Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 18. – rozwiązania zadań domowych
30 kwietnia 2019
Grupa 8:00
Znajdź i sklasyfikuj wszystkie punkty krytyczne funkcji f (x, y) = (2x2+ y2)e−x2−y2.
∂f
∂x = −2xe−x2−y2(2x2+ y2− 2),
∂f
∂y = −2ye−x2−y2(2x2+ y2− 1), Przyrównując do 0, mamy 4 opcje:
(1) x = y = 0,
(2) x = 0 oraz y2= 1, czyli (0, 1), (0, −1), (3) y = 0 oraz x2= 1, czyli (1, 0), (−1, 0),
(4) 2x2+ y2− 2 = 0 oraz 2x2+ y2− 1 = 0 – sprzeczność.
Mamy 5 punktów krytycznych (0, 0), (1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0, −1).
Drugie pochodne:
∂2f
∂x2 = e−x2−y2(8x4+ 4x2(y2− 5) − 2y2+ 4),
∂2f
∂x∂y = 4xye−x2−y2(2x2+ y2− 3),
∂2f
∂y2 = e−x2−y2(x2(8y2− 4) + 4y4− 10y2+ 2), Co w punkcie (0, 0) daje macierz drugiej pochodnej
4 0 0 2
jest dodatnio określona, czyli to minimum.
Co w punkcie (1, 0) daje macierz drugiej pochodnej
−8/e 0
0 −2/e
jest ujemnie określona, czyli to maksimum.
Co w punkcie (−1, 0) daje macierz drugiej pochodnej
−8/e 0
0 −2/e
jest ujemnie określona, czyli to maksimum.
Co w punkcie (0, 1) daje macierz drugiej pochodnej
2/e 0 0 −4/e
1
jest nieokreślona, czyli to nie jest lokalne ekstremum.
Co w punkcie (0, −1) daje macierz drugiej pochodnej
2/e 0 0 −4/e
jest nieokreślona, czyli to nie jest lokalne ekstremum.
Grupa 9:45
Znajdź i sklasyfikuj wszystkie punkty krytyczne funkcji f (x, y) = (x2+ 2y2)e−x2−y2.
∂f
∂x = −2xe−x2−y2(x2+ 2y2− 1),
∂f
∂y = −2ye−x2−y2(x2+ 2y2− 2), Przyrównując do 0, mamy 4 opcje:
(1) x = y = 0,
(2) x = 0 oraz y2= 1, czyli (0, 1), (0, −1), (3) y = 0 oraz x2= 1, czyli (1, 0), (−1, 0),
(4) x2+ 2y2− 1 = 0 oraz x2+ 2y2− 1 = 0 – sprzeczność.
Mamy 5 punktów krytycznych (0, 0), (1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0, −1).
Drugie pochodne:
∂2f
∂x2 = e−x2−y2(y2(8x2− 4) + 4x4− 10x2+ 2),
∂2f
∂x∂y = 4xye−x2−y2(2y2+ x2− 3),
∂2f
∂y2 = e−x2−y2(8y4+ 4y2(x2− 5) − 2x2+ 4).
Co w punkcie (0, 0) daje macierz drugiej pochodnej
2 0 0 4
jest dodatnio określona, czyli to minimum.
Co w punkcie (0, 1) daje macierz drugiej pochodnej
−2/e 0
0 −8/e
jest ujemnie określona, czyli to maksimum.
Co w punkcie (0, −1) daje macierz drugiej pochodnej
−2/e 0
0 −8/e
jest ujemnie określona, czyli to maksimum.
Co w punkcie (1, 0) daje macierz drugiej pochodnej
−4/e 0
0 2/e
jest nieokreślona, czyli to nie jest lokalne ekstremum.
Co w punkcie (−1, 0) daje macierz drugiej pochodnej
−4/e 0
0 2/e
jest nieokreślona, czyli to nie jest lokalne ekstremum.
2
