: System monitorowania konstrukcji Mostu Rędzińskiego we Wrocławiu. Wro- cław: Wrocławskie Dni Mostowe, 2011.

3. Cieplok G.: Stany nieustalone nadrezonansowych maszyn wibracyjnych. Kraków: Uczelniane Wyd. Nauk. – Dy- dakt..AGH, 2009, nr 185.

4. Kanciruk A.: Uniwersalny strunowy moduł pomiarowy i jego oprogramowanie. Kraków: Instytut Mechaniki Góro- tworu PAN, 2007. T. 9, nr 1 - 4, s.113 – 122.

5. Kanciruk A.: Urządzenie do pomiaru wielkości dynamicznych z wykorzystaniem przetworników strunowych.Prace Nauk. Inst. Geotechniki i Hydrotechniki Pol. Wrocł. Vol. 76, nr 42, s. 287 - 296. Wrocław: Ofic. Wyd. Pol. Wrocł., 2004.

6. Kanciruk A.: Opracowanie i konstrukcja nowych przetworników strunowych do pomiarów przemieszczeń gruntu, odkształceń obiektów budowlanych i betonu. Kraków: Instytut Mechaniki Górotworu PAN, 2005. T.7, nr 3 - 4, s.

179- 187.

7. Kopij Ł.: Automatyczny system monitoringu wpływu oddziaływań geologiczno-górniczych na korpus autostrady A1.

„Materiały Budowlane” 2013, nr 4, s. 72 - 73.

8. Neild S. A., Williams M. S., McFadden P. D.: Development of a vibrating wire strain gauge for measuring small strains in concrete beams. “Strain”: An International Journal for Experimental Mechanics 2005, Vol. 41, p. 3 - 9.

doi: 10.1111/j.1475-1305.2004.00163.

9. Michalczyk J., Cieplok G., Bednarski Ł.: Procesy przejściowe maszyn wibracyjnych i układów wibroizolacji. War- szawa: WNT, 2010.

10. Polska aparatura strunowa PAS: katalog. Zakład Aparatury Naukowej ZAN-UJ. Krajowy System Automatyki i Pomiarów „Polmatik”.

11. Simonetti A.: A measurement technique for the vibrating wire sensors. NORCHIP 2012, p. 1 – 6. Copenhagen 2012.

12. Ward W. H., Cheney J. E.: Oscillator measuring equipment for vibrating-wire gauges. “Journal of Scientific Instru- ments” 1960, Vol.37, No.3, p. 88 - 92. doi: 10.1088/0950-7671/37/3/305.

13. Wenzel H.: Health monitoring of bridges 2009. Chichester: Wiley, 2009.

14. Zając M., Kopij Ł.: Monitorowanie dachów związane z obciążeniami śniegiem. W: Konferencja naukowo – technicz- nej „Awarie Budowlane”. Szczecin – Międzyzdroje 2013, s. 1033 – 1038.