ZF..S7.YTY N A U K O W E P O L IT E C H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: A U T O M A T Y K A z. 114
________ 1994 N r kol. 1250
T ad eu sz D Y D U C H , E w a D U D E K -D Y D U C H P o litech n ik a K rak o w sk a, A kadem ia G órniczo-H utnicza
R Ó W N O LEG ŁY A LG O RYTM BRANCH & BOUND DO ROZW IĄZYW ANIA PR O BLEM U KO M IW O JAŻERA
S treszczenie: A rtykuł dotyczy paralelizacji algorytm u branch & b o u n d zasto so w an eg o do rozw iązyw ania zadania T ravelling Salesm an P roblem . P rzed staw io n o analizę te o re ty c z n ą w ykazującą, ż e dzięki rów nom ierności przeszukiw ania d rzew a decyzyjnego zap ro p o n o w a n y algorytm rów noległy pow oduje /statystycznie/ w z ro st szybkości obliczeń w iększy, niż w ynika z sum arycznej m ocy obliczeniow ej użytych pro ceso ró w . O m ó w io n o realizację algorytm u w sieci kom puterow ej z zastosow aniem pak ietu P arallel V irtual M ach in e 3.2.
PARALLEL BRANCH & BOUND ALGO RITHM FOR TRAVELLING SALESM AN PRO BLEM
Sum m ary: T h e p ap er deals w ith parallélisation o f b ack -track algorithm , o n e o f the best k n o w n algorithm s fo r searching tree graphs. T he algorithm is a p art o f branch &
b o u n d m ethod, being applied to solving T ravelling Salesm an P roblem . It is sh o w n by theoretical analysis th a t parallélisation m akes th e algorithm m o re efficient /in statistical m eaning/. T h e reason fo r th at is a m ore adequate search order. T he p ap er describes the use o f Parallel V irtual M achine softw are system fo r im p lem en tatio n o f th e algorithm in co m p u te r netw ork.
L 'ALG O R ITH M E PARALLÈLE PO U R RÉSOUDRE LE PRO BLÈM E DE TR AVELLING SALESM AN PROBLEM
R ésum é: L 'article p o rte sur la parallélisation d'un algorithm e back -track , l'un des algorithm es fo n d am en tau x de rech erch e des graphes à branches, utilisé p o u r ré so u d re le problèm e T ravelling Salesm an Problem à l'aide d'une m éthode bran ch & b o u n d . L'analyse th éo riq u e présen tée dém o n tre q u e g râce à une recherche systém atique d'un graphe, l'algorithm e parallèle p ro p o sé est, statistiquem ent, plus efficace q u e cela n'en résu lte d e la puissance to tale des processeurs utilisés. Enfin, on a exam iné l'exécution de l'algorithm e appliquant le systèm e de program m ation Parallel V irtual M ach in e 3.2.
1. W prow adzenie
K olejnym etapem rozw oju system ów kom puterow ych s ą u k ład y w ielo p ro ceso ro w e.
D zielą się o n e na układy z e w sp ó ln ą pam ięcią (shared-m em ory) o ra z z p am ięcią d zielo n ą (distributed-m em ory). U k ład y o w spólnej pam ięci w y m ag ają ro zw iązan ia konfliktu
BZ T. D yduch. E. D u d ek -D v d u ch
je d n o c z e sn e g o dostępu kilku p rocesów (w ątk ó w ) do jed n ej k om órki (bloku) pam ięci. Jest to ro zw iązy w an e m.in. za p o m o cą specjalnych instrukcji m aszynow ych, takich ja k T est& S et(X ,R ) lub S w ap(X ,R ), um ożliw iających regulację d o stęp u z w y korzystaniem pojedynczych sem afo ró w [7], [9], P ro g ram y dla takich k o m p u teró w w y m ag ają uw zględnienia z a ró w n o indyw idualnie im plem entow anych instrukcji, o których w yżej w sp o m n ian o , ja k i architektury k om putera: podziału pam ięci, sposobu jej kom unikacji z pro ceso ram i. S zereg prac m .in. J. H ern an d eza i in. [6] pokazuje, że tego typu arch itek tu ra szczeg ó ln ie nadaje się do ro zw iązyw ania p ro b lem ó w w ym agających operacji na m acierzach dużych rozm iarów .
U kłady o pam ięci dzielonej są łatw iejsze do unifikacji (sfo rm u ło w an ia jed n o lite g o podejścia), um ożliw iając o pracow anie p ro ced u r w ykonyw anych z a ró w n o na pojedynczym w ielo p ro ceso ro w y m kom puterze, ja k i w system ie ro zproszonym , na w ielu k o m p u terach je d n o - i w ielo p ro ceso ro w y ch połączonych siecią. W raz z u p o w szech n ien iem się sieci k o m p u tero w y ch , g łó w n ie za sp raw ą system u operacyjnego U N IX i je g o odm ian, p o d jęto prace nad realizacją p ro cesó w obliczeniow ych w sieciach. O d 1989r. w O ak R id g e N ational L ab o rato ry o raz w U niversity o f T ennessee rozw ijany je s t p ro jek t P V M (Parallel V irtual M ach in e) [5]. P V M (aktualna w ersja 3 .2) je st o p ro g ram o w an iem , um ożliw iającym w ykorzystyw anie heterogenicznej (niejednorodnej) sieci k o m p u te ró w U N IX 'o w y ch ja k je d n e g o d u ż e g o w ie lo p ro ceso ro w eg o k o m p u tera o dzielonej pam ięci.
P rojekty, takie ja k P V M dostarczają dośw iadczeń i ro zw iązań um ożliw iających standaryzację o p ro g ram o w an ia w ykorzystującego system y ro z p ro sz o n e o ra z ro zw iązań arch itek tu ry k o m p u teró w w ieloprocesorow ych. D latego też cieszą się zainteresow aniem i w sparciem w ielkich firm kom puterow ych.
N iniejsza p raca dotyczy zrów noleglenia algorytm u branch & b o u n d (B & B ) dla problem u kom iw ojażera. P rzedstaw ia analizę realizacji teg o algorytm u n a w irtualnym k o m p u te rz e rów noległym , zrealizow anym za p o m o c ą pakietu PV M .
2. Szeregowa procedura B& B dla zadania komiwojażera
Ja k w iadom o, problem kom iw ojażera po leg a na znalezieniu m inim alnego cyklu H am ilto n a w grafie G, k tó reg o łukom przypisane są d o d atn ie w spółczynniki w agi.
W najbardziej popularnej interpretacji w ierzchołki grafu re p re z e n tu ją m iasta, zaś łuki i p rz y p o rząd k o w an e im w spółczynniki o d p o w iad ają p o łączeniom m iędzy m iastam i i o d leg ło ścio m m iędzy nim i. P roblem ten m oże być ró w n ież in terp re to w an y ja k o problem szereg o w an ia zad ań n a jed n ej m aszynie przy uw zględnieniu czasó w przezbrojeń.
W pracy [8] przedstaw iono algorytm podziału i ograniczeń dła te g o pro b lem u . Jest to algorytm typu k o n strukcyjnego [2],[3], A lgorytm w ykorzystuje m ac ie rz o w ą p rezen tację grafu
R ó w n o leg ły algorytm branch & bound & 1
po łączeń , a w ięc w sp ó łczy n n ik aj j m acierzy A o d p o w iad a w ad ze łu k u (i j ) w grafie G (określa od leg ło ść m iędzy m iastem i-tym o raz j-tym ).
Z b ió r ro zw iązań zw iązanych z każdym w ierzchołkiem d rzew a d ecyzyjnego teg o algorytm u w y zn aczo n y je s t p rz e z pod zb ió r łuków , k tó re n a p ew no w y stąp ią w g en ero w an y ch ro zw iązaniach, o ra z p o d zb ió r łuków , któ re na pew no w nich nie w ystąpią. R eg u ła ro zg ałęzian ia p o leg a na podziale na dw a podzbiory (drzew o binarne), przy czym p o d ział je s t w y zn aczo n y p rz e z w y b ó r łu k u różnicującego te podzbiory (a w ięc takiego, k tó ry będzie d o łącz o n y do je d n e g o z now ych p odzbiorów i który z pew nością nie b ędzie należał do d rugiego). P o d ział dok o n y w an y je st w taki sposób, aby zapew nić m aksym alny w z ro st d o ln eg o ograniczenia. P o c z ą tk o w e dolne ograniczenie konstruuje się w w yniku analizy m acierzy A, k tó ra następnie je s t przekształcana (redukow ana). D olne o g raniczenia dla kolejnych w ierzch o łk ó w d rzew a decyzyjnego konstruuje się w w yniku analizy zred u k o w an y ch m acierzy zw iązanych z tymi w ierzchołkam i.
B io rąc p od u w ag ę regułę w yboru w ierzchołka do rozg ałęzien ia w yróżniam y dw ie w ersje teg o algorytm u:
a) w ybieram y ten w ierzchołek, dla którego dolne o g raniczenie przyjm uje w arto ść m inim alną,
b) k o nstruujem y d rzew o decyzyjne w oparciu o strategię back - track (B - T).
P rzy to czy m y sch em at w ed łu g [8] rekurencyjnej p rocedury realizującej ten algorytm w w ersji b).
niech: R E D U C E (A ) - p ro ced u ra redukcji (przekształcenia) m acierzy danych A i w y zn aczan ia p rzy ro stu doln eg o ograniczenia,
U N R E D U C E (A ) - p ro ced u ra przyw rócenia poprzednich w artości A, B E S T E D G E (A , r, c, m ost) - pro ced u ra w yboru najlepszego łu k u (r,c) rozgałęziającego,
m ost - w z ro st do ln eg o ograniczenia sp o w o d o w an y o drzuceniem łu k u (r,c), co st - aktualny k o szt częściow y rodziny rozw iązań,
edges - liczba w łączonych (dodanych) łuków ,
tw eig h t - w arto ść najlepszego aktualnie rozw iązania (ograniczenie gó rn e), p ro c e d u rę E X P L O R £ (e d g e s, cost, A);
begin
co st < - co st + R E D U C E (A );
i f co st < tw eig h t then if edges = n - 2 then begin
d o łą c z d w a k o ń co w e łuki;
tw eig h t < r- cost;
zapam iętaj to rozw iązanie (ciąg łuków );
end
64 T. D yduch. E . D u d ek -D y d u ch
else begin
B E S T E D G E (A , r, c, m ost);
Iow erbound <— cost + m ost;
elim inuj ew entualny cykl;
new A <— A - (w iersz r) - (kolum na c);
E X P L O R E (ed g es + 1, cost, new A );
A <— n ew A + (w iersz r) + (kolum na c);
i f Iow erbound < tw eight then begin a r,c < - °°;
E X P L O R E (ed g es, cost, A);
ar,c
end /
end;
U N R E D U C E (A );
end.
A lgorytm back - track, zw any tak że przeszukiw aniem w głąb, g w aran tu je u p o rz ą d k o w an e przeglądanie d rzew a rozw iązań, bez p otrzeby o d ręb n eg o ew id en cjo n o w an ia przebytych łu k ó w i zapisu rozw iązań częściow ych. R ealizuje to au to n o m iczn ie m echanizm kolejnych zagłębień p ro c e d u r rekurencyjnych, w b u d o w an y w k o m p ilato r u ży teg o ję z y k a p ro g ram o w an ia. W a d ą sto so w an ia teg o algorytm u je s t to, ż e n arzu ca o n o k reślo n y p o rz ą d e k przeszukiw ania d rzew a (usystem atyzow any). W m iejsce strategii b ack - track m o żn a zasto so w a ć o d p o w ied n ią reg u łę w yboru w ierzch o łk a do rozgałęzień, np. w g w arto ści do ln eg o o graniczenia, co p o p raw ia efektyw ność algorytm u B & B . W ym aga to je d n a k sw o b o d y p rzen o szen ia się, w trakcie analizy d rzew a rozw iązań, m iędzy różnym i pozio m am i i gałęziam i drzew a, i stw arza k o n iecz n o ść ew idencjonow ania rozw iązań częściow ych.
E fek ty w n o ść procesu B& B zależy od w ielkości p o d d rz e w w yelim inow anych z p rzeszu k iw an ia dzięki odpow iedniem u o szacow aniu ich zb io ró w ro zw iązań . Z ależy to od dw u elem entów : precyzji oszacow ania podzbioru rozw iązań o ra z aktualnie zn an eg o najlepszego ro zw iązania. Z atem szybkie natrafienie n a d obre, bliskie opty m aln em u ro zw iązan ie p o w ażn ie przyspiesza p ro ces obliczeniow y. W tym celu stosuje się algorytm y heurystyczne typu g reed y (zach łan n e) lub przegląd B -T p o d d rzew a p ełn eg o d rz e w a poszukiw ań, u tw o rz o n e g o p rz e z arbitralną elim inację części łu k ó w w grafie p o czątk o w y m [4],
W dalszym tekście będziem y używ ać zam iennie określeń "zbiór ro zw iązań zw iązanych z w ierzch o łk iem d rzew a decyzyjnego" o raz "podproblem ".
3. Zrównoleglenie algorytmu B& B poprzez wielodostępną bazę rozwiązań częściowych R ó w n o leg ły algorytm branch & bound ...________________________________________________ ŁŁ
O czyw istą słabością podan eg o poniżej schem atu je s t g ro źb a nad m iern eg o rozrośnięcia się bazy danych w trak cie obliczeń. Jest o n a mniej istotna przy obecnym ro zw o ju technologii pam ięci m asow ych i d o stęp u do nich. P ow ażniejszą g ro źb ę stanow i m ożliw ość zd o m in o w an ia łącz n eg o czasu obliczeń przez procedury kom unikacji z bazą. B ędzie tak w ów czas, gdy p o d staw o w y cykl - je d n o ra z o w e rozgałęzienie - je s t zbyt prosty w realizacji w sto sunku do p ro ced u r kom unikacji (przesyłania informacji o podproblem ach).
Rys. 1 a. P rzep ły w danych m iędzy b azą i rów noległyrni procesoram i Fig. 1 a. D a ta flow betw een d ata base and parallel processors
P ro c e s o r 1 - N. (X
u
R ys. 1 b. S ch em at kolejności działań realizow any przez p ro ceso ry ró w n o leg łe Fig. 1 b. F lo w chart
66 T. D yduch. E. D u d ek -D v d u ch
R ealizacja algorytm u B & B w w ersji a) w system ie w ielo p ro ceso ro w y m m o ż e być o p a rta na pow yższych schem atach (rys. 1), w których:
R - ustalony p aram etr; N - liczba p rocesorów ; Q* - w arto ść kryterium dla najlepszego zn an e g o aktualnie rozw iązania; L (w ) - dolne o g raniczenie p o d p ro b lem u w.
T en ogólny, uniw ersalny schem at w ym aga zo rg an izo w an ia w ielodostępnej bazy d anych ro zw iązań częściow ych (podproblem ów ). M o żn a tu w ykorzystać m echanizm y przestrzeni k ro tek , w y stęp u jące w języ k u L IN D A [1],
4. R ów noległy algorytm B & B z mechanizmem back-track
D la u niknięcia w skazanych wyżej niedogodności au to rzy p ro p o n u ją realizację alg o ry tm u B & B w system ie w ieloprocesorow ym , o p a rtą częściow o na algorytm ie B -T . Z ap ew n ia on a o graniczenie p ro c e d u r kom unikacji m iędzy procesoram i, ró w n o m ie rn e ich obciążenie o ra z zw ięk sza o d p o rn o ść na aw a n e elem en tó w system u obliczeniow ego.
M odyfikacja p o leg a na zm ianie reguły podziału na jed n y m lub d w u najw yższych piętrach d rzew a decyzyjnego. Z b ió r w yjściow y dzielim y n a n-1 p o d z b io ró w (zam iast n a dw a, ja k p o p rzed n io ), z których każdy w yznaczany je s t p rzez je d e n (odm ienny) łu k , w y ch o d zący z teg o sam eg o w ierzch o łk a grafu G. D ługości tych łu k ó w zapisane są w jed n y m w ierszu m acierzy A zw anym tu w ierszem podziałow ym . W iersz ten w yznaczany je s t p rzez elem en t obliczany p ro c e d u rą E D G E . P o dproblem y (w ierzchołki d rzew a decyzyjnego) p rzydzielane są poszczególnym p ro ceso ro m , k tó re g en eru ją i analizują sw o je bin arn e p o d d rz e w a decyzyjne m e to d ą b ack - track. D zięki tem u, w m iejsce je d n e g o rozw iązania do p u szczaln eg o , ustanaw ia
ją c e g o w arto ść g ó rn e g o o g raniczenia dla m eto d y B & B , otrzym ujem y N ró w n o cześn ie obliczonych ro zw iązań dopuszczalnych, z których k ażd e m a sw o ją w arto ść kryterium . N ajm niejsza z tych w artości stanow i g ó rn e ograniczenie. P rzyjm ując w y stęp o w an ie w artości kryterium ja k o z m ien n ą lo so w ą o rozk ład zie rów nom iernym , należy o czek iw ać z n aczn eg o w zro stu (statystycznie) spraw ności algorytm u B & B , w y rażającego się w w yelim inow aniu z analizy znaczn ie w iększej liczby w ierzch o łk ó w d rzew a decyzyjnego, dzięki uży w an iu ja k o g ó rn e g o o g ran iczen ia m inim um z N rów nolegle obliczanych ro zw iązań i w artości kryterium .
P ro p o n o w a n y sch em at p ro cesu obliczeniow ego w system ie w ielo p ro ceso ro w y m p rzed staw io n o na rys.2.
R ó w n o leg ły algorytm branch & bound
W celu zapew nienia w iększej rów nom ierności obciążenia p ro c e so ró w m o żn a g e n e ro w a ć w ięk szą liczbę w ierzch o łk ó w na drugim z kolei piętrze drzew a. R e g u ła p o d ziału je s t analo g iczn a do poprzedniej, przy czym każdy w ierzchołek m a n -2 następ n ik ó w , zaś łu k i o d p o w ia d a ją n o w em u w ierszow i m acierzy A. Z abezpieczenie to m a znaczenie w sytuacji, g dy m o g ą zaistnieć d u że ró żn ice czasu analizy poszczególnych poddrzew .
P ro c e s o r 0
Rys. 2 a. S ch em at blokow y realizow any przez p ro ceso r głó w n y Fig. 2 a. B lo ck schem m a perform ed by th e m ain pro cesso r
6g_ T. D yduch. E . D u d ek -D v d u ch
P ro c e s o r 1. 2 . .N
R ys.2 b. S ch em at blokow y realizow any p rzez p rocesory ró w n o leg le Fig. 2 b. B lo ck schem m a perform ed by parallel processors
5. W ykorzystanie procedur pakietu PVM 3.2 w realizacji proponowanego algorytm u
P ak iet P V M posiada w szystkie niezbędne n arzędzia do zrealizo w an ia w yżej opisanych alg o ry tm ó w i zap ew n ien ia niezbędnej kom unikacji m iędzy nimi. N a pakiet sk ła d a się p ro g ram 'pvm d3' (d em o n urucham iany na każdym k o m p u terze w sieci i zapew niający o b słu g ę k o m u nikacji w w irtualnym k o m p u terze P V M ) o raz biblioteka p ro ced u r libpvm 3.a zaw ierająca po szczeg ó ln e p ro ced u ry kom unikacyjne, k tó re należy dołączyć do p ro g ra m ó w użytkow ych.
P ro c e d u ry d o stęp n e są w języ k a ch C i F O R T R A N dla obszernej listy ty p ó w k o m p u teró w , tak że w ie lo p ro ceso ro w y ch i ich system ów operacyjnych.
P ro c e d u ry w jęz y k u C niezbędne d o realizacji p o d an eg o alg o ry tm u są następujące:
• p v m _ sp aw n (p ro g ram ,n p ro c,tid s) - urucham ia procesy o treści 'p ro g ram ' w liczbie nproc;
w e k to r tids zaw iera identyfikatory uruchom ionych p ro cesó w lub k o m u n ik aty o błędach,
• pvm _exit() - o d łącz a dany p ro ces od PV M .
P ro ced u ry przesyłania danych zaró w n o po stro n ie nadaw ania^jak i o d b ieran ia zaw ierają etap p ak o w an ia i od p o w ied n io ro zpakow yw ania danych o ra z m o g ą być realizo w an e
R ó w n o leg ły algorytm branch & bound
synchronicznie: proces o czekuje na pozytyw ny w ynik działania pro ced u ry , lub asynchronicznie.
• pvm _initsend() - inicjacja bufora w ysyłkow ego.
• p v m _ p k * () - p ak o w an ie danych typu * (int, f l o a t,....) do bufora.
• p vm _send() - w ysłanie zaw artości bufora do konkretn eg o adresata.
• pvm _m castQ - w ysłanie zaw artości bufora do w ielu adresatów .
• p vm _recv() - o d eb ran ie paczki danych z oczekiw aniem n a jej nadejście (synchronicznie).
• pv m _ n recv () - p ró b a odebrania paczki danych, o ile nadeszła (asynchronicznie).
• p v m _ u p k * 0 - ro zp ak o w an ie danych typu * z bufora.
• pvm _bufinfo() - inform acja o zaw artości bufora (długość, etykieta, nadaw ca).
• pvm _m ytid() - zw raca identyfikator danego - w yw ołującego procesu w ram ach P V M .
• p v m _ p aren t() - z w ra c a identyfikator procesu, k tó iy zainicjow ał dany.
P o d an y w y k az nie je s t pełny ani dokładny: nie uw zględnia p aram etró w p ro c e d u r ani ich w artości. D o k ład n y opis zaw iera [5].
6. P o d s u m o w a n ie
W artykule przed staw io n o dw ie koncepcje zrów noleglenia algorytm u podziału i ogran iczeń dla problem u kom iw ojażera. P ierw sza k o ncepcja po leg a na w ykorzystaniu w pólnej bazy danych, zaw ierającej inform acje o w szystkich w y g en ero w an y ch i nie o d rzu co n y ch p odproblem ach. W ad ą jej je s t konieczność przesyłania dużej ilości inform acji.
W ady tej nie posiada koncepcja druga, o p arta na zm ieniającej sie reg u le podziału.
Z analizy teoretycznej w ynika, ż e algorytm rów noległy p o w o d u je w z ro st szybkości obliczeń w iększy, niż w ynika z sum arycznej m ocy obliczeniow ej użytych p ro ceso ró w , dzięki zapew nieniu rów n o m iern o ści przeszukiw ania grafu. K oncepcja ta je s t realizo w an a z a p o m o c ą pakietu P V M . P rzeniesienie p rogram u na np. iP S C /860 nie nastręcza w iększych problem ów .
S zereg p ro b lem ó w dotyczących g rafó w należy do klasy N P -tru d n y ch . S tosow anie system ów obliczeniow ych o dużych m ocach - k o m p u teró w ró w n o leg ły ch pozw ala rozw iązyw ać w iększe problem y tej klasy. Istotnym , zupełnie odm iennym niż w k o m p u terach szeregow ych elem entem realizacji dużych, długotrw ałych obliczeń ró w n o leg ły ch je s t ich o d p o rn o ść na aw arie i p rzypadkow e zakłócenia. A lgorytm y realizo w an e w system ach ro zp ro szo n y ch po zw alają n a dublow anie części obliczeń bez konieczności p o w tarzan ia całości, um ożliw iają ta k ż e elastyczne obciążanie poszczególnych w ęzłów .
B ad an ia nad przetw arzaniem danych w kom puterow ych stru k tu rach rów noległych; tj.
k o m p u terach w ielo p ro ceso ro w y ch i sieciach kom puterow ych tw o rzący ch system y ro zp ro szo n e;
-za T. D yduch. E . D u d ek -D v d u ch
d o ty c z ą m ożliw ości rozdziału zadań m iędzy pro ceso ry /k o m p u tery w idzianych łącz n ie z m ożliw ościam i k o m u n ik o w an ia się p ro ceso ró w /p ro cesó w m iędzy s o b ą o ra z m ożliw ościam i k o n tro lo w an ia procesu obliczeniow ego ja k o całości. P ak iet P V M stanow i w tych b adaniach in teresujące narzęd zie z aró w n o do obliczeń, ja k i p rzy g o to w an ia p ro g ra m ó w uży tk o w y ch na k o m p u tery rów noległe.
LITERATURA
[1] B en -A ri M .: Principles o f co n cu rren t and distributed program m ing. E n g le w o o d Cliffs, N Y , Prentice-H all 1990.
[2] D u d ek -D y d u ch E .: C ontrol o f discrete event processes - branch and b o u n d m ethod.
P rep r. o f IF A C /Ifors/Im acs Sym posium L arg e Scale System s: T h eo ry and A pplications, C hinese A ssociation o f A utom ation, vol. 2, 1992, 573 - 578.
[3] D u d ek -D y d u ch E .: O ptim ization o f discrete m anufacturing p rocesses - b ran ch a n d b o u n d m ethod, in P. G ritzm an, R. H ettich, R. H orst, E. Sachs (eds) O p eratio n s R ese a rc h '92.
S prin g er-V erlag , H eidelberg 1992, 1 9 - 2 2 .
[4] D yduch T.: O zastosow aniu teorii g ier pozycyjnych d o syntezy u k ła d ó w sterujących.
P ra c a d o k to rsk a A G H ,K rak ó w 1981.
[5] G eist Al i in.: O ak R id g e N ational L abo rato ry R e p o rt T M - 12187, 1993.
[6] H ern a n d e z V ., Vidal A .M .: Parallel o rthogonal triangularization o f a rectan g u lar m atrix o n a distributed m em ory m ultiprocessor. W orking Conf. o n D ecen tralized System s, L yon, D ecem b er 1989.
[7] Iszkow ski W ., M aniecki M .: P ro g ram o w an ie w spółbieżne. W -w a W N T 1982.
[8] Sysło M ., D eo N ., K ow alik J.: A lgorytm y optym alizacji dyskretnej. W -w a P W N 1993.
[9] W eiss Z ., G ru ilew sk i T.: P ro g ram o w an ie w spółbieżne i ro zp ro sz o n e .W -w a W N T 1993.
R ecenzent: P rof, d r hab. inż M iro sła w Z ab o ro w sk i W p ły n ęło do R edakcji d o 30 .0 4 .1 9 9 4 r.
Abstract
T h e p ap er deals w ith parallélisation o f branch & b o u n d m eth o d , being applied to solving T ravelling Salesm an P roblem . T w o m ethods are analysed. T h e first o n e is based on m ulti-user d ata base o f subproblem s. T h e second utilizes b ack -track algorithm , o n e o f th e best k n o w n algorithm s fo r searching tree graphs. It is sh o w n by theoretical analysis th a t p aral
lélisation m akes th e back-track algorithm m o re efficient /in statistical m eaning/. T h e reaso n fo r th at is a m o re ad eq u ate search order. T he p aper describes th e use o f P arallel V irtual M ach in e so ftw are system fo r im plem entation th e algorithm in co m p u ter netw ork.
