Zestaw 1 Ci

Zestaw 1 Ciągi liczbowe Zadanie1

Obliczyć granicę lim _n

n a

→∞ , jeśli a _n = a. 1 3 3 ² ₂ ... 3

1 6 6 ... 6

n n

+ + + +

+ + + + b. 2 4 8 ... 2

2

n n

+ + + +

c. 3 2 ⁴ ₃ 2 3

n n

n n

⋅ +

⋅ + d. 4 ¹ 5 ²

5 4

n n

n n

+ − +

− Zadanie 2

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę ciągu lim _n

n b

→∞ , jeśli b _n =

a. 2 3 ₄

4

n n

n n n

+

+ b. ^{2 n} 4 ⁿ + n ⁴ c. ⁿ 2 ⁿ + + 3 ⁿ sin n d. 2 5

3 4

n n

n n n

+

+

e. ⁿ 1 2 + ⁿ + 5 ^{− n} f. ⁿ 2 5 ⋅ + ⁿ 3 sin ⁿ n ² g. ⁿ 2 ^{− n} + 3 ^{− n} + 6 ^{− n} h. ⁿ n ² + sin ! n

i.

2 2

2 sin ( 1) ⁿ

n n

n +

+ − j. ⁿ e ⁿ + + 3 ⁿ π ⁿ k. ⁿ 1 ¹⁰ + 2 ¹⁰ + + ... n ¹⁰ l. 1 ^{1 1} ... ¹

n 2 3

+ + + + n

m. 4 4 4

1 1 1

1 2 ...

n + n + + n n

+ + + n. ⁿ 2 ^{2 n} + 3 ⁿ

Zadanie 3

Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym obliczyć lim , _n

n c

→∞ jeśli c _n =

a. 1 ₂ 1 1

3 1 3 + 2 + + ... 3 ⁿ n

+ + + b. 1 1 ₂ 1

(1 )(1 )...(1 )

3 3 3 ⁿ

− − − c. ₃

3 2 3 2

1 1 1

1 + 2 + + ... n

Zadanie 4

Korzystając z definicji funkcji exp obliczyć lim _n

n e

→∞ , jeśli e _n =

a. 4 5

4 7

n n

n

 + 

 + 

  b.

2 sin

3

n n

n n

+ −

 

 − 

  c.

3

2

2 2

2 1 n n

n

 + 

 + 

  d.

3 1

5 3 n n

n + +

 

 + 

  e.

6 3

2 5

2 1

n n

n + +

 

 + 

  f.

9 7

3 3

3 1

n n

n + +

 

 + 

 

Zadanie 5 Obliczyć lim , _n

n d

→∞ jeśli d _n =

a. ⁵

5

1 1 1 n n

+

+ + b. 9 ⁿ + 3 ⁿ − 9 ⁿ + 1 c.

3 2

1 sin

n

n

 + 

 

  d. 3

cos 1

n n

 − 

 

 

e. 16 n ² + 5 n + − 4 4 n f. ^{2 ! 3} ( 3)! 1

n n n

+

+ + g. ³ 2 cos ! ₃ ²

3 1

n n n

n

−

+ h. ^{3 3}

2

(2 1) 8 2

(5 3) 7

n n

n n

+ +

+ +