5. Zadania do wykładu Wstęp do matematyki dyskretnej
1. Wyprowadzić wzór Pascala korzystając ze wzoru na współczynniki New- tona.
2. Wypisać wyrazy w wierszach trójkąta Pascala dla n = 9 i 10.
3. Obliczyć sumy wyrazów trójkąta Pascala wzdłuż przekątnej biegną- cej w górę od lewej strony. Kilka pierwszych to 1, 1, 1+1=2, 1+2=3, 1+3+1=5, 1+4+3=8. Obliczyć kilka następnych sum i znaleźć związek pomiędzy tymi sumami. Porównać z wynikiem zadania 3 z listy 1.
4. Rozwinąć (x + y)5 i (x + y)6 korzystając ze wzoru dwumianowego.
5. Rozwinąć (2x − y)7.
6. Znaleźć współczynnik przy x5y13w rozwinięciu (3x − 2y)18. Jaki współ- czynnik znajduje się przy x8y9 ?
7. Korzystając ze wzoru dwumianowego pokazać, że 3n = Pnk=0nk2k. Znaleźć wzór na Pnk=0nkrk.
8. Pokazać, że 2n =Pnk=0(−1)n−knk3k. Obliczyć sumęPnk=0(−1)knk10k. 9. Używając argumentacji kombinatorycznej udowodnić tożsamość (w po-
danej formie) n k
!
− n − 3 k
!
= n − 1 k − 1
!
+ n − 2 k − 1
!
+ n − 3 k − 1
!
.
Wskazówka: Niech S będzie zbiorem z 3 wyróżnionymi elementami a, b i c. Zliczyć pewne k-kombinacje S.
10. Pokazać, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi wzór n
1
!
− 2 n 2
!
+ 3 n 3
!
− 4 n 4
!
+ . . . + (−1)n−1n n n
!
= 0.
11. Za pomocą całkowania wzoru dwumianowego wyprowadzić wzór 1 + 1
2 n 1
!
+1 3
n 2
!
+1 4
n 3
!
+ . . . + 1 n + 1
n n
!
= 2n+1− 1 n + 1 .
12. Obliczyć sumę 12+ 22+ . . . + n2 korzystając ze wzoru m2 = 2 m
2
!
+ m
1
!
oraz z pewnego wzoru wyprowadzonego na wykładzie.
13. Znaleźć liczby całkowite a, b i c spełniające m3 = a m
3
!
+ b m 2
!
+ c m 1
!
. Następnie znaleźć wzór na 13+ 23+ 33+ . . . + n3.
14. Udowodnić, że dla wszystkich liczb rzeczywistych r i wszystkich liczb całkowitych k i m zachodzą wzory
−r k
!
= (−1)k r + k − 1 k
!
, r
m
! m k
!
= r k
! r − k m − k
!
.
15. Używając argumentacji kombinatorycznej pokazać, że dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych m1, m2 i n mamy
n
X
k=0
m1 k
! m2 n − k
!
= m1+ m2 n
!
.
16. Znaleźć wzór na
X
r, s, t 0 r + s + t = n
m1 r
! m2 s
! m3 t
!
,
gdzie sumowanie odbywa się względem wszystkich nieujemnych liczb całkowitych r, s i t spełniającyh r + s + t = n.
17. Rozwiązać zadanie 15 ze wzoru dwumianowego używając wzoru (1 + x)m1(1 + x)m2 = (1 + x)m1+m2.
18. Korzystając ze wzoru wielomianowego pokazać, że dla całkowitych do- datnich liczb n i k zachodzi wzór
kn=X n
n1 n2· · · nk
!
,
gdzie sumowanie odbywa się względem wszystkich nieujemnych liczb całkowitych n1, n2, . . . , nk spełniających n1+ n2+ . . . + nk= n.
19. Znaleźć rozwinięcie (x1+ x2+ x3)4.
20. Wyznaczyć współczynnik przy x31x2x43x25 w rozwinięciu (x1+ x2+ x3+ x4+ x5)10. 21. Wyznaczyć współczynnik przy x31x32x3x44 w rozwinięciu
(x1− x2+ 2x3 − 2x24)9.
22. Rozwinąć (x1+ x2+ x3)n używając (x1+ x2+ x3)n= ((x1+ x2) + x3)n i korzystając ze wzoru dwumianowego.
23. Udowodnić przez indukcję, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej 1
(1 − z)n =
∞
X
k=0
n + k − 1 k
!
zk, |z| < 1.
24. Wyprowadzić wzór 1 n
1
!
+ 2 n 2
!
+ . . . + n n n
!
= n2n−1,
używając argumentów kombinatorycznych. Wskazówka: Obliczyć liczbę podzbiorów zbioru n-elementowego z jednym wyróżnionym elementem tego podzbioru.
