Do rzeki o szerokości a = 15m dochodzi pod kątem prostym kanał o szerekości b = 4m

Seria zadań domowych nr 2, AM I Termin oddania: 21.5.2019 Proszę wybrać 6 zadań.

Zadanie 1. Do rzeki o szerokości a = 15m dochodzi pod kątem prostym kanał o szerekości b = 4m. Znaleźć długość największej kłody drewna (szerekość zaniedbujemy), którą można spławić tym kanałem.

Zadanie 2. Napisać wielomian Bernsteina B₄(x) stopnia 4 dla funkcji ^x+|x|₂ na odcinku [−1, 1].

Znajdź sup_x∈[−1,1]|f (x) − B4(x)|.

Zadanie 3. Niech f_nbędzie ciągiem funkcji określonym na przedziale [a, b]. Udowodnić, że jest on jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji ciągłej f wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu xn takiego, że a ¬ xn¬ b i lim_n→∞x_n= u zachodzi limn→∞f_n(xn) = f (u).

Zadanie 4. Czy istnieje f : R → R taka, że dla każdego x ∈ R zachodzi f⁰(x) ∈ {+∞, −∞}.

(Uwaga, f⁰(x) = +∞, jeśli lim_h→0f (x+h)−f (x)

h = +∞.)

Zadanie 5. Sprawdź jednostajną zbieżność szeregów funcyjnych:

(a) ^P∞_{n=1 b}^xnⁿ

2c, gdzie |x| < 1;

(b) ^P∞_n=2ln^1 + _{n ln}^x22n

 na (−a, a), gdzie a > 0;

(c) ^P∞_n=1 ^(−1)b

√nc

√

n(n+x) na [0, +∞).

Zadanie 6. Określ dziedzinę oraz sprawdź ciągłość i różniczkowalność funkcji (a) f (x) =^P∞_{n=1 n}2^|x|+x²,

(b) f (x) =^P∞_n=1xⁿe^−n2x2. Zadanie 7. Wykazać, że ciąg funkcji

f_n(x) = x²+ 1

nsin n(x + π 2)

jest zbieżny jednostajnie na R, ale (limn→∞f_n(x))⁰ 6= lim_n→∞f_n⁰(x).

Zadanie 8. Oblicz sumę szeregu

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ 3n − 2 . Zadanie 9. Oblicz

(a) ^R _{1+cos x}^{1+sin x}e^xdx, (b) ^R _1+ex/2+e^dxx/3+e^x/6.

Zadanie 10. Udowodnij, że jeśli f : (a, b) → R jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, a ponadto f⁽ⁿ⁾(x) ­ 0 dla wszystkich n = 1, 2, . . . i a ¬ x ¬ b, to f is analityczna, tj.

zachodzi równość

f (x + h) − f (x) =

∞

X

n=1

f⁽ⁿ⁾(x) n! hⁿ

dla wszystkich x ∈ (a, b) i |h| ¬ δ(x), gdzie δ : (a, b) → R jest pewną funkcją o wartościach dodatnich.

Zadanie 11. Oblicz

∞

X

n=1

1

3n + 1+ 1

3n + 2 − 2 3n + 3.

2