Zadania Arkusz 11 Analiza Współzależności Dwóch Cech
1. Zaobserwowano, że wadliwość produkcji zależy od metody produkcji. Przeprowadzono badanie jakości dla 600 sztuk określonego produktu, uzyskując następujące wyniki:
❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
Jakość Metoda produkcji I II
Dobra 140 250
Zła 40 170
Na podstawie powyższych danych zbadaj, jak silna jest zależność między metodą a wa- dliwością produkcji.
2. Badając korelację między liczbą osób w rodzinie a liczbą osób pracujących zawodowo, otrzymano następujące równanie regresji:
ˆy = 1, 2 + 0, 6x
oraz współczynnik korelacji rxy = −0, 54. Czy takie wyniki są możliwe?
3. Wśród 220 losowo wybranych osób przeprowadzono badanie dotyczące stanu zdrowia i indeksu masy ich ciała (BMI).
BMI = masa w kg (wzrost w m)2.
Wartość indeksu BMI mniejsza od 25 świadczy o prawidłowejwadze ciała. Wartość indek- su powyżej 25 świadczy o nadwadze. Wyniki przeprowadzonego badania prezentuje poniższa tabela:
❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤
Masa ciała
Problemy zdrowotne
Występują Nie występują
Prawidłowa 20 100
Nadwaga 80 20
Stosując współczynnik Q-Yule’a zbadaj, jak silna jest zależność między masą ciała a stanem zdrowia badanej grupy osób.
4. W badaniu nad zależnością pomiędzy plonami za 1 ha pewnego rodzaju zboża a wiel- kością gospodarstwa rolnego uzyskano dane przedstawione w poniższej tabeli.
Wielkość gospodarstwa
(w ha)
Plony (w q/ha)
2,5 28
2,8 31
3,4 30
5,2 34
5,2 35
6,1 38
7,8 40
Dodatkowo wiadomo, że średnia wielkość gospodarstwa rolnego to x = 4, 71 ha, a średnie plony wynoszą y = 33, 71 q/ha. Na podstawie powyższych danych:
1
Zadania Arkusz 11 i) ustal zmienną zależną (objaśnianą) i zmienną niezależną (objaśniającą),
ii) sporządź wykres w układzie współrzędnych i powiedz, czy na jego podstawie można wnioskować o istnieniu zależności między tymi zmiennymi?
iii) ustal kierunek i siłę korelacji między plonami a wielkością gospodarstw przy pomocy współczynnika korelacji iniowej Pearsona,
iv) oblicz współczynnik determinacji i podaj jego interpretację, v) oceń dopasowanie funkcji regresji do danych empirycznych,
vi) wyznacz równanie regresji i podaj interpretację współczynnika regresji oraz ustal ja- kiego plonu można się spodziewać w gospodarstwie o powierzchni 8,5 ha; przy jakim założeniu szacunek ten ma sens?
5. Na podstawie danych zawartych w tablicy poniżej ustal przy pomocy współczynnika korelacji rang Spearmana, czy istnieje zależność między liczbą ludności (w tysiącach osób) a powierzchnią (w km2) w 16 województwach w Polsce w 2007 roku.
Województwo Liczba ludności
(w tys. osób) Powierzchnia (w km2)
dolnośląskie 2 878,4 19 947
kujawsko-pomorskie 2 066,1 17 972
lubelskie 2 166,2 25 122
lubuskie 1 008,5 13 988
łódzkie 2 555,9 18 219
małopolskie 3 279,0 15 183
mazowieckie 5 188,5 35 558
opolskie 1 037,1 9 412
podkarpackie 2 097,3 17 845
podlaskie 1 192,7 20 187
pomorskie 2 210,9 18 310
śląskie 4 654,1 12 334
świętokrzyskie 1 275,6 11 710
warmińsko-mazurskie 1 426,2 24 173
wielkopolskie 3 386,9 29 827
zachodniopomorskie 1 692,3 22 892
6. Nauczyciel fizyki zaobserwował zależność między absencją na lekcjach (w godzinach) a oceną końcową z przedmiotu. Obliczył, że współczynnik korelacji między oceną a nieobec- nością na lekcjach wynosi -0,96, a równanie regresji ma następującą postać:
ˆy = −0, 2x + 4, 5.
Na podstawie powyższych informacji:
i) wyznacz współczynnik determinacji R2 i podaj jego interpretację,
ii) ustal, jakiej oceny z fizyki można się spodziewać u ucznia o absencji 6-godzinnej, iii) podaj interpretację współczynnika regresji b,
iv) co można powiedzieć o kierunku i sile zależności między oceną z fizyki a absencją na zajęciach.
7. W pewnej klasie zbadano uczniów ze względu na czas potrzebny do dotarcia do szko- ły (zmienna X) oraz liczbę spóźnień (zmienna Y ). Otrzymane wyniki przedstawia tablica poniżej. Za pomocą stosunku korelacji określ siłę zależności między tymi zmiennymi.
2
Zadania Arkusz 11
❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
Czas w min. (xi)
Liczba spóźnień (yi)
1 – 3 4 – 6 7 – 9
5 – 15 3 2 –
15 – 25 1 4 1
25 – 35 – 1 5
8. W wyniku badania zależności między obrotami (w tys. zł) a kosztami handlowymi (w odsetkach obrotów) otrzymano funkcję regresji postaci:
ˆy = 8 − 0, 06x.
i) Oceń siłę i kierunek zależności między obrotami a kosztami handlowymi wiedząc, że współczynnik determinacji R2 wynosi 0,86.
ii) Podaj, jakiego teoretycznego udziału kosztów w obrotach można oczekiwać przy war- tości sprzedaży w wysokości 30 tys. zł?
9. W pewnym przedsiębiorstwie zatrudniającym 100 pracowników zapytano o poziom prze- ciętnej płacy i formy spędzania urlopu. Wyniki tych badań przedstawia poniższa tablica:
Formy spędzania czasu Przeciętna płaca (w zł)
1500 – 2000 2000 – 2500 2500 – 3000 3000 – 3500
Wczasy pod gruszą 20 2 2 –
Wyjazd krajowy 4 22 20 8
Wyjazd zagraniczny – 2 8 12
Oceń siłę zależności między poziomem przeciętnej płacy a miejscem spędzania wakacji przez pracowników tego przedsiębiorstwa.
10. Na giełdzie zanotowano ceny i wiek kilku oferowanych do sprzedaży samochodów pew- nej marki:
Wiek (w latach) 2 3 5 5 7 8 Cena (w tys. zł) 22 18 20 16 15 11
Sporządź wykres rozrzutu punktów empirycznych i oceń na jego podstawie, czy uza- sadnione jest przypuszczenie o liniowej regresji ceny używanego samochodu względem jego wieku. Dopasuj metodą najmniejszych kwadratów prostą regresji ceny względem wieku sa- mochodu. Oceń stopień dopasowania modelu regresji do danych empirycznych. Jaka jest przewidywana cena samochodu 6-letniego?
3
