Wyprowadzenie wzoru (30.6)
Na rysunku 30.5 zilustrowano zadanie, które mamy wykonać; szukamy wektora indukcji magnetycznej EB w punkcie P , w odległości R od przewodu. Rysunek 30.5 jest w istocie bardzo podobny do rysunku 30.1b, z wyjątkiem tego, że te- raz przewód jest prosty i nieskończenie długi. Wartość przyczynku do indukcji magnetycznej pola, wytworzonego w punkcie P przez element prądu I dEs, znaj- dujący się w odległości r od punktu P , jest dana równaniem (30.3):
dB = µ0
4π
I ds sin θ r2 .
Wektor d EB na rysunku 30.5 jest skierowany tak, jak wektor dEs × Er — a miano- wicie prostopadle za płaszczyznę rysunku.
Zauważ, że d EB w punkcie P ma taki sam kierunek dla wszystkich ele- mentów prądu, na jakie można podzielić przewód. Tak więc wartość indukcji magnetycznej pola, wytworzonego w punkcie P przez elementy prądu w górnej połowie nieskończenie długiego przewodu, może być obliczona przez całkowanie dB w równaniu (30.3) od zera do nieskończoności.
Rozważmy teraz element prądu w dolnej połowie przewodu, położony w ta- kiej odległości w dół od punktu P , w jakiej dEs znajduje się powyżej punktu P . Ze wzoru (30.5) wynika, że wektor indukcji magnetycznej pola wytworzonego w punkcie P przez ten element ma taką samą wartość i kierunek, jak wektor indukcji pola, pochodzącego od elementu I dEs na rysunku 30.5. Zatem indukcja pola wytworzona przez dolną połowę przewodu jest dokładnie taka sama, jak indukcja pola wytworzonego przez górną połowę. Aby znaleźć wartość indukcji magnetycznej EB całkowitego pola w punkcie P , wystarczy więc pomnożyć wynik naszego całkowania przez 2. Stąd otrzymujemy:
B= 2 Z ∞
0 dB = µ0I 2π
Z ∞
0
sin θds
r2 . (30.7)
Zmienne θ, s i r w tym równaniu nie są niezależne, ale (patrz rys. 30.5) związane są zależnościami:
Rys. 30.5.Obliczanie indukcji magne- tycznej pola, wytworzonego przez prąd o natężeniu I , płynący w długim pro- stoliniowym przewodzie. Jak pokazano na rysunku, d EB w punkcie P , związane z elementem prądu I dEs jest skierowane za płaszczyznę rysunku
r =p s2+ R2 oraz
sin θ = sin(π − θ) = R
√s2+ R2.
Po wykorzystaniu tych związków i zastosowaniu całki 19 z dodatku E, z równania (30.7) otrzymujemy:
B =µ0I 2π
Z ∞
0
Rds (s2+ R2)3/2
= µ0I 2πR
s
(s2+ R2)1/2
∞
0 = µ0I
2πR, (30.8)
czyli zależność, którą mieliśmy wyprowadzić. Zauważ, że indukcja magnetyczna w punkcie P pola, pochodzącego albo od dolnej, albo od górnej połowy nie-
222 30. Pole magnetyczne wywołane przepływem prądu
