1 Własności całki Lebesgue’a

(1)

Wykład 11

1 Własności całki Lebesgue’a

Definicja 1.1 Niech (X, µ) - przestrzeń mierzalna. Powiemy, że pewien warunek zachodzi µ - prawie wszędzie jeśli zachodzi on wszędzie na zbiorze X poza zbiorem miary µ 0.

Stwierdzenie 1.1 Całka funkcji mierzalnej po zbiorze miary zero jest równa 0.

Stwierdzenie 1.2 Jeśli A ∩ B = ∅, to:

Z

A∪B

f (x)dµ(x) =

Z

A

f (x)dµ(x) +

Z

B

f (x)dµ(x),

tzn. jeśli obie strony istnieją to są równe.

Stwierdzenie 1.3 Jeśli f = 0 µ - p.w. to dla każdego zbioru mierzalnego A zachodzi:

Z

A

f (x)dµ(x) = 0.

Stwierdzenie 1.4 Jeśli f = g µ - p.w., to dla każdego zbioru mierzalnego A zachodzi:

Z

A

f (x)dµ(x) =

Z

A

g(x)dµ(x).

Stwierdzenie 1.5 Jeśli f, g - całkowalne, f ¬ g µ-p.w. to

Z

A

f (x)dµ(x) ¬

Z

A

g(x)dµ(x).

Stwierdzenie 1.6 Funkcja mierzalna f jest całkowalna na A wtedy i tylko wtedy gdy |f | jest całkowalna na A. Ponadto zachodzi:

Z

A

f (x)dµ(x)

¬

Z

A

|f (x)|dµ(x).

Stwierdzenie 1.7 Jeśli f funkcja mierzalna, oraz istnieje funkcja g całkowalna na A taka, że |f | ¬ g µ - p.w, to f jest całkowalna na A.

Stwierdzenie 1.8 Jeśli f, g -całkowalne to:

∀ _a,b∈R

Z

A

(af (x) + bf (x))dµ(x) = a

Z

A

f (x)dµ(x) + b

Z

A

g(x)dµ(x).

Twierdzenie 1.1 (Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej) Niech f _n oraz f - funkcje mierzalne. Jeśli 0 ¬ f n % f to :

n→∞ lim

Z

A

f _n (x)dµ(x) =

Z

A

f (x)dµ(x).

1

(2)

Twierdzenie 1.2 (Lemat Fatou) . jeśli f _n - nieujemne funkcje mierzalne, to:

Z

A

lim inf

n→∞ f _n (x)dµ(x) ¬ lim inf

n→∞

Z

A

f _n (x)dµ(x).

Twierdzenie 1.3 (Lebesgue’a o ograniczonej zbieżności) Jeśli f _n , f - funkcje mierzalne, lim _n→∞ f _n = f (µ - p.w. na A) oraz istnieje g - całkowalna, taka że |f _n | ¬ g (µ p.w. na A), to:

n→∞ lim

Z

A

f _n (x)dµ(x) =

Z

A

f (x)dµ(x), tzn. obie całki istnieją i są sobie równe.

Następujące twierdzenie podaje związek między całką Lebesgue’a i Riemanna:

Twierdzenie 1.4 Niech f będzie funkcją ograniczoną na [a, b]. Jeśli f jest całkowalna w sensie Riemanna na [a, b], to f jest mierzalna i całkowalna w sensie Lebesgue’a na [a, b], oraz

Z b a

f (x)dx =

Z

[a,b]

f (x)dl ₁ (x).

2 Twierdzenie Fubiniego

Definicja 2.1 Niech dane będą przestrzenie mierzalne (X ₁ , M ₁ , µ ₁ ), (X ₂ , M ₂ , µ ₂ ). Najmniej- sze σ-ciało zawierające rodzinę wszystkich zbiorów postaci A ₁ × A ₂ , gdzie A ₁ ∈ M ₁ , A ₂ ∈ M ₂ nazywamy σ - ciałem produktowym σ-ciał M ₁ i M ₂ .

Twierdzenie 2.1 Niech dane będą przestrzenie mierzalne (X ₁ , M ₁ , µ ₁ ), (X ₂ , M ₂ , µ ₂ ). Oznaczmy przez M odpowiednie σ-ciało produktowe. Wtedy funkcja µ ^∗ : M → ¯ R + określona jako

µ ^∗ (A) = inf





 X

n∈N

|A ⁿ | : A ⁿ = A ⁿ ₁ × A ⁿ ₂ , A ⁿ _i ∈ M i , A ⊂ ^[

n∈N

A ⁿ







jest miarą zewnętrzną, która staje się miarą po ograniczeniu do σ-ciała produktowego M.

Miarę tą nazywamy miarą produktową i oznaczamy µ = µ ₁ ⊗ µ ₂ . Przykład: Miara Lebesgue’a: l _n+m = l _n ⊗ l _m .

Twierdzenie 2.2 Niech (X ₁ , M ₁ , µ ₁ ), (X ₂ , M ₂ , µ ₂ ), (X _, M, µ), gdzie X = X ₁ × X ₂ , M = M ₁ ⊗ M ₂ , µ = µ ₁ ⊗ µ ₂ - odpowiednio σ - ciało i miara produktowa będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi.

Jeśli funkcja f : X → ¯ R jest całkowalna na zbiorze X względem miary µ, to dla prawie wszystkich punktów x ₂ ∈ X ₂ funkcja f (·, x ₂ ) : X ₁ → ¯ R jest mierzalna, funkcja f ² : X ₂ → R dana wzorem

f ₂ (x ₂ ) =

Z

X

1

f (x ₁ , x ₂ )dµ ₁ (x ₁ ) jest mierzalna i określona µ ₂ -p.w. na X ₂ oraz:

Z

X

f (x)dµ(x) =

Z

X

2

f ₂ (x ₂ )dµ ₂ (x ₂ )

gdzie x = (x ₁ , x ₂ ).

2

(3)

Aby stosować twierdzenie Fubiniego, musimy jednak najpierw wiedzieć, że nasza funkcja jest całkowalna. Użytecznego kryterium dostarcza następujące:

Twierdzenie 2.3 (Tonellego) Przy powyższych oznaczeniach, jeśli jedna z poniższych całek iterowanych:

Z

X

2

(

Z

X

1

|f (x ₁ , x ₂ )|dµ ₁ (x ₁ ))dµ ₂ (x ₂ ) lub

Z

X

1

(

Z

X

2

|f (x ₁ , x ₂ )|dµ ₂ (x ₂ ))dµ ₁ (x ₁ )

to funkcja f jest całkowalna na zbiorze X względem miary µ.

3 Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie

Zanim podamy ostatnie twierdzenie tego wykładu,potrzebna nam będzie jeszcze jedna defi- nicja:

Definicja 3.1 (dyfeomorfizm) Odwzorowanie ϕ : U → R ⁿ , gdzie U ⊂ R ⁿ - zbiór otwarty, nazywa się dyfeomorfizmem, jeśli jest ono klasy C ¹ , jest nieosobliwe i różnowartościowe, a odwzorowanie ϕ ⁻¹ jest ciągłe.

Twierdzenie 3.1 Jeśli ϕ : U → V , ψ : V → R ^k są dyfeomorfizmami, to ψ ◦ ϕ jest też dyfeomorfizmem ( U, V -podzbiory otwarte przestrzeni R ⁿ , R ^m odpowiednio).

Twierdzenie 3.2 Jeśli odwzorowanie ϕ : U → R ^m klasy C ¹ , U ⊂ R ⁿ jest nieosobliwe i różnowartościowe, to jest ono dyfeomorfizmem oraz ϕ ⁻¹ jest też dyfeomorfizmem.

Ostatnim, aczkolwiek bynajmniej nie najmniej ważnym ”poważnym” twierdzeniem (pozostałe nie są niepoważne) z jakim się zapoznamy jest następujące:

Twierdzenie 3.3 (o całkowaniu przez podstawienie) Niech ϕ : G 7→ R ^k będzie dyfe- omorfizmem, gdzie G - zbiór otwarty w R ^k i niech dany będzie zbiór E ⊂ G oraz funkcja f określona na zbiorze ϕ(E). Wówczas:

1 ^o funkcja f jest całkowalna na zbiorze ϕ(E) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja (f ◦ ϕ)J ϕ (J ϕ oznacza jakobian przekształcenia ϕ ) jest całkowalna na zbiorze E;

2 ^o jeśli funkcja f jest mierzalna, całkowalna (lub nieujemna) na ϕ(E), to zachodzi wzór :

1 Własności całki Lebesgue’a

Wykład 11

1 Własności całki Lebesgue’a

Definicja 1.1 Niech (X, µ) - przestrzeń mierzalna. Powiemy, że pewien warunek zachodzi µ - prawie wszędzie jeśli zachodzi on wszędzie na zbiorze X poza zbiorem miary µ 0.

Stwierdzenie 1.1 Całka funkcji mierzalnej po zbiorze miary zero jest równa 0.

Stwierdzenie 1.2 Jeśli A ∩ B = ∅, to:

Z

A∪B

f (x)dµ(x) =

Z

A

f (x)dµ(x) +

Z

B

f (x)dµ(x),

tzn. jeśli obie strony istnieją to są równe.

Stwierdzenie 1.3 Jeśli f = 0 µ - p.w. to dla każdego zbioru mierzalnego A zachodzi:

Z

A

f (x)dµ(x) = 0.

Stwierdzenie 1.4 Jeśli f = g µ - p.w., to dla każdego zbioru mierzalnego A zachodzi:

Z

A

f (x)dµ(x) =

Z

A

g(x)dµ(x).

Stwierdzenie 1.5 Jeśli f, g - całkowalne, f ¬ g µ-p.w. to

Z

A

f (x)dµ(x) ¬

Z

A

g(x)dµ(x).

Stwierdzenie 1.6 Funkcja mierzalna f jest całkowalna na A wtedy i tylko wtedy gdy |f | jest całkowalna na A. Ponadto zachodzi:

Z

A

f (x)dµ(x)

¬

Z

A

|f (x)|dµ(x).

Stwierdzenie 1.7 Jeśli f funkcja mierzalna, oraz istnieje funkcja g całkowalna na A taka, że |f | ¬ g µ - p.w, to f jest całkowalna na A.

Stwierdzenie 1.8 Jeśli f, g -całkowalne to:

∀ a,b∈R

Z

A

(af (x) + bf (x))dµ(x) = a

Z

A

f (x)dµ(x) + b

Z

A

g(x)dµ(x).

Twierdzenie 1.1 (Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej) Niech f n oraz f - funkcje mierzalne. Jeśli 0 ¬ f n % f to :

n→∞ lim

Z

A

f n (x)dµ(x) =

Z

A

f (x)dµ(x).

1

Twierdzenie 1.2 (Lemat Fatou) . jeśli f n - nieujemne funkcje mierzalne, to:

Z

A

lim inf

n→∞ f n (x)dµ(x) ¬ lim inf

n→∞

Z

A

f n (x)dµ(x).

Twierdzenie 1.3 (Lebesgue’a o ograniczonej zbieżności) Jeśli f n , f - funkcje mierzalne, lim n→∞ f n = f (µ - p.w. na A) oraz istnieje g - całkowalna, taka że |f n | ¬ g (µ p.w. na A), to:

n→∞ lim

Z

A

f n (x)dµ(x) =

Z

A

f (x)dµ(x), tzn. obie całki istnieją i są sobie równe.

∀ _a,b∈R

Twierdzenie 1.1 (Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej) Niech f _n oraz f - funkcje mierzalne. Jeśli 0 ¬ f n % f to :

f _n (x)dµ(x) =

Twierdzenie 1.2 (Lemat Fatou) . jeśli f _n - nieujemne funkcje mierzalne, to:

n→∞ f _n (x)dµ(x) ¬ lim inf

f _n (x)dµ(x).

Twierdzenie 1.3 (Lebesgue’a o ograniczonej zbieżności) Jeśli f _n , f - funkcje mierzalne, lim _n→∞ f _n = f (µ - p.w. na A) oraz istnieje g - całkowalna, taka że |f _n | ¬ g (µ p.w. na A), to:

f _n (x)dµ(x) =

f (x)dl ₁ (x).

Definicja 2.1 Niech dane będą przestrzenie mierzalne (X ₁ , M ₁ , µ ₁ ), (X ₂ , M ₂ , µ ₂ ). Najmniej- sze σ-ciało zawierające rodzinę wszystkich zbiorów postaci A ₁ × A ₂ , gdzie A ₁ ∈ M ₁ , A ₂ ∈ M ₂ nazywamy σ - ciałem produktowym σ-ciał M ₁ i M ₂ .

Twierdzenie 2.1 Niech dane będą przestrzenie mierzalne (X ₁ , M ₁ , µ ₁ ), (X ₂ , M ₂ , µ ₂ ). Oznaczmy przez M odpowiednie σ-ciało produktowe. Wtedy funkcja µ ^∗ : M → ¯ R + określona jako

µ ^∗ (A) = inf

|A ⁿ | : A ⁿ = A ⁿ ₁ × A ⁿ ₂ , A ⁿ _i ∈ M i , A ⊂ ^[

A ⁿ

Miarę tą nazywamy miarą produktową i oznaczamy µ = µ ₁ ⊗ µ ₂ . Przykład: Miara Lebesgue’a: l _n+m = l _n ⊗ l _m .

Twierdzenie 2.2 Niech (X ₁ , M ₁ , µ ₁ ), (X ₂ , M ₂ , µ ₂ ), (X _, M, µ), gdzie X = X ₁ × X ₂ , M = M ₁ ⊗ M ₂ , µ = µ ₁ ⊗ µ ₂ - odpowiednio σ - ciało i miara produktowa będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi.

Jeśli funkcja f : X → ¯ R jest całkowalna na zbiorze X względem miary µ, to dla prawie wszystkich punktów x ₂ ∈ X ₂ funkcja f (·, x ₂ ) : X ₁ → ¯ R jest mierzalna, funkcja f ² : X ₂ → R dana wzorem

f ₂ (x ₂ ) =

f (x ₁ , x ₂ )dµ ₁ (x ₁ ) jest mierzalna i określona µ ₂ -p.w. na X ₂ oraz:

f ₂ (x ₂ )dµ ₂ (x ₂ )

gdzie x = (x ₁ , x ₂ ).

|f (x ₁ , x ₂ )|dµ ₁ (x ₁ ))dµ ₂ (x ₂ ) lub

|f (x ₁ , x ₂ )|dµ ₂ (x ₂ ))dµ ₁ (x ₁ )

Definicja 3.1 (dyfeomorfizm) Odwzorowanie ϕ : U → R ⁿ , gdzie U ⊂ R ⁿ - zbiór otwarty, nazywa się dyfeomorfizmem, jeśli jest ono klasy C ¹ , jest nieosobliwe i różnowartościowe, a odwzorowanie ϕ ⁻¹ jest ciągłe.

Twierdzenie 3.1 Jeśli ϕ : U → V , ψ : V → R ^k są dyfeomorfizmami, to ψ ◦ ϕ jest też dyfeomorfizmem ( U, V -podzbiory otwarte przestrzeni R ⁿ , R ^m odpowiednio).

Twierdzenie 3.2 Jeśli odwzorowanie ϕ : U → R ^m klasy C ¹ , U ⊂ R ⁿ jest nieosobliwe i różnowartościowe, to jest ono dyfeomorfizmem oraz ϕ ⁻¹ jest też dyfeomorfizmem.

Twierdzenie 3.3 (o całkowaniu przez podstawienie) Niech ϕ : G 7→ R ^k będzie dyfe- omorfizmem, gdzie G - zbiór otwarty w R ^k i niech dany będzie zbiór E ⊂ G oraz funkcja f określona na zbiorze ϕ(E). Wówczas:

1 ^o funkcja f jest całkowalna na zbiorze ϕ(E) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja (f ◦ ϕ)J ϕ (J ϕ oznacza jakobian przekształcenia ϕ ) jest całkowalna na zbiorze E;

2 ^o jeśli funkcja f jest mierzalna, całkowalna (lub nieujemna) na ϕ(E), to zachodzi wzór :