3. ZASADY OBLICZANIA PRĄDÓW I NAPIĘĆ PRZY ZWARCIACH NIESYMETRYCZNYCH

3. ZASADY OBLICZANIA PRĄDÓW I NAPIĘĆ PRZY ZWARCIACH NIESYMETRYCZNYCH

3.1. Element liniowy i jego macierz impedancyjna

Elementy sieci sprowadzają się do układów, z których najprościej można by umownie nazwać czwórnikami trójfazowymi pokazane na rys. 3.1.

Rozważono stan ustalony, sinusoidalny pracy takiego elementu. W dalszej analizie założono, że impedancje takiego elementu są impedancjami liniowymi, dlatego element z rys. 3.1. nazywamy liniowym. Elementy takie są trudne do analizy, dlatego ograniczono się do elementów pozbawionych impedancji poprzecznych, co jest zgodne z założeniami przyjmowanymi w teorii zwarć. Element okrojony w ten sposób charakteryzuje się równością prądów na wejściu i wyjściu a wtedy można posługiwać się schematem z rys. 3.2. wprowadzając bezoporowy przewód powrotny. Impedancja ziemi jest wprowadzona do impedancji przewodów fazowych.

R S

R^’ S^’

T T^’

N N^’

IR

IS

IT

R'

I

S'

I

T'

I

T S

R I I

I + + _{' ' '}

T S

R I I

I + +

UT

US

UR

T'

U

S'

U

R'

U ELEMENT

TRÓJFAZOWY OPISANY MACIERZĄ Z

Rys. 3.1. Element czteroprzewodowy liniowy.

R S

R^’ S^’

T T^’

N N^’

IR

IS

IT

R'

I

S'

I

T'

I

T S

R I I

I + + UT

US

UR

T'

U

S'

U

R'

U ELEMENT

TRÓJFAZOWY OPISANY MACIERZĄ Z

Rys. 3.2. Uproszczony element czteroprzewodowy.

Straty napięcia w takim elemencie w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym można zapisać wzorem:

T RT S RS R ' RR

R R

R U U Z I Z I Z I

U = − = + +

∆

T ST S SS R ' SR

S S

S U U Z I Z I Z I

U = − = + +

∆ (3.1)

T TT S TS R ' TR

T T

T U U Z I Z I Z I

U = − = + +

∆

lub postaci macierzowej:

I Z U=

∆ (3.2)

przy czym:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

∆

∆

∆

=

∆

′

′

′

T T

S S

R R

T S R

U U

U U

U U U

U U

U (3.3)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

T S R

I I I

I (3.4)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

TT TS TR

ST SS SR

RT RS RR

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z (3.5)

Element trójfazowy przedstawiony na rys. 3.2 nazwiemy elementem symetrycznym, jeśli jego macierz impedancyjna ma następującą budowę:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

s 2 m 1 m

1 m s

2 m

2 m 1 m s

Z Z

Z

Z Z Z

Z Z Z

Z (3.6)

a więc

s TT SS

RR Z Z Z

Z = = =

1 m TR ST

RS Z Z Z

Z = = = (3.7)

2 m SR TS

RT Z Z Z

Z = = =

Gdy element trójfazowy symetryczny jest elementem statycznym, to:

m 2 m 1

m Z Z

Z = = (3.8)

a macierz impedancyjna będzie:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

s m m

m s m

m m s

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z (3.9)

W dalszych rozważaniach zajęto się tylko elementem trójfazowym symetrycznym. Układy wektorów prądów i napięć w ogólnym przypadku mogą być układami niesymetrycznymi.

Należy zauważyć, że gdy prądy fazowe w układzie trójfazowym tworzą układ symetryczny, tzn.:

o

o j120

R R 240 T

R j 2 R

S a I I e I aI I e

I = = = = (3.10)

to spadki napięć na symetrycznym, statycznym elemencie trójfazowym można opisać następującymi równaniami:

(

)

R m 2 R

m R s T m S m R s

R Z I Z I Z I Z I Z a I Z aI Z Z I

U = + + = + + = −

∆

(

)

2 S m S s S m T m S s R m

S Z I Z I Z I Z aI Z I Z a I Z Z I

U = + + = + + = −

∆ (3.11)

(

)

T s T m 2 T

m T s S m R m

T Z I Z I Z I Z a I Z aI Z I Z Z I

U = + + = + + = −

∆ albowiem

0 2 1

j 3 2 1 2

j 3 2 1 1 a

a² ⎟⎟⎠+ =

⎞

⎜⎜⎝

⎛− +

⎟⎟+

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛− −

= +

+ (3.12)

Macierz impedancyjna symetrycznego elementu trójfazowego obciążonego symetrycznymi prądami staje się macierzą diagonalną, a obliczenia można wtedy prowadzić dla zastępczych obwodów jednofazowych np. fazy R.

3.2. Podstawy teorii składowych symetrycznych

W obwodach elektrycznych złożonych z elementów symetrycznych mogą występować niesymetryczne układy wektorów prądów i napięć np. w przypadku zwarć niesymetrycznych.

Operowanie w tych przypadkach prądami, napięciami i skojarzeniami magnetycznymi własnymi i wzajemnymi, prowadzi do dużych komplikacji natury obliczeniowej. Gdyby macierz impedancyjna elementu trójfazowego była diagonalna, to nawet przy prądach niesymetrycznych spadek napięcia w każdej fazie zależałby tylko od prądu w tej właśnie fazie. Należałoby więc znaleźć takie przekształcenie liniowe, które zdiagonalizuje macierze impedancyjne wszystkich elementów sieciowych, przy czym jedno przekształcenie ma diagonalizować wszystkie macierze.

Z algebry liniowej wiadomo, że dla każdej macierzy można znaleźć odpowiednie przekształcenie diagonalizujące, ale stosowanie różnych przekształceń do różnych macierzy utrudniłoby pracę.

W przypadku, gdy elementy układu elektroenergetycznego są symetryczne można znaleźć macierz diagonalizującą macierze impedancyjne elementów.

Wyznaczono taką macierzy A , przy czym:

0

detA≠ (3.13)

która nie zmieniając zależności (3.2) uczyni przekształconą macierz impedancyjną (3.3) macierzą diagonalną.

W tym celu równanie (3.2) pomnożono lewostronnie przez A I

Z A U

A∆ = (3.14)

a do równania (2.14) wprowadzono iloczyn 1

A A A

A ⁻¹= ⁻¹ = (3.15)

W wyniku otrzymano równanie:

I A A Z A U

A∆ = ⁻¹ (3.16)

Wprowadzając oznaczenia dla wielkości przekształconych:

U A

U = ∆

∆ _P (3.17)

I A

I_P = (3.18)

P =AZA−1

Z (3.19)

otrzymano równanie:

P P ZPI U =

∆ (3.20)

które jest postaci równania (3.2). Macierz A należy tak dobrać, aby macierz Z_Pbyła macierzą diagonalną. Będzie to spełnione dla:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

a a 1

a a 1

1 1 1 n 0 0

0 m 0

0 0 k 3 1

2

A 2 (3.21)

n , m ,

k – dowolne liczby zespolone, przy czym kmn≠ 0

Warto zauważyć, że własności diagonalizowania Z posiada nieskończenie wiele macierzy.

Przyjęcie, że k=m=n =1 to mamy tzw. macierz S , która jest najprostszą postacią macierzy A i tą macierz przyjęto jako macierz diagonalizującą. Macierz S ma więc postać:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

a a 1

a a 1

1 1 1 3 1

2

S 2 (3.22)

a macierz odwrotna S⁻¹

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− =

2 2 1

a a 1

a a 1

1 1 1

S (3.23)

Po wprowadzeniu w miejsce macierzy A macierz S do równania (3.18) otrzymano równanie:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

+ +

+ +

+ +

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

T 2 S

R

2 T S R

T S R

T S R

2 2

2 1 0 P

I a I a 3 I

1

I a I a 3 I

1

I I 3 I

1

I I I a a 1

a a 1

1 1 1 3 1 I

I I

I (3.24)

Prądy fazowe otrzymujemy z równania:

1 P

I S

I= ⁻ (3.25)

które w postaci rozwiniętej ma postać:

( )0 ( )1 ( )2

R I I I

I = + +

( ) 2 ( )1 ( )2 0

S I a I aI

I = + + (3.26)

( ) ( ) 2 ( )2 1

0

T I a I a I

I = + +

Równanie można napisać w postaci:

( )0 R ( )1R ( )2 R

R I I I

I = + + ( )0 S ( )1S ( )2S

S I I I

I = + + (3.27)

( )0T ( )1T ( )2 T

T I I I

I = + + Składowe

( )0 R I( )0S I( )0 T I( )0

I = = = (3.28)

tworzą symetryczny układ kolejności zerowej (nazwa wzięła się z zerowych wartości kąta między wektorami). Wielkość I₍₀₎ nazywa się prądem składowej zerowej lub składową zerową prądu. To samo możemy powiedzieć o napięciu.

Składowe:

( )1R I( )1

I = ( ) 2 ( )1 S

1 a I

I = I( )1T =a I( )1 (3.29)

tworzą symetryczny układ kolejności zgodnej. Prąd I nazywa się składową zgodną prądu. ₍₁₎ Składowe:

( )^{2 R I}( )²

I = ^I( )^{2S =aI}( )² ( ) 2 ( )2 T

2 a I

I = (3.30) tworzą symetryczny układ kolejności przeciwnej, a prąd I₍₂₎- to składowa przeciwna prądu.

Możliwość rozkładu niesymetrycznego układu prądów fazowych na trzy układy symetryczne oraz możliwość złożenia z trzech układów symetrycznych dowolnych trzech wektorów niesymetrycznych było ideą składowych symetrycznych zaproponowanego przez Fortescue’a w 1918 r. Graficzna weryfikacja tej tezy została pokazana na rys. 3.3.

Rys. 3.3 Rozkład trzech niesymetrycznych wektorów fazowych na zestaw trzech układów symetrycznych (przypadek a) oraz zbudowanie trzech niesymetrycznych wektorów fazowych w oparciu o zestaw trzech układów symetrycznych (przypadek b).

Faza, dla której zachodzi:

( )0 I( )1 I( )2

I

I_α = + + (3.31)

nazywa się fazą osobliwą (odniesienia, podstawową). Każda z faz może być fazą osobliwą. Fazą osobliwą jest faza, która w macierzy I jest w pierwszym wierszu. Może to być w przypadku ogólnym faza R, S lub T. Kolejność umieszczenia dalszych prądów fazowych w kolejnych wierszach macierzy I wynika z następstwa faz. W obliczeniach prądów zwarć niesymetrycznych jako fazę osobliwą przyjmuje się fazę, która jest w odmiennych warunkach od dwóch pozostałych faz i tak np. dla zwarcia dwufazowego faz R i S będzie to faza T, a dla zwarcia jednofazowego w fazie R - faza R.

Po wprowadzeniu do równania (3.19) zamiast macierzy A macierz S oraz otrzymujemy:

( )¹

R E

E =

ES

ET

( )¹

R E

E =

ES

ET

I R

IT

IS

( )⁰

I 3

( )1

I 3

( )²

I

3 I^{( )2} I_{( )}1

( )⁰ I^R

I =

IS

IT

a) b)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

2 2 1 2 0 2

2 1 1 1 0 1

2 0 1 0 0 0 P

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z Z

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+ +

+ +

+ +

=

2 2 m 1 m s

2 m 1

2 m s 2 m 1 m s

Z a Z a Z 0

0

0 Z

a Z a Z 0

0 0

Z Z Z

(3.32)

a gdy element jest symetryczny i statyczny:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

− +

=

m s m s m s

P

Z Z 0

0

0 Z

Z 0

0 0

Z 2 Z

Z (3.33)

Z powyższej macierzy otrzymano, że:

( )1 Z( )2 Zs Zm

Z = = − (3.34)

( )0 Zs 2Zm

Z = + (3.35)

a po przekształceniu:

( ) ( ) 3

Z 2

Z_s Z⁰ + ¹

= (3.36)

( ) ( ) 3

Z

Z_m Z⁰ − ¹

= (3.37)

Element trójfazowy, którego macierz Z_P jest macierzą diagonalną jest elementem symetrycznym układzie współrzędnych fazowych.

Sprawdzono czy przekształcenie z układu współrzędnych fazowych do układu składowych symetrycznych jest przekształceniem unitarnym tzn. niezmienniczym względem mocy. Moc S w układzie trójfazowym wynosi:

= ∗

+ +

=U_R I^*_R U_SI_S^* U_TI^*_T U^T I

S (3.38)

a iloczyn

3S 1 3

1 T

T P T

PT I ^∗ =U S S^∗I^∗ = U I^∗ =

U (3.39)

gdyż:

( )

PT SU U S

U = = (3.40)

( )

P* SI S I

I = = (3.41)

S

S^T = (3.42)

1

3 1 ₋

∗ = S

S (3.43)

a więc nie jest przekształceniem unitarnym albowiem moc w układzie składowych symetrycznych wyraża się wzorem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

∗= + +

=3 _P^T _P 3 U₀ I ₀ U₁ I₁ U ₂ I₂

S U I (3.44)

W celu otrzymania przekształcenia unitarnego stosowane są tzw. składowe Krona a macierz przekształcenia Krona jest postaci 3S

3.3. Schematy zastępcze dla składowych symetrycznych

Rozpatrzmy prosty, trójfazowy układ przesyłowy, którego schemat zastępczy jest na rys. 3.4.

Oznaczając:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

T S R

I I I

I (3.45)

R S

R^’ S^’

T T^’

N IR

IS

IT

T S

R I I

I + +

UTK

USK

URK

ELEMENT TRÓJFAZOWY

OPISANY MACIERZĄ Z ER

ES

ET

∆U Zu

Uu

∆

K

Rys. 3.4 Schemat rozpatrywanego układu, gdzie:

Z - impedancje własne i wzajemne układu przesyłowego Z - impedancja uziemienia punktu gwiazdowego źródła. u

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

T S R

E E E

E (3.46)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

T S R

U U U

U (3.47)

(

)

u

u Z I I I

U = + +

∆ (3.48)

lub macierzowo:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

∆

∆

∆

=

∆

T S R

u u u

u u u

u u u

u u u u

I I I Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z U

U U

U (3.49)

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa jest:

Uu

U U

E= +∆ +∆ (3.50)

przy czym macierz fazowych strat napięcia opisana jest równaniem (3.1). Układ równań (3.50) opisuje powyższy schemat a w formie rozwiniętej ma postać:

I Z I Z U

E= + + _u (3.51)

Przechodząc do układu składowych symetrycznych pomnożono lewostronnie równanie (3.51) przez macierz S otrzymując:

1 u 1 u

I S S Z S I S S Z S U S E

S = + ⁻ + ⁻ (3.52)

Oznaczając:

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

2 1 0 P

E E E E S

E (3.53)

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

2 1 0 P

U U U U S

U (3.54)

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

2 1 0 P

I I I I S

I (3.55)

( )( )

( )( )

( )( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

= ⁻

2 2 1 1 0 1 0

P

Z 0 0

0 Z

0

0 0

Z S

Z S

Z (3.56)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

= ⁻

0 0 0

0 0 0

0 0 Z 3 _u

u 1

uP SZ S

Z (3.57)

otrzymano równanie (3.51) w układzie współrzędnych składowych symetrycznych w postaci:

P uP P P P

P U Z I Z I

E = + + (3.58)

Przyjmuje się, że siły elektromotoryczne źródeł zawsze tworzą układ symetryczny, a więc:

2 R

S a E

E = (3.59)

R T aE

E = (3.60)

wtedy

0 ) a a 1 ( 3 E ) 1 E a E a E 3(

E₍₀₎ =1 _R + ² _R + _R = _R + ²+ = (3.61)

R R 2 R

2 R R

) 1

( 3E E

3 ) 1 E a a E a a E 3(

E =1 + + = = (3.62)

0 ) a a 1 ( 3E ) 1 E a a E a a E 3(

E₍₂₎ =1 _R + ^{2 2} _R + _R = _R + + ^a = (3.63) czyli:

( ) ( )

( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

0 E

0 E

E E

R 2

1 0

EP (3.64)

Gdy układ przesyłowy jest symetryczny i statyczny, to straty napięć w układzie składowych symetrycznych są w postaci:

( )₀ Z( )( ) ( )_{0 0} I ₀

(

)

U = = +

∆

( )₁ Z( )( ) ( )_{1 1} I₁

(

)

U = = −

∆ (3.65)

( )₂ ^Z( )( ) ( )_{2 2} ^I ₂

(

)

U = = −

∆

Straty napięć na impedancji uziemienia w układzie składowych symetrycznych wynoszą:

( )0 u ( )0

u 3Z I

U =

∆

( ) 0 U_u1 =

∆ (3.66)

( ) 0 U_u2 =

∆

Po podstawieniu otrzymano:

( )0 Z( )( ) ( )0 0 I0 3ZuI( )0

U

0= + + (3.67)

( )1 U( )1 Z( )( ) ( )1 1 I1

E = + (3.68)

( )2 Z( )( ) ( )2 2 I 2

U

0= + (3.69)

po przekształceniu

( )0 Z( )( ) ( )0 0 I0 3ZuI( )0

(

)

U =− − =− + (3.70)

( )1 E( )1 Z( )( ) ( )1 1 I1

U = − (3.71)

( )2 Z( )( ) ( )2 2 I2

U =− (3.72)

Oznaczając:

( )0

(

)

Z = + ( )1 Z( )( )1 1

Z = (3.73)

( )2 Z( )( )2 2

Z = a)

b)

c)

Rys. 3.5 Schematy zastępcze dla składowych symetrycznych: a) zgodnej, b) przeciwnej, c)zerowej.

( )¹ ( )1 I

E Z_{( )1}

( )1

U

( )² ( )2 I

Z

( )²

U P(1)

K(1)

K(2)

P(2)

( )⁰ ( )0 I

Z

( )⁰

U

K(0)

P(0)

gdzie:

• Z - impedancja zastępcza sieci dla składowej zerowej, ( )0

• Z - impedancja zastępcza sieci dla składowej zgodnej, ( )1

• Z - impedancja zastępcza sieci dla składowej przeciwnej. ( )2

Układ równań (3.70)-(3.72) można zapisać w postaci:

( )0 Z( ) ( )0 I 0

U =− (3.74)

( )1 E( )1 Z( ) ( )1 I1

U = − (3.75)

( )2 Z( ) ( )2 I 2

U =− (3.76)

Z powyższych równań wynika, że można mówić o trzech zastępczych, jednofazowych, niesprzęgniętych impedancją wzajemną obwodach, a mianowicie dla składowej zerowej, zgodnej i przeciwnej, przedstawionych na rys. 3.5. Punkty P(1), P(2) i P(0) w obwodach poszczególnych składowych odpowiadają punktowi K w sieci rzeczywistej i są to tzw. punkty początkowe obwodów, a punkty K(1), K(2) i K(0) - punkty końcowe znajdujące się w umyślonym przewodzie powrotnym.

3.4. Transformacja składowych symetrycznych

Transformacja napięcia i prądu w transformatorze powoduje zmianę wartości ich modułów zależnie od przekładni transformatora oraz zmianę fazy zależnie od sposobu połączeń uzwojeń transformatora – grupy układu połączeń tych uzwojeń. Przekładnia zespolona transformatora ϑ jest zdefiniowana:

N6 6 j

N j d g d

g e e

U U U

U ^{Π Π}

ϑ

=

=

=

ϑ (3.77)

gdzie:

• N – tzw. przesunięcie godzinowe transformatora np. dla transformatora o układzie połączeń Yd11 wynosi N=11,

• NΠ6

- kąt między napięciem górnym i dolnym transformatora liczony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od napięcia dolnego do górnego.

Założono, że występuje idealna transformacja tzn. pomijamy prąd magnesujący transformatora.

Transformacja napięcia dla składowej zgodnej zachodzi zgodnie ze wzorem:

( ) ( ) ( ) =ϑ

= ϑ

d 1

g 1

1 U

U (3.78)

Z powyższego wzoru wynika:

( )1g U( )1d U( )1d e^jN6 U

Π

ϑ

= ϑ

= (3.79)

( )1d ( )1g ( )1g 1 e ^jN6 1 U

U U

− Π

= ϑ

= ϑ (3.80)

Transformacja prądu jest następująca:

( ) ( )1g

d 1

I

= I

ϑ^∗ (3.81)

( )1g ( )1d ( )1d 1 e^jN6 1 I

I I

Π

∗ = ϑ

= ϑ (3.82)

( )1d I( )1g I( )1g e ^jN6 I

− Π

∗= ϑ

ϑ

= (3.83)

Zależności między składowymi przeciwnymi napięć i prądów otrzymano zastępując w powyższych wzorach przekładnię zespoloną transformatora jej wartością sprzężoną. Wynika to z faktu, że dla układu składowej przeciwnej transformator ma inną grupę połączeń. Dla składowej przeciwnej przesunięcie godzinowe transformatora równa się dopełnieniu do dwunastu przesunięcia godzinowego dla składowej zgodnej tzn. jeżeli dla składowej zgodnej grupa połączeń wynosi Yd11, a N(1)=11 to dla składowej przeciwnej transformator ma grupę połączeń Yd1, a przesunięcie godzinowe N(2)=1. Taka zmiana grupy połączeń odpowiada zastąpieniu przekładni zespolonej transformatora przez przekładnię sprzężoną. Powyższą zmianę można również uzasadnić matematycznie. W tym celu rozpatrzono transformator o grupie połączeń Yd11. Przekładnia zwojowa tego transformatora wynosi:

z = ϑ3

ϑ (3.84)

Dla tego transformatora zależność pomiędzy prądami fazowymi po stronie górnej i dolnej jest następująca:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

− ϑ

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

T g

S g

R g z

dT S d

R d

I I I 1 0 1

1 1 0

0 1 1 I

I I

(3.85)

lub

g z

d NI

I =ϑ (3.86)

Przekształcono to równanie do układu składowych symetrycznych:

1 g z

d SNS SI

I

S =ϑ ⁻ (3.87)

gP P z

dP N I

I =ϑ (3.88)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

= ^{− −}

o o

330 j 330 j P 1

e 0 0

0 e

0

0 0

0 3 S

N S

N (3.89)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ ϑ

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

g 2

g 1

g 0

330 j 330 z j

d 2

d 1

d 0

I I I e

0 0

0 e

0

0 0

0 3 I

I I

o

o (3.90)

( )1d I( )1g e ^j330o

I =ϑ ⁻ (3.91)

( )2d I( )2g e^j330o

I =ϑ (3.92)

Transformacja napięcia dla składowej przeciwnej zachodzi zgodnie ze wzorem:

( ) ( )2d

g 2

U

= U

ϑ^∗ (3.93)

( )2g U( )2d U( )2d e ^jN6 U

− Π

∗= ϑ

ϑ

= (3.94)

( )2d ( )2g ( )2g 1 e^jN6 1 U

U U

Π

∗ = ϑ

= ϑ (3.95)

Prądy transformują się następująco:

( ) ( )2g

d 2

I

= I

ϑ (3.96)

( )2g ( )2d ( )2d 1 e ^jN6 1 I

I I

− Π

= ϑ

= ϑ (3.97)

( )2d I( )2g I( )2g e^jN6 I

Π

ϑ

= ϑ

= (3.98)

Składowa zerowa nie jest transformowana przez transformatory o grupie połączeń Yd, Dy, Yz czy Zy, a jest transformowana przez transformatory o grupie połączeń YNyn. Dalszy ciąg postępowania dla transformatora o grupie połączeń YNyn jest identyczny jak dla składowej zgodnej.

Innym sposobem udowodnienia różnic w transformacji składowych symetrycznych może być narysowanie wykresu wskazowego prądów (lub napięć) po obu stronach transformatora np.

o grupie połączeń Ynd11 pokazanego na rys. 3.6. Przy określaniu kierunków przepływu prądu założono, że kierunek prądu w uzwojeniu po jednej stronie jest identyczny jak po drugiej stronie – tak jak na rys. 3.6.

Wykreślono wykres wskazowy prądów przy zasilaniu transformatora zgodnym układem prądów – rys. 3.7 oraz przy zasilaniu układem przeciwnym – rys. 3.8. Z wykresu na rys. 3.7 wynika, że transformator o połączeniach jak na rys. 3.6 jest rzeczywiście transformatorem o grupie połączeń Yd11 podczas zasilania go zgodnym układem prądów. Gdy zasilimy ten sam transformator układem przeciwnym, to z rys.3.8 wynika, że ma on przesunięcie godzinowe wynoszące 30^o czyli jest transformatorem Yd1. Potwierdza to wzór (3.90).

Moc dla składowej zgodnej po obu stronach transformatora obliczono z zależności:

Ir

Is

It

r s t

R

Iu

IR

IS

IT

R S T

S

Iu T

Iu

Rys. 3.6 Przepływ prądu przez transformator Ynd11.

IR

IS

IT

R

Iu

R

Iu

−

S

Iu S

Iu

−

T

Iu

T

Iu

− Ir

Is

It

Rys. 3.7 Wykres wskazowy prądów przy zasilaniu transformatora układem zgodnym.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

d 1 d 1 g 1 g 1 g

1 1 S

S = ⋅ =

ϑ

⋅ ϑ

⋅

=

⋅

= _∗ ^∗

∗

∗

∗ U I U I

I

U (3.99)

a dla składowej przeciwnej:

( )2g ( )2g ( )2g ( )2d ( )2d 1 ( )2d _{( )} S( )2d

S = ⋅ _2d =

⋅ϑ

⋅ ϑ

⋅

=

⋅

=U I^∗ U ^∗ I^∗ _∗ U I^∗ (3.100)

Stosunki impedancji po stronie pierwotnej i wtórnej transformatora są równe:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

6 jN g 1

6 jN g 1 g 1

g 1 d 1

d 1 g 1

g 1 d 1

g 1

1e U

e I I U U

I I U Z

Z =ϑ

ϑ

= ϑ

= _Π

−

− Π

(3.101)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

6 jN g 2

6 jN g 2 g 2

g 2 d 2

d 2 g 2

g 2 d

2 g 2

1e U

e I I U U

I I U Z

Z =ϑ

ϑ

= ϑ

= _Π

Π

(3.102) IR

IS

IT R

Iu

R

Iu

−

S

Iu

S

Iu

−

T

Iu T

Iu

−

Ir

Is

It

Rys. 3.8 Wykres wskazowy prądów przy zasilaniu transformatora układem przeciwnym.

3.5. Zwarcie jednofazowe

Na podstawie metody składowych symetrycznych oraz uwzględniając warunki graniczne dla prądów i napięć w miejscu zwarcia można wyznaczyć składową okresową prądu zwarciowego i napięcie w miejscu zwarcia w przypadku różnych rodzajów zwarć. Za fazę odniesienia (osobliwą) przyjmujemy we wszystkich rozważaniach fazę R. Rozpatrzono przypadek bezpośredniego zwarcia fazy R z ziemią. Punkt neutralny sieci jest uziemiony bezpośrednio. W miejscu zwarcia z ziemią fazy R przyjmuje ona potencjał ziemi. Zatem:

0

U_R = (3.103)

W fazach nie dotkniętych zwarciem 0

I

I_S = _T = (3.104)

Warunki graniczne napięcia i prądu określone równaniami (3.103) i (3.104) wyrazimy przez składowe symetryczne prądu i napięcia w miejscu zwarcia. Składowe symetryczne prądu w fazie R wyznaczono z równania (3.24) i z warunków granicznych dla prądów (3.104):

( )0 ( )1 ( )2 IR

3 I 1 I

I = = = (3.105)

Z warunku granicznego (3.103) składowe symetryczne napięcia w miejscu zwarcia w fazie R powiązane są równaniem:

( ) U( ) U( ) 0

U ₀ + ₁ + ₂ = (3.106)

Składowe symetryczne napięcia w miejscu zwarcia określone są równaniami (3.74)-(3.76):

( )0 Z( ) ( )0 I0

U =−

( )1 E( )1 Z( ) ( )1 I1

U = − (3.107)

( )2 Z( ) ( )2 I 2

U =−

Wstawiając składowe symetryczne (3.107 do wzoru (3.106) jest:

( ) Z( ) ( )I Z( ) ( )I Z( ) ( ) 0I

E₁ − _{1 1} − _{2 2} − _{0 0} = (3.108)

Uwzględniając równanie (3.105) otrzymano:

( )

(

)

E₁ − ₁ + ₂ + _{0 1} = (3.109)

Składowe symetryczne prądu zwarciowego w fazie R wynoszą:

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 ( )2 ( )0 1 0

2

1 Z Z Z

I E I

I = = = + + (3.110)

Na podstawie równań (3.105) i (3.106) można zbudować schemat zastępczy obwodu zwarciowego w przypadku zwarcia jednofazowego bezpośredniego (rys. 3.9). Schemat ten składa się z połączonych szeregowo schematów dla składowej zgodnej, przeciwnej i zerowej. Prąd w miejscu zwarcia w fazie zwartej jest określony równaniem:

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 ( )2 ( )0 1 0

2 1

R Z Z Z

E I 3

I I

I = + + = + + (3.111)

Moduł prądu zwarcia to prąd początkowy:

( ) ( )1 ( )2 ( )0

1 R

P Z Z Z

E I 3

I = = + + (3.112)

Składowe symetryczne napięcia w miejscu zwarcia są określone równaniami (3.74)-(3.76), a uwzględniając wzór (3.111) otrzymano:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )1 ( )2 ( )0 1 0 0

0

0 Z Z Z

E I Z

Z

U =− =− + + (3.113)

( )¹

( )1 I

E Z( )¹

( )¹ U

( )² ( )² I

Z

( )² U P(1)

K(1)

K(2)

P(2)

( )⁰ ( )⁰ I

Z

( )⁰ U

K(0)

P(0)

Rys. 3.9. Schemat zastępczy obwodu zwarciowego w przypadku zwarcia jednofazowego.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1

0 2 1

1

1 1 E

Z Z Z

Z I Z

Z E

U + +

= +

−

= (3.114)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )1 ( )2 ( )0 1 2 2

2

2 Z Z Z

E I Z

Z

U =− =− + + (3.115)

Napięcie fazowe w miejscu zwarcia:

( ) U( ) U( ) 0 U

U_R = ₀ + ₁ + ₂ = (3.116)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ( )

( )

]

2 2 0 2 1

1 2

2 1 0

S a a Z a 1Z

Z Z Z U E

a U a U

U − + −

+

= + +

+

= (3.117)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ (

)

^{( )}

]

0 2 1

1 2 2

1 0

T a a Z a 1 Z

Z Z Z U E

a U a U

U − − + −

+

= + +

+

= (3.118)

ES

ET

( )1

R E

E =

( )1

U

( )2

U

( )0

U

( )1

U

a ( )1

2U

a aU^{( )2}

( )2 2U a

( )0

U

( )0

U

US

UT

( )1 I( )2 I( )0

I = = I^R

Rys. 3.10 Wykres wektorowy prądów i napięć w miejscu zwarcia dla metalicznego zwarcia jednofazowego przy pominięciu rezystancji sieci.

Wykresy wektorowe prądów i napięć przedstawione na rys. 3.10 wykreślono zakładając, że ( )1 jX( )1 Z( )2 jX( )2, Z( )0 jX( )0 jX( )1

Z = = = = > . W przypadku gdy:

( )1 Z( )2

Z = (3.119)

można wyprowadzić, że:

( )1 U( )2 E( )1

U − = (3.120)

Wtedy można przedstawić napięcia fazowe jako:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )2 ( )2 S ( )0 ( )2 2 1

0 2

2 1 0

S U a U aU U a E a U a U E U U

U = + + = + + + = + − (3.121)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )2 T ( )0 ( )2

1 2 0

2 2 1 0

T U aU a U U aE a U a U E U U

U = + + = + + + = + − (3.122) Z powyższego wykresu wskazowego oraz wzorów (3.121) i (3.122) wynika, że w przypadku gdy

( )1 Z( )2

Z = miejscem geometrycznym końców wektorów napięć faz zdrowych są proste:

• równoległe do wektora siły elektromotorycznej fazy zwartej,

• przechodzące przez końce wektorów sił elektromotorycznych faz nie zwartych.

Długość wektorów napięć faz zdrowych zależy od wzajemnego stosunku napięcia dla składowej zerowej do składowej przeciwnej. W przypadku gdy:

• napięcie dla składowej zerowej jest większe od napięcia składowej przeciwnej to napięcia faz zdrowych są większe od sił elektromotorycznych tej samej fazy,

• napięcie dla składowej zerowej jest mniejsze od napięcia składowej przeciwnej to napięcia faz zdrowych są mniejsze od sił elektromotorycznych tej samej fazy.

Fizyczną przyczyną tego zjawiska jest indukowanie się w fazach zdrowych strat napięć wywołanych przez prąd fazy zwartej i indukcyjność wzajemną tych dwóch faz. Ta strata napięcia jest opóźniona o 90^o w stosunku do prądu zwarciowego.

Na rys. 3. 11 ukazano wykres wektorowy prądów i napięć w miejscu zwarcia dla zwarcia jednofazowego metalicznego z uwzględnieniem rezystancji sieci. Uwzględnienie rezystancji sieci powoduje, że prąd zwarciowy maleje i zawiera także składową czynną, napięcie jednej zdrowej maleje a drugiej rośnie w stosunku do sytuacji z rys. 3.10.

W przypadku zwarcia jednofazowego za pośrednictwem impedancji Z , która może być np. _Z rezystancją łuku lub rezystancją uziemienia słupa, warunki graniczne w miejscu zwarcia są następujące:

R Z

R Z I

U = (3.123)

0 I

I_S = _T = (3.124)

Składowe symetryczne prądu i napięcie w miejscu zwarcia wynoszą:

( )0 ( )1 ( )2 IR

3 I 1 I

I = = = (3.125)

( )0 U( )1 U( )2 3ZZ I( )1

U + + = (3.126)

Otrzymane warunki brzegowe wskazują, że schemat z rys. 3.9 trzeba teraz uzupełnić o impedancję ZZ

3 w gałęzi łączącej schematy składowych symetrycznych na zewnątrz każdej z nich. Dodając do powyższych równań brzegowych równania dla składowych symetrycznych:

( )0 Z( ) ( )0 I0

U =−

( )1 E( )1 Z( ) ( )1 I1

U = − (3.127)

( )2 Z( ) ( )2 I 2

U =−

Wykorzystując powyższe zależności otrzymano:

( ) Z( ) ( )I Z( ) ( )I Z( ) ( )I 3Z I( ) 0

E₁ − _{1 1} − _{2 2} − _{0 0} − _{Z 1} = (3.128) ( )

(

)

E₁ − ₁ + ₂ + ₀ + _{Z 1} = (3.129)

stąd:

( )1

R E

E =

ES

ET

IR

( )1

U U( )2

( )2

U

( )0

U

( )0

( )0 U

U −U( )2

( )2

−U

US

UT

( )1 I( )2 I( )0

I = =

Rys. 3.11 Wykres wektorowy prądów i napięć w miejscu zwarcia dla metalicznego zwarcia jednofazowego z uwzględnieniem rezystancji sieci.

( ) ( ) ( ) ( )

( )¹ ( )² ( )^{0 Z}

1 0

2

1 Z Z Z 3Z

I E I

I = = = + + + (3.130)

Prąd w fazie zwartej:

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 ( )2 ( )0 Z 1

0 2 1

R Z Z Z 3Z

E I 3

I I

I = + + = + + + (3.131)

Składowe symetryczne napięcia wynoszą:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )1 ( )2 ( )0 Z 1

0 0

0 0 Z Z Z 3Z

E I Z

Z

U =− =− + + + (3.132)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1

Z 0

2 1

Z 0

2 1

1 1

1 E

Z 3 Z Z Z

Z 3 Z I Z

Z E

U + + +

+

= +

−

= (3.133)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )1 ( )2 ( )0 Z 1

2 2

2 2 Z Z Z 3Z

E I Z

Z

U =− =− + + + (3.134)

( )1

R E

E =

ES

ET

IR

( )1

U U_{( )2}

( )2

U

( )0

U

( )0

( )0 U

U −U^{( )2}

( )2

−U

US

UT

UR

Rys. 3.12 Wykres wektorowy prądów i napięć w miejscu zwarcia dla niemetalicznego zwarcia jednofazowego przy pominięciu rezystancji sieci.

Napięcie fazowe w miejscu zwarcia:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1

Z 0

2 1 2 Z 1

0

R E

Z 3 Z Z Z

Z U 3

U U

U = + + = + + + (3.135)

( )+ ( )+ ( ) =

= ₀ ² _{1 2}

S U a U a U

U

( )

( ) ( ) ( )

[ ( )

( )

]

2 0 2 2

Z 0

2 1

1 a a Z a 1Z 3a Z

Z 3 Z Z Z

E − + − +

+ +

= + (3.136)

( )+ ( )+ ( ) =

= _{0 1} ² ₂

T U aU a U

U

( )

( ) ( ) ( )

[ (

)

^{( )}

]

Z 0

2 1

1 a a Z a 1 Z 3aZ

Z 3 Z Z Z

E − − + − +

+ +

= + (3.137)

Napięcie na impedancji uziemienia punktu zerowego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

Z 0 2 1 0 u u

u E

Z Z Z Z

Z I 3

Z 3

U = = + + +

∆ (3.138)

Otrzymane zależności można zobrazować za pomocą wykresu wektorowego prądów i napięć w miejscu zwarcia – rys. 3.12.

Zwarcie jednofazowe może wystąpić także w fazie S lub T. W takim przypadku są dwa rozwiązania:

• obliczenia przeprowadzić dla fazy R a następnie wyniki przetransformować do fazy zwartej,

• wyprowadzić zależności dla zwarcie jednofazowego w fazie S lub T lecz w takim przypadku otrzymamy, że schematy zastępcze składowych symetrycznych będą połączone z sobą nie bezpośrednio lecz z udziałem transformatorów o przekładniach a, a² co znacznie utrudnia obliczenia.

3.6. Zwarcie dwufazowe

Rozpatrzono przypadek bezpośredniego zwarcia faz S i T tak aby znów faza R była fazą osobliwą. W miejscu zwarcia napięcia faz S i T są jednakowe

T

S U

U = (3.139)

a prąd w fazie zdrowej równy zeru:

0

I_R = (3.140)

W miejscu zwarcia w fazach S i T płynie prąd

T

S I

I =− (3.141)

Warunki graniczne określone powyższymi wzorami wyraźmy przez składowe symetryczne prądu i napięcia w miejscu zwarcia. Składowe symetryczne prądu na podstawie warunków granicznych wynoszą:

( )

(

)

1 I

3 j 3 I a 3 a

I =1 − = (3.142)

( )

(

)

2 I

3 j 3 I

a 3 a

I =−1 − =− (3.143)

( )

(

)

I₀ =1 − _S = (3.144)

Z równania tego wynika, że:

( )1 I( )2

I =− (3.145)

( ) 0

I ₀ = (3.146)

Składowe symetryczne napięć wynoszą:

( )₀

(

) (

)

3 U 1 U 3 U

U =1 + + = + (3.147)

( )₁

(

) (

)

3 U 1 a U a 3 U

U =1 + + = − (3.148)

( )₂

(

) (

)

3 U 1 a U a 3 U

U =1 + + = − (3.149)

Z równań tych wynika, że:

( )1 U( )2

U = (3.150)

Dla powyższych warunków narysowano schematy zastępcze dla składowych symetrycznych – rys. 3.13.

Do wzoru na składowe symetryczne napięć podstawiamy równanie obwodowe:

( ) Z( ) ( ) 0I U ₀ =− _{0 0} =

( )1 E( )1 Z( ) ( )1 I1

U = − (3.151)

( )2 Z( ) ( )2 I2 Z( ) ( )2 I1

U =− =

a po uwzględnieniu napięciowych warunków brzegowych jest:

( )1 Z( ) ( )1 I1 Z( ) ( )2 I1

E − = (3.152)

stąd:

( ) ( ) ( )

( )1 ( )2 1 2

1 Z Z

I E

I =− = + (3.153)

Prądy w fazach S i T wynoszą:

( ) ( )1 ( )2

1 T

S Z Z

3 E j I

I =− =− + (3.154)

Moduły prądów fazowych ( ) ( )1 ( )2

1 P

T

S Z Z

3 E I

I

I = = = + (3.155)

Po uwzględnieniu równań (2.74)-(2.76) i (2.153) składowe symetryczne napięć wyrażono wzorem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2 1

2 2

2 1

1 1 2

1 E

Z Z I Z Z I

Z E U

U = = − =− = + (3.156)

Zakładając Z( )1 = jX( )1 =Z( )2 = jX( )2 na rys. 3.14 przedstawiono wykres wektorowy prądów i napięć podczas zwarcia dwufazowego. Napięcia fazowe w miejscu zwarcia wynoszą:

( )1

( )1 I

E Z_{( )1}

( )1

U

( )2

( )2 I Z

( )2

U P(1)

K(1)

K(2)

P(2)

( )0

( )0 I Z

( )0

U

K(0)

P(0)

Rys. 3.13 Schemat zastępczy obwodu zwarciowego w przypadku zwarcia dwufazowego.