ZESZY TY N A U K O W E POLITECH NIKI ŚLĄSKIEJ Seria: A U TO M A TY K A z. 134
2002 N r kol. 1554
Marek M A G IER A
A kadem ia G órniczo-H utnicza
MODELE MATEMATYCZNE IHEURYSTYKI RELAKSACYJNE SZEREGOWANIA OPERACJI DLA ELASTYCZNYCH LINn MONTAŻOWYCH Z MASZYNAMI RÓWNOLEGŁYMI *
S treszczen ie. W artykule przedstaw iono now e modele m atem atyczne szeregowania operacji dla elastycznych linii montażowych z maszynami równoległymi.
Uw zględniony został przypadek, w którym m iędzy stadiami znajdują się bufory m iędzystadialne, oraz sytuacja, gdy nie m a tych buforów i ich rolę pełnią maszyny. W celu skrócenia czasu rozw iązyw ania zadań szeregowania operacji opracowano heurystyki relaksacyjne. Artykuł zaw iera wyniki przeprowadzonych eksperym entów obliczeniow ych.
MATHEMATICAL MODELS AND RELAXATION HEURISTICS FOR OPERATION SCHEDULING IN FLEXIBLE ASSEMBLY LINE WITH PARALLEL MACHINES
S u m m a ry . The paper describes new m ixed integer programming models for operation scheduling for flexible assem bly lines w ith parallel machines. The assembly line with interm ediate buffers and the configuration w ithout intermediate buffers are considered.
R elaxation heuristics are proposed to reduce CPU tim e required for m ixed integer program m ing. Results o f com putational experim ent w ith the proposed MIP models and heuristics are included.
1. Wprowadzenie
A rtykuł pośw ięcony je st problem owi w yznaczania harmonogram u m ontażu dla elas
tycznej linii m ontażow ej (ELM). Opracowane modele matem atyczne i algorytmy heurystyczne dotyczą procesu wielostadialnego typu przepływowego. Jest to taki pro’ces produkcyjny, w którym każdy produkt wymaga w ykonania operacji na kolejnych
Praca finansowana częściowo z badań statutowych AGH
276 M. Magiera
specjalistycznych m aszynach. Każde stadium to zbiór m aszyn pracujących równolegle.
Produkt m oże pom ijać niektóre stadia. Przechodząc przez dane stadium produkt obciąża tylko je d n ą m aszynę. W zbudow anych m odelach i algorytm ach uw zględnione zostały dwa przypadki: pierw szy, w którym m iędzy stadiami znajdują się bufory m iędzystadialne, oraz drugi - konfiguracja ELM bez buforów m iędzystadialnych (rolę buforów p ełn ią maszyny).
D la zadania szeregow ania operacji w ELM opracowane zostały m odele matematyczne (rozdz. 3) i algorytm y heurystyczne (rozdz. 4) (um ożliw iające uzyskanie rozw iązań w stosun
kowo krótkim czasie), których oznaczenia zestawiono w tablicy 1.
Tablica 1 O znaczenia m odeli m atem atycznych i algorytmów heurystycznych
M odel m atem atyczny
Algorytm
heurystyczny Opis m odelu / algorytmu
M I H I Szeregowanie zadań w systemie przepływowym z buforami międzystadialnym i
M II H II Szeregowanie zadań w systemie przepływ owym bez buforów
Przedstaw ione w pracy m odele i algorytmy zostały zbudow ane dla dwupoziomowej m etody sterow ania przepływ em przez ELM z m aszynami równoległym i. W m etodzie tej szeregow anie operacji m ontażow ych (poziom II) je st poprzedzone rozw iązaniem zadania rów now ażenia obciążeń m aszyn (poziom I). Ogólny opis tej m etody i szczegółowe przedstaw ienie poziom u I zaw arte są w pracy [3].
2. Parametry i zmienne
W tabl. 2 zestaw iono indeksy i param etry w ejściow e zadania szeregow ania operacji.
A nalizując tę tablicę m ożna zauważyć, że do danych wejściow ych należą w yniki rozwiązania zadania rów now ażenia obciążeń m aszyn, które poprzedza proces szeregow ania operacji. Dla każdego produktu w yznaczone s ą w ięc maszyny, przez które on przechodzi, oraz kolejność, w jakiej to m a m iejsce. Ponadto znane s ą łączne czasy wykonywania operacji montażowych produktu na tych maszynach, stanowiące sum ę czasów w ykonywania poszczególnych operacji. D ane s ą param etry opisujące park maszynowy. W ykaz zm iennych um ieszczono w tabl. 3.
W opracowanej m etodzie długość uszeregow ania je s t podzielona na jednostkowe przedziały zw ane przedziałam i czasowymi, indeksowanym i / (tabl. 2). Przed rozwiązaniem
Modele m atem atyczne i heurystyki. 277
zadania szeregow ania musi w ięc zostać w yznaczona liczba przedziałów czasowych h. Jest ona oczyw iście w iększa od globalnego oszacowania od dołu długości uszeregowania. Liczba przedziałów czasow ych h je st w yznaczana wg następującej procedury:
1. Z zależności (1) w yznacz globalne oszacowanie od dołu długości uszeregowania [5]
LBCmtx = m ax j z , Ą , m ax LBV j , (1)
gdzie: LB0 - m aksym alny całkow ity czas wykonywania produktu, L B V - oszacowanie dłu
gości uszeregow ania w zględem stadium v s K = { l 3 }. Procedura wyznaczania LBC mix została zaczerpnięta z pracy [5], gdzie znajduje się jej szczegółowy opis (str. 145).
2. Liczba przedziałów czasowych h je st w yznaczana z (2) i zaokrąglana do liczby całkowitej.
/? = 1,3 ■ L B C mix dla M _ I oraz H _ I v 6 = 1,4 ■ LBC mhx dla M _ II oraz H _ II (2)
Tablica 2 Indeksy i parametry w ejściowe
Ind ek sy :
/-m a s z y n a , / e / = { 1 m ] , / - przedział czasowy, / e i = { l,...,/i} ,
¿ - p ro d u k t, k e K = |l , . . . , u } , v - stadium m ontażu, v e V = { l,...,« 9 } . P a ra m e try wejściow e:
d r - liczba buforów przed stadium v.
gik - czas transportu produktu k z maszy
ny, na której uprzednio zakończył się m ontaż n a m aszynę Z
(uw zględnia o n orientację przestrzenną produktu i za
m ocow anie go na m aszynie i).
L, - czas w ykonyw ania operacji na m aszynie i podczas m ontażu produktu k.
D - zbiór uporządkowanych dwójek (/,v ) - takich, że maszyna i należy do stadium v.
P - zbiór uporządkowanych trójek ( k ,r ,i) - takich, że m ontaż produktu k s K na maszynie i e l je st bezpośrednio po
przedzony wykonaniem operacji na m a
szynie t £ / (jest to rozwiązanie zada
nia równoważenia obciążeń maszyn).
278 M. Magiera
Tablica 3 Zm ienne
qikl = 1, jeżeli w przedziale czasowym / operacja m ontażow a produktu k je st w ykonyw ana na m aszynie i, inaczej qiU = 0 ;
y M = 1, je że li w przedziale czasowym / produkt k znajduje się w buforze m iędzystadialnym przed stadium v, inaczej y rU = 0 (w m odelu M _ I );
x M - \ , je że li w przedziale czasowym I m aszyna i pełni rolę bufora dla produktu k, inaczej xlkl = 0 (w m odelu M _ I I );
elk - m om ent rozpoczęcia wykonyw ania operacji produktu k na m aszynie i;
clk - m om ent zakończenia wykonyw ania operacji produktu k na m aszynie i eik e N , clk e N (liczby naturalne).
W przypadku gdy stosując testujący program kom puterowy [2, 7] nie da się rozwiązać zadania, gdyż w artość h je s t zbyt mala, należy stopniowo zwiększać wartość param etru h.
Z w iększenie liczby przedziałów czasowych znacząco w pływ a na w ydłużenie czasu obliczeń.
Param etr a , stosow any w zapisie niektórych ograniczeń, je s t dow olną liczbą całkow itą, spełniającą warunek: a > h .
3. M odele m atem aty czn e
Z adania szeregow ania operacji sform ułowane zostały w postaci zadań programowania całkow itoliczbow ego. K ażdy z opracowanych m odeli (tab l.l) je st liniowy. Zastosowanie w m odelach tych funkcji (3) um ożliw ia aproksym ację m inim alizacji długości uszeregowania.
Funkcja ta zapew nia obciążenie poszczególnych m aszyn w przedziałach czasowych o jak najm niejszych indeksach, dzięki czem u uzyskiwane są stosunkowo krótkie czasy zakończenia m ontażu poszczególnych produktów . D la 40 przykładów porównano długości uszeregowań zadań opisanych w m odelach M _ I i M _ I I , w których m inim alizow ano wyrażenie (3) z m odelam i różniącym i się od nich tylko m inim alizow aną fu nkcją celu, k tó rą była długość uszeregow ania Cmax ( / -q M < Cmix dla i e l , k e K , l s L ) . W e w szystkich porównywanych przykładach uzyskano takie sam e długości uszeregowań. Zastosow anie funkcji (3) um ożliw iło je d n ak uzyskanie rozw iązań testowanych zadań (rozdz.5) w wielokrotnie krótszym czasie (od 4 do około 40 razy krótszym ) niż w przypadku m inim alizacji długości uszeregow ania.
Modele m atem atyczne i heurystyki... 279
Oto te m odele:
Model M _ I (z buforam i międzystadialnymi) i m odel M _ II (bez buforów):
Zm inim alizować: (3)
keK lei U L
przy ograniczeniach: Y ^m = tn> i e l , k e K , gdzie t,k > 0 (4) U L
l-< h k,-f-< h y - l + ( l - 7,v ) - « i e I , k e K , g d z ie tik >1, l , f e L , l> f (5) ł
1» i e I , l e L (6)
keK
Y ~ ~l ~ ~ r + ~ = eik; i e l , k e K , g d ń e l,k > \ (7)
/€/. Z
£ ^ + k _ l ; i e I j k e K i g d z ie ^ > 1 (8) leL l ik Z Z
( k , r , i ) e P (9)
ę jWe { 0 ,l} ; i e I , k e K , I e L (10)
Ponadto m uszą być spełnione następujące zależności:
• tylko w m odelu M _ I (z buforami m iędzystadialnymi):
ei k - c* - l ~8ik = Y ,y * i ', (r, v) e D, ( r ,v ) e D , gdzie v * 1, ( k , r ,i ) e P ( l l ) leL
1 -y«,* c* + 1 + glk - a • (1 ■- y j ) ; 0 > v ) e D, ( r , v ) e D, gdzie v * 1 a v < v, (12) ( k ,r ,i) e P
eik - I - y M ^ 1 ; l z L , (i,v) e D , k e K , gdzie ta > 0 , v * 1 (13)
Y y * u / e l , v e 7 \ { l } (14)
y vWe{0,l} v e V , k e K , l e L (15)
• tylko w m odelu M _ I I (bez buforów międzystadialnych):
e,k - c ń - \ - g tk = Y x w ' (k , r , i ) e P (16)
leL
1
-x m ^ ( k , T , i ) e P , l e L O 7 )280 M . M agiera
l 'x iu~cik + a '
O
- x:u) ^ 1 i i e l ’ Sd z ' e i< m > k e K > Sd zie hk > 0, / g i (]g) qiki + x.h < 1; i e l , gdzie i< m , k e K , gdzie t ik > 0, (¡9)k e K , gdzie t.i > 0, l e L
xild g {0,1}; i e l , k e K , l e L (20)
O peracje m ontażow e na m aszynie i wykonane są w ciągu danego czasu montażu dzięki ograniczeniu (4). W arunek (5) zapew nia niepodzielność operacji montażowych, tzn.
gw arantuje on w ykonanie operacji w kolejnych przedziałach czasowych. W przedziale czasow ym / m aszyna i wykonuje co najwyżej jedno zadanie dzięki ograniczeniu (6).
Zależności (7) i (8) słu żą do w yznaczenia m om entu rozpoczęcia oraz zakończenia w ykonyw ania operacji produktu k na m aszynie i. W arunek (9) um ożliw ia zachowanie kolejności m ontażu w jednokierunkow ym systemie przepływowym oraz uwzględnienia czasy transportu pom iędzy stadiami. Ograniczenie (10) zapew nia binam ość zm iennej decyzyjnej.
K olejne ograniczenia dotyczą tylko m odelu M _ I . Zależność (11) ogranicza czas pobytu w buforze, który zależy od czasu zakończenia i rozpoczęcia wykonyw ania kolejnych operacji oraz uw zględnia czas transportu. Ograniczenia (12), (13) zapewniają, aby pobyt w buforze m iał m iejsce bezpośrednio przed wykonaniem operacji. W ograniczeniu (14) sprawdzane jest, czy liczba produktów , które m a ją być w buforach, nie przekracza liczby buforów przed danym stadium . O graniczenie (15) zapew nia binam ość zm iennej decyzyjnej. O statnia grupa ograniczeń dotyczy tylko m odelu M _ I I . Zależność (16) ogranicza czas, w którym maszyna pełni rolę bufora (produkt blokuje maszynę) - analogicznie do (11). O graniczenia (17), (18) zapew niają, że m aszyna będzie pełniła rolę bufora bezpośrednio po w ykonaniu operacji.
W arunek (19) zapew nia, że w czasie pełnienia roli bufora m aszyna nie będzie wykonywała operacji, natom iast (20) - binam ość zm iennej decyzyjnej.
M om ent zakończenia w ykonyw ania w szystkich operacji wyznaczany je s t z zależności:
C = max c,t (21)
Itl.keK
4. Algorytmy heurystyczne
Rozw iązyw anie zadań opisanych w m odelach M _ I , M _ II je st czasochłonne. W celu uzyskiw ania stosunkowo krótkich czasów rozw iązań tych zadań opracowane zostały algorytm y heurystyczne H_I (dla ELM z buforam i m iędzystadialnym i) i H_II (dla ELM bez
Modele m atem atyczne i heurystyki.. 281
buforów m iędzystadlalnych). Heurystyki te słu żą do rozwiązyw ania zadań sform ułowanych w modelach M _ I lub M _ I I , w których usunięte zostały warunki całkowitoliczbowości zmiennych decyzyjnych). Otrzym ane w wyniku relaksacji zadania program owania liniowego oznaczono: LP( M _ I ) - dla H _1, LP( M _ I I ) - dla H_2.
H e u ry sty k i: H _ I (ELM z buforami), H _ II (ELM bez buforów):
Wejście: liniow a relaksacja L P ( M _ I ) - dla H_I, L P ( M _ II) - d l a H J I ; ogólnie L P (M ).
Wyjście: rozw iązania heurystyczne: e //, c% (czasy: rozpoczęcia, zakończenia operacji).
Krok 1. N iech x oznacza wartość zmiennej x (tabl.3), wyznaczonej przy użyciu heurystyki (ogólne przyjęcie notacji). Przyjmij z:= 1; z - indeks rozwiązania. Rozw iąż zadanie liniowej relaksacji L P (M ). U zyskiwane zostają w ten sposób rozwiązania: e/k, d£. Idź do kroku 2.
Krok 2. Dokonaj zaokrągleń w yznaczonych w kroku 1 czasów rozpoczęcia i zakończenia wykonywanych operacji m ontażow ych do najbliższych liczb całkowitych (22) i idź do kroku 3.
ej* = ro u n d (e^-'), clk = e'k + tlk - 1; i e l , k e K , z = 2 (22) Krok 2. U tw orzenie w stępnego harmonogram u. W przedziale / wykonywana je st operacja
produktu k na m aszynie i, jeżeli wartość q,y = 1, w yznaczana w g (23). Idź do kroku 4.
q;u = \ 1’ gdy e , ; “ 1 ~ C,;; / g / , k e K , z = 2 (23) [0, inaczej
Krok 4. W eryfikacja i m odyfikacja harmonogram u. W kroku tym po każdej m odyfikacji har
monogram u w yznacz czasy: e-k (analogicznie do (7)) i c ‘k - w g (22) oraz długość uszere
gowania C1 (analogicznie do (21)).
a) Przyjmij /:= 0 . Idź do kroku 4b.
b) Przyjmij i:= i+1 oraz /:= 0 . Idź do kroku 4c.
c) Przyjmij /:= / + 1. Jeżeli w przedziale czasowym / zależność (24) nie je st spełniona, to
Z » > ! (24)
kcK
idź do kroku 4d, w przeciw nym przypadku przyjmij = 1 tylko dla produktu ¿ . w y branego w g porządku leksykograficznego:
1) produkt, który w poprzedniej iteracji nie spełniał w arunku (24) i nie został ozna
czony k . Jeżeli takich produktów je st kilka - wybierz jeden z nich w g porządku leksykograficznego, przedstawionego w punktach 2, 3 ,4 ;
2) produkt o najm niejszej wartości e ’k (spośród produktów spełniających (24));
3) produkt o największej wartości t lk;
4) produkt o najm niejszym indeksie k.
Jeżeli wybrany produkt k spełnia zależność eji - cj[- - 1 < g.k dla [k, r,/j e P, to jeżeli je st to m ożliw e, w yznacz inny produkt k wg przedstawionego powyżej porządku.
Przyjmij z: = z + 1 . W yznacz P - liczbę przedziałów, w których m ontow any jest
2 8 2 M . Magiera
produkt k na m aszynie i, począw szy od analizowanego przedziału l, aż do zakończenia tej operacji: p = - 1 + 1. N iech K oznacza zbiór produktów , dla których zachodzi:
q £ ' = 1 d la A e A T \j £ |, r e ( l , I + p - 1). Zmodyfikuj harm onogram w g (25), idź do kroku 4d.
dla | « e / \ { i ' } , k e k } v ( u = i, ^ eAT\ r e L W iL' u = '> k 6 r e L , gdzie: r ^ . l + /?, p = r - /?
d) Jeżeli ej; = / dla produktu A m ontow anego w przedziale / i jeżeli operacja na maszynie i nie je st pierw szą operacją m ontażow ą produktu, to sprawdź, czy zachodzi warunek:
ej* - cji - 1 > g lk dla ( k , r , i ) £ ? . W przypadku gdy w arunek ten je st spełniony - idź do kroku 4e, je śli nie - przyjm ij z:= z + l i w yznacz p - m inim alną liczbę przedziałów czasowych, ja k ą należy dodać do param etru ej*, aby rozpatrywany warunek był spełniony. O znacz ten produkt k , zm odyfikuj harm onogram w g (26) i idź do kroku 4e.
j ? ! ^ 1 dla | u e / \ { / } , ł e i i ) v | i i = i, A e / ć \ ^ | A j j j , r e L
= V
v - v 1 (26)
t e M 13 “ = *» k = k , r e L , gdzie: r " ¿1 + p , p = r - p
e) Jeżeli ej;' = l dla produktu k m ontow anego w przedziale I i jeżeli operacja na maszynie i nie je s t p ierw szą operacją m ontażow ą produktu, to sprawdź, czy zachodzi warunek:
ej; - c= - 1 = g ik dla (k , r ,i) e P . Jeżeli w arunek ten je st spełniony, idź do kroku 4f, w przeciw nym przypadku (produkt m usi być w buforze lub m aszyna r m usi pełnić rolę bufora) przyjm ij z: = z + 1 .
D la algorytm u H_I w yznacz przedziały czasowe, w których produkt k powinien się znajdow ać w buforze przed stadium v. Liczba tych przedziałów dla produktu k w ynosi j = ej; - c,; - g ik. Sprawdź, czy przed stadium v, do którego należy maszyna m ożna obciążyć bufor w e w szystkich x przedziałach, bezpośrednio po zakończeniu m ontażu produktu k na m aszynie r . Jeżeli tego bufora nie m ożna obciążyć we w szystkich % przedziałach, w yznacz liczbę kolejnych przedziałów tj , w których m aszyna r m usi pełnić rolę bufora.
D la H _I / H_II w yznacz przedziały oraz ich liczbę p ( p ś r ] ) , w których ma
szyna ta nie m oże pełnić roli bufora, gdyż je st ju ż obciążona. A nalizie m uszą być pod
dane w artości zm iennych w przedziałach r: ^ ( d l a H_I), x tkr (dla H_U). W przypadku gdy p > 0 (m aszyna m usi pełnić rolę bufora), zmodyfikuj harm onogram w g (27).
Ą u k r ~
{ $ £ dla ( ( u e / \ { r } , r e i ) v ( u = r , r < c jj'1)) ak e K dla u = x > k e K , r e L , gdzie: r > l + p , p = r - p
(27)
Zapam iętaj przedziały czasowe r, w których bufor lub m aszyna zostały obciążone ( y vkr, x lkr). Przyjmij /:= e j : , i:= r i w róć do kroku 4c.
f) W arunek stopu. Sprawdź, czy l < C : . Jeśli tak - idź do kroku 4c, jeśli nie — sprawdź, czy i < m . Jeśli tak - idź do kroku 4b, jeśli nie - idź do kroku 5.
K rok 5. Jako ostateczne rozw iązania przyjm ij: e " = ej;, c " = c j; dla /' e l , k e K .
Modele m atem atyczne i heurystyki.. 283
5. Eksperymenty obliczeniowe
W celu oceny przedstaw ionych algorytm ów heurystycznych przeprowadzono ekspery
menty obliczeniow e. Objęły one 6 grup zadań. Parametry wejściowe dla tych grup zadań oraz uzyskane w yniki zestaw iono w tablicy 4. D la każdej z grup rozwiązano 50 przykładów. O bli
czenia przeprow adzono na kom puterze Pentium 200. Do obliczeń zastosowano m.in. pakiet optymalizacji dyskretnej [2] (solver CPLEX). Odległość od optim um otrzymywanych harm o
nogramów oceniano za pom ocą wartości błędów ę = ( C - LBCma) / L B C , gdzie LBC mix było obliczane w g zależności (1). Średnie wartości tego wskaźnika zestawiono w tablicy 4. M aksy
malny błąd w zględny nie przekroczył 19,2%, a średni błąd nie był większy niż 17,4%.
W skaźnik w, (tabl. 4) służy do porów nania czasów rozwiązań C P U H (dla heurystyk) i C P U * (dla m odeli M _ I, M _ II zapisanych w języku programowania matematycznego).
W skaźnik w2 um ożliw ia porów nanie czasów C P U ’ i C P U0 - czasu rozwiązyw ania zadania program owania całkow itoliczbow ego, zawierającego zm odyfikowany model M _ I lub M _ I I , w którym zam iast funkcji (3) m inim alizow ania je st wartość wyrażenia (28). W skaźnik ten wyznaczono dla 2 grup zadań (czasochłonność obliczeń, np. C P U0 = 112m in dla grupy 2 (bez buforów )).
l - q itl< C maxd h i e I , k e K , U L (28) D la każdego zadania testowego, dla którego w yznaczane były wartości CPU * , C P U 0 , otrzym ane zostały takie same długości uszeregowania.
Tablica 4 D ane w ejściowe i w yniki dla przykładów testowych
Gru Parametry grupy ELM z buforami ELM bez buforów
pa «9 b m u h ? [%] w,[%] w j% ] i [%] w,[%] w2[%]
1 2 2 4 5 10 17,4 2,05 21,12 16,7 2,01 19,25
2 2 3 4 10 20 17,1 1,53 10,33 16,9 1,40 10,24
3 2 3 6 10 30 15,2 0,72 - 15,1 0,71 -
4 3 4 6 10 40 13,9 0,59 - 14,0 0,53 -
5 3 4 6 12 50 9,3 0,31 - 7,8 0,32 -
6 4 6 8 12 60 10,1 0,22 - 7,2 0,20 -
Liczby: 3 - stadiów, b - buforów (tylko w ELM z buforami), m - m aszyn, u - typów produktów, h - przedziałów czasowych; £ - średnia w artość błędu w zględnego:
284 M. Magiera
ę = ( C - LBCnix) / L B C , gdzie: C - długość uszeregowania, w yznaczona w g (1), LBCmtx - oszacow anie od dołu długości uszeregow ania w g (21); w ,,w 2- wartości średnie wskaźników:
iv, = CPUH / CPU", w2 = CPU" / C PU ", służących do porów nania czasów obliczeń: CPUH- przy w ykorzystaniu heurystyki H_I lub H _1I, CPU" - przy wykorzystaniu m odelu M_I lub M _ II, zapisanego w języku program ow ania matem atycznego (programowanie całkow itoliczbow e), \C PU 0\ - dla zm odyfikowanego m odelu M_I lub M _II, w którym m inim alizow ana je s t w artość wyrażenia (28).
6, Uwagi końcowe
Przedstaw ione m odele m atem atyczne i algorytmy heurystyczne opracowane zostały w praw dzie dla dwupoziom owej m etody sterow ania przepływ em p rzez elastyczną linię monta
ż o w ą (pierw szy poziom opisany w [3]), m ogą być jednak rów nież stosowane w budowie har
m onogram ów dla innych rodzajów system ów produkcyjnych. Zastosow anie opracowanych heurystyk je s t w skazane przede wszystkim dla zadań o stosunkowo dużych rozm iarach (dla których bardzo duże s ą czasy rozw iązyw ania zadań program ow ania całkow itoliczbowego), do bieżącego szeregow ania operacji montażowych.
O pracow ane m odele m ożna oczywiście rozbudować, zm odyfikować. Planow ane jest porów nanie uzyskanych rozw iązań z dw upoziom ow ą m etodą (dla której zm odyfikowane zo
stan ą zaprezentow ane algorytmy), w której na pierw szym poziom ie rów now ażone s ą obciąże
nia nie poszczególnych m aszyn, ale stadiów montażu. W m etodzie tej na drugim poziomie przydzielane s ą operacje m ontażow e do m aszyn i wyznaczany je st harm onogram montażu.
L ITER ATU RA
1. D elcham bre A.: Com puter-Aided Assem bly Planning. Cham pan and H all, London, N ew York, Tokyo 1992.
2. Fourer R., Gay D., K em ighan B.: A M PL - A M odelling Language for Mathematical Program m ing. Boyd & Fraser Publishing Com pany 1993.
3. M agiera M.: D w upoziom ow a m etoda sterow ania przepływ em produktów przez elastyczną linię m ontażow ą z m aszynam i równoległym i, Zeszyty N aukow e Politechniki Śląskiej, Autom atyka, 2002.
Modele m atem atyczne i heurystyki.. 285
4. Santos D.L., H unsucker J.L., Deal D.E.: Global low er bounds for flow shops w ith m ul
tiple processors. European Journal o f Operational Research, 1995, v ol.80, s. 112-120.
5. Sawik T.: Planow anie i sterow anie produkcji w elastycznych systemach montażowych.
W NT, W arszaw a 1996.
6. Saw ik T.: B adania operacyjne dla inżynierów zarządzania. W ydaw nictwa AGH, K raków 1998.
7. Schräge L., Cunningham K.: LINGO, Optim ization M odelling Language. LINDO System s Inc., Chicago 1991.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. Zbigniew Banaszak
A bstract
The paper presents new m athem atical m odels and heuristic algorithms for operation scheduling for flexible assem bly lines w ith parallel machines. Each assembly stage consists o f one or parallel m achines. The flow is unidirectional. The assembly line with interm ediate buf
fers and configuration w ithout interm ediate buffers are considered. The assembly sequences and assignm ent o f assem bly operations to assembly stations w ith limited working space are a starting point o f the described m ethod. The schedule is divided into tim e intervals in the method. The approxim ation to tim e criterion is used in the mixed integer program m ing models and algorithm s. A linear relaxation - based heuristics is created to reduce CPU tim e required for m ixed integer programming. Each heuristic starts from the optim al solution o f a linear relaxation o f the m ixed integer program. Results o f com putational experim ent w ith the proposed MIP m odels and heuristic algorithms are included.
