WP£YW WARUNKU STANU GRANICZNEGO NA KIERUNEK PROPAGACJI RYSY W MATERIALE SPRʯYSTO-KRUCHYM INFLUENCE OF THE LIMIT STATE CRITERION ON DIRECTION OF THE CRACK PROPAGATION IN THE ELASTIC-BRITTLE MATERIAL

47 E

KSPLOATACJAI

N

IEZAWODNOήNR

5/2001

Jerzy PODGÓRSKI

WP£YW WARUNKU STANU GRANICZNEGO NA KIERUNEK PROPAGACJI RYSY W MATERIALE SPRʯYSTO-KRUCHYM INFLUENCE OF THE LIMIT STATE CRITERION ON DIRECTION OF THE CRACK PROPAGATION IN THE ELASTIC-BRITTLE MATERIAL

W pracy analizowany jest wp³yw kilku typów warunków zniszczenia na kierunek i kszta³t szczeliny powsta³ej w materiale sprê¿ysto-kruchym w wyniku dzia³ania obci¹¿enia œcinaj¹cego i rozci¹gaj¹cego. Zastosowano Metodê Elementów Skoñ- czonych w analizie naprê¿eñ, oraz metodê traconych elementów do modelowania propagacji szczeliny. Analizowanymi warunkami s¹ warunki Hubera-Misesa, Druckera-Pragera oraz kryterium PJ[1], których u¿yto do opisu materia³u o cha- rakterystyce zbli¿onej do betonu.

Influence of three different types of the failure conditions on the shape and direction of the crack propagation in the elastic-brittle material is presented. Finite Elements Method and death element procedure is used to modeling and analysis of the crack propagation. Huber-Mises, Drucker-Prager and author (PJ) failure criterion [1] are applied to the concrete- like material.

1. Wstêp

Problem powstawania i propagacji szczelin w materia³ach kru- chych, ze wzglêdu na du¿e znaczenie praktyczne, analizowany by³ ró¿nymi metodami przez wielu badaczy w ostatnim dwudziestoleciu.

Stosowane by³y zarówno metody analityczne jak te¿ numeryczne w tym Metoda Elementów Skoñczonych (MES) oraz Metoda Ele- mentów Brzegowych. Zgodnoœæ wyników analizy z eksperymentem, jak¹ mo¿na uzyskaæ przy zastosowaniu MES oraz ³atwoœæ modelo- wania z³o¿onych problemów brzegowych przyczyni³a siê do popu- larnoœci tej metody zarówno wœród badaczy jak i in¿ynierów zajmu- j¹cych siê praktycznym projektowaniem.

Kszta³t i gêstoœæ siatki elementów skoñczonych stosowanych w analizie propagacji szczelin ma znaczny wp³yw na jakoœæ rozwi¹- zania jak i na otrzymywane z obliczeñ wartoœci obci¹¿eñ krytycz- nych. W precyzyjnych analizach stosuje siê zmienn¹ gêstoœæ siatki wraz z prognozowaniem kierunku propagacji szczeliny, co znacznie utrudnia i komplikuje obliczenia. Metoda ze zmienn¹ siatk¹ stoso- wana by³a z powodzeniem w analizie szczeliny powstaj¹cej w czasie skrawania ska³, które by³y przedmiotem wczeœniejszych prac [2, 3]

z udzia³em autora. Istnieje te¿ prosta, bardzo wydajna metoda anali- zy szczelin polegaj¹ca na usuwaniu w ka¿dym kroku obliczeñ jedne- go elementu, w którym obserwujemy najwiêksz¹ wartoœæ wytê¿enia.

Metoda ta nosi nazwê metody elementów traconych. Metod¹ t¹ ana- lizowano propagacjê szczeliny w œcinanej próbce CT w pracy Nie- zgodziñskiego, Kubika i M³otkowskiego [4]. Wad¹ tej metody jest wymóg u¿ycia w obliczeniach modelu MES ze znacznie gêstsz¹ siat- k¹ elementów ni¿ w metodach ze zmienn¹ siatk¹.

W prezentowanej pracy zastosowano metodê traconych elemen- tów w analizie zadania o charakterze zbli¿onym do zagadnieñ wystê- puj¹cych w mechanice skrawania ska³ oraz w mechanice betonu.

Przedmiotem analizy jest wp³yw warunku stanu granicznego na kie- runek propagacji rysy oraz wartoœci obci¹¿eñ krytycznych wywo³u- j¹cych propagacjê szczeliny.

2. Warunki stanu granicznego

Do analizy wybrano trzy warunki stanu granicznego:

•

warunek PJ, zaproponowany przez autora [1] , który zak³ada za- le¿noœæ wytê¿enia materia³u od trzech niezmienników tensora na- prê¿enia,

•

warunek Druckera-Pragera, w którym wytê¿enie zale¿y od dwóch niezmienników (I₁, J₂) tensora naprê¿enia,

•

warunek Hubera-Misesa, w którym miar¹ wytê¿enia jest wartoœæ drugiego niezmiennika (J₂ ), dewiatora naprê¿enia.

2.1. Warunek PJ

Warunek PJ zosta³ zaproponowany w formie wyra¿aj¹cej zale¿- noœæ trzech alternatywnych niezmienników (ó₀, ô₀, J) tensora naprê-

¿enia:

( )

0 2 0^{2 0} 1

0

0− + τ + τ =

σ C CP J C (1)

gdzie: ^P

( )

^{J =cos}

(

3^arccos

( )

^{α −J β}

)

1

jest funkcj¹ okreœlaj¹c¹ kszta³t przekroju powierzchni granicznej,

3 1 1

0= I

σ , 3 2

2

0= J

τ , ^3/2

2 3

2 3 3

J J= J

I₁ - jest pierwszym niezmiennikiem tensora naprê¿enia, J₂, J₃ - nie- zmiennikami dewiatora naprê¿enia, α,β,C0,C1,C2- sta³ymi zale¿- nymi od materia³u.

Szczególnymi przypadkami warunku (1) s¹ klasyczne kryteria Hubera-Misesa, Tresca’i, Coulomba-Mohra, Druckera-Pragera oraz inne [5].

Sta³e wystêpuj¹ce w równaniu (1) okreœliæ mo¿na na podstawie takich cech materia³u jak wytrzyma³oœæ na œciskanie fc , wytrzyma³oœæ na rozci¹ganie f_t w jednoosiowych stanach naprê¿enia, wytrzyma³oœæ na œciskanie f_cc oraz f_0c w p³askim stanie naprê¿enia przy σ₁/σ₂ rów- nym odpowiednio 1/1 oraz 2/1. Pi¹t¹ wartoœci¹ niezbêdn¹ do wyzna- czenia sta³ych mo¿e byæ wytrzyma³oœæ na rozci¹ganie w stanie trójo- siowym σ₁/σ₂/σ₃ =1/1/1, fvt, któr¹ zgodnie z hipotez¹ R. M.

Haythornthwaite’a (tension cutoff) przyjmujemy równ¹ f_t . Materia³ o w³aœciwoœciach zbli¿onych do betonu mo¿na opisaæ przyjmuj¹c sta-

³e f_cc=1,1 f_c , f_0c=1,25 f_c .

2.2. Warunek Druckera – Pragera

Korzystaj¹c z oznaczeñ zastosowanych w równaniu (1) warunek Druckera – Pragera zapiszemy nastêpuj¹co:

0 0

1 0

0− + τ =

σ C C (2)

NAUKA I TECHNIKA

48 E

KSPLOATACJAI

N

IEZAWODNOήNR

5/2001

Dwie sta³e wystêpuj¹ce w tym równaniu wyliczamy na podsta- wie zadanych wartoœci f_t oraz f_c .

2.3. Warunek Hubera – Misesa

Kryterium zaproponowane przez T. Hubera i R. von Misesa mo¿na równie¿ otrzymaæ przez uproszczenie równania (1):

0 0

0−C =

τ ₍₃₎

Sta³¹ C₀ , dobierzemy tak, aby materia³ wykazywa³ zgodn¹ z eks- perymentem wytrzyma³oœæ na rozci¹ganie, f_t .

Krzywe graniczne w p³askim stanie naprê¿enia wyznaczone na podstawie (1) dla wymienionych warunków pokazano na rys. 1.

3. Parametry modelu i metoda analizy

Parametry geometryczne modelu, który bêdzie przedmiotem ana- lizy podane zosta³y na rys. 2. Charakterystyki materia³owe odpowia- daj¹ betonowi o wytrzyma³oœci na œciskanie f_c=20MPa, f_cc=22MPa, f_0c=25MPa, oraz wytrzyma³oœci na rozci¹ganie f_t=2MPa. Modu³ Youn- ga E=32.4GPa, wspó³czynnik Poissona v=0,167.

Przyjêto nastêpuj¹ce warunki brzegowe:

z = -1 g u_z=0, y = 0 g u_y=0, y = 1 g σ_y=p,

gdzie p oznacza sta³e naprê¿enia rozci¹gaj¹c. Pozosta³e brzegi s¹ wolne od naprê¿eñ.

Przyjêto nastêpuj¹c¹ procedurê analizy procesu pêkania:

1. wyznaczenie naprê¿eñ od jednostkowego obci¹¿enia p;

2. wyszukanie elementu modelu, w którym wartoœæ wytê¿enia wg przyjêtego kryterium osi¹ga wartoœæ najwiêksz¹;

3. wyznaczenie wartoœci obci¹¿enia p, przy której spe³nione wytê-

¿enie w wybranym elemencie osi¹ga wartoœæ krytyczn¹;

4. usuniêcie wybranego elementu.

Po zakoñczeniu tego cyklu nastêpuje powrót do etapu 1. Analizê przerywa siê po przebiegu zadanej liczby kroków lub w przypadku zniszczenia modelu. Zarejestrowane wartoœci obci¹¿enia krytyczne- go wraz z przemieszczeniem wybranego punktu modelu zapisywane s¹ do dalszej analizy.

Obliczenia przeprowadzono przy u¿yciu modu³u SSAP0 syste- mu Algor oraz w³asnego oprogramowania, którego zadaniem by³o sprawdzanie wytê¿enia, usuwanie „zniszczonych” elementów reje- stracja wartoœci obci¹¿eñ krytycznych.

4. Analiza propagacji rys

Z wielu analiz propagacji rysy przy zmieniaj¹cych siê kryteriach zniszczenia oraz ró¿nych gêstoœciach siatek elementów zaprezento- wane zostan¹ cztery wybrane przyk³ady:

•

kryterium PJ, siatka 1844 wêz³ów,

•

kryterium PJ, siatka 2079 wêz³ów,

•

kryterium Druckera-Pragera, siatka 2079 wêz³ów,

•

kryterium Hubera-Misesa, siatka 2079 wêz³ów.

Wyniki analiz w postaci map naprê¿eñ na siatkach z usuniêtymi w trakcie obliczeñ elementami przedstawiaj¹ rysunki: 3, 4. Wykresy ukazane na rysunkach 5, 6 obrazuj¹ zmianê obci¹¿enia krytycznego w trakcie propagacji rysy.

Na osiach tych wystêpuj¹ bezwymiarowe wartoœci obci¹¿eñ i prze- mieszczeñ odniesione do wartoœci umownych P₀, U₀ okreœlonych nastêpuj¹co:

P₀ = f_t 1m² – jest nominaln¹ wytrzyma³oœci¹ na rozci¹ganie modelu, U₀ = 1m f _t / E– jest umownym przemieszczeniem brzegu obci¹¿o- nego.

Rys. 2. Parametry geometryczne modelu. Siatka 2079 wêz³ów

-0 .2 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 1 .2 1 .4

S c isk a n ie s 1 /fc -0 .2

0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 1 .2 1 .4

Sciskanie s2/fc

W a run e k J . P od gó rs kie go W a run e k H ub era-M ises a W a run e k D ru cke ra -P rag e ra

Rys. 1. Krzywe graniczne w p³askim stanie naprê¿enia

Rys. 3. Kszta³t rysy oraz maksymalne naprê¿enia g³ówne, kryterium PJ, a - model 1849 wêz³ów, 30 krok obliczeñ, b – model 2079 wêz³ów, 35 krok obliczeñ,

a) b)

Rys. 4. Kszta³t rysy oraz naprê¿enia, model 2079 wêz³ów, a –kryte- rium Druckera-Pragera, 35krok obliczeñ, maksymalne na- prê¿enia g³ówne, b – kryterium Hubera-Misesa, 15 krok obli- czeñ, naprê¿enia zredukowane

a) b)

NAUKA I TECHNIKA

49 E

KSPLOATACJAI

N

IEZAWODNOήNR

5/2001

Porównuj¹c prezentowane wyniki obliczeñ mo¿na stwierdziæ, ¿e zarówno kszta³t rysy jak i wartoœci obci¹¿eñ krytycznych obserwo- wane w przypadku kryterium JP oraz Druckera-Pragera s¹ bardzo zbli¿one. Jest to wynikiem porównywalnych oszacowañ obci¹¿eñ krytycznych w obszarze naprê¿eñ œcinaj¹cych (por. rys. 1). Kryte- rium Hubera-Misea daje wyniki znacznie ró¿ni¹ce siê od dwóch po- zosta³ych. Kszta³t strefy zniszczenia (rys. 4) jest wynikiem przekro- czenia dopuszczalnych wytê¿eñ w obszarze naprê¿eñ œciskaj¹cych, gdzie dwa pozosta³e kryteria wykazuj¹ du¿e zapasy wartoœci dopusz- czalnych.

Krytyczne wartoœci obci¹¿eñ s¹ wyraŸnie zale¿ne od gêstoœci i przebiegu siatki elementów (rys. 5). Mniej gêsta siatka powoduje wzrost wartoœci si³ krytycznych, co szczególnie zaznacza siê w punk- tach przejœcia rysy z obszaru o gêstszej siatce do obszaru rzadziej zdyskretyzowanego (krok nr 35 na wykresie 5b i 6a).

5. Wnioski

Analiza przeprowadzona w pracy wykazuje widoczn¹ zale¿noœæ rodzaju zastosowanego kryterium stanu granicznego na kszta³t i kie- runek propagacji rys w materiale kruchym. Analogiczne wyniki ob- serwowane by³y przez autorów pracy [4] dla innego materia³u (epi- dian). Próbkê CT z epidianu poddano testom laboratoryjnym oraz przeprowadzono numeryczn¹ symulacjê próby œcinania przy u¿yciu MES z zastosowaniem warunków Hubera-Misesa oraz Burzyñskie- go (analogiczny do warunku Druckera-Pragera).

Problemy analizy szczelin, w których dominuj¹ obszary naprê-

¿eñ œcinaj¹cych i p³askie stany naprê¿enia mog¹ byæ rozwi¹zywane dostatecznie dok³adnie przy u¿yciu uproszczonego kryterium Druke- ra-Pragera zamiast precyzyjnych kryteriów zale¿nych od trzech nie- zmienników tensora naprê¿enia. Wydaje siê, ¿e w obszarach du¿ych ciœnieñ rozbie¿noœæ wyników dla oby typów kryteriów by³aby znacz- na. Na wartoœci obci¹¿eñ krytycznych wyliczanych metod¹ elemen- tów traconych du¿y wp³yw ma gêstoœæ siatki dyskretyzacyjnej.

Rys. 5. Obci¹¿enie niszcz¹ce, kryterium PJ, a - model 1849 wêz³ów, b - model 2079 wêz³ów. Numery wierzcho³ków ³amanej ozna- czaj¹ kolejne kroki obliczeñ

25 .0 3 0.0 3 5 .0 4 0 .0 4 5 .0 5 0 .0

U /U 0 0 .0 6 0

0 .0 8 0 0 .1 0 0 0 .1 2 0 0 .1 4 0 0 .1 6 0 0 .1 8 0 0 .2 0 0

Pkr/P0

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 1 2

13 14

15 1 6

17 18

19 20

21 22

2 3

24 25

26 27

28 29

3 0 31

32 33

1 0 .0 2 0 .0 3 0 .0 4 0 .0 5 0 .0 6 0 .0

U /U 0 0 .0 60

0 .0 80 0 .1 00 0 .1 20 0 .1 40 0 .1 60 0 .1 80 0 .2 00

Pkr/P0

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 1 2

13 1 4

15 16

1 7 18

19 2 0 21 22 23

2 4 25

26 27

28 29

30 31

32 33 34 35

36 37

3 8 39

40 41

42 43

4 4 45

46

a) b)

Rys. 6. Obci¹¿enie niszcz¹ce, model 2079 wêz³ów, a- kryterium Druc- kera-Pragera, b- kryterium Hubera-Misesa. Numery wierz- cho³ków ³amanej oznaczaj¹ kolejne kroki obliczeñ

10 .0 2 0.0 3 0 .0 4 0 .0 5 0 .0 60 .0

U /U 0 0 .06 0

0 .08 0 0 .1 00 0 .12 0 0 .14 0 0 .16 0 0 .18 0 0 .20 0

Pkr/P0

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

1 5 1 6

17 18 19 20 21 22 23

24 25

26 27

2 8 29

30 31

32 33

34 35

36 37

38 3 9

4 0 41

42 4 3

44 45

46

1 6 .0 2 0 .0 2 4.0 2 8 .0 3 2 .0

U /U 0 0.0 6 0

0 .0 8 0 0 .10 0 0 .1 20 0 .1 4 0 0.1 6 0

Pkr/P0

1

2 3

4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 1 4

a) b)

6. Literatura

[1] Podgórski J.: General Failure Criterion for Isotropic Media. Journal of Engineering Mechanics ASCE, 111(1985) 2, 188-201.

[2] Podgórski J., Jonak J.: Zagadnienie pêkania w procesach skrawania ska³. Zeszyty Naukowe Polit. Bia³. Seria Mechanika, 24(2001).

[3] Jonak J., Podgórski J.: Inclusion of indirect contact layer.. Trans. Instn Min. Metall. (Sect. A: Min. technol.), 110(2001), A125-128.

[4] Niezgodziñski T., Kubiak T., M³otkowski A.: Numeryczne modelowanie pêkania próbki œcinanej. Materia³y Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materia³ów i Konstrukcji, Augustów, 23 –26 maja 2001, 199-204.

[5] Podgórski J.: Limit state condition and the dissipation function for isotropic materials. Archives of Mechanics, 36(1984) 3, 323-342.

**********

Niniejsz¹ pracê wykonano w ramach projektu badawczego nr 8T12A 06421 finansowanego przez Komitet Badañ Naukowych

**********