1. Funkcja i jej własności

(1)

Funkcja i jej własności

0.1. Zbiory

Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B (lub zbiór B zawiera zbiór A) i piszemy A ⊂ B, jeżeli dla dowolnego x zachodzi implikacja: jeśli x ∈ A, to x ∈ B, tzn.

∀_x x ∈ A =⇒ x ∈ B.

Zbiory A i B są równe, jeśli A ⊂ B oraz B ⊂ A. Wówczas piszemy A = B.

Jeśli mamy dane dwa zbiory A, B, to określamy ich sumę (∪), iloczyn (∩) i różnicę (\):

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}, A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}, A \ B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Twierdzenie

Jeśli A, B, C są dowolnymi zbiorami, to:

1. A ∪ B = B ∪ A (przemienność sumy zbiorów), 2. A ∩ B = B ∩ A (przemienność iloczynu zbiorów), 3. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (łączność sumy zbiorów), 4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (łączność iloczynu zbiorów),

5. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (rozdzielność sumy zbiorów względem iloczynu zbiorów), 6. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (rozdzielność iloczynu zbiorów względem sumy zbiorów), 7. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) (pierwsze prawo de Morgana dla zbiorów),

8. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) (drugie prawo de Morgana dla zbiorów).

Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A i B to zbiór uporządkowanych par (x, y), w którym x ∈ A oraz y ∈ B. Symbolicznie można to zapisać w postaci:

A × B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}.

0.2. Wzory skróconego mnożenia (a + b)² = a²+ 2ab + b²

(a − b)² = a²− 2ab + b² a²− b²= (a + b)(a − b)

(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³ (a − b)³ = a³− 3a²b + 3ab²− b³ a³− b³= (a − b)(a²+ ab + b²) a³+ b³= (a + b)(a²− ab + b²)

(2)

Funkcja i jej własności

1. Funkcja i jej własności

1.1. Definicja funkcji

Załóżmy, że X, Y są dowolnymi zbiorami. Przypomnijmy, że iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór

X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }.

Dowolny podzbiór R ⊂ X × Y nazywamy relacją.

Relację f ⊂ X × Y nazywamy funkcją, jeśli są spełnione następujące dwa warunki:

1. ∀_x∈X ∃_y∈Y (x, y) ∈ f ,

2. ∀_x∈X∀_y,y⁰_∈Y (x, y) ∈ f ∧ (x, y⁰) ∈ f =⇒ y = y⁰.

Jeśli relacja f ⊂ X × Y będzie funkcją, to będziemy pisali f : X → Y . Zbiór X (oznaczany często przez D_f) nazywamy dziedziną funkcji f , natomiast zbiór Y przeciwdziedziną funkcji f . Zbiór wartości funkcji f (oznaczany często przez ZW_f) to zbiór tych elementów y ∈ Y , dla których istnieje x ∈ X taki, że y = f (x).

1.2. Własności funkcji Niech f : X → Y .

1. Punkt x₀ ∈ X jest miejscem zerowym funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f (x₀) = 0.

2. Dwie funkcje f i g są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:

• D_f = D_g= D,

• dla każdego x ∈ D f (x) = g(x).

3. Monotoniczność funkcji:

• Funkcję f nazywamy silnie rosnącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli

∀_x₁_,x₂_∈A (x₁ < x₂ =⇒ f (x₁) < f (x₂)).

• Funkcję f nazywamy silnie malejącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli

∀_x₁_,x₂_∈A (x₁ < x2 =⇒ f (x₁) > f (x₂)).

• Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli

∀_x₁_,x₂_∈A (x₁ < x₂ =⇒ f (x₁)6 f (x2)).

• Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli

∀_x₁_,x₂_∈A (x₁ < x2 =⇒ f (x₁)> f (x2)).

• Funkcję f nazywamy stałą w zbiorze A ⊂ X, jeśli

∃_c∈Y ∀_x∈A f (x) = c.

4. Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją różnowartościową (iniekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy każdej parze różnych argumentów przyporządkowuje różne wartości funkcji, tzn.

∀_x₁_,x₂_∈X (x₁6= x₂ =⇒ f (x₁) 6= f (x₂)).

(3)

Funkcja liniowa

5. Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją „na” (surjekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego y ∈ Y istnieje x ∈ X taki, że y = f (x).

6. Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest iniekcją i surjekcją.

7. Jeżeli dane są funkcje f : X → Y₁ oraz g : Y₂ → Z, gdzie Y₁ ⊂ Y₂, to istnieje funkcja h : X → Z określona wzorem h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)), zwana złożeniem funkcji f z funkcją g.

8. Funkcję g : Y → X nazywamy odwrotną do funkcji f : X → Y wtedy i tylko wtedy, gdy (g ◦ f )(x) = x dla każdego x ∈ X oraz (f ◦ g)(y) = y dla każdego y ∈ Y .

Uwaga: Wykresy funkcji i funkcji do niej odwrotnej są wzajemnie symetryczne względem prostej o równaniu y = x.

9. Funkcja okresowa o okresie t 6= 0 to funkcja f : X → Y taka, że dla każdego x ∈ D_f również (x + t) ∈ D_f oraz f (x) = f (x + t) dla każdego x ∈ X.

10. Funkcja parzysta to funkcja f taka, że dla każdego x ∈ D_f mamy −x ∈ D_f i f (−x) = f (x).

Uwaga: Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY .

11. Funkcja nieparzysta to funkcja f taka, że dla każdego x ∈ D_f mamy −x ∈ D_f i f (−x) = −f (x).

Uwaga: Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu (0, 0).

12. Funkcja ograniczona to funkcja, której zbiór wartości jest zbiorem ograniczonym.

1.3. Przekształcenia wykresów funkcji

Załóżmy, że mamy wykres funkcji f : D → R, D ⊂ R. Aby na podstawie tego wykresu otrzymać wykres funkcji”

• g(x) = f (x − p) + q, należy wykres funkcji f przesunąć o wektor ~u = [p, q].

• g(x) = −f (x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem osi OX.

• g(x) = f (−x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem osi OY .

• g(x) = −f (−x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem punktu (0, 0).

• g(x) = |f (x)|, należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem osi OX dla wartości ujemnych, natomiast dla wartości dodatnich pozostawić bez zmian.

• g(x) = f (|x|), należy wykres funkcji f dla argumentów ujemnych usunąć, natomiast dla argumen- tów nieujemnych pozostawić bez zmian i odbić symetrycznie względem osi OY .

2. Funkcja liniowa

Funkcję postaci

f (x) = ax + b, gdzie a, b ∈ R nazywamy funkcją liniową.

Jeśli a > 0, to funkcja liniowa jest rosnąca.

Jeśli a < 0, to funkcja liniowa jest malejąca.

Jeśli a = 0, to funkcja liniowa jest stała.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

a = tg α, gdzie α jest kątem nachylenia prostej do osi OX

(4)

Funkcja liniowa

a – współczynnik kierunkowy

0 x

y

f(x)=ax+b a>0

b

a

?b

a

0 x

y

f(x)=ax+b a<0 b

a

?b

a

2.1. Równanie linowe

ax + b = 0

Gdy a 6= 0, to równanie ma jedno rozwiązanie x = −_a^b (równanie oznaczone)

Gdy a = 0, b = 0, to rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista (równanie tożsamościowe) Gdy a = 0, b 6= 0, to brak rozwiązania (równanie sprzeczne)

2.2. Nierówności liniowe

ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b 6 0, ax + b > 0

2.3. Układ równań liniowych Układ równań

(a₁x + b₁y = c₁ a2x + b2y = c2

gdzie a²₁+b²₁6= 0 oraz a²₂+b²₂6= 0 nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

I sposób – Metoda podstawiania

Z jednego równania wyliczamy jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzymaną zależność wsta- wiamy do drugiego równania.

II sposób – Metoda przeciwnych współczynników

Mnożymy równania układu przez tak dobrane liczby, aby następnie po dodaniu pomnożonych równań stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą.

III sposób – Metoda wyznaczników W = det

"

a₁ b₁ a₂ b₂

#

= a₁b₂− a₂b₁ – wyznacznik główny układu

• Jeśli W 6= 0, to x = ^W_W^x, y = ^W_W^y, gdzie

W_x= det

"

c₁ b₁ c₂ b₂

#

, W_y = det

"

a₁ c₁ a₂ c₂

#

• Jeśli W = 0 i W_x 6= 0, W_y 6= 0, to układ nie ma rozwiązania (układ sprzeczny).

• Jeśli W = 0 i W_x = W_y = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

(5)

Funkcja kwadratowa

2.4. Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną (modułem) liczby x ∈ R nazywamy wielkość |x| =

( x dla x > 0,

−x dla x < 0.

Własności:

Jeśli a, b ∈ R, to

• |a| > 0

• |a| = | − a|,

• −|a| 6 a 6 |a|

• |a · b| = |a| · |b|,

• |^a_b| = ^|a|_|b| dla b 6= 0,

• |a + b| 6 |a| + |b|,

• |a| − |b|6 |a − b| 6 |a| + |b|.

Jeśli a> 0, to |x| 6 a ⇐⇒ −a 6 x 6 a.

Jeśli a> 0, to |x| > a ⇐⇒ x > a ∨ x 6 −a.

|x − a| =

( x − a dla x > a,

−(x − a) dla x < a.

3. Funkcja kwadratowa

Niech a, b, c ∈ R, a 6= 0. Funkcję określoną wzorem

f (x) = ax²+ bx + c

nazywamy funkcją kwadratową. Wyrażenie ax²+ bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, a liczbę

∆ = b²− 4ac jego wyróżnikiem.

Równanie kwadratoweax²+ bx + c = 0 (a 6= 0)

• Jeśli ∆ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste postaci x₁ = ^−b−

√

∆

2a , x₂ = ^−b+

√

∆ 2a .

• Jeśli ∆ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie postaci x₀ = −_2a^b .

• Jeśli ∆ < 0, to równanie nie ma rozwiązania w zbiorze R.

Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego ax²+ bx + c

• Jeśli ∆ > 0, to ax²+ bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

• Jeśli ∆ = 0, to ax²+ bx + c = a(x − x₀)².

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego ax²+ bx + c Jeśli p = −_2a^b , q = −_4a^∆, to

ax²+ bx + c = a(x − p)²+ q

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Położenie wykresu zależy od wyróżnika ∆ i współczyn- nika a. Współrzędne wierzchołka paraboli to W = (p, q).

(6)

Wielomiany

Wzory Viete’a

Jeśli trójmian kwadratowy y = ax²+ bx + c (a 6= 0) ma dwa pierwiastki x₁, x₂, to x1+ x₂= −_a^b, x1· x₂= _a^c.

4. Wielomiany

4.1. Definicje i podstawowe twierdzenia

Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję określoną wzorem

W (x) = a₀+ a₁x + . . . + a_n−1xⁿ⁻¹+ a_nxⁿ, gdzie n ∈ N, ai∈ R, an6= 0.

Równość wielomianów

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu

Jeżeli W (x) i P (x) 6≡ 0 są wielomianami, to istnieją takie wielomiany Q(x) i R(x), że W (x) = P (x) · Q(x) + R(x), przy czym R(x) ≡ 0 lub stopień wielomianu R(x) jest silnie mniejszy od stopnia wielomianu P (x).

Wielomian R(x) nazywamy resztą dzielenia W (x) przez P (x).

Pierwiastek wielomianu

(7)

Wielomiany

Liczbę a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy W (a) = 0.

Twierdzenie B`ezout’a

Wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x − a wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiast- kiem wielomianu W (x).

Wniosek: Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − a jest równa W (a).

Pierwiastek wielokrotny wielomianu

Liczba a jest k–krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), jeśli W (x) dzieli się przez (x − a)^k i nie dzieli się przez (x − a)^k+1. Wtedy wielomian W (x) możemy zapisać w postaci W (x) = (x − a)^kQ(x), gdzie Q(x) jest wielomianem niepodzielnym przez x − a.

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych

Jeżeli liczba wymierna ^p_q 6= 0 (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem równania

anxⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+ . . . + a₁x + a0 = 0

o współczynnikach całkowitych, przy czym a₀, a_n 6= 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a₀, natomiast q jest podzielnikiem współczynnika a_n.

Wniosek: Jeśli a_n = 1, to pierwiastków całkowitych równania algebraicznego o współczynnikach cał- kowitych należy szukać wyłącznie wśród podzielników wyrazu wolnego a₀.

Rozwiązywanie nierówności wielomianowych

• rozkładamy wielomian na czynniki;

• odczytujemy pierwiastki wielomianu (miejsca zerowe wielomianu);

• odczytujemy krotności pierwiastków wielomianu;

• zaznaczamy pierwiastki wielomianu na osi liczbowej;

(8)

Funkcja potęgowa i pierwiastkowa

• rysujemy schematyczny wykres wielomianu zaczynając zawsze od prawej strony:

◦ od góry, gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest dodatni;

◦ od dołu, gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest ujemny;

• wykres

◦ „przecina” oś dla pierwiastków o nieparzystej krotności;

◦ „odbija się” od osi dla pierwiastków o parzystej krotności;

• odczytujemy rozwiązanie.

5. Funkcja potęgowa i pierwiastkowa

Funkcję postaci

y = x^a, gdzie a ∈ R \ {0} nazywamy funkcją potęgową.

5.1. Przykłady

(1) a = 2k − 1, k ∈ N \ {0}

Rysunek 1. Wykresy funkcji f (x) = x, g(x) = x³, h(x) = x⁵.

-1 1

-2 -1 0 1 2 x

y f

g h

• D_f = R,

• zbiór wartości R,

• funkcja rosnąca,

• funkcja nieparzysta.

(2) a = 2k, k ∈ N \ {0}

Rysunek 2. Wykresy funkcji f (x) = x², g(x) = x⁴, h(x) = x⁶.

1

-1 0 1 x

y f

g h

• D_f = R,

• zbiór wartości R+∪ {0},

• funkcja parzysta.

(3) a = 2k − 1, k ∈ Z−∪ {0}

(9)

Funkcja potęgowa i pierwiastkowa Rysunek 3. Wykresy funkcji f (x) = x⁻¹, g(x) = x⁻³, h(x) = x⁻⁵.

-1 1

-2 -1 0 1 2 x

y f

g h

• D_f = R \ {0},

• zbiór wartości R \ {0},

• funkcja nieparzysta,

• funkcja różnowartościo- wa.

(4) a = 2k, k ∈ Z−

Rysunek 4. Wykresy funkcji f (x) = x⁻², g(x) = x⁻⁴, h(x) = x⁻⁶.

1

-2 -1 0 1 2

x

y f

g h

• D_f = R \ {0},

• zbiór wartości R \ {0},

• funkcja parzysta.

(5) a = ¹_k, k = {2, 4, . . . }

Rysunek 5. Wykresy funkcji f (x) = x¹², g(x) = x¹³, h(x) = x¹⁴.

1

0 1 2 x

y f

g h

(6) a = ¹_k, k = {3, 5, . . . }

5.2. Działania na potęgach Zakładamy, że a 6= 0.

a⁰ = 1 a¹ = a aⁿ⁺¹ = aⁿ· a

(10)

Funkcja wymierna

Rysunek 6. Wykresy funkcji f (x) = x¹³, g(x) = x¹⁵, h(x) = x¹⁷.

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y f

g h

Jeśli m, n ∈ R, a, b ∈ R+, to a^m· aⁿ= a^m+n

a^m

aⁿ = a^m−n

(a · b)ⁿ= aⁿ· bⁿ (^a_b)ⁿ= ^a_bⁿn

(a^m)ⁿ= a^m·n

a⁻ⁿ= _a¹_n n ∈ N, a ∈ R \ {0}

a^mⁿ = √ⁿ

a^m n ∈ N \ {0}, m ∈ N, a > 0

5.3. Działania na pierwiastkach Jeśli m, n ∈ N, m, n > 1, a, b > 0, to

√n

a · b = √ⁿ a · √ⁿ

b qn

a b = ⁿ

√a

n√ b

mq

√n

a = ^m·n√

a (√ⁿ

a)^p= √ⁿ a^p a · √ⁿ

b = √ⁿ aⁿ· b

5.4. Funkcje pierwiastkowe

• Funkcją odwrotną do funkcji f : [0, +∞) → [0, +∞), f (x) = x² jest funkcja pierwiastek kwadratowy

√ : [0, +∞) → [0, +∞), x 7→√ x.

• n = 2k, k ∈ Z+

Funkcją odwrotną do funkcji potęgowej f : [0, +∞) → [0, +∞), f (x) = xⁿjest funkcja √ⁿ

: [0, +∞) → [0, +∞), x 7→ √ⁿ

x.

• n = 2k + 1, k ∈ Z+

Funkcją odwrotną do funkcji f : R → R, f (x) = xⁿ jest funkcja pierwiastek √ⁿ

: R → R, x 7→ √ⁿ x.

5.5. Równania i nierówności pierwiastkowe

∀_a,b>0 a = b ⇐⇒ a² = b²

∀_a,b<0 a = b ⇐⇒ a² = b²

∀_a,b>0 a 6 b ⇐⇒ a² 6 b²

∀_a,b<0 a 6 b ⇐⇒ a² > b²

(11)

Funkcja wykładnicza

6. Funkcja wymierna

6.1. Definicja

Niech W (x) i Q(x) będą wielomianami. Zakładamy, że Q((x) 6= 0. Funkcję postaci f (x) = W (x)

Q(x) nazywamy funkcją wymierną.

D_f = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}

6.2. Ułamki proste

Funkcje wymierne postaci ^A

(x−a)^k oraz _(x₂^Bx+C_+px+q)_m, gdzie A, B, C, a, p, q ∈ R, p² − 4q < 0, k, m ∈ N nazywamy ułamkami prostymi.

Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu i pewnej liczby ułam- ków prostych.

6.3. Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna to funkcja postaci f (x) = ^ax+b_cx+d, gdzie ad 6= bc, c 6= 0.

Każdą funkcję homograficzną f (x) = ^ax+b_cx+d możemy zapisać w postaci f (x) = _x−p^s + q, gdzie s, p, q ∈ R, s 6= 0.

Na przykład weźmy funkcję f (x) = ^−2x−3_x+2 . Wtedy f (x) = ^−2x−3_x+2 = −2^x+

3 2

x+2 = −2^x+2−

1 2

x+2 = −2^x+2_x+2 − 2_x+2⁻¹² = −2 +_x+2¹ . Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

y = ^a_c – równanie asymptoty poziomej x = −^d_c – równanie asymptoty pionowej D_f = R \ {−^d_c}, zbiór wartości R \ {^a_c}

6.4. Równanie wymierne

W (x)

Q(x) = 0 ⇐⇒ W (x) = 0 ∧ Q(x) 6= 0 6.5. Nierówność wymierna

W (x)

Q(x) > 0 ⇐⇒ W (x) · Q(x) > 0 ∧ Q(x) 6= 0

(12)

Funkcja wykładnicza

7. Funkcja wykładnicza

Niech a będzie stałą, a > 0. Funkcję postaci

f (x) = a^x

nazywamy funkcją wykładniczą. Poniżej przedstawiono wykres funkcji wykładniczej, gdy a > 1 oraz gdy 0 < a < 1. Jeśli a = 1, to funkcja jest stała, f (x) = 1.

y

0 x

y = a

1

x

a>1

y

0 x

y = a 1

x

0<a<1

WŁASNOŚCI:

• dziedzina: R;

• zbiór wartości: R+, gdy a 6= 1 oraz {1} gdy a = 1;

• funkcja różnowartościowa, gdy a 6= 1;

• jeśli a > 1, to f jest rosnąca;

• jeśli a = 1, to f jest stała;

• jeśli 0 < a < 1, to f jest malejąca.

7.1. Równania wykładnicze

Równanie wykładnicze to równanie postaci

a^{f (x)} = a^g(x).

Jeśli a 6= 1, to z różnowartościowości f wynika, że jest ono równoważne równaniu f (x) = g(x).

Jeśli a = 1, to równanie jest spełnione przez wszystkie liczby z dziedziny równania.

7.2. Nierówności wykładnicze Nierówność wykładnicza jest postaci

a^{f (x)}< a^g(x) (ew. 6, >, >).

Zachodzą następujące własności:

Jeśli a > 1, to

a^{f (x)}< a^g(x)⇐⇒ f (x) < g(x), co oznacza, że kierunek nierówności zostaje zachowany.

Jeśli a < 1, to

a^{f (x)}> a^g(x)⇐⇒ f (x) < g(x), co oznacza, że kierunek nierówności zmieniony zostaje na przeciwny.

(13)

Funkcja logarytmiczna

Analogiczne własności zachodzą, gdy nierówność wyjściowa jest6, >, >.

Jeśli zaś a = 1 oraz nierówność wyjściowa zawierała < lub >, to jest ona sprzeczna.

Jeśli w nierówności wyjściowej było> lub 6, to jest ona spełniona przez wszystkie liczby z dziedziny nierówności.

Funkcja f (x) = e^x

Funkcja wykładnicza, która ma w podstawie liczbę Eulera e, jest postaci f (x) = e^x. Ponieważ e ≈ 2, 718.., > 1, jest to funkcja rosnąca. Odgrywa ona szczególna rolę w analizie matematycznej oraz w zastosowaniach matematyki.

8. Funkcja logarytmiczna

8.1. Logarytm

Niech a ∈ R+\ {1}, b ∈ R+. Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy liczbę c wtedy i tylko wtedy, gdy a^c= b. Piszemy

log_ab = c ⇐⇒ b = a^c. log_a1 = 0

log_aa = 1 a^log^a^b= b

log b = log₁₀b – logarytm dziesiętny

ln b = log_eb – logarytm naturalny (e ≈ 2, 718281828) Działania na logarytmach

log_a(xy) = log_ax + log_ay, a ∈ R+\ {1}, x, y ∈ R+

log_a ^x_y= log_ax − log_ay, a ∈ R+\ {1}, x, y ∈ R+

log_ab^m = m log_ab, a ∈ R+\ {1}, b ∈ R+, m ∈ R log_ab = ^log_log^c^b

ca, a, c ∈ R+\ {1}, b ∈ R+

log_ab = _log¹

ba, a, b ∈ R+\ {1}

8.2. Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna to funkcja postaci f (x) = log_ax, gdzie a ∈ R+\ {1}, x ∈ R+.

WŁASNOŚCI:

(14)

Funkcja trygonometryczna

• dziedzina R+;

• zbiór wartości R;

• funkcja różnowartościowa;

• funkcja ciągła;

• funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie;

• jeśli a > 1, to funkcja jest rosnąca;

• jeśli 0 < a < 1, to funkcja jest malejąca.

8.3. Równania logarytmiczne

Jeżeli f (x) > 0, g(x) > 0, a ∈ R+\ {1}, to

log_af (x) = b ⇐⇒ f (x) = a^b lub

log_af (x) = log_ag(x) ⇐⇒ f (x) = g(x).

8.4. Nierówności logarytmiczne Jeśli 0 < a < 1, to

log_af (x) > log_ag(x) ⇐⇒ f (x) < g(x).

Jeśli 0 < a < 1, to

log_af (x) > logag(x) ⇐⇒ f (x) 6 g(x).

Jeśli a > 1, to

log_af (x) > log_ag(x) ⇐⇒ f (x) > g(x).

Jeśli a > 1, to

log_af (x) > logag(x) ⇐⇒ f (x) > g(x).

9. Funkcje trygonometryczne

9.1. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

b

a c

α

sin α = ^b_c cos α = ^a_c tg α = _a^b ctg α = ^a_b

(15)

9.2. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

(x,y)

O x

y r a

sin α = ^y_r cos α = ^x_r tg α = _x^y x 6= 0 ctg α = ^x_y y 6= 0

9.3. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej – własności f (x) = sin x

• Dziedzina: R;

• Zbiór wartości: [−1, 1];

• Funkcja okresowa: okres podstawowy 2π;

• Funkcja jest nieparzysta, gdyż sin(−x) = − sin x.

0 x

y

2?

? 3 2 1

1

-1

f(x)=cosx

? 2?

f (x) = cos x

• Dziedzina: R;

• Zbiór wartości: [−1, 1];

• Funkcja okresowa: okres podstawowy 2π;

• Funkcja jest parzysta, gdyż cos(−x) = cos x.

f (x) = tg x

• Dziedzina: R \ {^π₂ + kπ}, gdzie k ∈ Z;

• Zbiór wartości: R;

• Funkcja okresowa: okres podstawowy π;

• Funkcja jest nieparzysta, gdyż tg(−x) = − tg x.

0 x

y

2?

1 ? ₂³?

f(x)=ctgx

2?

f (x) = ctg x

• Dziedzina: R \ {kπ}, gdzie k ∈ Z;

• Zbiór wartości: R;

• Funkcja okresowa: okres podstawowy π;

• Funkcja jest nieparzysta, gdyż ctg(−x) =

− ctg x.

(16)

9.4. Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kata

tg x = sin x

cos x jeśli cos x 6= 0 ctg x = cos x

sin x jeśli sin x 6= 0 tg x · ctg x = 1

sin²x + cos²x = 1 jedynka trygonometryczna

9.5. Funkcje podwojonego kąta

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2 sin²x = 2 cos²x − 1

tg 2x = 2 tg x

1 − tg²x, gdy cos x 6= 0 ∧ cos 2x 6= 0

ctg 2x = ctg²x − 1

2 ctg x , gdy sin x 6= 0 ∧ sin 2x 6= 0 9.6. Wartości funkcji trygonometrycznych kątów z pierwszej ćwiartki

α 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ sin α 0 ¹₂

√2 2

√3

2 1

cos α 1

√ 3 2

√ 2 2

1

2 0

tg α 0

√ 3

3 1 √

3 ∗ ctg α ∗ √

3 1

√ 3

3 0

∗ nie istnieje

9.7. Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach

α (0,^π₂) (^π₂, π) (π,³₂π) (³₂π, 2π)

sin α + + − −

cos α + − − +

tg α + − + −

ctg α + − + −

9.8. Wzory redukcyjne

I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka α ^π₂ − α ^π₂ + α π − α π + α ³₂π − α ³₂π + α 2π − α sin α cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α

tg α ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α ctg α tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α

(17)

Funkcje cyklometryczne

9.9. Suma funkcji trygonometrycznych

sin x + sin y = 2 sinx + y

2 cosx − y

2 sin x − sin y = 2 cosx + y

2 sinx − y 2 cos x + cos y = 2 cosx + y

2 cosx − y

2 cos x − cos y = −2 sinx + y

2 sinx − y 2 tg x + tg y = sin(x + y)

cos x cos y, gdy cos x cos y 6= 0 ctg x + ctg y = sin(x + y)

sin x sin y, gdy sin x sin y 6= 0

Na podstawie powyższych wzorów i wykorzystując własności funkcji, można zapisać wzory na różnice funkcji trygonometrycznych.

9.10. Funkcje trygonometryczne sumy kątów

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y cos(x − y) = cos x sin y + sin x cos y

tg(x + y) = tg x + tg y

1 − tg x tg y, gdy cos x cos y 6= 0, cos(x + y) 6= 0 ctg(x + y) = ctg x ctg y − 1

ctg x + ctg y , gdy sin x sin y 6= 0, sin(x + y) 6= 0

Na podstawie powyższych wzorów i wykorzystując własności funkcji, można zapisać wzory na funkcje trygonometryczne różnicy kątów.

9.11. Równania trygonometryczne

Z własności funkcji trygonometrycznych wynikają następujące równoważności:

sin x = sin α ⇐⇒ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z cos x = cos α ⇐⇒ x = α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈ Z tg x = tg α ⇐⇒ x = α + kπ, k ∈ Z

ctg x = ctg α ⇐⇒ x = α + kπ, k ∈ Z

Powyższe równoważności są pomocne w rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych.

10. Funkcje cyklometryczne

Jeśli dziedzina funkcji trygonometrycznej zostanie zawężona do przedziału, w którym funkcja jest różnowartościowa, to wtedy można określić funkcję odwrotną do niej.

Funkcje cyklometryczne są funkcjami odwrotnymi do funkcji trygonometrycznych. Są to funkcje y = arc sin x, y = arc cos x, y = arc tg x, y =arcctgx.

Z definicji funkcji odwrotnej wynikają następujące zależności:

(18)

Ciągi

Jeżeli y ∈ [−¹₂π,¹₂π] oraz x ∈ [−1, 1], to

y = arc sin x ⇐⇒ x = sin y.

Jeżeli y ∈ [0, π] oraz x ∈ [−1, 1], to

y = arc cos x ⇐⇒ x = cos y.

Jeżeli y ∈ (−¹₂π,¹₂π) oraz x ∈ R, to

y = arc tg x ⇐⇒ x = tg y.

Jeżeli y ∈ (0, π) oraz x ∈ R, to

y = arc ctg x ⇐⇒ x = ctg y.

WŁASNOŚCI:

f (x) = arc sin x

• Dziedzina: [−1, 1];

• Zbiór wartości: [−¹₂π,¹₂π];

• Monotoniczność: funkcja rosnąca;

• Funkcja nieparzysta.

0 x

y

-1 1

2?

1

?

f(x)=arccosx

f (x) = arc cos x

• Dziedzina: [−1, 1];

• Zbiór wartości: [0, π];

• Monotoniczność: funkcja malejąca.

f (x) =arctgx

• Dziedzina: R;

• Zbiór wartości: (−¹₂π,¹₂π);

• Monotoniczność: funkcja rosnąca;

• Funkcja nieparzysta.

0 x

y

?

2?

1

f(x)=arcctgx

f (x) =arcctgx

• Dziedzina: R;

• Zbiór wartości: (0, π);

• Monotoniczność: funkcja malejąca.

(19)

Ciągi

11. Ciągi

11.1. Ciąg liczbowy

Ciągiem liczb rzeczywistych nazywamy dowolną funkcję a : N → R. Zamiast a(n), piszemy an. Ciąg oznaczamy następująco: (a_n) ⊂ R, (an)^∞_n=1⊂ R lub {an}^∞_n=1⊂ R.

11.2. Monotoniczność ciągu

1. Ciąg (a_n)^∞_n=1⊂ R nazywamy rosnącym, jeśli an6 an+1 dla n ∈ N.

2. Ciąg (a_n)^∞_n=1⊂ R nazywamy silnie rosnącym, jeśli an< an+1 dla n ∈ N.

3. Ciąg (a_n)^∞_n=1⊂ R nazywamy malejącym, jeśli an+16 an dla n ∈ N.

4. Ciąg (a_n)^∞_n=1⊂ R nazywamy silnie malejącym, jeśli an+1< an dla n ∈ N.

5. Ciąg (a_n)^∞_n=1⊂ R nazywamy stałym, jeśli an+1 = a_n dla n ∈ N.

6. Ciąg rosnący lub malejący nazywamy monotonicznym, a ciąg silnie rosnący lub silnie malejący nazywamy silnie monotonicznym.

11.3. Ograniczoność

1. Ciąg (a_n)^∞_n=1 nazywamy ograniczonym od góry, jeśli istnieje M ∈ R takie, że an6 M dla każdego n ∈ N.

2. Ciąg (a_n)^∞_n=1 nazywamy ograniczonym od dołu, jeśli istnieje M ∈ R takie, że M 6 an dla każdego n ∈ N.

3. Ciąg (a_n)^∞_n=1 nazywamy ograniczonym, jeśli istnieje M ∈ R takie, że |an| 6 M dla każdego n ∈ N.

Łatwo zauważyć, że jeśli ciąg jest ograniczony od dołu i od góry, to jest on ograniczony i na odwrót:

jeśli jest ograniczony, to jest ograniczony od góry i od dołu.

11.4. Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny to ciąg (a_n), dla którego a_n+1− a_n= const dla każdego n ∈ N, czyli

∃_r∈R∀_n∈N a_n+1= a_n+ r

an+1= a₁+ (n − 1)r − n − ty wyraz ciągu arytmetycznego

S_n= (a₁+ a_n) n

2 = [2a₁+ (n − 1)r] n

2 − suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego an= an−1+ a_n+1

2 − średnia arytmetyczna

(20)

Ciągi

11.5. Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny to ciąg (a_n), dla którego ^aⁿ⁺¹_a

n = const dla każdego n ∈ N, czyli

∃_q∈R∀_n∈N a_n+1= a_n· q

a_n+1= a₁· qⁿ⁻¹ − n − ty wyraz ciągu geometrycznego Sn=

(n · a_n dla q = 1,

a₁·^1−q_1−qⁿ dla q 6= 1. − suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego a²_n= a_n−1· a_n+1 − średnia geometryczna

Ciąg sum częściowych ciągu geometrycznego (S_n)^∞_n=1, S_n = a₁ · ^1−q_1−qⁿ jest zbieżny i ma granicę S wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1, tzn.

S = lim

n→∞S_n= a₁ 1 − q 11.6. Granica ciągu

Liczba g jest granicą ciągu nieskończonego (a_n)^∞_n=1, jeśli dla każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy ciągu (tzn. wszystkie poza skończoną liczbą wyrazów), tzn.

n→∞lim a_n= g ⇐⇒ ∀_ε>0∃_{M ∈R}∀_n>M |a_n− a| < ε.

Ciąg (a_n), który ma granicę właściwą nazywamy zbieżnym.

Ciąg (a_n)^∞_n=1 jest zbieżny do +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M , tzn.

n→∞lim a_n= +∞ ⇐⇒ ∀_{M ∈R}∃_m∈R ∀_n>m a_n> M.

Ciąg (a_n)^∞_n=1 jest zbieżny do −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M , tzn.

n→∞lim a_n= −∞ ⇐⇒ ∀_{M ∈R}∃_m∈R ∀_n>m a_n< M.

11.7. Ważne twierdzenia Twierdzenie o trzech ciągach Jeżeli lim

n→∞an= lim

n→∞bn= g oraz jeśli (c_n)^∞_n=1 jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają nierówność a_n6 cn6 bn, to ciąg (c_n)^∞_n=1 jest zbieżny oraz lim

n→∞cn= g.

Twierdzenie

Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.

Twierdzenie Jeżeli lim

n→∞a_n= a, lim

n→∞b_n= b, to 1. lim

n→∞(a_n± b_n) = a ± b, 2. lim

n→∞(a_n· b_n) = a · b, 3. lim

n→∞

an

bn = ^a_b, jeśli b_n6= 0, b 6= 0.

(21)

Geometria analityczna w R²

Twierdzenie Jeżeli lim

n→∞a_n = a, lim

n→∞b_n = b i prawie wszystkie wyrazy ciągów (a_n) i (b_n) spełniają nierówność an6 bn, to a6 b.

Twierdzenie o ciągu monotonicznym

Każdy ciąg malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny.

Każdy ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny.

11.8. Różne granice

n→∞lim

1 n = 0

n→∞lim |a_n| = ∞ =⇒ lim

n→∞

1 an = 0

∀_n∈N a_n> 0 ∧ lim

n→∞a_n= 0=⇒ lim

n→∞

1

an = +∞

n→∞lim aⁿ=











0, gdy |a| < 1 1, gdy a = 1 +∞, gdy a > 1

n→∞lim

√n

n = 1 lim

n→∞

√n

a = 1, gdy a > 0

n→∞lim

1 + 1

n

= e lim

n→∞

1 −1

n

= 1

e lim

n→∞

1 +a

n

= e^a

a > 1, k > 1 =⇒ lim

n→∞

aⁿ

n^k = +∞

12. Geometria analityczna w R

²

12.1. Wektory

Jeżeli A(x₁, y1), B(x₂, y2) ∈ R², wtedy wektor−−→

AB = [x2− x₁, y2− y₁].

Wersorem nazywamy wektor jednostkowy, tzn. wektor o długości 1.

Wektory ~i = [1, 0], ~j = [0, 1] nazywamy wersorami odpowiednio osi OX, OY . Niech ~u = [x₁, y₁], ~v = [x₂, y₂], λ ∈ R.

• ~u + ~v = [x₁+ x₂, y₁+ y₂].

• ~u − ~v = [x₁− x₂, y₁− y₂].

• λ~u = [λx₁, λy₁].

Długość wektora ~u jest określona wzorem

|~x| = q

x²₁+ y₁². ^x

x

1

2

(22)

Iloczyn skalarny wektorów ~u = [x₁, y₁], ~v = [x₂, y₂] określamy wzorem

~

u ◦ ~v = x1x2+ y₁y2.

Jeżeli ~u i ~v są wektorami niezerowymi, to kąt ϕ między tymi wektorami możemy wyznaczyć z zależności

cos ϕ = ~u ◦ ~v

|~u| · |~v|.

Jeśli ~u 6= 0, ~v 6= 0, to:

• ~u k ~v ⇐⇒ x1y2= x₂y1,

• ~u ⊥ ~v ⇐⇒ ~u ◦ ~v = 0.

Pole trójkąta ABC, gdzie A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) wyraża się wzorem

P = ¹₂det

"

x2− x₁ y2− y₁ x₃− x₁ y₃− y₁

# ¹⁾.

12.2. Prosta na płaszczyźnie

Równanie kierunkowe prostej ma postać

l : y = ax + b,

gdzie a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej l.

a = tg α, gdzie α jest kątem nachylenia prostej l do osi OX.

0 x

y

y=ax+b a

l

1) det

a b c d

= ad − bc

(23)

Kątem ϕ między prostymi nazywamy mniejszy z wyznaczonych przez nie kątów, ϕ ∈ (0,^π₂]. Przyj- mujemy, że kąt między prostymi równoległymi jest równy 0.

0 x

y

l l

?

1 2

Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l₁: y = a₁x + b1, l₂: y = a₂x + b2.

• l₁ k l₂ ⇐⇒ a₁ = a₂.

• l₁ ⊥ l₂⇐⇒ a₁· a₂ = −1.

• Kąt ϕ między prostymi l₁ i l₂ możemy wyznaczyć ze wzoru tg ϕ =

a1− a₂ 1 + a₁a2

. Równanie ogólne prostej

l : Ax + By + C = 0, gdzie A, B są współrzędnymi wektora prostopadłego do prostej.

Wektor ~n = [A, B] nazywamy wektorem normalnym prostej l.

Równanie prostej przechodzącej przez punkt P (x₀, y₀) oraz prostopadłej do niezerowego wektora ~n = [A, B] ma postać

l : A(x − x₀) + B(y − y₀) = 0.

Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l₁: A₁x + B1y + C1 = 0, l₂: A₂x + B2y + C2 = 0.

Wektory normalne tych prostych oznaczmy odpowiednio przez ~n₁ = [A₁, B₁] i ~n₂= [A₂, B₂]. Wtedy:

• l₁ k l₂ ⇐⇒ ~n₁ k ~n₂.

• l₁ ⊥ l₂⇐⇒ ~n1⊥ ~n2.

• Kąt ϕ między prostymi l₁ i l₂ możemy wyznaczyć ze wzoru cos ϕ = |~n1◦ ~n2|

|~n₁| · |~n₂|.

Odległość punktu P (x₀, y₀) od prostej l : Ax + By + C = 0 wyraża się wzorem d = ^|Ax^√⁰^+By⁰^+C|

A²+B² . Równanie odcinkowe prostej ma postać

x a+y

b = 1,

gdzie a, b 6= 0. Prosta ta przecina osie OX, OY układu współrzędnych odpowiednio w punktach

(a, 0), (0, b). ^x

y

Równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez punkt P (x0, y0) oraz równoległej do niezerowego wektora ~u = [a, b] ma postać

l :x − x0

a = y − y0

b .

(24)

Wektor ~u nazywamy wektorem kierunkowym prostej l.

Uwaga! W mianownikach mogą pojawiać się zera, bo kreska nie jest tu symbolem dzielenia, tylko proporcji.

Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l₁: ^x−x_a ¹

1 = ^y−y_b ¹

1 , l₂: ^x−x_a ²

2 = ^y−y_b ²

2 .

Wektory kierunkowe tych prostych oznaczmy odpowiednio przez ~u1= [a₁, b1] i ~u2= [a₂, b2]. Wtedy:

• l₁ k l₂ ⇐⇒ ~u1k ~u2.

• l₁ ⊥ l₂⇐⇒ ~u1 ⊥ ~u2.

• Kąt ϕ między prostymi l₁ i l₂ możemy wyznaczyć ze wzoru cos ϕ = |~u1◦ ~u2|

|~u₁| · |~u₂|.

Równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P (x₀, y₀) oraz równoległej do nieze- rowego wektora ~u = [a, b] ma postać

l :

( x = x₀+ at

y = y0+ b t, gdzie t ∈ R.

12.3. Okrąg, elipsa

Równanie okręgu o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r ma postać

(x − a)²+ (y − b)² = r².

(a,b) y

x

Równanie elipsy o ogniskach a, b i środku w punkcie S(0, 0) jest postaci x²

a² +y² b² = 1.

y

a x b