Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O LITE C H N IK I Śl.ASKTFf Seria: A U T O M A T Y K A z. 115
1994 N r kol. 1251
T ad eu sz SA W IK
A k a d e m ia G ó rn ic z o -H u tn ic z a
M O D ELE ZADAŃ RÓW NOW AŻENIA OBCIĄŻEŃ MASZYN W ELASTY CZN Y CH SYSTEM ACH M ONTAŻOW YCH1
S tre sz c z e n ie : W p ra c y p rzed staw io n o m o d ele p ro g ram o w an ia calkow itoliczbow e- go d la p ro b le m u ró w n o w ażen ia o b ciąż eń m aszy n w ela sty c z n y m sy ste m ie m o n tażo w y m . Z asto so w an ia p ro p o n o w an y ch m odeli ilu s tru ją p rzy k ład y liczbowe.
IN T E G E R PR O G RA M S FO R DESIGN AND BALANCING OF FLEX IB LE ASSEMBLY SYSTEMS
S u m m a ry : T h e p a p e r p re se n ts several in teg er p ro g ra m m in g fo rm u latio n s for th e design an d b a la n c in g o f flexible assem b ly sy stem s. N u m erical ex am p les are p re se n te d to illu s tra te a p p lic a tio n s o f th e various m odels proposed.
M OD ELES P O U R EQ U ILIBRA G E LES SYSTEM ES DE ASSEM BLAGE FLEXIBLE
R e su m e : N ous p ré s e n to n s les p ro g ra m m e s linéaires à variables bivalentes p o u r a llo c a tio n des pièces e t é q u ilib ra g e d a n s un sy s tè m e d ’assem blage flexible. Des ex em p les p ré se n té s d é m o n tre n t les a p p lic a tio n s des m odèles proposés.
1. W p r o w a d z e n ie
E la sty c z n y s y s te m m o n ta ż o w y (E S M ) je s t ciągiem stacji m ontażo w y ch p o łączonych przez z a u to m a ty z o w a n y s y s te m p o d a w a n ia i tr a n s p o rtu m a te ria łó w , w k tó ry m jed n o cz eśn ie m o g ą być m o n to w a n e ró żn e ty p y w yrobów . K a ż d a s ta c ja sk ła d a się z je d n e j lub k ilku m a szyn p ra c u ją c y c h rów nolegle, zw ykle ro b o tó w m ontażo w y ch oraz u rząd zeń pom o cn iczy ch ta k ic h , ja k z m ie n ia c z e p a le t, p o d a jn ik i części składow ych, m ag az y n k i chw ytaków . S ta c ja d y sp o n u je o g ra n ic z o n ą p rz e s trz e n ią ro b o czą, w k tó rej m o ż n a pom ieścić og ran iczo n ą liczbę różnych p o d a jn ik ó w części, co z kolei o g ran icza liczbę m ożliw ych do w y k o n an ia o p eracji m o n tażo w y c h .
P ro ces m o n ta ż u p rz e b ie g a n a stę p u ją c o . C zęść bazow a m ontow anego w yrobu po zam o c o w aniu n a p alec ie je s t w p ro w a d z a n a do sy s te m u przez sta c ję zała d o w czo /w y ład o w czą. P a le ta w raz z częścią b a z o w ą p rz em ieszcza się n a tr a n s p o rte rz e lu b w ózku A G V o d w ie d z a ją c kolejne sta c je , n a k tó ry c h do części bazow ej m o n tu je się kolejne ele m e n ty składow e. Po
'P r a c a b y ła finansow ana przez K BN , g ra n t n r 6 8 1 /S 5 /9 3 /0 5 .
z a m o n to w a n iu w szy stk ich elem en tó w p a le ta w raca do sta c ji załad o w czo /w y ład o w czej i g otow y w yrób o p u sz c z a sy ste m .
N ajczęściej sp o ty k a n y m ty p e m elasty czn eg o sy s te m u m ontażow ego je s t tzw . e la s ty c z n a lin ia m o n ta ż o w a b ę d ą c a jed n o k ie ru n k o w y m sy s te m e m ty p u przepływ ow ego, w k tó ry m część b azo w a przech o d zi kolejno przez sta c je 1 ,2 , . . . M aż do zak o ń czen ia m o n ta ż u , o m ija ją c n ie k tó re ,a le nie p o w ra c a ją c do sta c ji raz o d w iedzanych.
W p ra c y p rz e d s ta w io n o m o d ele p ro g ra m o w a n ia calkow itoliczbow ego d la p ro b lem u o b c ią ż e n ia m a s z y n p o leg ająceg o n a w y zn aczen iu tak ieg o ro zd ziału części składow ych p o m ięd zy s ta c je m o n tażo w e i p rz y d z ia łu do nicli o p eracji m o n tażo w y c h , d la którego o b c ią ż e n ia w szy stk ich sta c ji z o s ta n ą zrów now ażone (n p . [2, 4]). In n y m często stosow a
n y m k ry te riu m je s t m in im u m przem ieszczeń m o n to w an y ch w yrobów p o m ięd zy s ta c ja m i.
J e d n a k m oże o n o z kolei pro w ad zić do n ieró w n o m iern eg o o b c ią ż e n ia m aszy n .
W p ra k ty c e p ro b le m o b c ią ż e n ia m aszy n w ESM łączy się często z p ro b le m e m w y
b o ru o p ty m a ln e j k o nfiguracji sy s te m u , p o le g a ją c y m n a w y zn aczen iu liczby i ty p ó w sta c ji m o n ta ż o w y c h w chodzących w sk ład s y s te m u w raz z jed n o c z e sn y m p rz y d z ia łe m o p eracji.
T aki p ro b le m ro zw iązy w an y je s t głów nie w p rz y p a d k u sta b iln e g o a s o rty m e n tu m o n to w a nych w yrobów , n p . [3]. W p ra c y p rz e d sta w im y rów nież m odele d o ty czą ce tego z a d a n ia .
W zależności od k o nfiguracji E S M , p lan u p ro cesu m o n ta ż u w yrobów i org an izacji m o n ta ż u , m o d ele z a d a ń o b c ią ż e n ia m aszy n m o ż n a p o d zielić n a n a s tę p u ją c e klasy:
A . M odele b ez a lte rn a ty w n y c h m a r s z ru t m o n ta ż u , w k tó ry ch każdy ty p części je s t p rz y d z ie la n y do ty lk o je d n e j m aszyny.
1. M o d ele d la ela sty c z n y c h linii m on tażo w y ch : jed n o k ieru n k o w y p rzep ły w w y
robów b ez p o w ro tó w do o d w ied zan y ch sta c ji.
2. M o d ele d la ogólnych e la sty czn y ch sy stem ó w m on tażo w y ch : p rzep ły w w yrobów z m ożliw ością w ielo k ro tn eg o o d w ie d z a n ia sta c ji.
B . M odele z a lte rn a ty w n y m i m a r s z ru ta m i m o n ta ż u , w k tó ry c h d o p u sz c z a się a lte r n a ty w n e p rz y d z ia ły części do m a sz y n .
1. M odele d la ela sty c z n y c h linii m o n tażo w y ch z m a sz y n a m i rów noległym i: je d n o k ieru n k o w y p rzep ły w w yrobów bez p ow rotów do o d w ied zan y ch s ta c ji.
2. M o d ele d la ogólnych e la sty czn y ch sy stem ó w m o n tażo w y c h : p rzep ły w w yrobów z m ożliw ością w ielo k ro tn eg o o d w ie d z a n ia sta c ji.
C . M o d ele o p ty m a liz a c ji k onfiguracji s y s te m u z je d n o c z e sn y m rów now ażeniem o bciążeń s ta c ji w p rz y p a d k u sta b iln e g o a s o r ty m e n tu m o n to w an y ch w yrobów .
W p ro p o n o w an y ch m o d e la c h (z w y ją tk ie m m o d elu M 3 ) p rz y ję to założenie, ż e o g ran icze
n ia kolejnościow e d la w sz y stk ic h ty p ó w m o n to w an y ch w yrobów m o ż n a re p re z e n to w a ć z a p o m o c ą je d n e g o w spólnego g ra fu super-ograniczeri kolejnościow ych,będącego p o łą c z e n ie m grafów o g ra n ic z e ń kolejnościow ych d la w szy stk ich ty p ó w w yrobów .
2. O p t y m a l i z a c j a o b c ią ż e ń m a s z y n i p r z e p ły w ó w m i e d z y o p e r a c y j n y c h
W E S M czasy w y k o n y w an ia o p e ra c ji m o n tażo w y c h n a ogół s ą k ró tk ie i p o ró w n y w aln e z c z a sa m i p rz e m ie s z c z a n ia p a le ty z w y ro b e m p o m ięd zy s ta c ja m i. W re z u lta c ie k ażd y w ózek
M odele z a d a ń ró w n o w ażen ia o b ciąż eń m aszy n w ESM
115
AG V je s t p rz y p isa n y do p a le ty z m o n to w a n y m p rz e d m io te m od p o c z ą tk u d o końca procesu m o n ta ż u , p o r. [5]. W celu o sią g n ię c ia n ajlep szeg o w y k o rzy stan ia m a sz y n , a w re z u lta c ie n a jk ró tsz e g o czasu w y k o n a n ia zad an eg o zb io ru w yrobów , w ESM o p ty m a ln e obciążenie m a sz y n p o w in n o u w zg lęd n iać zaró w n o czasy m o n ta ż u części,jak i czasy przem ieszczan ia p a le t z w y ro b a m i p o m ię d z y s ta c ja m i.
Po n iżej p rz e d s ta w io n o trz y m o d ele zad ań o b c ią ż e n ia m aszy n , k tó ry c h celem je s t je d n o c z e s n a o p ty m a liz a c ja o b ciąż eń sta c ji m o n tażo w y ch i przepływ ów p om iędzy nim i.
P ierw sze d w a m o d e le M l i M 2 d o ty c z ą elasty czn y ch linii m on tażo w y ch , w k tó ry c h m o n to w an e w y ro b y n ie w ra c a ją do w cześniej o d w ied zan y ch sta c ji. W m o d elu M l każda s ta cja je s t p o je d y n c z ą m a s z y n ą , zaś w m o d elu M 2 s ta c ja m oże sk ład ać się z kilku m aszyn p ra c u ją c y c h rów nolegle. M odel M 3 d o ty czy ogólnego elasty czn eg o sy stem u m ontażow ego, w k tó r y m d o p u sz c z a się p o w ro ty m o n to w an y ch w yrobów do w cześniej o dw iedzanych sta c ji.
W m o d e la c h M l i M 2 o g ra n ic z e n ia kolejności m o n ta ż u części składow ych re p rezen to w an e s ą p rzez je d n o su p e r-o g ra n ic z e n ie kolejnościow e w spólne d la w szystkich ty p ó w m o n to w a
nych w yrobów , zaś w m o d e lu M 3 w p ro w ad za się in d y w id u a ln e o g ran iczen ia kolejnościow e d la każdego ty p u w y ro b u .
O z n a c z e n ia p o d staw o w y ch p a ra m e tró w i zm ien n y ch w y stęp u jący ch w proponow anych m o d elach zam ieszczo n o w ta b lic y 1.
M o d e l M l : R ó w n o w a ż e n i e obciążeń stacji i m in im alizacja przepływów m ię dzy sta dia l- nych w e la sty czne j linii m o n ta ż o w e j
Z m in im alizo w ać
M K
P Q m a x = a C max + { l - a ) Y i J ^ d hy , k (1)
t = l k= 1 p rz y o g ra n ic z e n ia c h
£ £ Vi (2)
k=i jeJk
M
X > .y = l; Vj (3)
i = l
Vi (4)
t= i
M M
Y i x ii ^ Y ix i r ' v0’>r ) S R (5)
1=1 1=1
y i k > X i j ; (6)
€ {0 ,1 }; W i , j (7)
y.fc S {o, 1}; V t , i (8)
F u n k c ja celu P Q max (1) zap e w n ia zrów now ażenie obciążeń w szy stk ich sta c ji z uw zg lęd n ie n iem łącz n ej liczby o d w ied zin różnych sta c ji p rzez w szy stk ie m ontow Ta n e w y
ro b y (0 < q < 1 o z n a c z a w sp ó łczy n n ik w agi). O g ran iczen ie (2) w y zn acza o b ciąż en ie C mal s ta c ji b ę d ą c e j w ąsk im g a rd łe m sy s te m u . O g ran iczen ie (3) zapew mia p rz y d z ia ł części każdego ty p u d o ty lk o je d n e j s ta c ji, zaś (4) uw zględnia o g ran iczo n ą liczbę p o d a jn ik ó w p rzy każdej s ta c ji. O g ra n ic z e n ie (5) z a p e w n ia zachow anie kolejności m o n ta ż u części składow ych w je d n o k ie ru n k o w y m sy s te m ie przepływ ow ym b ez p o w ra c a n ia w y ro b u do sta c ji w cześniej o d w ie d z a n y c h . Jeżeli części ty p u r p rzy d zielo n o d o sta c ji t, to części każdego ty p u j , k tó re
T ablica 1 O zn aczen ia
i _
I n d e k s y
ty p sta c ji m o n tażo w ej (s ta d iu m m o n ta ż u ) (i = 1 , . . . , M ) j ty p części składow ej ( j = 1 , . . . , N )
h = n u m e r rów noległej m a sz y n y w s ta d iu m i, (h = 1 , . . . , m j)
k
= ty p m o n to w an eg o w yrobu ( k = 1d k _ P a r a m e t r y w e jś c io w e
z a p o trz e b o w a n ie n a w yrób ty p u k m , = lic z b a m aszy n w s ta d iu m i
Pik = czas m o n ta ż u części ty p u j w w yro b ie ty p u k 9.1 = czas tr a n s p o r tu części ze s ta d iu m i do s ta d iu m /
Si = lic z b a p o d a jn ik ó w części p rz y każdej m aszy n ie sta c ji ty p u i Jk = zb ió r ty p ó w części w chodzących w skład w yrobu ty p u k
R = zb ió r p a r ty p ó w części (j , r ) ta k ic h , że m o n ta ż części ty p u j m usi
0 ' max
b e z p o śre d n io p o p rz e d z a ć m o n ta ż części ty p u r Z m i e n n e d e c y z y j n e
długość cy k lu m ontażow ego
M,nax = lic z b a s ta c ji, do k tó ry c h p rzy d zielo n o części
m,max = liczb a m aszy n p rzy sta c ji i, do k tó ry c h przy d zielo n o części x ij 1, jeże li część ty p u j je s t p rz y d z ie lo n a do p o d a jn ik a p rzy sta c ji i ;
x ihj
—inaczej X{j = 0
1, jeże li część ty p u j je s t p rz y d zielo n a do p o d a jn ik a p rzy m aszy n ie
Pik =
h sta c ji i\ inaczej X i kj = 0
1, jeże li w y ró b ty p u k p rzech o d zi przez sta c ję i ; inaczej y,k = 0 Yn,k 1, je ż e li w y ró b ty p u k po w yko n an iu o p eracji j przechodzi ze sta c ji
Z\jk
i do sta c ji /; inaczej Yujk = 0
lic z b a w yrobów ty p u k p rzy słan y ch do sta c ji i w celu m o n ta ż u części ty p u j
należy z a m o n to w a ć p rz e d r po w in n y b y ć p rz y d zielo n e do sta c ji o n u m e rz e nie w iększym niż i. W a ru n e k (6) z a p e w n ia w y b ó r d la każdego ty p u w yrobu m a rs z ru ty p rzech o d zącej przez te sta c je , do k tó ry c h p rzy d z ie lo n o w y m a g a n e ty p y części.
M o d e l M 2 : R ó w n o w a ż e n i e obciążeń sta cji i przepły wów m iędzystadialnych w elastycz
nej linii m o n ta ż o w e j z m a s z y n a m i równoległymi Z m in im alizo w ać
P Q m>: (9)
p rzy o g ra n ic z e n ia c h
K K
<* £ £ d k P jk Z i j/ m i + (1 - a ) £ dky ik < P Q mtxx\ Vi (10)
k = l j ę j k 1=1
M
£ * o = i; v j ( i i )
i=l
M odele z a d a ń ró w n o w ażen ia o b c ią ż e ń m a sz y n w ESM 117
N
< m s r , Vt (12)
i= i
M M
^ ! > . > ; v ( j , r ) € / ? (13)
»=1 i = i
y i k > x i j \ V i , k , j e J k (14) z.-j £ { 0 ,1 ); V i , j y i k € { 0,1}; V ż ,t (15) F u n k c ja celu P Q max (9) re p re z e n tu je su m ę w ażoną (0 < a < 1) czasów m o n tażu i d opływ ów w yrobów do sta c ji będącej w ąskim g a rd łe m w sy s te m ie i określonej przez o g ra n ic z e n ie (10). P ierw szy sk ła d n ik o g ra n ic z e n ia (10) re p re z e n tu je o b c ią ż e n ie te j s t a cji, a d ru g i łą c z n ą liczbę o d w ied zin p rzez w szy stk ie m o n to w an e w yroby, k tó re w y m a g a ją m o n ta ż u części p rzy d z ie lo n y c h do tej s ta c ji. M ożna p rzy jąć, że d rugi sk ład n ik re p re z e n tu je łączn y czas dow ozu w yrobów do sta c ji d la p rz y p a d k u jed n o stk o w y ch czasów tr a n s p o rtu . O g ra n ic z e n ie (12) o z n acza, że liczb a różnych ty p ó w części przy d zielo n y ch do je d n e j s t a cji nie p rz e k ro c z y liczb y w szy stk ich p o d a jn ik ó w tej sta c ji. O g ra n ic z e n ia (11), (13) i (14) p e łn ią fu n k cje p o d o b n e ja k w m o d elu M l .
N a stę p n y m o d e l d o ty c z y ogólnego elasty czn eg o sy ste m u m ontażow ego z m ożliw ością w ielo k ro tn eg o o d w ie d z a n ia tej sam ej sta c ji przez d an y w yrób przy dow olnych, różnych o g ra n ic z e n ia c h kołejnościow ych d la ró żn y ch typów w yrobów . M odel te n uw zględnia szczegółow e czasy p rz e m ie s z c z a n ia w yrobów p o m ięd zy sta c ja m i i in d y w id u a ln e dla każdego ty p u w y ro b u o g ra n ic z e n ia kolejności m o n ta ż u części składow ych, co w w yniku prow adzi do u s ta le n ia szczegółow ych m a r s z ru t m o n ta ż u .
M o d e l M 3 : R ó w n o w a ż e n i e łącznego czasu m o n ta ż u i tr ansportu w ogólnym E S M Z m in im alizo w ać
P Q max (16)
p rz y o g ran iczen iach
a J 2 £ d kP jkiij + (1 - a ) dkquYiijk < PQm*x\ Vi (17) k = i j e Jk fc = i i f r j e J k
M
X > o = i; Vj (18)
i'=l
Y , X<3 - S>i Vl i 19)
J = 1
* y + x , r - Yiljk < 1; V*, Vż, /, / ć u V (j, >•) 6 R k (20) - Xii - x , T + 2Yuik < 0; V *, Vt, /, l ± i, V (j, r) € R k (21)
x , j £ {0,1}; V .\ j (22)
Yujk S {0 ,1 }; V « , / , i (23) F u n k c ja celu P Q mal (16) re p re z e n tu je su m ę w ażo n ą (0 < a < 1) czasów m o n ta ż u i tr a n s p o r tu w y zn aczo n y ch d la sta c ji będącej w ąsk im g a rd łe m w sy ste m ie i określonej przez o g ra n ic z e n ie (17). P ierw szy sk ła d n ik w o g ran iczen iu (17) re p re z e n tu je o b ciążen ie sta c ji b ę d ą c e j w ą sk im g a rd łe m , a d ru g i łączn y czas tr a n s p o r tu m o n to w an y ch w yrobów do te j s ta c ji. O g ra n ic z e n ie (18) z a p e w n ia p rz y d z ia ł części każdego ty p u do ty lk o je d n e j s ta c ji, zaś (19) u w z g lę d n ia o g ra n ic z o n ą liczb ę p o d a jn ik ó w części p rzy każdej sta c ji. W aru n k i
(20) i (21) z a p e w n ia ją w y b ó r d la każdego ty p u w y ro b u m a rs z ru ty p rzech o d zącej przez te sta c je , do k tó ry c h p o d a jn ik ó w p rzy d zielo n o kolejno m o n to w an e ty p y części. W aru n k i te p o śre d n io u w z g lę d n ia ją ró w n ież in d y w id u a ln e o g ra n ic z e n ia kolejnościow e d la każdego ty p u w y ro b u (Rh o z n a c z a zb ió r p a r ty p ó w częs'ci (j, r ) , k tó re w w y ro b ie ty p u k m u sz ą być m o n to w a n e ta k , a b y m o n ta ż j b ezp o śred n io p o p rz e d z a ł m o n ta ż r) .
Z p rz e d s ta w io n y c h d o tą d m odeli je d y n ie M 2 d o p u szcza p rz y p a d e k a lte rn a ty w n y c h m a r s z ru t zw iązan y z m ożliw ością jed n o cz esn eg o p rz y d z ia łu części teg o sam ego ty p u do k ilku rów noległych m a s z y n je d n e j s ta c ji. J e d n a k żad en z m odeli M l , M 2 , M 3 n ie d o ty czy p rz y p a d k u , w k tó r y m części te g o sam eg o ty p u je d n o cz eśn ie p rz y d z ie la n e są do różnych sta c ji, co u m o ż liw ia w y b ó r a lte rn a ty w n y c h m a r s z ru t w sy s te m ie bez rów noległych m aszy n . P o d a n y po n iżej m o d e l M 4 d o p u sz c z a d u b lo w an ie przy d ziałó w części do różnych sta c ji i w y z n a c z a a lte rn a ty w n e m a r s z ru ty z m ożliw ością pow rotów .
M o d e l M 4 : R ó w n o w a ż e n i e obciążeń sta cji dla m o n ta ż u z a lt e r n a t y w n y m i m a r s z r u ta m i
Z m in im alizo w ać
przy o g ra n ic z e n ia c h
(24)
Y Y Pjkzijk < cmax;
Vi 1=1 je J kM
Y x> 3 —
4; v ji=i
N
Y,
x 'j—
s‘ >3 = 1 M
x i j < Y x ‘" Vi, ( j , r ) ę R i=i
i
z /r < £ * . ; • ; V/, (j , r) e R 1=1
M
Y z 'ik = Wk, j e Jk
¿=1
có <
Y zak
< (Y dk)xij<
v * , j{ k : j e J k } {k:j£Jk}
Xij 6 { 0 ,1 ) ; W i j Zijk >
o,
i n t e g e r ; W i , j , k(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30) (31) (32) (33) F u n k c ja celu (24) z a p e w n ia zrów now ażenie o b ciąż eń w szy stk ich s ta c ji, a o g ran icze
n ie (25) w y z n a c z a o b c ią ż e n ie C max sta c ji będącej w ąsk im g a rd łe m sy s te m u . O g ra n ic z e nie (26) z a p e w n ia p rz y d z ia ł części każdego ty p u do co n a jm n ie j je d n e j s ta c ji, zaś (27) u w z g lę d n ia o g ra n ic z o n ą liczbę p o d a jn ik ó w części p rzy każdej sta c ji. O g ra n ic z e n ia (28) i (29) z a p e w n ia ją ta k i w ielo k ro tn y p rz y d z ia ł części skład o w y ch do s ta c ji, d la k tó reg o m o n ta ż każdego ty p u w y ro b u m o że o d b y w ać się b ez p o w ra c a n ia do sta c ji ra z o d w ie d z a nych. J e d n a k a b y zró w n o w aży ć o b c ią ż e n ia w g fu n k cji celu (2 4 ),n ależ y d o puścić m ożliw ość w y s tą p ie n ia m a r s z ru t z p o w ro ta m i. W y k o n a n ie w y m ag an y ch ilości w szy stk ich ty p ó w w y
robów z a p e w n ia o g ra n ic z e n ie (30), a w aru n k i (31) d la każdego ty p u w y ro b u z a p e w n ia ją
M odele z a d a ń ró w n o w ażen ia o b c ią ż e ń m a sz y n w ESM
119
w y b ó r z b io ru m a r s z r u t (z d o p u szczaln o ścią pow ro tó w ) p rzech o d zący ch p rzez te sta c je , do k tó ry c h p rzy d z ie lo n o w y m a g a n e ty p y części.
M odele M l , M 2 i M 3 , z ró żn y m i w arto ściam i p a ra m e tr u a ,o r a z m o d el M 4 zastosow ano do w y z n a c z e n ia o b c ią ż e ń m a sz y n i m a r s z ru t m o n ta ż u d la n a stę p u ją c e g o p rz y k ła d u .
P r z y k ł a d 1
R o zw ażm y E S M zb u d o w an y z M = 3 sta c ji m o n tażo w y c h , w k tó ry m m o n to w an e są K = 2 ty p y w yrobów w je d n a k o w y c h ilościach di = d 2 = 100 sz tu k w ciągu ok resu . W y ró b ty p u k = 1 w y m a g a p ięciu ty p ó w części skład o w y ch o n u m e ra c h 1,2,3,4,6, k tó re należy m o n tow ać w p o d a n e j kolejności, n a to m ia s t w yrób ty p u k = 2 w y m a g a m o n ta ż u czte rech ty p ó w części 1,2,5,6 w p o d a n e j kolejności. S u p e r-o g ran iczen ia kolejnościow e w spólne d la ró żn y ch ty p ó w w yrobów re p re z e n tu je n a s tę p u ją c y zb ió r p a r kolejno m o n to w an y ch typów części: R = { (1 ,2 ), ( 2 ,3 ) ,( 2 ,5 ) , (3 ,4 ) , (4 ,6 ) , (5 ,6 )} .
C zasy pjk m o n ta ż u części poszczególnych ty p ó w j w w y ro b ach różnego ty p u k są n a stę p u ją c e : p n - p n = 4, p21 = P22 = 2, p3, = 2, p 4i = 2, p 52 = 4, p61 = p62 = 2.
D la M l , M 2 i M 3 p rz y jm iem y , że k ażd a s ta c ja i, (i = 1 ,2 ,3 ) d y sp o n u je d w o m a (s; = 2), zaś d la M 4 c z te re m a (s; = 4) p o d a jn ik a m i części. S ta c je ro zm ieszczone są szeregow o w kolejności 1,2,3 w zd łu ż tr a s y p rz e ja z d u w ózka A G V . C zas tr a n s p o rtu w y ro b u p om iędzy są sie d n im i s ta c ja m i w ynosi 2 je d n o s tk i czasu, s tą d n a s tę p u ją c e w artości czasów qu p rz e m ie sz c z a n ia w y ro b u p o m ięd zy k a ż d ą p a r ą sta c ji i, l: q n — 921 = 2, 913 = 931 = 4, 923 = 932 — 2.
D la pow yższych d a n y c h w yzn aczo n o o b c ią ż e n ia u w zg lęd n ia jąc w yłącznie dop ły w y do s ta cji ( a — 0 ), łącz n ie czasy m o n ta ż u i do p ły w y do sta c ji ( a = 0.5) oraz w y łączn ie czasy m o n ta ż u ( a = 1).
P o n a d to w m o d e lu M 2 p rz y ję to , że k a ż d a s ta c ja sk ła d a się z dw óch m aszy n p ra c u ją c y c h rów nolegle, tz n . m ; = 2, i = 1 ,2 ,3 . O trz y m a n e w yniki zam ieszczono w ta b lic y 2.
3. O p t y m a l i z a c j a o b c ią ż e ń m a s z y n i k o n fig u ra c ji sy s
t e m u
P o n iżej p rz e d s ta w im y d w a m o d ele z a d a ń rów now ażenia o bciążeń sta c ji z je d n o c z e sn ą m in im a liz a c ją liczby s ta c ji. M odel M 5 d o ty czy elasty czn ej linii m ontażow ej z p o je d y n czym i m a s z y n a m i n a każdej s ta c ji, zaś m o d el M 6 linii zaw ierającej sta c je z m a sz y n a m i ró w n o leg ły m i.
M o d e l M 5 : O pty m a liz a cja konfiguracji i obciążeń elastycznej linii m o n ta żo w e j Z m in im alizo w ać
a C max + (1 - a ) A/mar (34)
p rzy o g ra n ic z e n ia c h
Y Y PikX‘i - Cma*'
Vi (35)k=i ieJk M
Y x 'i - 1; v i i 36)
i=i
v¿ (37)
2 = 1
Tablica 2 P rz y d z ia ły części do s ta c ji i m a rs z ru ty m o n ta ż u
M odel ( z m ,o g r ) ^
a P Q m « X (a) P rz y d z ia ły części l6* M a rsz ru ty *c) S ta c ja 1 S ta c ja 2 S ta c ja 3 W y ró b 1 W y ró b 2 M l
(26,47)
0 500 1,2 3,4 5,6 1,2,3 1,3
0.5 850 1,2 3,4 5,6 1,2,3 1,3
1 1200 1,2 3,5 4,6 1,2,3 1,2,3
M 2 (25,46)
0 200 1,2 3 ,4 ,5,6 - 1,2 1,2
0.5 300 1 2,3,4 5,6 1,2,3 1,2,3
1 400 1 2,5 3,4,6 1,2,3 1,2,3
M 3 (195,322)
0 400 2,5 1,6 3,4 2,1,3,2 9 1 9
0.5 600 1,2 3,5 4,6 1,2,3 1,2,3
1 1000 2,4 1,3 5,6 2,1,2,1,3 2,1,3
M 4
(46,94) - SOO 1,2,3,5 1,2,4,6 3 ,4 ,5,6
2,1,3 (36) 1,2 (1) 2,1,2,3 (34) 1,3,2 (63) 2,1,3,2,3 (30) 1,2,3,2 (36) (a) - d la M l P Q max u w zg lęd n ia łącz n ie dopływ y w yrobów do w szy stk ich sta c ji, zaś dla M2 i M 3 ty lk o d o p ły w y do sta c ji będ ącej w ąskim g a rd łe m ; d la M 4 P Q max = C max (b ) - n u m e ry ty p ó w części p rzy d zielo n y ch do sta c ji
(c) - n u m e ry kolejno o d w ied zan y ch s ta c ji, a d la M 4 d o d atk o w o liczb a sz tu k w y ro b u (d ) - lic z b a z m ien n y ch i lic z b a o g raniczeń
M M
- E 11»-; v ( j . r )6 ^ (38)
i=l i=l
ij ^ ^Tniori (39)
* y G (0 ,1 } ; V i ,j (40)
F u n k c ja celu (34) z a p e w n ia o siągnięcie k o m p ro m isu p o m ięd zy m in im a ln ą dłu g o ścią c y k lu C max a m in im a ln ą lic z b ą sta c ji m o n tażo w y c h M max, (0 < a < 1). D la a = 0 m in i
m a liz o w a n a je s t lic z b a s ta c ji, zaś d la a = 1 długości cyklu. O g ran iczen ie (35) zab e z p ie c z a k a ż d ą s ta c ję p rz e d o b c ią ż e n ie m p rz e k ra c z a ją c y m długość c y k lu m ontażow ego C max, a (39) w y z n a c z a n u m e r M mal o s ta tn ie j s ta c ji, do k tó re j p rzy d zielo n o części. O g ra n ic z e n ia (36), (37) i (38) p e łn ią fu n k cje p o d o b n e ja k we w cześniej p o d an y ch m o d elach .
M o d e l M6: O pty m a liz a cja konfiguracji i obciążeń elasty czn ej linii m o n ta ż o w e j z m a s z y n a m i równole głymi
Z m in im alizo w ać
M
&Cmax " b i l cr) j) j ni¿mar (41)
¿=1 p rz y o g ra n ic z e n ia c h
E E
K Pfk Xih j < C maI; Vt, h = 1, . . . , m i (42) k= 1 j '6 AE ^ ' = l ; V; (43)
¿=1
M odele z a d a ń ró w n o w ażen ia o b ciąż eń m asz y n w ESM
121
N
X} x¡j < m ,s ;; V¿
j= i
(44)
m ,
A j — y Xih i t í 711 ¡X, j : Vz, j (45)
h= 1 N
2 J X lll} < s,; Vż, h = 1 , . . . , m ; i=i
(46)
M M
¿ I ¿A j < Y l i x " \ V ( i , r ) € / i
i—i ] (47)
h X ihi l i ni,'mar, Vz, h, j (48)
iax/i77i ^ Vz > 1 (49)
A j 6 {0,1}; Vi, j (50)
X ih j € {0,1}; Vi, h , j (51)
P o d o b n ie ja k w p rz y p a d k u m o d e lu M 5 ; fu n k cja celu (41) ozn acza szu k an ie k o m p ro m isu p o m ięd zy m in im a ln ą d łu g o ścią c y k lu m o ntażow ego C max a m in im a ln ą liczb ą m aszy n U tL i mima*, do k tó ry c h p rzy d zielo n o części, (0 < a < 1).
O g ra n ic z e n ie (42) z a b e z p ie c z a k a ż d ą s ta c ję p rzed o b ciąż en iem p rz e k ra c z a ją c y m p rz y ję tą długość cy k lu m o n tażo w e g o C m al. O g ran iczen ie (4-5) za p e w n ia p rzy d ział części każdego ty p u do co n a jm n ie j je d n e j-i nie w ięcej niż w szystkich m aszyn tak iej sta c ji, do k tó rej p rzy d z ie lo n o części teg o ty p u . O g ran iczen ie (4G) o zn acza, że liczba typów części p rz y d zielo n y ch do je d n e j m a s z y n y nie m oże p rzek ro czy ć liczby p o d a jn ik ó w p rzy tej m aszy n ie.
O g ra n ic z e n ie (48) w y z n a c z a d la każdej sta c ji i n u m e r m lmal o sta tn ie j m aszyny, do k tó rej p rzy d z ie lo n o części składow e, a (49) d o p u szcza p rz y d z ia ł części do każdej n a stę p n e j sta c ji p od w a ru n k ie m w y k o rz y s ta n ia w szy stk ich rów noległych m aszy n sta c ji p o p rz e d n ie j. O g ra n ic z e n ia (4 3 ), (44) i (47) p e łn ią funkcje p o d o b n e ja k w m o d elu M 2 .
W p rz y p a d k u m in im a liz a c ji w y łączn ie długości c y k lu m ontażow ego C maI (q = 1), w m o d e lu M6 n a le ż y u su n ą ć o g ra n ic z e n ia (48) i (49) zaw ierające z m ie n n e m,-max.
P r z y k ł a d 2
M odele M 5 i M6 z a sto su je m y d o zró w n o w ażen ia o bciążeń i w y zn aczen ia o p ty m a ln e j s t r u k tu r y e la s ty c z n e j linii m o n tażo w e j, w k tó rej z 15 ty p ó w części m o n to w an e są 4 ty p y w yrobów . O d p o w ie d n ie ciągi kolejno m o n to w an y ch części j 6 J k d la w yrobów ty p u k = 1 ,2 ,3 ,4 są n a s tę p u ją c e : (1 ,2 ,3,4,6,12,14,15), (1,2,5,6,9,10,13,15), (2,4,5,7,8,9,10,14), (8,11,13,14,15).
S u p e r-o g ra n ic z e n ia kolejnościow e w spólne d la różnych typów w yrobów re p re z e n tu je n a s tę p u ją c y z b ió r p a r k o lejn o m o n to w an y ch ty p ó w części:
R = { (1 ,2 ), (2 ,3 ) , ( 2 ,4 ) , (2 ,5 ) , (3 ,4 ) , (4 ,5 ) , ( 4 ,6), ( 5 ,6), (5 ,7 ) , (6,9 ) , (6,1 2 ), ( 7 ,8), (8,9 ) , (8,1 1 ), (9 ,1 0 ), (1 0 ,1 3 ), (1 0 ,1 4 ) , (1 1 ,1 3 ), (1 2 ,1 4 ), (1 3 ,1 4 ), (1 3 ,1 5 ), (1 4 ,1 5 )} .
C zasy pj-jfc m o n ta ż u p oszczególnych ty p ó w części j są jed n ak o w e d la różnych ty p ó w w y
robów k , (tz n . P j k = p j , VA:, j e J k) i w ynoszą: p x = 4, p 2 = 2, p3 = 2, p4 = 2, p5 = 4, p6 = 2, p7 = 3, p8 = 5, pg = 2, pI0 = 4, p u = 5, p u = 2, p i3 = 4, p14 = 2, pi5 = 3.
L in ia m o n ta ż o w a m o ż e z a w ie ra ć nie w ięcej niż 5 s ta c ji, z k tó ry c h każda d y sp o n u je 5 p o d a jn ik a m i części. W m o d e lu M6 d o d atk o w o p rz y ję to , że k a ż d a s ta c ja m oże sk ła d a ć się z dw óch ró w n o leg ły ch m a s z y n m a ją c y c h po 5 p o d a jn ik ó w . O trz y m a n e w yniki zam ieszczo n o w ta b lic y 3.
Tablica 3 D ługość c y k lu , liczb a m asz y n i p rz y d z ia ły części do stacji
M odel (z m ,o g r)F l
a Omax A G)
T,i ” »imar P rz y d z ia ły części ^
S ta c ja 1 S ta c ja 2 S ta c ja 3 S ta c ja 4 S ta c ja 5 M 5
(76,123)
0 30 3 1 , . . . , 5 6,. ..,1 0 1 1 ,...,1 5 - -
0.5 20 5 R2 3 ,4 ,5,6 7,8,11,12 9,10,13 14,15
1 20 5 1,2,3,4 5,6,7,12 8,11 9,10,13 14,15
M6
(231,367)
0 30 3 1, — io 1 1 , . . . , 1 5 - - -
0.5 14 8 1,2,3,4 5,7,8 6,9,10,12 11,13,14,15 -
(226,213) lG) 12 9 1 2,3,4,5,6 7,8,11,12 9,10,13 14.15
(a) - łą c z n a lic z b a m a s z y n , do k tó ry c h p rzy d zielo n o części (b ) - n u m e ry ty p ó w części p rzy d zielo n y ch do stacji
(c) - liczb a z m ie n n y c h i lic z b a o g ran iczeń , (d) - m o d el M6 b ez ogran iczeń (48) i (49)
4. W n i o s k i
Z ap ro p o n o w a n e m o d e le p ro g ra m o w a n ia calkow itoliczbow ego d la p ro b lem ó w rów now aże
n ia o b ciąż eń m asz y n w ela sty c z n y c h sy ste m a c h m o n tażo w y ch w p ra k ty c e p ro w ad zą do z a d a ń o p ty m a liz a c ji o dużej liczbie zm ien n y ch i og ran iczeń . W szczególności uw zględnienie p rzep ły w ó w m ię d z y o p e ra c y jn y c h , b a rd z o is to tn y c h d la fu n k cjo n o w an ia E SM , w pływ a na zn aczn y w z ro st ro zm iaró w z a d a ń . T y p o w e z a d a n ie o b c ią ż e n ia m aszy n w ESM o b e jm u je k ilk aset ty p ó w części, k ilk an aście ty p ó w m o n to w an y ch w yrobów i kilka s ta c ji, k ażd a z k ilk u n a s to m a p o d a jn ik a m i części (np. [1]). S tosow anie gotow ych p ak ietó w o p ty m a liz a c ji d y sk re tn e j m oże w iązać się w ięc z d u ży m i n a k ła d a m i obliczeniow ym i.
P rz e d s ta w io n e w p ra c y p rz y k ła d y ro zw iązan o s to su ją c p a k ie t o p ty m a liz a c ji d y sk re tn e j L IN G O [6] w y k o rz y stu ją c y m e to d ę p o d z ia łu i ograniczeń. C zasy C P U obliczeń n a k o m p u te r z e 4 8 6 D X /2 5 M H z w ah ały się w p rz e d z ia le od kilku sek u n d do k ilk u n a s tu m in u t.
O p ra c o w a n ie szy b k ich h e u ry s ty k do w y z n a c z a n ia d o b ry ch rozw iązań p rzy b liżo n y ch z a p ro p o n o w a n y c h m odeli je s t p rz e d m io te m prow adzonych a k tu a ln ie p ra c badaw czych.
LITE R A TU R A
[1] A m m o n s J .C ., L ofgren C .B ., M cG in n is L .F .: A larg e scale m a c h in e lo ad in g p ro b lem in flexible assem bly. A n n a ls o f O perations Research, v ol.3, 1985, p p .319-332.
[2] G h o sh S., G ag n o n R .J .: A c o m p re h e n siv e lite r a tu r e review a n d an aly sis o f th e design, b a la n c in g a n d sc h e d u lin g of assem b ly sy stem s. In t e r n a ti o n a l J o u r n a l o f Production Research, v ol.27, 1989, p p .637-670.
[3] Lee H .F ., Jo h n s o n R .V .: A lin e -b a la n c in g s tra te g y for d esig n in g flexible assem b ly sy s te m s . I n t e r n a ti o n a l J o u r n a l o f Flexible M a n u f a c tu r i n g S y s t e m s , v ol.3, 1991.
[4] Saw ik T .: M o d ele z a d a ń k rótkookresow ego p la n o w a n ia p ro d u k cji w e la sty c z n y m sys
te m ie p ro d u k c y jn y m . Z e s z y ły N aukowe Polite chniki Śląskiej, z. 101, 1990, s.249-261.
M odele z a d a ń ró w n o w ażen ia o b ciąż eń m aszy n w ESM
123
[5] Saw ik T .: O ptym a liz a cja dyskretn a w elas tycznych s y s te m a c h produkcyjnych. W N T ; W arszaw a 1992.
[6] S ch räg e L ., C u n n in g h a m K ., L I N G O , O p tim iz a tio n Modeling Language, L IN D O Sys
te m s In c ., C h icag o 1991.
R ecen zen t: P ro f.d r inż. H en ry k Kowalowski W p ły n ę ło do R ed ak cji do 30.04.1994 r.
A b s tr a c t
T h e p a p e r p re s e n ts sev eral in te g e r p ro g ra m m in g fo rm u la tio n s for th e design a n d b a la n c in g o f flexible assem b ly sy s te m s (FA Ss) in w hich different p ro d u c t ty p e s are a sse m b le d s im u lta n e o u sly . T h e sy s te m is m a d e u p of a se t of assem b ly s ta tio n s o f various ty p e s lin k ed w ith a n a u to m a te d h a n d lin g sy s te m . E ach s ta tio n co n sists of a single m a c h in e o r o f id e n tic a l p a ra lle l m a c h in e s, u su a lly assem b ly ro b o ts. T w o ty p e s o f FAS are c o n sid e re d , a flexible flow lin e (F F L ) a n d a g en eral FAS. T h e F F L is a u n id ire c tio n a l flow s y s te m w h ere a b ase p a r t e n te rs th e sy ste m an d is processed by a series of s ta tio n s . A p a rt m ay b y p ass so m e s ta tio n s b u t does n o t re v isit an y sta tio n . In a g en eral FAS how ever, a d ire c tio n o f flow varies for d ifferen t p ro d u c ts a n d a re v isitin g of s ta tio n s is allow ed. T h e b a la n c in g p ro b le m co n sists in assig n in g ta s k s to s ta tio n s w ith lim ite d sta g in g c a p acities in o rd e r to b a la n c e s ta tio n w orkloads a n d s ta tio n -to - s ta tio n p ro d u c t m oves s u b je c t to p re c e d e n c e re la tio n s a m o n g th e ta sk s for a m ix of p ro d u c t ty p es. For a s ta b le p ro d u c t m ix , in te g e r p ro g ra m m e s a re p ro p o sed to select sim u lta n e o u sly th e n u m b e r o f sta tio n s an d th e n u m b e r of m a c h in e s a t each s ta tio n an d to a llo c a te ta s k s to sta tio n s . N u m erical e x a m p le s a re p re s e n te d to illu s tr a te a p p lic a tio n s of th e various fo rm u la tio n s p roposed.
