Ruch drgajcy.

Pełen tekst

(1)Ruch drgający. 11.. 11-1. Ruch drgający. Ciało jest sprężyste, jeżeli odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy bardzo dużych wartościach działającej siły (a dokładniej: naprężenia) odkształcenie staje się trwałe. Mówimy wtedy o plastyczności ciała. Jeszcze większe siły (naprężenia) mogą wywołać zniszczenie ciała (np. rozerwanie rozciąganego pręta). Prawo Hook’a wiąże wielkość siły i odkształcenia przez nią wywołanego. W przypadku liniowo rozciąganego pręta ma ono postać:. F = k ⋅ ( l − l0 ) Prawo Hook’a obowiązuje tylko w zakresie sprężystości (odkształceń odwracalnych). Stała k nazywa się współczynnikiem sprężystości i ma wymiar. N   m  .. Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):. F = −k ⋅ (l − l0 ). Położenie ciała będziemy określali względem położenia, w którym długość sprężyny wynosi l0, np. x = l − l0 ..

(2) Ruch drgający. 11-2. Wtedy. F = −k ⋅ x. Siła harmoniczna. określa wielkość siły działającej na ciało w funkcji jego położenia. Siłę, która w taki sposób zależy od położenia nazywamy siłą harmoniczną, a ruch jaki wykonuje ciało pod wpływem działania takiej siły nazywa się ruchem drgającym harmonicznym albo prostym. Położenie, w którym sprężyna nie jest napięta (F = 0) nazywa się położeniem równowagi. Jeżeli masę m przymocowaną do sprężyny przesuniemy do położenia x0 i następnie w chwili t = 0 zwolnimy, to będzie ona wykonywała ruch drgający harmoniczny a położenie będzie zmieniało się w czasie zgodnie ze wzorem:. x = x0 ⋅ cos(ω ⋅ t ). gdzie ω =. k . m. Mówimy, że ciało wykonuje drgania wokół położenia równowagi. Równanie toru ruchu harmonicznego wynika z II zasady dynamiki.. d 2 x (t ) F = m⋅a = m dt 2. d 2 x(t ) m = F ( x, t ) dt 2. równanie różniczkowe ruchu.

(3) Ruch drgający. 11-3. W naszym przypadku równanie ruchu ma postać następującą:. d 2 x (t ) m = − k ⋅ x (t ) dt 2 d 2 x (t ) k = − ⋅ x(t ) 2 m dt. równanie różniczkowe II stopnia (liniowe). d 2 x (t ) = − x (t ) dt 2. druga pochodna jest równa funkcji z przeciwnym znakiem. Oczywistą kandydatką na rozwiązanie takiego równania różniczkowego jest funkcja sinus lub cosinus. Sprawdzimy czy rzeczywiście tak jest.. x(t ) = x0 ⋅ cos(ω ⋅ t ) dx = − x0 ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t ) dt d 2x = − x0 ⋅ ω 2 ⋅ cos(ω ⋅ t ) = −ω 2 ⋅ x (t ) 2 dt Czyli funkcja x (t ) = x0 ⋅ cos( drgającego harmonicznego.. k m. ⋅ t ) jest rozwiązaniem równania ruchu.

(4) Ruch drgający. 11-4. Wykres funkcji x = A ⋅ cos(ω ⋅ t ). dla ω =. 1.00. 2π -1 s 6. x(t)/A. 0.50. 0.00. -0.50. -1.00 0.0. 3.0. 6.0. 9.0. t. 12.0. 15.0. 18.0. W ogólnym przypadku masa m może się poruszać w chwili t = 0, wtedy. x(t ) = A ⋅ cos(. k m. ⋅ t + ϕ0 ). ogólne rozwiązanie równania różniczkowego. Gdzie stałe A i ϕ0 mają wartości wynikające z warunków początkowych ruchu, tzn. wartości położenia i prędkości w chwili początkowej:.  x (t = 0) = x0  v(t = 0) = v0 Maksymalna wartość wychylenia z położenia równowagi wynosi A i nazywa się amplitudą drgań. Współczynnik ω nazywa się częstością (kołową) drgań. Wyrażenie (ω ⋅ t + ϕ 0 ) nazywa się fazą drgań - ϕ 0 jest fazą początkową drgań..

(5) Ruch drgający. 11-5. Położenie, prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym. T ⋅ ω = 2π. ω=. x(t)/A 1.0. 0.0 0.0. 0.5. t/T. 1.0. -1.0 0.25 v(t)/ vmax. prędkość jest przesunięta w fazie o −. 1.0. π 2. 0.0 0.0. 0.5. 1.0. t/T. -1.0. a(t)/amax. 0.50 przyspieszenie jest przesunięte w fazie o − π. 1.0. 0.0 0.0 -1.0. 0.5. 1.0. t/T. 2π T.

(6) Ruch drgający. 11-6. Ponieważ okres funkcji sinus lub cosinus wynosi 2π, to okres drgań T spełnia zależność:. ω ⋅ T = 2π czyli. T=. 2π ω. albo ω =. W rozważanym przykładzie:. T = 2π. m k. 2π T.

(7) Ruch drgający. 11-7. Małe drgania wokół położenia równowagi. Wahadło matematyczne – w położeniu równowagi masa m znajduje się pionowo pod punktem zaczepienia. Każde inne położenie nie jest trwałe. Siła jaka zawraca masę m do położenia równowagi jest wypadkową siły ciężkości i naprężenia nici.. Fs = m ⋅ g ⋅ sin α - siła zawracająca Fr = m ⋅ g ⋅ cosα - równoważona napięciem nici.

(8) Ruch drgający. 11-8. Jeżeli amplituda drgań nie jest zbyt duża (αmax ≤ 0,1 (~6°)), to możemy zapisać następujące przybliżone związki:. x = l sin α ≈ lα | Fs |= mg sin α ≈ mgα mg x l d 2x mg m 2 ≅− x l dt d 2x g x ≅ − dt 2 l Fs ≅ −.  g  x ≅ x0 cos ⋅t l  . mg x l d 2x mg m 2 =− x l dt d 2x g = − x dt 2 l F =−. ω≅. g l. T ≅ 2π. ω=. g l. T = 2π. l g. x = x0 cos(ω ⋅ t ) l g. W rzeczywistości okres drgań wahadła matematycznego zależy od amplitudy..

(9) Ruch drgający. 11-9. Energia układu drgającego. Na energię drgającego układu składa się energia potencjalna sprężyny o współczynniku sprężystości k zależna od jej wydłużenia (skrócenia) oraz energia kinetyczna masy m. Jeżeli rozciągamy sprężynę, to musimy wykonać pracę przeciw sile F = −kx , działając siłą F ' = − F = kx. ∆W = k ⋅ x ⋅ ∆x. 1 kx02 W = ∑ ∆W = k ⋅ x0 ⋅ x0 = 2 2. Wykonana praca zwiększa energię potencjalną układu drgającego, która wynosi:. kx 2 1 2 = kx0 cos 2 (ωt ) EP ( x) = 2 2.

(10) Ruch drgający. 11-10. Drugim składnikiem energii całkowitej jest energia kinetyczna poruszającej się masy (przy założeniu, że sama sprężyna jest nieważka).. mv 2 1 1 = m( − x0ω sin(ωt )) 2 = mω 2 x02 sin 2 (ωt ) EK = 2 2 2 1 1 EC = E K + E P = mω 2 x02 sin 2 (ωt ) + kx02 cos2 (ωt ) 2 2. k = ω 2m. [. ]. 1 1 1 EC = mω 2 x02 sin 2 (ωt ) + cos2 (ωt ) = mω 2 x02 = kx02 2 2 2 W odosobnionym układzie drgającym energia całkowita nie zmienia się. Zachodzi ciągła wzajemna przemiana energii potencjalnej w kinetyczną i kinetycznej w potencjalną. Energia całkowita jest równa maksymalnej energii potencjalnej w skrajnym położeniu. 1 EC = E P max = kx02 2 albo maksymalnej energii kinetycznej w chwili przejścia przez położenie równowagi. 1 2 1 EC = EK max = mvmax = mω 2 x02 2 2 E P max = E K max Oba składniki energii całkowitej zmieniają się w taki sam sposób, są tylko przesunięte w fazie o. T π (lub w czasie o ). Zatem równe są też 2 4. średnie wartości tych energii. EP = EK co ma istotne znaczenie w teorii ciepła właściwego ciał stałych. Uwaga! W przypadku układów drgających z tłumieniem równość występuje tylko w warunkach rezonansu..

(11) Ruch drgający. 11-11. Dla dowolnego układu stan (położenie) równowagi odpowiada minimum energii potencjalnej.. dE P ( x0 ) = 0 warunek minimum dx. F =−. dE P dx. ogólny związek między siłą a energią potencjalną. W otoczeniu minimum funkcję EP(x) rozwijamy w szereg potęgowy. E P ( x0 + ∆x ) = E0 + E P '⋅∆x + 12 E P "⋅∆x 2 + ! Siła jaka pojawia się przy niewielkiej zmianie położenia. F =−. dE P ≈ − E P "⋅∆x dx. ma taki sam charakter jak siła harmoniczna..

(12)