DYNAMICZNE DZIAàANIE WIATRU NA MOST PODWIESZONY

(1)

DYNAMICZNE DZIAàANIE WIATRU NA MOST PODWIESZONY

Anna Celmer-Al-Sabouni, Wojciech Gilewski

¹

Politechnika Warszawska, Warszawa

Streszczenie. Przedmiotem pracy jest opis odpowiedzi mostu podwieszonego na dyna- miczne dziaáanie wiatru. Zastosowano model, który bazuje na metodzie elementów skoĔ- czonych, na przykáadzie mostu ĝwiĊtokrzyskiego w Warszawie. Podstawą do analizy przy wykorzystaniu metody superpozycji modalnej jest analiza drgaĔ wáasnych konstrukcji.

ObciąĪenie wiatrem przyjĊto wedáug normy Eurokod 1, zakáadając harmoniczny rozkáad funkcji po czasie. Zaobserwowano i opisano zjawiska czĊĞciowego rezonansu i À atteru.

Sáowa kluczowe: dynamika budowli, most podwieszony, obciąĪenie wiatrem

WSTĉP

Przedmiotem analizy dynamicznej jest most ĝwiĊtokrzyski. Wybrany obiekt zloka- lizowany jest w centrum Warszawy w ciągu drogi nr 719 (rys. 1). Usytuowany jest nad przeszkodą wodną, którą stanowi rzeka Wisáa, o szerokoĞci kanaáu Īeglownego, wyno- szącej 50,00 m. Skáada siĊ z trzech czĊĞci: mostu podwieszonego, wiaduktu zachodniego oraz wiaduktu wschodniego. Jest to most o konstrukcji podwieszonej, z jednym pylonem i dwiema páaszczyznami lin oraz ze stalowo-Īelbetowym pomostem zespolonym. Dáu- goĞü poszczególnych czĊĞci obiektu wynosi: w przypadku czĊĞci podwieszonej: 140,00 + + 180,00 m (odpowiednio: od strony Pragi oraz od strony PowiĞla); w przypadku czĊ- Ğci swobodnie podpartej: 40,00 + 40,00 + 30,00 m (od rzeki Wisáy w stronĊ PowiĞla).

Sumaryczna dáugoĞü obiektu to 430,00 m, szerokoĞü caákowita – 30,80 m. W rejonie pylonu chodniki poszerzają siĊ o 4,30 m kaĪdy, tworząc taras widokowy i dając w sumie szerokoĞü caákowitą obiektu na tym odcinku równą 39,40 m. Konstrukcja páyty Īelbe- towej, o gruboĞci 0,30 m i spadku poprzecznym pod jezdnią 2%, oparta jest na dwóch (miejscami czterech) dĨwigarach stalowych. Na odcinku konstrukcji podwieszonej są to dwa dĨwigary blachownicowe wysokoĞci 1,77 m i rozstawie 14,00 m. Natomiast na odcinku swobodnie podpartym oraz przy utwierdzeniu czĊĞci podwieszonej do podpory

Adres do korespondencji – Corresponding author: Wojciech Gilewski, Politechnika Warszawska, Wydziaá InĪynierii Lądowej, Instytut InĪynierii Budowlanej, Zakáad Mechaniki Budowli, al. Armii Ludowej 16, 00-637 Warszawa, e-mail: w.gilewski@il.pw.edu.pl

(2)

balastowej są to cztery dĨwigary blachownicowe – po parze z kaĪdej strony pomostu.

Poprzecznice blachownicowe mają rozstaw 5,00 m. Jezdnia ma nawierzchniĊ asfalto- wą, natomiast chodniki – natryskową epoksydową, uáoĪoną na ¿ brobetonie. Wyposa- Īenie pomostu stanowią balustrady na zewnątrz obiektu i miĊdzy chodnikiem (ĞcieĪką rowerową) a pasem z linami podwieszającymi, barieroporĊcze miĊdzy jezdnią a pasem z linami podwieszającymi i bariery ochronne miĊdzy jezdnią a pasem rozdziaáu. Dodat- kowo na obiekcie znajdują siĊ sáupy latarni oraz sáupy reÀ ektorów oĞwietlających pylon.

W rejonie poszerzenia chodnika, obok pylonów, na tarasie widokowym znajdują siĊ dwie konstrukcje daszkowe.

MODEL MES – DYNAMICZNE DZIAàANIE WIATRU

Analizowany model MES konstrukcji [Zienkiewicz i Taylor 2006] wykonany zostaá na podstawie modelu obliczeniowego, opracowanego przez Konsultacyjne Biuro Pro- jektowe „Krzysztof ĩóátowski” na zlecenie Wydziaáu InĪynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej. KonstrukcjĊ zamodelowano przy uĪyciu trzech typów elementów: ele- mentów belkowych: dĨwigary, poprzecznice, belki krawĊdziowe, pylon; elementów po- wáokowych: páyta betonowa pomostu; elementów kratownicowych: kable podwieszenia (rys. 2). Model ma 228 373 stopni swobody.

Rys. 1. Most ĝwiĊtokrzyski w Warszawie: a – plan sytuacyjny, b – widoki Fig. 1. ĝwiĊtokrzyski Bridge in Warsaw: a – situation plan, b – views

a

b c

(3)

Modelowanie dynamicznego dziaáania wiatru na konstrukcjĊ jest trudne z uwagi na záoĪonoĞü zagadnienia – nieregularnoĞü porywów wiatru i wpáyw geometrii obiektu na rozkáad ciĞnienia wiatru [Simu i Scanlan 1996, Flaga 2008]. CzĊsto do opisania dziaáania wiatru wykorzystuje siĊ kosztowne badania modelowe w tunelu aerodynamicznym [Fla- ga 2008] lub záoĪone obliczenia na bazie mechaniki páynów [Szabo i Gyorgyi 2011].

ObciąĪenie w kierunku prostopadáym do osi mostu – X

Pylon (rys. 3) – obliczenia wedáu Eurocodu 1 [PN-EN 1991]. Siáa wywierana przez wiatr na pylon:

ref

w s d f p e

F c c c q z A

gdzie: cscd – wspóáczynnik konstrukcyjny,

cf – wspóáczynnik siáy aerodynamicznej elementu konstrukcyjnego, qp(ze) – wartoĞü szczytowa ciĞnienia prĊdkoĞci na wysokoĞci odniesienia ze,

Aref – pole powierzchni odniesienia elementu konstrukcyjnego.

Pomost. Rozpatrywany pomost ma przekrój typowy, tak wiĊc nie jest konieczne za- stosowanie procedury odpowiedzi dynamicznej. Siáa wywierana przez wiatr na pomost:

2 ref ,

1

w 2 b x

F Uv C A

gdzie: vb – bazowa prĊdkoĞü wiatru,

C – wspóáczynnik obciąĪenia wiatrem, Aref – pole powierzchni odniesienia, U – gĊstoĞü powietrza (U= 1,25 kg·m^–3).

a

b

Rys. 2. Model MES konstrukcji: a – aksonometria, b – widok z boku Fig. 2. FEM model of the structure: a – axonometry, b – side view

(4)

2 2 1 ref ,

1 1

/ / 1,25 22,0 3,85 984,70/430 2666,99 N m

2 2

w b x

F L Uv C A L

ObciąĪenie w kierunku równolegáym do osi mostu – Y

Pylon (rys. 4) – obliczenia wedáug Eurocodu 1 [PN-EN 1991]. Siáa wywierana przez wiatr na pylon:

ref

w s d f p e

F c c c q z A

Analiza modelu mostu ĝwiĊtokrzyskiego dotyczy oddziaáywania wiatru, rozpatry- wanego w sposób dynamiczny. Obliczone na podstawie PN-EN 1991-1-4, normowe obciąĪenie wiatrem badanej konstrukcji zostaáo wprowadzone do modelu wykonanego w programie So¿ stik jako obciąĪenie przyáoĪone do elementów belkowych pomostu:

dĨwigarów zewnĊtrznych i belek krawĊdziowych oraz do pylonu. Siáom przyáoĪonym do konstrukcji przypisano odpowiednie funkcje czasu. Zastosowane zostaáy funkcje harmoniczne o zmienianych kolejno okresach. Literatura przedmiotu podaje róĪne funkcje, którymi moĪna opisywaü dziaáanie wiatru [Simu i Scanlan 1996, Flaga 2008]. ĩadna z nich nie odzwierciedla jednak w peáni faktycznego zachowania siĊ tego obciąĪenia.

Wedáug wiĊkszoĞci Ĩródeá, funkcjami najlepiej przybliĪającymi À uktuacje siá wiatru w czasie są funkcje harmoniczne:

( ) sin _n sin2

n

f t t t

T Z S

gdzie za Tn podstawiano kolejne okresy drgaĔ wáasnych.

Rys. 3. Rozkáad siá wywieranych przez wiatr na pylon w kierunku X

Fig. 3. Distribution of forces caused by wind in the direction X acting on the pylon

N·m^–1 N·m^–1

N·m^–1

N·m^–1 N·m^–1

(5)

ANALIZA DYNAMICZNA

Drgania wáasne. Pierwszym z etapów analizy dynamicznej byáo okreĞlenie dziesiĊ- ciu pierwszych czĊstoĞci i postaci drgaĔ wáasnych konstrukcji. Wykonane przez program obliczenia przeprowadzone zostaáy przy zastosowaniu algorytmu Lanczosa. Wyniki ze- stawiono w tabeli 1 i na rysunku 5.

N·m^–1 N·m^–1

N·m^–1 Rys. 4. Rozkáad siá wywieranych przez wiatr na pylon w kierunku Y

Fig. 4. Distribution of forces acting on the pylon caused by wind in the direction Y

Tabela 1. Wyniki analizy drgaĔ wáasnych Table 1. Results of eigenvalue analysis

Numer Number

Rodzaj drgaĔ Type of vibrations

CzĊstoĞü – Natural frequency Ȧ [1·s^–1]

CzĊstotliwoĞü – Frequency f [Hz]

Okres – Period T [s]

1 GiĊtne – Bending 3,191 0,508 1,969

2 SkrĊtne – Torsional 5,220 0,831 1,204

3 GiĊtne – Bending 5,524 0,879 1,137

4 GiĊtne – Bending 6,539 1,041 0,961

7 GiĊtne – Bending 8,355 1,330 0,752

8 GiĊtne – Bending 9,208 1,465 0,682

(6)

Postaü 1

αͲǡͷͲͺ

αͳǡͻ͸ͻ

Postaü 2

Postaü 3

αͲǡͺ͵ͳ

αͳǡʹͲͶ

αͲǡͺ͹ͻ

αͳǡͳ͵͹

Rys. 5. CzĊstotliwoĞci i postaci drgaĔ wáasnych konstrukcji Fig. 5. Frequencies and eigenmodes of the structure

(7)

Postaü 4

αͳǡͲͶͳ

αͲǡͻ͸ͳ

Postaü 5

Postaü 6

αͳǡͲͺͻ

αͲǡͻͳͺ

αͳǡͳ͸ʹ

αͲǡͺ͸Ͳ

Rys. 5, cd.

Fig. 5, cont.

(8)

Postaü 7

αͳǡ͵͵Ͳ

αͲǡ͹ͷʹ

Postaü 8

Postaü 9

αͳǡͶ͸ͷ

αͲǡ͸ͺʹ

αͳǡͷͲͶ

αͲǡ͸͸ͷ

Rys. 5, cd.

Fig. 5, cont.

(9)

OdpowiedĨ konstrukcji na dynamiczne dziaáanie wiatru. Wyniki obliczeĔ przed- stawiono dla dwóch par punktów pokazanych na rysunku 6.

W analizie odpowiedzi konstrukcji na dynamiczne dziaáanie wiatru zastosowano metodĊ superpozycji modalnej, z uwzglĊdnieniem piĊciu pierwszych postaci drgaĔ wáa- snych. PominiĊty zostaá wpáyw táumienia. ObciąĪenie konstrukcji wiatrem w kierunku x wywoáuje w pomoĞcie efekty skrĊtne, a w kierunku y – drgania giĊtne.

Rozpatrując obciąĪenie w kierunku X (rys. 7), moĪna stwierdziü, Īe szybko narasta- jące przemieszczenia uzyskuje siĊ takĪe w przypadku funkcji o okresie odpowiadającym giĊtnym postaciom drgaĔ. Nie jest to rezonans w czystej postaci, gdyĪ po osiągniĊciu okreĞlonego poziomu amplituda drgaĔ przestaje rosnąü, niemniej jednak obserwuje siĊ pewne wzbudzenie.

Analiza pokazaáa, Īe zupeánie inaczej zachowuje siĊ konstrukcja w przypadku od- wrotnym, to znaczy w przypadku gdy obciąĪeniu w kierunku Y (rys. 8) przyporządku- je siĊ funkcje odpowiadające postaciom skrĊtnym. Nie dochodzi wówczas do Īadnego wzbudzenia, a obiekt drga w sposób nieregularny, trudny do zde¿ niowania.

Postaü 10

αͳǡͷ͹͸

αͲǡ͸͵Ͷ

Rys. 5, cd.

Fig. 5, cont.

Rys. 6. Punkty, których przemieszczenia analizowano Fig. 6. Points of displacement analysis

(10)

Rys. 7. Przemieszczenia pionowe punktów B i B’ wywoáane obciąĪeniem w kierunku X z przy- pisaną mu funkcją o f = 1,089 Hz (piąta czĊstotliwoĞü drgaĔ wáasnych)

Fig. 7. Vertical displacements of points B and B’ imposed by load in X direction with the time function with f = 1.089 Hz (¿ fth eigenvalue)

Rys. 8. Przemieszczenia pionowe punktów A i A’ wywoáane obciąĪeniem w kierunku Y z przypi- saną mu funkcją o f = 0,508 Hz (pierwsza czĊstotliwoĞü drgaĔ wáasnych)

Fig. 8. Vertical displacements of points A and A’ imposed by load in Y direction with the time function with f = 0.508 Hz (¿ rst eigenvalue)

(11)

Ostatnim i najwaĪniejszym etapem przeprowadzonej analizy dynamicznej byáo sprawdzenie, czy model wykazuje w pewnych szczególnych warunkach (przy wietrze wiejącym z zaáoĪoną funkcją czasu) podatnoĞü na samowzbudzone drgania giĊtno-skrĊt- ne, czyli À atter. Poszukiwana byáa taka kombinacja obciąĪenia i przypisanej mu funkcji, by przy wzrastających drganiach skrĊtnych zaobserwowaü jednoczeĞnie rosnące drgania giĊtne lub odwrotnie. Cel zostaá osiągniĊty dla obciąĪenia dziaáającego w kierunku X, czyli wywoáującego skrĊcanie pomostu. ObciąĪeniu temu zostaáa przyporządkowana funkcja harmoniczna o podanym wyĪej wzorze i o czĊstotliwoĞci równej 0,508 Hz, czyli pierwszej czĊstotliwoĞci drgaĔ wáasnych. Rezonans zaobserwowano wáaĞnie przy tej czĊ- stotliwoĞci, gdyĪ jest ona znacznie mniejsza od pozostaáych. CzĊstotliwoĞü trzeciej postaci drgaĔ giĊtnych jest bardzo zbliĪona do drugiej czĊstotliwoĞci drgaĔ skrĊtnych, przez co po jej przyáoĪeniu dominowaá efekt skrĊcania. Podobnie byáo w przypadku czwartej i piątej postaci.

Na rysunku 9 widaü wyraĨnie wzrastające przemieszczenia skrajnych punktów pomostu, drgającego z czĊstotliwoĞcią rezonansową. PrzyjĊta tu skala czasu róĪni siĊ od skal zastosowanych na poprzednich wykresach. Ma to na celu zaprezentowanie otrzymanych wyników w sposób jak najbardziej przejrzysty, najkorzystniejszy dla pokazania danego zjawiska. Po dokáadnym przyjrzeniu siĊ wykresowi moĪna dostrzec pewne oddalające siĊ od siebie, jaĞniejsze pasy. Są to miejsca przeciĊcia obu wykresów. PrzeciĊcia wykresów

Rys. 9. Wykres przemieszczeĔ punktów A i A’ z zaznaczonymi strefami przeciĊü odpowiadający- mi poziomemu poáoĪeniu pomostu

Fig. 9. Displacements of points A i A’ with the lines connected to the horizontal placement of the bridge deck

(12)

oznaczają chwile, w których oba punkty pomostu są na tej samej wysokoĞci – raz na górze, raz na dole. Ich wzajemne oddalanie siĊ oznacza zatem, Īe pomost nie tylko siĊ skrĊca, ale równieĪ podlega drganiom giĊtnym.

W początkowej chwili mamy do czynienia z czystą postacią drgaĔ skrĊtnych, po oko- áo 20 s natomiast zaczynają siĊ pojawiaü samowzbudzone drgania giĊtne.

PODSUMOWANIE

W pracy przedstawiono analizĊ odpowiedzi dynamicznej mostu podwieszonego pod dziaáaniem obciąĪenia wiatrem. Wykazano, Īe przy obliczeniach prowadzonych metodą superpozycji modalnej w ramach metody elementów skoĔczonych moĪna uzyskaü odpo- wiedĨ dynamiczną w postaci rezonansu i À atteru skrĊtno-giĊtnego.

PIĝMIENNICTWO

Flaga A., 2008. InĪynieria wiatrowa. Podstawy i zastosowania. Arkady, Warszawa.

PN-EN 1991-1-4. Eurokod 1: Oddziaáywania na konstrukcje. CzĊĞü 1–4. Oddziaáywania ogólne.

Oddziaáywania wiatru.

Simu E., Scanlan R.H., 1996. Wind effects on structures. John Wiley & Sons, New York.

Szabo G., Gyorgyi J., 2011. Flutter simulation and measurement of generic bridge deck sections. Proc. 9th Int. Conf. on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, Bra- tislava.

Zienkiewicz O.C., Taylor R., 2006. Finite element method. Vol. 1–3. Elsevier, Amsterdam.

CABLE-STAYED BRIDGE UNDER DYNAMIC WIND ACTION

Abstract. The subject under consideration is dynamic action of wind for cable-stayed bridge. Finite element model is used for the ĝwiĊtokrzyski Bridge in Warsaw as an exam- ple. Free vibration modes are calculated as a base for the method of modal superposition.

The wind load is calculated following the Eurocode 1 with the harmonic function for time variable. Semi-resonance as well as À utter phenomena is observed.

Key words: dynamics of structures, cable-stayed bridge, wind load

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 28.12.2012