Materiały pomocnicze do wykładu

(1)

Rekursja 2

wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Materiały pomocnicze do wykładu

(2)

Rozwiązywanie równań

rekurencyjnych

(3)

Jednorodne liniowe

równania rekurencyjne

(4)

Twierdzenie

Niech k będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią i niech (*) oznacza zależność rekurencyjną między wyrazami ciągu {a(n)}:

(*)

gdzie D₀, ..., D_k-1 są ustalonymi liczbami

zespolonymi oraz niech a(0), a(1), ...,a(k-1) będą warunkami początkowymi.

a(n) D

1) a(n

D

...

2) - k a(n

D 1)

- k a(n

D k)

a(n

0 1

2 k 1

- k





 _

(5)

Twierdzenie

Każdy ciąg {a(n)} spełniający dla n  0 zależność (*) jest postaci

gdzie m oznacza liczbę różnych pierwiastków wielomianu charakterystycznego





^m

1 i

W

i

a(n)

0 1

2 k 2 k 1

k 1 k

k

D x D x ... D x D

x

P(x)  

_ ^



_ ^

  

(6)

Twierdzenie

Oznaczmy te pierwiastki przez z₁, ... z_m zaś ich krotności przez k₁, ... k_m odpowiednio. Wtedy W_i ma postać:

gdzie p=k_i-1, zaś C₀, ..., C_p-1, C_p są ustalonymi liczbami zespolonymi.

) n C n

C ...

n C (C

) (z

W

_i



_i ⁿ ₀



₁

 

_p_₁ ^p^¹



_p ^p

(7)

Przykład

Rozważmy następujące jednorodne liniowe równanie rekurencyjne

2 a(n) 1) 1

4 a(n 2) 7

a(n 3)

a(n

2, a(2)

1, a(1)

0, a(0)









(8)

Przykład

Wtedy wielomian charakterystyczny tego równania ma postać

2 x 1

4 x 7

x

P(x) 

³



²

 

(9)

Przykład

Ponieważ

to pierwiastkami są

x

₁

=-1/2, x

₂

=-1/2, x

₃

=2

2) 2 (x

x 1 P(x)

2

 



 

  



(10)

Przykład

Zatem

n 3 n

2

1

C 2

2 ) 1

C n

(C

a(n)  



 

 





(11)

Przykład

Brakujące współczynniki wyznaczamy z układu trzech równań liniowych

dla a(0)=0, a(1)=1, a(2)=2



















 



 







 



 







a(2) 4C

) C 2 (2C

1

a(1) 2C

) C 2 (C

1

a(0) C

C

3 2

1 2

3 2

1

3 2

(12)

Przykład

Ostatecznie

C

₁

=4/5, C

₂

=-9/25, C

₃

=9/25 a z tego rozwiązaniem rozważanego równania jest

n n

25 2 9 2

) 1 25 n 9

5 ( 4

a(n)  



 

 





(13)

Niejednorodne liniowe

równania rekurencyjne

(14)

Redukcja do równań jednorodnych

Rozważmy następującą zależność rekurencyjną

Zauważmy, że

B a(n)

D 1)

a(n D

...

1) - k a(n

D k)

a(n  

_k_₁

  

₁

 

₀



B 1)

a(n D

2) a(n

D ...

k) a(n

D 1)

k

a(n    _k_₁    ₁   ₀  

(15)

Redukcja do równań jednorodnych

Odejmując stronami oba równania dostajemy

a(n) D

1) )a(n

D - D ( 2)

)a(n D

- D (

...

1) - k )a(n

D - D

( k)

a(n D

k) a(n

- 1) k

a(n

0 1

0 2

1

1 k 2

k 1

k











(16)

Redukcja do równań jednorodnych

Stąd

a(n) D

1) )a(n

D - D ( 2)

)a(n D

- D (

...

1) - k )a(n

D - D

( k)

1)a(n (D

1) k

a(n

0 1

0 2

1

1 k 2

k 1

k











(17)

Redukcja do równań jednorodnych

Zatem niejednorodne liniowe równanie rekurencyjne sprowadziliśmy do

jednorodnego równania rekurencyjnego, którego rozwiązanie opisuje wielomian charakterystyczny

0 1

0 2

2 1

1 - k 1 k 2

k k

1 k 1

k

D )x

D - D ( )x

D - D (

...

)x D

- D

( 1)x

(D x

P(x)















 ^ _ _ _

(18)

Przykład

Rozważmy następujące niejednorodne liniowe równanie rekurencyjne

1 2 a(n)

) 1 1 4 a(n

2) 7 a(n

4 a(2) 13

1, a(1)

1, a(0)









(19)

Przykład

Wówczas

Po odjęciu stronami dostajemy

2 a(n) - 1

1) 4 a(n

7 2

) 1 2 a(n

4 1 3) 7

a(n  



 

 



 



 

 





1 1) 2 a(n

) 1 2 4 a(n

3) 7 a(n

1 2 a(n)

) 1 1 4 a(n

2) 7 a(n











(20)

Przykład

Wielomian charakterystyczny tego równania ma postać

2 1 4

x 5 4 x 11

P(x) 

³



²

 x 

(21)

Przykład

Ponieważ

to pierwiastkami są x=-1/4, x=1, x=2

2) 1)(x

4 (x x 1

P(x)   



 

  



(22)

Przykład

Zatem

n 3 n

2 n

1

C 1 C 2

4 C 1

a(n)   



 

 



(23)

Przykład

Brakujące współczynniki wyznaczamy z układu trzech równań liniowych

dla a(0)=1, a(1)=1, a(2)=13/4



















 



 







 



 







a(2) 4C

C 4 C

1

a(1) 2C

C 4 C

1

a(0) C

C C

3 2

1 2

3 2

1

3 2

1

(24)

Przykład

Ostatecznie

C

₁

=4/5, C

₂

=-4/5, C

₃

=1

a z tego rozwiązaniem rozważanego równania jest

n n

5 2 4 4

1 5

a(n) 4   



 

 



(25)

Funkcje tworzące

(26)

Definicja

Rozważmy ciąg liczbowy {a(n)}. Wówczas

nazywamy zwykłą funkcją tworzącą lub krótko funkcją tworzącą.



^



0 n

a(n)x

n

f(x)

(27)

Uwagi

Funkcje tworzące mają zatem postać szeregów potęgowych.

Dla każdego takiego szeregu istnieje liczba rzeczywista R0, zwana

promieniem zbieżności,

taka że jeśli |x|<R, to jest on absolutnie

zbieżny, a ponadto można go różniczkować

i całkować wyraz po wyrazie dowolną liczbę

razy.

(28)

Wzór Taylora

Zachodzi też wtedy wzór Taylora

0,1,....

n n! ,

(0) a(n) f

(n)



(29)

Uwagi

Niestety, gdy liczby a(n) są zbyt duże,

wówczas R=0 i funkcje tworzące stają się bezużyteczne. Tak jest na przykład, gdy

a(n)=n!.

Nietrudno zauważyć, że szereg

jest rozbieżny dla każdego x>0.



^

0 n

x

n

n!

(30)

Wykładnicza funkcja tworząca

Aby ominąć ten problem, wprowadza się wykładniczą funkcję tworzącą

której promień zbieżności jest zwykle dodatni.



^



0 n

n

n!

a(n) x

f(x)

(31)

Uwagi

Na przykład, jeśli a(n) jest liczbą wszystkich funkcji ze zbioru n-elementowego w siebie, czyli a(n)=nⁿ, to szereg

jest rozbieżny dla każdego x>0,



^

1 n

n n

x

n

(32)

Uwagi

ale szereg

jest zbieżny dla wszystkich x<1/e, ponieważ n

ⁿ

<n!e

^n.



^

1 n

n n

n!

n x

(33)

Uwagi

Wykładnicze funkcje tworzące stosuje się na ogół w przypadkach, o których wiemy lub spodziewamy się, że a(n) rośnie

szybciej niż wykładniczo.

Od tej pory będziemy zakładać, że |x|<R.

(34)

Przykład 1

Rozważmy ciąg: 1,2,4,8,16,…

a(n)=2

ⁿ

, n=0,1,....

Wówczas funkcja tworząca ciągu {2

ⁿ

} dana jest wzorem:















0 n

3 2

n

0 n

n n

2x - 1 ... 1

(2x) (2x)

2x 1

(2x)

x

2 f(x)

(35)

Przykład 2

Rozważmy ciąg: 1,2,3,4,5,…

a(n)=n+1, n=0,1,....

Wówczas funkcja tworząca ciągu {n+1}

dana jest wzorem:

 

²

' '

0 n

1 n 0

n

1 n

0 n

n

x - 1

1 x

1 x x

)' (x

1)x n

( f(x)

 



 





 

 

 



 













 









(36)

Przykład 3

Rozważmy ciąg:

Funkcja tworząca tego ciągu jest skończoną sumą i ma postać







 



 





^k



0 n

n

(1 x)

n x f(x) k

0,1,...

n n ,

a(n) k  



 



 

....

3 , , k

2 , k

1 , k

0 k 



 



 



 



 



 



 



 





(37)

Przykład 3

Innymi słowy, dwumian Newtona (1+x)

^k

jest zwykłą funkcją tworzącą ciągu

określającego liczbę n-wyrazowych kombinacji zbioru k-elementowego.

 

 





n

k

(38)

Przykład 4

Z drugiej strony

Tak więc (1+x)

^k

jest jednocześnie wykładniczą funkcją tworzącą ciągu

określającego liczbę n-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru k-elementowego.

n!

x n)!

(k x) k!

(1

k n

0 n

k











(39)

Przykład 5

Funkcja

jest wykładniczą funkcją tworzącą dla liczby n-wyrazowych wariacji z

powtórzeniami ze zbioru k-elementowego

nx n

0 n

n

e

n!

k x

f(x)  

^



(40)

Zastosowania

(41)

Rozwiązywanie równań rekurencyjnych

1.

Postać rekurencyjna ciągu

2.

Funkcja tworząca ciągu

3.

Postać zwarta funkcji tworzącej

4.

Rozwinięcie funkcji tworzącej w szereg Taylora

5.

Postać jawna ciągu (współczynniki

rozwinięcia funkcji tworzącej w szereg to

kolejne wyrazy ciągu)

(42)

Proste na płaszczyźnie

(43)

Proste na płaszczyźnie

Na ile spójnych obszarów dzieli

płaszczyznę n prostych, z których żadne

dwie nie są równoległe i żadne trzy nie

przecinają się w jednym punkcie?

(44)

Proste na płaszczyźnie

1. Układamy zależność rekurencyjną

Oznaczmy szukaną liczbę przez a(n).

Mamy a(0)=1 i a(1)=2. Prowadząc n-tą prostą przetniemy wszystkie n-1

poprzednie, a to oznacza, że przetniemy na dwie części n obszarów spójnych,

zwiększając tym samym liczbę obszarów o n.

(45)

Proste na płaszczyźnie

Zatem

a(n)=a(n-1)+n dla n1 2. Określamy funkcję tworzącą

Niech f(x) będzie funkcją tworzącą tego ciągu. Wtedy

n 1

n 0

n

x n) 1)

(a(n a(0)x

x a(n)

f(x)  

^















(46)

Proste na płaszczyźnie

3. Znajdujemy postać zwartą



























































)' x x(

a(n)x x

1 nx x

a(n)x 1

nx 1)x

a(n 1

n)x 1)

(a(n a(0)x

f(x)

0 n

n 0

n

1 n

1 - n 0

n

1 n

n 1

n

n 1 n

n 0

(47)

Proste na płaszczyźnie

Stąd

 

²

0 n

n

x 1 x 1 xf(x)

1 x )' 1

x( 1 xf(x)

1 )' x x(

xf(x) 1

 



 







 

^



(48)

Proste na płaszczyźnie

Zatem

czyli

 ¹ ¹ ^x 

²

x xf(x)

1 f(x)    

 ¹ ¹ ^x 

²

x 1

x) - f(x)(1

 



 ¹ ^x ^x 

³

x) - (1 f(x) 1

 



(49)

Proste na płaszczyźnie



^







 

 



  



1 n

n 0

n

x

2 1 x n

f(x)



^







 

 



  



0 n

n 0

n

x

2 2 x n

x f(x)



^



 



 

 



  



0 n

1 n 0

n

x

2 2 x n

f(x)

4. Rozwijamy funkcję tworzącą w szereg

(50)

Proste na płaszczyźnie

 

 



  

 2

1 1 n

a(n)

Ostatecznie

5. Wyznaczamy postać jawną ciągu

(51)

Skorzystaliśmy tutaj z rozwinięcia Taylora

gdzie dla dowolnej liczby rzeczywistej r

Proste na płaszczyźnie

n!

1) n

1)...(r r(r

n

r      

 







^



 

 



 



0 n

n

r

x

n x) r

(1

(52)

W szczególności

stąd

Proste na płaszczyźnie

 

 



  

 



 

 



 





2 2 1) n

n! (

2) (n

...

4 1) 3

n ( 3

-

_n _n

       

     



^













 

 



  

 



 



  



 



 













 

0 n

n 0

n

n n n

0 n

n n

3 3

2 x 2 x n

x 2 1

2 1) n

( x

x n 1

3 x -

x) (

1 x x

1 x 1 x

1 x

(53)

Wieża Hanoi

(54)

Wieża Hanoi

Niech a(n) będzie minimalną liczbą ruchów niezbędną do przeniesienia wieży

składającej się z n krążków.

1. Układamy zależność rekurencyjną

a(n)=2a(n-1)+1 oraz a(1)=1

(55)

Wieża Hanoi

2. Określamy funkcję tworzącą







































2 n

n n

2 n

n 2

n 1

n

x 1 x

1) 2a(n

x 1

x 1) 1)

(2a(n a(1)x

x

a(n)

f(x)

(56)

Wieża Hanoi

x 1

2xf(x) x

x x

a(n) 2x

x x

1) a(n

2x x

f(x)

1 n

n n

1 n

2 n

n 1

- n 2

n

 

































3. Znajdujemy postać zwartą

(57)

Wieża Hanoi

Stąd

2x) -

x)(1 (1

f(x) x

x 1

2x) x -

f(x)(1

x 1

2xf(x) x f(x)

 

 



(58)

Wieża Hanoi

  _ _  



^

















 



 



1 n

n n

1 n

n 1

n

x 2 1 x

2x

x) (1

x 2x)

- (1

2x

2x) -

x)(1 (1

f(x) x

4. Rozwijamy funkcję tworzącą w szereg

(59)

Wieża Hanoi

5. Wyznaczamy postać jawną ciągu a(n)=2

ⁿ

-1

(60)

Podzbiory bez sąsiadów

(61)

Podzbiory bez sąsiadów

Ile podzbiorów zbioru

[n]={1,2,...,n},

wliczając zbiór pusty, nie zawiera

sąsiednich liczb?

(62)

Podzbiory bez sąsiadów

1. Układamy zależność rekurencyjną

Oznaczmy szukaną liczbę przez a(n) i

podzielmy wszystkie podzbiory tego typu na dwie klasy: te do których nie należy liczba 1, i te do których 1 należy.

Tych pierwszych jest tyle, ile podzbiorów bez sąsiadów zbioru {2,...,n}, a więc a(n-1).

Tych drugich jest tyle, ile podzbiorów bez sąsiadów zbioru {3,...,n}, a więc a(n-2).

(63)

Podzbiory bez sąsiadów

Zatem

a(n)=a(n-1)+a(n-2) przy warunkach początkowych

a(0)=1 i a(1)=2

(64)

Podzbiory bez sąsiadów

2. Określamy funkcję tworzącą

Dla a(0)=a(1)=1 funkcja tworząca ciągu Fibonacciego przyjmuje postać

n 2

n

n 2

n 1

n 0

n

x 2)) a(n

1) (a(n

x 1

x 2)) a(n

1) (a(n

a(1)x a(0)

x a(n) f(x)



































(65)

Podzbiory bez sąsiadów

f(x) x

xf(x) 1

x a(n) x

1 x

a(n) x

a(n) 1

x a(n) x

a(n) x

1

x 2) a(n

x 1) a(n

x 1

x 2)) a(n

1) (a(n

x 1 f(x)

2

n 0

n 2 n

0 n 2

n 0

n 1 n 0

n

2 n 0

n 1 n 1

n

n 2

n n 2

n

n 2

n















































 



 



 



 















3. Znajdujemy postać zwartą

(66)

Podzbiory bez sąsiadów

Stąd

gdzie

x a 1

5 a 1

x a 1

5 a 1

x x

1 f(x) 1

2 2

1 1

2





 



 

 

2 5 a 1

2 i 5

a

₁

 1 

₂

 

(67)

Podzbiory bez sąsiadów



^





 





 





 



 

  

 



 

  

0 n

n 1

n

2 x 5 1

5 1 2

5 1

5 f(x) 1

4. Rozwijamy funkcję tworzącą w szereg

5. Wyznaczamy postać jawną ciągu

1 n 1

n

2 5 1

5 1 2

5 1

5 ) 1

n ( a



 



 

  

 



 

  

(68)

Twierdzenie o rekursji

uniwersalnej

(69)

Twierdzenie o rekursji uniwersalnej

Niech a1, b>1 będą stałymi, f:NR

⁺

{0} pewną funkcją i niech T(n) będzie równaniem

rekurencyjnym postaci

T(n)=aT(n/b)+f(n),

gdzie n/b tratujemy jako n/b albo n/b wtedy

(70)

Twierdzenie o rekursji uniwersalnej



jeżeli f(n)=O(n

^log[b]a-

) dla pewnej stałej >0, to T(n)=(n

^log[b]a

)



jeżeli f(n)=(n

^log[b]a

) dla pewnej stałej >0, to T(n)=(n

^log[b]a

lgn)



jeżeli f(n)=(n

^log[b]a+

) dla pewnej stałej >0, to T(n)=(f(n))

pod warunkiem, że af(n/b)cf(n) dla pewnej

stałej c<1 i wszystkich dostatecznie dużych n.

(71)

Przykład

Rozważmy równanie

T(n)=3T(n/3)+n

³

+n.

Wówczas a=3, b=3, f(n)=n

³

+n.

Zauważmy, że f(n) = (n

^1+

) dla =2.

Zatem

T(n)=(f(n))=(n

³

+n) Przyjmujemy, że c=2/3:

3f(n/3)=n

³

/9+n  2/3(n

³

+n)=2/3f(n).

(72)

Zadania

(73)

Zadanie 1

Wyznaczyć liczbę a(n) ciągów binarnych

długości n, w których żadne dwa zera nie

występują obok siebie.

(74)

Zadanie 1

a(1)=2 – ciągi 1; 0

a(2)=3 – ciągi 01; 10; 11

a(3)=??

(75)

Zadanie 1

a(1)=2 – ciągi 1; 0

a(2)=3 – ciągi 01; 10; 11

a(3)=5 – ciągi 011; 101; 111; 010; 110

a(n)=a(n-1)+a(n-2) dla n>2

(76)

Zadanie 1

Wielomian charakterystyczny tego równania ma postać

Pierwiastkami tego wielomianu są

2 5 x 1

2 oraz 5

x

₁

1

₂



 



1 x

x

P(x) 

²

 

(77)

Zadanie 1

Zatem

n 2

n

1

2 5 C 1

a(n) 





 

  

 



 

  

(78)

Zadanie 1

Brakujące współczynniki wyznaczamy z układu dwóch równań liniowych

dla a(1)=2, a(2)=3











 







  







 

 







  







 

) 2 ( 2 a

5 C 1

2 5 C 1

) 1 ( 2 a

5 C 1

2 5 C 1

2

2 2

1

2 1

1

(79)

Zadanie 1

Ostatecznie

a z tego rozwiązaniem rozważanego równania jest

n n

2 5 1

5 2

3 5

2 5 1

5 2

3 a(n) 5 





 

  





 

 

 





 

  





 

 



5 2

3 C 5

5 oraz 2

3 C

₁

 5 

₂

 

(80)

Zadanie 2

Wyznaczyć liczbę a(n) ciągów ternarnych (złożonych z cyfr 0,1,2) długości n,