Wykład VI Algebra

Wykład VI Algebra

Przekształcenia liniowe przestrzeni wektorowych

Definicja: Przekształcenie A:V U , gdzie V, U są przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem K jest homomorfizmem, jeśli

1) x,yV A(xy) A(x)A(y),

2) xV K A(x)A(x).

Definicja: Przekształcenie A:V U, gdzie V, U są przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem K jest izomorfizmem, jeśli jest homomorfizmem i bijekcją (odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym).

Homomorfizm przestrzeni w „siebie” nazywa się endomorfizmem.

Izomorfizm przestrzeni w „siebie” nazywa się automorfizmem.

Twierdzenia: Homomorfizm A:V U jest jednoznacznie określony przez zdefiniowanie działania A na wektory bazy V.

Dowód: e₁,e₂,e_n - baza V, Ae_i g_iU,







 ⁿ

i i ie x

1

,

 



  













 ⁿ

i

n

i i i i

i n

i i

ie Ae g y

A Ax

1 1

1

. Należy pamiętać, że rozkład wektora w bazie jest jednoznaczny.

g₁,g₂,g_n nie jest bazą U; staje się bazą, gdy A jest izomorfizmem („izomorficznym obrazem bazy jest bazą”).

Definicja: Jądrem homomorfizmu A:V U nazywamy podzbiór V, oznaczany jako kerA, taki że xkerA Ax0.

Twierdzenie: kerA jest podprzestrzenią V.

Dowód: Należy wykazać, że kerA jest przestrzenią wektorową, czyli że:

1) x,ykerA(xy)kerA,

2) xkerA K xkerA.

Jest to oczywiste: Ax0 Ay0  A(xy) Ax Ay0 A(x)Ax0.

Wykład VI cd. Algebra

Definicja: Defektem homomorfizmu A:V U nazywamy dimkerA. Definicja: Obrazem homomorfizmu A:V U nazywamy podzbiór U, oznaczany jako ImA, taki że ^y^U, ^yIm^A ^x^{V Ax} ^y.

Definicja: Rzędem homomorfizmu A:V U , oznaczanym jako r A , nazywamy dimImA.

Jeśli A jest izomorfizmem, to ImAU i dimImAdimV.

Przykład: _



 





















 b

a c b a A R R

A: ^{3 2}, . A jest homomorfizmem;

































c x

A 0

0

ker ,

wektory postaci

















 c x 0 0

tworzą przestrzeń wektorową; dimkerA1, dimImA2.

Reprezentacja macierzowa endomorfizmu

V V

A:  , dimV n, e₁,e₂,e_n - baza V, Ax y,







 ⁿ

i i ie x

1

,







 ⁿ

i i ie y

1

, Szukamy macierzy takiej, że

y a

a a

a a

a

a a

a Ax

n n

nn n

n

n n













































































  















2 1 2

1

2 1

2 22

21

1 12

11

.

Zauważamy, że ową macierz określa równanie





 ⁿ

j j ji

i a e

Ae

1

(uwaga na kolejność

indeksów). Istotnie Ax Ae a e a e e y

n

j j j n

i

n

j n

i

j i ji n

i n

j j ji i i

i



   



    



















1

1 1 1 1 1

. Macierz a_ij jest reprezentacją macierzową A w bazie e₁,e₂,e_n.

Wykład VI cd. Algebra

Przykład: A jest obrotem wektorów z R². Wektory zapisujemy w bazie



e ,x ey



.

y x

y yx x xx

x a e a e e e

Ae   cos sin

y x

y yy x xy

y a e a e e e

Ae   sin cos



 













 



 





cos sin

sin cos

yy yx

xy xx

a a

a A a



 















 



 







 















cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

y x

y x

y x

A jest automorfizmem, detA1, _



 













 



cos sin

sin

1 cos

A .

Twierdzenia: Jeśli A:V Vjest endomorfizmem todimImAdimkerAdimV . Twierdzenia: Rząd endomorfizmu jest równy rzędowi macierzy będącej jego macierzową reprezentacją w dowolnej bazie.

Twierdzenia: Jeśli A:V Vjest endomorfizmem to następujące warunki są równoważne:

1) ImAV,

2) dimImAdimV,

3) dimkerA0,

4) ^r ^{A dimV} ,

5) macierz A jest nieosobliwa,

6) A jest automorfizmem.

Wykład VI cd. Algebra

Zmiana bazy

Macierz zmiany bazy

Mamy dwie bazy przestrzeni V: e₁,e₂,e_n i g₁,g₂,g_n. Endomorfizm jest zdefiniowany jednoznacznie, jeśli określić jego działanie na wektorach bazy.

A zatem Se_i g_i, i1,2,n definiuje automorfizm. Jego reprezentacja macierzowa w bazie e₁,e₂,e_n nazywa się macierzą zmiany bazy.









 ⁿ

j

j ji i

i g e

Se

1

(uwaga na kolejność indeksów),









































nn n

n

n n

S















2 1

2 22

21

1 12

11

.

Zmiana współrzędnych

Zmiana współrzędnych x^e wektora x w bazie e₁,e₂,e_n na współrzędne x^g w bazie g₁,g₂,g_n.









    

























 ⁿ

i

g i ji n

j

e j j

e j n

i n

j

j ji g i n

i

i g

i g e e

x

1 1

1 1 1

x

^e

 Sx

^g

Przykład: W przestrzeni R² mamy dwie bazy:







 



 







 





1 , 0

0 1

2

1 e

e oraz







 



 





 



 





1 , 1

1 1

2

1 g

g . Macierz zmiany bazy określają równania:



 



 





 



 





 



 







 1

0 0

1 1

1

21 11

2 21 1 11

1 e e

g ,



 



 





 



 





 





 







 1

0 0

1 1

1

22 12

2 22 1 12

2 e e

g ,

które dają: ₁₁1, ₂₁1, ₁₂ 1, ₂₂ 1, tzn. _



 





 

1 1

1

S 1 .

2

detS , _



 





 



 











 



1 1

1 1 2 1 1 1

1 1 2

1 1

S , _



 







 





 



 





 



1 0

0 1 1 1

1 1 1 1

1 1 2

1 1

SS .

Wykład VI cd. Algebra

Zmiana reprezentacji macierzowej

Mamy endomorfizm A:V V, a A^e jest jego reprezentacją macierzową w bazie

e₁,e₂,e_n. Szukamy macierzowej reprezentacji tego endomorfizmu w bazie

g₁,g₂,g_n, które oznaczamy A^g. Obliczam y Ax na 2 sposoby:

1)

   

     



















 ⁿ

i

n

i n

j n

l

l lj g ji g i n

i n

j

j g ji g i i

g i n

i

i g

i g Ag a g a e

A Ax

1 1 1 1 1 1

1

2)

     

  

    





















 ⁿ

i n

j n

l

l e lj ji g i n

i

n

i

n

j

j ji g i n

i

n

j

j ji g

i i

g

i Ag A e Ae a e

Ax

1 1 1

1 1 1 1 1

Przyrównując 1) i 2), co ma zachodzić dla dowolnego x dostajemy:





 





 ⁿ

l

g ji lj n

l

ji e

lj a

a

1 1

,

co w zapisie macierzowym daje A^eS SA^g lub

A

^e

 SA

^g

S

^1_.

Ponieważ x^e Sx^g oraz A^e SA^gS^1, y^e A^ex^e SA^gS^1 Sx^g SA^gx^g.

Przykład: Macierz obrotu R² w bazie







 



 







 





1 , 0

0 1

2

1 e

e ma postać _



 













 

cos sin

sin

e cos

A .

W bazie







 



 





 



 





1 , 1

1 1

2

1 g

g mamy zaś



 





 



 













 



 





 

 ^

1 1

1 1 cos sin

sin cos

1 1

1 1 2

1 1 S SA

A^{g e}



 













 

cos sin

sin

g cos

A .

Wykład VI cd. Algebra

Wektory własne i wartości własne endomorfizmów

Definicja: Wektorem własnym endomorfizm A:V V, nazywamy niezerowy wektor x spełniający równanie

x Ax ,

w którym jest liczbą z ciała, nad którym rozpięta jest przestrzeń V;  nazywa się wartością własną odpowiadającą wektorowi x.

Niech A będzie endomorfizmem A:V V, dimV n, a A jego reprezentacją macierzową. Wówczas równanie na wektory własne zapisujemy jako

AIx0,

gdzie I jest macierzą jednostkową. Warunkiem istnienia rozwiązań tego (jednorodnego) równania jest spełnienie równania charakterystycznego:

  0

det AI  .

Skoro dimV n, ^det^AI jest wielomianem n-tego stopnia ze względu na , zwanym wielomianem charakterystycznym. Jeśli V jest przestrzenią nad ciałem liczb zespolonych równanie charakterystyczne ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek. Stąd twierdzenie:

Twierdzenie: Endomorfizm przestrzeni wektorowej nad ciałem liczb zespolonych ma co najmniej jeden, a maksymalnie n różnych wektorów własnych i wartości własnych.

Twierdzenie: Wielomian charakterystyczny, a co za tym idzie i wartości własne, nie zależą od bazy reprezentacji macierzowej endomorfizmu.

Dowód: Mamy dwie bazy przestrzeni V: e₁,e₂,e_n i g₁,g₂,g_n, w których równania własne mają postać: A^ex^e ^ex^e i A^gx^g ^gx^g. Wielomiany

charakterystyczne równe więc są ^det



^AeeI



^{i det}



^{Ag gI}



. Ponieważ

S A S

A^g  ^{1 e} , mamy



^{Ag gI}

 

^{detS AeSgI}



^det



^S



^AegI



^S

 

^{det AegI}



det ^{1 1} .

Twierdzenie: Jeżeli endomorfizm A:V V, dimV n, ma n liniowo niezależnych wektorów własnych, to w bazie tworzonej przez te wektory

Wykład VI cd. Algebra

Przykład 1: Macierz obrotu R² w bazie







 



 







 





1 , 0

0 1

2

1 e

e ma postać



 













 

cos sin

sin

A cos . Wielomian charakterystyczny równy jest

^cos  ^{sin 2 cos 1}

cos sin

sin

det cos   ² ²²   



 





















 . Równanie

charakterystyczne ² 2cos10 ma rozwiązanie w zbiorze liczb

rzeczywistych cos tylko dla 0, ^ i 2 bo ^4



^1cos2



^0. Gdy 0 lub 2 , _



 



 1 0

0

A 1 jest przekształceniem tożsamościowym, a dla





 , _



 







 

1 0

0

A 1 . Wartościami własnymi tych trywialnych przekształceń jest 1 lub –1, a zbiór wektorów własnych pokrywa się z R².

Przykład 2: Reprezentacja macierzowa odbicia O względem osi X przestrzeni R² w bazie







 

 







 





1 , 0

0 1

2

1 e

e ma postać _



 





 

1 0

0

O 1 . Wektorami własnymi są



 



 



 



 b a 0

0 , z wartościami własnymi, odpowiednio, 1 i –1. Wielomian charakterystyczny równy jest ¹¹.

Przykład 3: Reprezentacja macierzowa odbicia O względem prostej xy

przestrzeni R² w bazie







 

 







 





1 , 0

0 1

2

1 e

e ma postać _



 



 0 1

1

O 0 . Łatwo bowiem

zauważyć, że _



 







 







 





x y y x 0 1

1

0 . Wektorami własnymi są _



 



 



 





b b a

a , z wartościami własnymi, odpowiednio, 1 i –1. Wielomian charakterystyczny równy jest

 

²1 



1



1



. Reprezentacja macierzowa odbicia ma postać diagonalną



1 0

w bazie ^_^  _^ _^{ }_^





e e

g

g 0

1 ,

, a wektory własne w tej bazie to _^a_^,_^0_^.