Pomiar współczynnika załamania roztworów. Sprawdzenie związku Lorentza – Lorenza.

Pomiar współczynnika załamania roztworów.

Sprawdzenie związku Lorentza – Lorenza.

I.

Cel ćwiczenia: zapoznanie z budową i działaniem refraktometru laboratoryjnego oraz pomiar współczynnika załamania roztworów cukru. Sprawdzenie związ- ku Lorentza – Lorenza dla roztworów cukru.

II.

Przyrządy: refraktometr laboratoryjny, zlewki, menzurki, cukier.

III.

Literatura: 1. R. P. Feynman – Feynmana wykłady z fizyki tom II cz. I, 2. J.L. Kacperski – I Pracownia Fizyczna, WUŁ, 1998.

3. H. Hofmokl, A. Zawadzki – Laboratorium fizyczne, 4. Refraktometr laboratoryjny RL – Instrukcja obsługi, PZO.

IV. Wstęp

Rozważmy substancję dielektryka umieszczoną między okładkami kondensatora płaskiego podłączonego do źródła o napięciu U. Wówczas w dielektryku występuje pole elektryczne o natężeniu E

r ( E =

d

U, d − odległość okładek kondensatora).

Cząsteczkę A dielektryka, otoczoną sąsiadami można traktować tak, jak gdyby znajdowała się w centrum wnęki kulistej rys. 1.

Rys. 1 Pole elektryczne w dielektryku.

W pobliżu cząsteczki A, tzw. pole lokalne E_lok r

jest sumą średniego pola w dielektryku Eoraz pola pochodzącego od powierzchni fikcyjnej wnęki i dane jest wzorem:

εo

+

= 3

E P E_lok

r

(1)

P jest momentem dipolowym jednostki objętości dielektryka, zwanym polaryzacją.

p N

P = (2)

gdzie N jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości dielektryka, każda o momencie dipolo- wym p.

Moment dipolowy p dwóch punktowych ładunków o jednakowych wartościach bez- względnych i przeciwnych znakach jest wektorem, którego wartość jest równa iloczynowi ła- dunku dodatniego i odległości między środkami ładunków. Kierunkiem wektora jest prosta łą- cząca ładunki, a zwrot od ładunku „-” do „+”.

A P

IV.1 Wzór Clausiusa – Mossottiego

Względna przenikalność dielektryczna (stała dielektryczna) εr ośrodka izotropowego jest związana z polaryzacją Pośrodka i polem E zależnością:

E P

o

r 1 ε

ε = + (3)

Można założyć, że pomiędzy lokalnym polem elektrycznym i momentem dipolowym cząsteczki istnieje proporcjonalność i moment ten wynosi

o lok

αε E p =r

(4) gdzie współczynnik α nazywany jest polaryzowalnością.

Polaryzowalność jest wielkością charakteryzującą zdolność układu cząstek naładowanych ( np.

powłoki atomowe, ułożenie atomów w cząsteczce) do ulegania deformacji lub przesunięć pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego o natężeniu E. W wyniku takiej deformacji pojawia się indukowany moment dipolowy atomu lub cząsteczki.

Ze wzorów (1) – (4) wynika zależność

3 N 2 ε

1 ε

r

r α

+ =

− (5)

zwana równaniem Clausiusa – Mossotiego.

Całkowita polaryzowalność α jest sumą polaryzowalności elektronowej α_e, atomowej α_a i dipo- lowej (orientacji) αo

o a

e+α +α

α

=

α (6)

Polaryzowalność elektronowa αe charakteryzuje zdolność do deformacji powłoki elektrono- wej atomu pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. Pole to powoduje przesunięcie środka geometrycznego chmury elektronowej względem jądra i tym samym atom staje się dipo- lem.

Polaryzowalność atomowa αa charakteryzuje przesunięcie lub obrót pod wpływem ze- wnętrznego pola elektrycznego atomów w cząsteczce dielektryka w nowe położenie równowagi.

Wskutek czego cząsteczka uzyskuje indukowany moment dipolowy, zgodny z kierunkiem ze- wnętrznego pola elektrycznego.

Polaryzowalność orientacyjna α_o związana jest ze zjawiskiem ustawienia przez zewnętrzne pole elektryczne trwałych dipoli w substancji polarnej zgodnie z kierunkiem linii sił pola.

IV.2 Wzór Lorentza – Lorenza

Wzór Lorentza – Lorenza wynika ze wzoru Clausiusa - Mosotiego, gdy zastosujemy zwią- zek Maxwella ε_r =n²i ma postać:

α 2 N n

1 3 n₂

2

=



 



 +

− (7)

gdzie: N – liczba atomów (lub cząsteczek) w jednostce objętości, α - polaryzowalność substan- cji, n – współczynnik załamania światła w danej substancji.

W przypadku substancji, która jest mieszaniną kilku składników, to każdy z nich będzie wnosił swój wkład do polaryzacji. Całkowite α będzie więc sumą przyczynków pochodzących od każdego ze składników mieszaniny.

W ćwiczeniu mamy do czynienia z roztworem dwuskładnikowym (roztwór cukru) więc,

3 



 



 +

− 2 n

1 n

2 2

= ∑ Ni α_i= N₁ α₁ + N₂ α₂ (8)

Załóżmy, że stężenie substancji rozpuszczonej jest c₁, rozpuszczalnika c₂, czyli c1+ c2 = 1

Pomiędzy stężeniem i ilością cząsteczek danej substancji w roztworze istnieje zależność:

N₁ = k₁c_1,

N2 = k 2 c2 = k2(1 – c1 ), gdzie: k1 i k2 są stałymi.

Wobec tego:

N₁ α₁ + N₂ α₂ = k₁ c₁ α₁ + k₂ (1 – c₁)α₂ = (k₁ α₁ – k₂α₂) c₁ + k₂ α₂. Równanie (8) można napisać następująco:

3 



 



 +

− 2 n

1 n

2 2

= a c + b (9)

gdzie: c jest stężeniem roztworu, a i b są stałymi, przy założeniu, że α1 i α2 nie zależą od stęże- nia.

Liniowy charakter doświadczalnie wyznaczonej zależności

2 n

1 3n₂

2

+

− będzie potwierdzał praw- dziwość związku Lorentza-Lorenza.

V. Zasada działania refraktometru

Zasada działania refraktometru oparta jest o zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia.

Na poniższym rysunku przedstawiony jest schemat biegu promieni w refraktometrze.

Rys. 1. Bieg promieni w refraktometrze Abbego

Wiązka światła, po rozproszeniu na zmatowionej powierzchni pryzmatu oświetleniowego, przenika przez warstwę badanej cieczy i ulega załamaniu na granicy ciecz - pryzmat pomiarowy, a następnie na granicy pryzmat – powietrze. Kąt β określa zasięg pola oświetlonego.

Pryzmat pomiarowy wykonany jest z flintu o współczynniku załamania nD = 1,74;wartość ta określa górny zakres możliwości pomiarowych przyrządu – substancja badana nie może mieć współczynnika załamania większego niż materiał pryzmatu. Promienie „ślizgające się” po pod- stawie pryzmatu pomiarowego ulegają załamaniu pod maksymalnym kątem, równym kątowi granicznemu α_gr.

ϕ

β

φ

φ α_gr

α_gr

pryzmat oświetleniowy

pryzmat pomiarowy kompensator

Amiciego

lunetka

górne pole widzenia w okularze lunetki

pryzmat kierujący

α

Jeżeli substancja badana ma współczynnik załamania n, to wówczas:

D gr D

0 gr

n sin n

n n 90 sin

sin α = ⇒ α =

(10)

gdzie: n_D jest współczynnikiem załamania pryzmatu dla żółtej linii sodu (589 nm).

Z rysunku (1) wynikają następujące związki:

nD

sin sin =

α

β (11)

ϕ α

α + _gr = (12)

gdzie:ϕ jest kątem łamiącym pryzmatu pomiarowego, α kątem padania promienia na granicy pryzmat – powietrze.

Te trzy równania ( 10 ) ÷ ( 12 ) tworzą układ równań pozwalający wyznaczyć współczynnik załamania n cieczy z zależności

ϕ ϕ β

ϕ n sin cos sin sin

n= ²_D− ² −

Wartość nD i φ są stałe i znane. Poprzez wyznaczenie kąta β, znajdujemy współczynnik załama- nia n. Współczesne przyrządy wykorzystujące opisaną metodę tak są skonstruowane, że po ustawieniu w lunetce krzyża z nici pajęczych na linii podziału pól jasnego i ciemnego można bezpośrednio odczytać wartość współczynnika załamania.

Zarówno pryzmaty jak i lunetka są nieruchome. Obraca się wraz z kręgiem podziałowym zwierciadło, które kieruje do lunety, promienie wychodzące z pryzmatu.

Refraktometr jest przyrządem o wysokiej precyzji – błąd względny pomiaru wynosi (1 ÷ 2)·10^-4.

VI. Układ pomiarowy – refraktometr

.

Rys. 3 Refraktometr laboratoryjny RL1. Po lewej, widok od strony pryzmatu pomiarowego, po prawej - widok od strony okularu.

W powyższym ćwiczeniu układ pomiarowy składa się z refraktometru Abbego typ RL1. Za pomocą tego przyrządu można mierzyć współczynnik załamania światła różnych roztworów oraz odczytać stężenie, jeżeli badanym roztworem jest roztwór cukru.

Rys. 4. Sposób oświetlenia płaszczyzny po- miarowej przy badaniu cieczy w świetle przechodzącym.

Podstawowym elementem przyrządu jest pryzmat refraktometryczny (pomiarowy) w obudowie (1), z poziomo ustawioną płaszczyzną pomiarową (2). Poziome ustawienie płaszczyzny pomia- rowej zabezpiecza przed spływaniem badanej cieczy z pryzmatu.

Pozostałe istotne elementy to:

3 - łączniki umożliwiające podłączenie refraktometru do termostatu,

4 - termometr rtęciowy włączony w obieg cieczy termostatu, pozwala prowadzić stałą kontrolę temperatury w zakresie od 0- 75 C, ^o

5 - osłona termometru,

6 – pryzmat nakrywkowy (oświetleniowy) w zawiasowo zamocowanej oprawie (7), 8 – wnętrze kadłuba, w którym znajduje się pryzmat kierujący,

9 – regulator zespołu pryzmatów kompensacyjnych (Amiciego), 10 – nakrętka zabezpieczająca wkręt regulacyjny,

11 – pokrętło pomiarowe,

12 – płaskie zwierciadło kierujące światło do podświetlenia skali 15 – okular z regulacją ostrości widzenia w zakresie ± 5 dioptrii,

16 – okienko oświetlające w oprawie pryzmatu nakrywkowego, służy do oświetlania substancji, przy pomiarach w świetle przechodzącym.

25 1,39

nD

% 1,37 10 15

5 20

1,35

Nici pajęcze granica między polem

jasnym i ciemnym

skala do odczytu współczynnika załamania Skala do odczytu

stężenia cukru

Rys. 5 Obraz w okularze refraktometru

Podczas pomiaru, wiązka promieni świetlnych załamana na płaszczyźnie pomiarowej przedosta- je się do wnętrza korpusu refraktometru (8). Po przejściu przez pryzmat kierujący, promienie trafiają do zespołu pryzmatów Amiciego. Obrót pryzmatów Amiciego powoduje rozszczepienie światła białego, co zostało wykorzystane do usuwania zabarwienia linii granicznej. Obrót zespo- łu pryzmatów uzyskuje się za pomocą pokrętła (9). Na pokrętle nacięta jest podziałka, która do- datkowo umożliwia dokonywanie pomiaru dyspersji.

Sposób wykonania pomiarów.

Odchylić oprawę z pryzmatem nakrywkowym w górę do oporu.

Oczyścić powierzchnię pryzmatów za pomocą miękkiej ściereczki.

Nanieść na powierzchnię pomiarową pryzmatu kilka kropel badanej cieczy w taki sposób, aby po zamknięciu pryzmatów cała powierzchnia została nią pokryta.

Odczekać chwilę, aby temperatury cieczy i pryzmatów zrównały się.

Odsłonić okienko oświetlające (16) i skierować w stronę najbardziej intensywnego źródła świa- tła.

Obrót pokrętłami (9) i (11) pozwala uzyskać ostrą, wyraźną i bezbarwną granicę między jasnym i ciemnym obszarem w polu widzenia okularu.

Obrotem pokrętła (11) naprowadzić linię graniczną dokładnie na środek krzyża z nici paję- czych w górnym okienku okularu. Pionowa linia wskaże wynik pomiaru na podziałce współ- czynnika załamania i procentową zawartość cukru w roztworze.

Zastosowanie

Refraktometr RL1 przeznaczony jest do pomiaru współczynników załamania i średniej dys- persji cieczy i przeźroczystych ciał stałych, oraz do określania procentowej zawartości cukru w roztworach wodnych. Wysoka dokładność przyrządu uzyskiwana przy zaledwie kilku kroplach badanej substancji, jest wygodną i oszczędną metodą badań.

Znajduje ona zastosowanie wszędzie tam, gdzie składowe mieszanin wykazują różne współ- czynniki załamania. Pomiary refraktometryczne są szeroko stosowane w przemyśle spożywczym i chemicznym. Znajomość współczynnika załamania pozwala określić zawartość białka we krwi, skład soku żołądkowego, moczu itp.

VII. Pomiary

1. Zmierzyć współczynnik załamania światła n dla wody destylowanej.

2. Przygotować co najmniej 5 roztworów cukru o stężeniach procentowych: 0,02; 0,04; 0,06;

0,08; 0,1 (0,02 to inaczej 2%). Odważając kolejno: 2,4,6,8,10 g cukru na 100 g (m_c + m_w ) roztworu otrzymujemy podane powyżej stężenia roztworów. Zwróć uwagę na całkowite roz- puszczenie cukru w wodzie destylowanej.

3. Zmierzyć za pomocą refraktometru współczynnik załamania otrzymanego roztworu oraz od- czytać procentową zawartość cukru w danym roztworze.

4. Przemyć wodą destylowaną pryzmat pomiarowy po każdym pomiarze.

5. Wyniki umieścić w tabeli:

Tabela 1

Lp. c_przyg. c_zmierz. n 3

2 n

1 n

2 2

+

−

1 2 3 4 5

VIII. Opracowanie wyników

1. Sporządzić wykres zależności 3 



 



 +

− 2 n

1 n

2 2

od stężenia czmierz.. Wyznaczyć parametry prostej metodą najmniejszych kwadratów (lub graficznie). Na wykresie zaznaczyć również wartości

3 



 



 +

− 2 n

1 n

2 2

w funkcji c_przyg.

2. Obliczyć polaryzowalność wody destylowanej, korzystając ze wzoru (7)

2 n

1 n N

3

2 2

2 +

= −

=α_w α

gdzie N oznacza ilość cząsteczek wody w 1 m³. Tę ilość możemy wyznaczyć znając: gęstość wody ρ = 1000 kg/m³, masę molową wody M₂ = M_w = 0,018 kg/mol, liczbę Avogadro N_A = 6,023⋅10²³ mol ^-1 (ilość cząsteczek w 1 molu substancji).

Niepewność Dα2 wyznaczenia polaryzowalności wody obliczyć ze wzoru 1) n

2)(n (n

6n

2 2 2

2 ⋅∆

−

⋅ +

=

∆α α

gdzie Dn jest niepewnością wyznaczenia współczynnika załamania światła refraktometrem.

3. Wykorzystując obliczone wartości współczynników a i b oraz polaryzowalność wody obli- czyć polaryzowalność cukru według wzoru (patrz Uzupełnienie, wzór (24)):

2 2 1

1 M

M

1 b α

α

α _



 

 +

=

= a

c

gdzie M1 = 0,342 kg/mol – masa molowa cukru (wzór cząsteczki cukru trzcinowego jest na- stępujący: C12H22O11), pozostałe wielkości jak wyżej.

Niepewność maksymalną Dα1 wyznaczenia polaryzowalności cukru obliczyć ze wzoru (sto- sując metodę różniczki zupełnej)



 



 ∆

∆ + + +

+

= ∆

∆

2 2 1

1 b

b b

b α

α α

α (a )

a a

a

gdzie Da i Db niepewności wyznaczenia parametrów prostej danej równaniem (9), Dα² - nie- pewność wyznaczenia polaryzowalności wody.

Uzupełnienie

Wyprowadzenie wzoru na polaryzowalność cukru

Wyznaczymy polaryzowalność cukru αc = α1 wykorzystując znajomość współczynników a i b prostej danej równaniem (9) oraz wyznaczonej polaryzowalności α2 wody. W tym celu powró- cimy do analizy wzoru Lorentza – Lorenza (wzór (7)).

Dla dwuskładnikowego roztworu cukru wzór Lorentza – Lorenza przyjmuje postać (wzór 8, str. 2):

3 



 



 +

− 2 n

1 n

2 2

= N₁⋅α₁ + N₂⋅α₂ (13)

Załóżmy, że stężenie substancji rozpuszczonej jest c1, rozpuszczalnika c2, czyli c₁+ c₂ = 1

Pomiędzy stężeniem i ilością cząsteczek danej substancji w roztworze istnieje zależność:

N1 = k1c1, (14)

N₂ = k ₂ c₂ = k₂(1 – c₁ ), (15) gdzie: k1 i k2 są stałymi odpowiednio dla cukru i wody.

Wobec tego:

N1 α1 + N2 α2 = k1 c1 α1 + k2 (1 – c1) α2 = (k1 α1 – k2α2) c1 + k2 α2. Wzór (13) przyjmie postać:

3 



 



 +

− 2 n

1 n

2 2

= a c + b (16)

gdzie c jest stężeniem roztworu, a i b są stałymi, przy założeniu, że α₁ i α₂ nie zależą od stęże- nia:

b = k2 α2 (17a)

a = (k1 α1 – k2α2) = k1α1 – b (17b) Korzystając z definicji stężenia roztworu otrzymamy:

c c 1 m m c) (1 m c m c m c m m m c

m m

* 1

*

* 2 1

* 2

* 2

* 1

*

* 1 2

* 1

*

1 = ⇒ = + ⇒ = − ⇒ = −

+ (18)

gdzie m₁^*− masa cukru w sporządzonej przez nas objętości roztworu, m − masa wody zawarta ^*₂ w sporządzonej objętości roztworu.

Ponieważ stosunek mas cukru i wody dla danego stężenia nie zależy od objętości roztworu więc dla objętości 1m³ roztworu cukru otrzymamy:

c c 1 m m m m

1 2

* 1

*

2 = = − (19)

gdzie m₁, m₂ są odpowiednio masami cukru i wody w 1 m³ roztworu.

Masy cukru m1 i wody m2 zawierają odpowiednio N1 i N2 cząsteczek, które to ilości możemy wyznaczyć ze związków

NA

M N m

1 1

1= (20a)

A 2 2

2 N

M

N = m (20b)

gdzie M₁ - masa molowa cukru, M₂ – masa molowa wody, N_A – liczba Avogadro Dzieląc stronami zależność (20b) przez (20a) i uwzględniając (19) otrzymamy:

c c) (1 M M m m M M N N

2 1 1 2 2 1 1

2 −

=

= (21)

Jeśli podzielimy stronami zależność (15) przez (14) otrzymamy:

c c) (1 k k N N

1 2 1

2 = − (22)

Z porównania zależności (21) i (22) mamy:

c c) (1 k k c

c) (1 M M

1 2 2

1 − = − ⇒

1 2 2

1 M

k M

k = (23)

Z równania (17b) wynika

1

1 k

α +b

= a

Po uwzględnieniu (23) i relacji (17a) po przekształceniach otrzymamy wzór na obliczenie pola- ryzowalności cukru:

2 2 1 2

1

2

1 α

M M 1 b

M M α

b b)

α ( 



 

 + + =

= a a

(24)